2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：二次根式化简求值（五大题型）原卷版

重难点02二次根式化简求值的五大重难点题型

EQ知识梳理

♦一、二次根式的性质与化简

1、二次根式的基本性质：

①620；心0（双重非负性）.

②（垢）2=。（a^0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

（a（a>0）

③V^=同==0）（算术平方根的意义）

（―a（a<0）

2、二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab=Va'Vb（a20,620）/=殍（。20,b>0）

7b7b

3、化简二次根式的步骤：

①把被开方数分解因式；

②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；

③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合；运用乘法公式等；

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

♦二、二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最

简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰.

m题型解读

E□典题精练

【题型1利用二次根式的非负性化简求值】

1.（2024秋•西山区校级期末）若2＜。＜3,则J（2—a）2—J（3—以=（）

A.5-2aB.1-2＜2C.2q-1D.2a-5

2.（2024秋•二道区校级期末）已知实数。在数轴上的对应点位置如图，则化简J（2-以+

|1-a|的结果为（）

।।।।,

-1012

A.1B.-1C.2。-3D.3-2。

3.（2024秋•城关区校级期中）实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简

Vc^+\a+b]—J(a—c)2得()

~b----------^-3—a---------->

A.-2a-b-2cB.-2a-bC.bD.-2a+b

4.（2024秋•鼓楼区校级期末）实数。在数轴上的位置如图所示，则化简后FT1Z+

J(a_ll)2结果为()

--------•-------------•----•------,-----------A

05a10

A.7B.-7C.2a-15D.无法确定

5.（2024秋•成华区期末）已知l<x<2,则式子J（x—l）2+|x-2|化简的结果为.

6.若0<无<1,化简\乃+4-1）2_4=•

7.（2024秋•丰城市校级期中）已知-3<x<2,化简|x-2|一^（无一37+20二+25.

8.（2024秋•雁塔区校级期中）必=@是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下

列问题.

（1）化简：V（-4）2=，,（3_兀）2=.

（2）已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示，化简值一|1一a|+J（1_6）2.

a01b

【题型2利用先化简再直接代入求值】

1.（2024秋•通许县期中）已知x=&+l,则代数式/-2x+l的值为（）

A.2B.4C.3+2V2D.6+4近

2.（2024•河北模拟）设M=（区-J|）,竭，其中。=-3,b=-2,则朋■的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

a—ba—4Vab+4b1

3.（2024秋•澧县期末）先化简，后求值：齐；?+—十°万其中。=5,b=2・

Va+vb7a-27b乙

4.（2024春•宁明县期中）先化简，再求值：（3x+l）（3x-1）+（工-3）2-3X（X-2）,其

中％=V2.

5.（2024春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2-7（a-2）2+（a+l）（a-l）,其中a=&.

6.（2024春•朝阳区校级期中）先化简，再求值：白石布+（夜一物（VH+VK）,其中:

\ba。

。=3,b=2.

7.先化简，再求值：J近a+xj|-4yJ|一，五及其中x=g,y=4.

1—2a+l1—2Q+Q2

8.已知a=,求代数式。的值.

2-V3a2—aCL—1

9.（2024秋•原阳县月考）化简求值:

11、1bcfi—ab

已知a=片b=后求（~石9+二一）入।石的值•

V3—1V3+1a—ba2—b2a2—2aZ?+b2

【题型3利用先化简整体代入求值】

1.（2024秋•玉环市期末）已知a+b=4,ab=2,则Jj+J|的值为（）

A.2V2B.2C.V2D.1

2.（2024秋•市中区校级期中）已知田了=-9,盯=9,则%胫+yj工值是（

A.6B.-6C.3D.-3

1,-1,-

3.（2024春•西安区校级期末）已知x,y为实数，个=3,那么一，不+；；石铲的值为（）

xy

A.V3B.±V3C.2V3D.±2V3

11

4.（2024春•陇西县校级月考）已知x=2+Vi，y=2-V3，求--三的值.

%y

x+Jxyxfxy—y1

5.（2024秋•浦东新区校级月考）化简并求值：痣j+之急，其中％=二后，y=

1

2+V3'

V7-V5V7+V5

（秋•雨花区期末）己知,求下列各式的值.

6.2024X=2-'y~2

11

（1）-+

xy

Xy

⑵亍+7

【题型4利用乘法公式进行计算】

1.（2024秋•澧县期末）已知％=77+逐，y=V7—遮，则代数式x2-2孙+廿的值为（）

2.（2024•昌黎县一模）已知x=-V=—^―，则/+砂+/的值为（）

A.2B.4C.5D.7

3.（2024秋•隆昌市校级月考）己知a>6>0,a+b=6、ab,则g-的值为（

C返1

A.V2B.2D.

,22

__b-CL

4.（2024•安徽模拟）若*-3"+乂-0,且QQ0,则如。的值为（)

AV5c.4

A--TB-4D.V2

5.（2024春•老河口市期中）已知。=唐+&,b=近一近,求/-2。%+庐的值.

6.（2024春•长兴县月考）己知：a=%+l,b=Gl,分别求下列代数式的值:

（1）a2-b2-,

（2）a2-?>ab+b2.

7.（2024春•绥江县月考）己知久=1+&，y=\-五,求下列代数式的值:

（1）（x-y）2+4xy；

(2)x2-j2.

8.（2023秋•林E州期末）设。=-1+后，b=-l—运.

b

(1)求a+b,-的值;

a

(2)求y+26+1,02-2"+y的值.

【题型5利用二次根式的整数部分和小数部分求值】

1.若加为加的小数部分，则巾2+血+血的值为（）

A.1B.2C.3D.4

1

2.（2024春•丹江口市期中）已知a是标的小数部分，则返（返+前工）的值为（）

A.5B.6C.7D.5+V5

3.（2025•泗洪县一模）已知加是心的小数部分，则山2+々一2的值为_____.

Nm2

4.已知a,b为实数，m,〃分别表示5-V7的整数部分和小数部分，am+bn=Qf求代数

a3

式五+7的值•

11

5.（2024秋•西湖区校级期末）已知刀=右后，y=

（1）求/-孙+/的值；

（2）若x的小数部分为a,y的小数部分为6,求（a+6/+砺的值.

6.（2024秋•洛阳期末）我们知道向是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此标的小

数部分我们不可能全部写出来，而2c诉<3,所以伤的整数部分是2,将近减去其整数

部分2,所得的差后-2就是返的小数部分.根据以上信息回答下列问题：

（1）VI7的整数部分是，小数部分是;

（2）如果3+V7的小数部分为0,5-返的整数部分为b,求a+总的值.

7.（2024春•越秀区校级期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：V2

~1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1,那么有谁能说出

它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用

友-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明

的说法解答：

（1）百的小数部分是多少，请表示出来；

（2）a为百的小数部分，b为其的整数部分，求a+b-百的值；

（3）已知8+W=x+y,其中x是一个正整数，0<y<l,求2%+（y-V§yo23的值.

m限时测评

1.（2024春•赵县期中）若a〈b（a,6为非零实数），化简的结果为（）

A.—ayj—abB.a"—abC.aVabD.yj—ab

2.⑵24春•漳平市期中）已知x,y两个实数在数轴上位置如图所示,贝U化简|y-x|+J（x-y）2

的结果是（）

----111---------->

x-------y------o

A.2xB.2yC.2x-2yD.2y-2x

化简Jv|24=（）

3.（2024秋•徐汇区校级期中）当0<°<1时，

22

A.aB.-aC.a~~D.--a

aa

4.（2024秋•陵川县期中）已知3cx<5,化简J（x—5）2+|久一3|的正确结果为（）

A.2B.-2C.2x-8D.8-2x

5.（2024春•西华县月考）已知爪=百+1,几=百—1,则加2+2加〃+"2的值为（）

A.2V3B.12C.10D.6

11

6.（2023春•武昌区校级期中）已知疝+荷=3,且0<小<1,则后-砺的值是（）

A.-V5B.±V5C.V5D.-V7

7.（2024•山海关区一模）已知久=返+2,y=V5-2,则代数式的值为.

8.（2024秋•北京校级期末）若6-后的整数部分为x,小数部分为丹则（2x+后）»的

值是.

9.