2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：矩形的性质与判定的综合（九大题型）原卷版

重难点16矩形的性质与判定的综合

九大重难点题型

m知识梳理

▲知识点一：矩形的定义：

••定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

【注意】（1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.

（2）矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条

件缺一不可.

（3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用.

▲知识点二：矩形的性质：

••性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.

几何语言：

,/四边形/BCD是矩形，

•••^BAD=^ABC=ABCD=AADC=90°,AC=BD.

★1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质.

★2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的

直线.

★3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，

矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰

三角形的性质.

★4、矩形的面积=长X宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等

腰三角形）面积之和.

▲知识点三：直角三角形斜边上的中线

★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

几何语言：：在及AABC中，点。是48的中点,

OB=AO=CO=-AC.

2

★3、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边

是斜边的一半、三角形的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要

依据.“三角形的中位线定理”适用于任何三角形；“直角三角形斜

边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角

形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.

▲知识点四：矩形的判定：

•矩形的判定方法：

方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

几何语言：四边形ABCD是平行四边形，且NA=90°（或NB=90°或NC=90°或/

D=90°）,

...四边形ABCD是矩形.

方法二：对角线相等的平行四边形是矩形；AP------------------iD

几何语言：：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD,

BL-----------------dC

:，四边形ABCD是矩形.

方法三：有三个角是直角的四边形是矩形;

几何语言：：ZA=ZB=ZC=90°,

四边形ABCD是矩形.

♦思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形,

只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证

出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形,再进一步证明有一个角是直角或对角线相

等.

m题型解读

国典题精练

【题型1利用矩形的性质求线段长】

【例题1】⑵24•深圳模拟）如图，在矩形ABCZ）中，AB=2,对角线/C与2。相交于点

O,AE垂直平分OB于点E,则BC的长为（）

D.2

【变式1-1】（2024秋•英德市期末）如图，在矩形4BCD中，对角线NC,2。相交于点

O,若/。=3,则AD的长为（）

C.5D.6

【变式1-2]（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在矩形N8CD中，点£在/。上，且EC

平分/BED,AB=2,ZABE=45°,则。E的长为（）

C.V3-1D.2V2

【变式1-3】（2024春•余干县期末）已知一矩形的两边长分别为10c%和15c%,其中一个

内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）

A.6cm和9。加B.5cm和10cm

C.4c加和11c加D.7c加和8。加

【变式1-4】（2024秋•鄂邑区期末）如图，矩形/BCD中，48=5,8c=12,对角线NC、

5D相交于点。，点尸是线段上任意一点，PEL4C于点、E,PF工BD于点F,贝!］尸£+尸产

等于.

【变式1-5】(2024春•丹阳市期中)如图，在矩形N3CD中，点E在N。上，且EC平分

ABED.

(1)判断△BEC的形状，并说明理由；

(2)若4B=1,ZABE=45°,求DE的长.

【题型二利用矩形的性质求角度】

【例题2】(2024秋•衡南县期末)如图，分别在长方形/BCD的边。C,8c上取两点£,

F,使得/£平分尸，若NB4F=6Q°,则()

A.45°B.30°C.15°D.60°

解题技巧提炼

矩形内求角度的问题主要是利用矩形的性质和结合题中的条件求解，有时要利

用等腰三角形的性质.

【变式2-1】（2024秋•南关区校级期末）如图，矩形48co的对角线/C和2。相交于点

O,4E平分NBAD交BC于点E,如果那么/20E的度数为（

A.55°B.65°C.75°D.67.5°

【变式2-2】（2024秋•衡南县期末）如图，分别在长方形/BCD的边。C,8c上取两点

E,F,使得NE平分/D4F,若NB4F=60°,则4D/E=()

C.15°D.60°

【变式2-3】（2024秋•永寿县校级期中）如图，在矩形48co中，点E在边3c上，且/£

平分/A4C,若4E=CE,则//防的度数为

【变式2-4】（2024秋•南山区期末）如图，长方形48co中，尸是。/延长线上一点，G

是C尸上一点，并且NNCG=N/GC,NGAF=/F.若/BCE=2Q°，则//C8的度数

【变式2-5】（2024秋•秦都区校级期中）如图，在矩形/BCD中，AC、5D相交于点

OE_L/C于点E.若//。。=120°,求/CDE的度数.

【题型三利用矩形的性质求周长和面积】

【例题3】如图，在长方形/BCD中，4E平分NBAD交BC于点、E,连接E。，若ED=5,

EC=3,则长方形的面积为（）

A.22B.24C.26D.28

解题技巧提炼

求矩形的面积问题，主要是利用矩形的性质求出矩形的长和宽，再根据面积的

计算公式求解即可，有时与勾股定理结合起来用.

【变式3-1】（2024秋•锦江区期末）如图，在矩形4BCD中，4B=6,BC=8.对角线

AC,3。相交于点。点E,尸分别是NO,4D的中点，连接斯，则的周长为

C.8D.9

【变式3-2】如图，在矩形4BCZ）中，对角线NC与AD相交于点。，ZACB^30°,BD=

4,则矩形/BCD的面积是.

【变式3-3】（2024秋•南海区校级月考）如图，矩形/BCD中，对角线/C的垂直平分线

跖分别交8C、AD于点、E、F,若BE=3,AF=5,则矩形/BCD的周长为.

【变式3-4】（2024秋•兴庆区期末）如图，点尸是矩形48co的对角线NC上一点，过点

P^EF//BC,分别交CD于点、E、F,连接尸2、PD,若/E=2,PF=9,则图中

阴影面积为.

【变式3-5】（2024春•双柏县期中）已知，矩形一个内角的平分线把矩形的一边分成3cm

和5cm，求矩形的周长.

【变式3-6】如图，矩形/BCD的对角线/C,8D相交于点O,点E,尸在8。上，BE=

DF.

(1)求证：AE=CF；

(2)若/8=6,ZCOD=60°,求矩形的面积.

【题型四利用矩形的性质证明】

【例题4】（2024秋•金台区期中）如图，四边形N2CD是矩形，点E和点尸在边2C上,

^BE=CF,求证：AF=DE.

【变式4-1】（2024秋•华安县校级期末）如图，在矩形45CZ）中.点。在边43上，Z

AOC=ZBOD,

求证：AO=BO.

【变式4-2】（2024•槐荫区二模）如图，四边形/BCD是矩形，点F在线段R4的延长线

上，点E在线段的延长线上，CF=DE.求证：AF=BE.

【变式4-3】（2024春•姜堰区校级月考）如图，在矩形N8CD中，对角线NC、8。相交

于点O,在的延长线上找一点£,连接EC,使得£C=/C.

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；

（2）若AB=6,BC=8,求点£到NC的距离.

【变式4-4】(2024春•南充期末)如图，在矩形/BCD中，点£是8c边上一点，AE=

AD,DFLAE于点、F.

(1)求证：AB=DF.

(2)若4B=8,CE=4,求8C的长.

【变式4-5】(2024秋•南岸区校级期中)如图，在矩形4BCD中，N34D的平分线交2C

于点E,交DC的延长线于点尸.过点C作CG，/厂于点G,连接DG、BG、CG.

(1)求证：BG=DG；

(2)连接2D,求/3DG的度数.

【题型五直角三角形斜边上的中线的性质】

【例题5】（2024秋•沐阳县期中）如图，在△48C中，于点£,CEL/8于点£,

点M,N分别是BC,的中点.

(1)求证：MN1DE；

(2)若NECB+NDBC=45°,DE=10,求MV的长.

【变式5-1】（2024•碑林区校级模拟）如图，△N8C中，CD1AB,垂足为。，E为BC

边的中点，AB=4,AC=2,DE=通,则（）

A.15°B.30°C.22.5°D.45°

【变式5-2】（2024秋•工业园区校级期中）如图,E、尸分别是/8、

CD的中点，若48=26,CD=24,则△£>£尸的周长为（）

A.12B.30C.27D.32

【变式5-3】如图，在△48C中，AB=AC,AD1BC,垂足为D,£是/C的中点.若DE

=3,则N3的长为.

【变式5-4】（2024•宁南县模拟）如图，在中，ZACB=90°,CD为中线，延

长C3至点E,使BE=BC,连结。E,点尸为DE的中点，连结X若48=10,则2尸

的长为

F

'E

【变式5-5】（2024秋•大名县期末）如图，在中，NC=2/B,。是5c上的一点,

且40,48,点£是3。的中点，连接/反

(1)求证：NAEC=NC；

(2)求证：BD=2AC；

(3)若/£=6.5,AD=5,求△/BE的周长.

【题型六判断四边形是矩形】

【例题6】已知，如图，在△4BC中，NACB=90°,。是48的中点，DF、DE分别是

△BDC、△4DC的角平分线.求证：四边形DEC尸是矩形.

【变式6-1】（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人

们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比

较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条a,b,c,d搭成如图所示的

一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（）

A.测量是否有三个角是直角

B.测量对角线是否相等

C.测量两组对边是否分别相等

D.测量对角线是否互相垂直

【变式6-2】（2024秋•昌图县期末）在四边形48CD中，AC、8。交于点。，在下列条件

中，不能判定四边形N8CD为矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,ZBAD^90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./BAD=NBCD,ZABC+ZBCD^180°,ACLBD

D.ZBAD=ZABC=90°,AC=BD

【变式6-3】（2024秋•秦都区期末）如图，在四边形48CD中，AB=CD,AD=BC,对

角线/C,3。相交于点O,且。4=。&求证：四边形/2CZ）是矩形.

【变式6-4】（2024春•西吉县期末）已知：如图，在口48。£＞中，AF、BH、CH、。厂分别

是NB4D、/ABC、/BCD、/NZJC的平分线.求证：四边形EFG”是矩形.

【变式6-5】如图，MN//PQ,直线/分别交W、尸。于点/、C,同旁内角的平分线

AB、C2相交于点3,40、CD相交于点。.试证明四边形/BCD是矩形.

【题型七判断平行四边形是矩形】

【例题7】如图，在平行四边形N8CD中，AELCD,CFLAB,垂足分别为£,F.求证:

四边形/尸CE是矩形.

【变式7-1】（2024•曹妃甸区模拟）已知四边形/5CD中再补充一个条件使得

四边形/BCD是矩形，这个条件可以是（）

A.ACLBDB.ZABC=90°

C.4C与8。互相平分D.AB=BC

【变式7-2】（2024秋•双塔区校级期末）如图，四边形/BCD为平行四边形，延长/。到

E,使DE=4D,连接E5,EC,DB,添加一个条件，不能使四边形D3CE成为矩形的

是（）

A.AB=BEB.CELDEC.NADB=9Q°D.BE±AB

【变式7-3】（2024秋•灵武市期末）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框/BCD是否符

合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角

线NC、8D的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据

【变式7-4】（2024春•南票区期末）如图，在△4BC中，AB=BC,BD平分/ABC.四边

形ABED是平行四边形，DE交BC于点、F,连接CE.

求证：四边形BECD是矩形.

【变式7-5】（2023秋•宽城区校级期末）如图，在△/2C中，。是8C边上的中点，E

是/D边上的中点，过N点作3c的平行线交CE的延长线于点尸，连接AF.

（1）求证：四边形NE8D是平行四边形.

（2）当△N8C满足什么条件时，四边形/五即是矩形？请说明理由.

【题型八利用矩形的性质解决折叠问题】

【例题8】（2024春•三台县月考）如图，长方形4BCD中将△/AF沿4F翻折至△/笈尸处,

若AB'〃BD,/1=26°,则NA4尸的度数为（）

A.57°B.58°C.59°D.60°

【变式8-1】（2024秋•金山区期末）如图，在长方形/BCD中，点£在边。C上，联结

AE,将沿折痕/£翻折，使点。落在边8c上的功处，如果/。瓦4=76°,那

么NDiEC=度.

AD

、'、Jf"

、、/

__________、、/

BD}C

【变式8-2】如图，在矩形/BCD中，E是/。的中点，将沿AE折叠后得到△

GBE,延长3G交CD于点凡结果发现厂点恰好是。C的中点，若BC=2在,则48的

【变式8-3】（2024春•沙河口区期末）如图，将矩形纸片/BCD折叠，使点。与点2重

合，点C落在点G处，折痕为斯，若48=4,3c=8,则。E的值为（）

A.2.4B.3C.4D.5

【变式8-4】（2024春•工业园区校级期末）已知，如图，在长方形N8C。中，AB=8,BC

=6,尸为/。上一点，将4/8尸沿8尸翻折至△EBP,PE与CD相交于O,且OE=

OD,求/尸的长.

【变式8-5】如图，将矩形纸片/BCD折叠，使点8与点。重合，点/落在点P处，折

痕为EF.

（1）求证：APDE名MDF；

(2)若CD=4cm,EF=5cm,求2C的长.

【题型九矩形的性质与判定的综合运用】

【例题9】（2024春•长垣市期中）如图，在四边形/2CO中，ZA=ZABC^90°,DE1

BC,DB平分/ADC.下列结论：①2C=DC；②四边形N5成）是矩形；③点E是BC

的中点；④若ND=2,CD=5,则A8=4.其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【变式9-1】如图，四边形/BCD中，以对角线NC为斜边作RtZ^4C£,连接8£、DE,

BE±DE,AC,8。互相平分.若2AB=BC=4,则AD的值为（）

A.2V5B.V5C.3D.4

【变式9-2】（2024春•怀宁县期末）如图，在直角三角形/8C中，ZACB=90°,AC=

3,BC=4,点别■是边45上一点（不与点48重合），作于点£,MFLBC

于点尸，若点尸是口的中点，则C尸的最小值是（）

C.2.4D.2.5

【变式9-3】（2024秋•茂南区期末）如图，△4BC中，AB=AC,AD平分/B4C,BE//

AD,AELAD.

（1）求证：四边形ND8E是矩形；

（2）作ETU/B于尸，若3c=4,AD=3,求斯的长.

【变式9-4】（2024春•海珠区校级期中）如图，在矩形48CD中，4B=3,2C=4.4c为

对角线，E,尸分别是4D,3c的中点，即交对角线/C于点。

（1）求证：AAEO咨LCFO.

（2）点G是对角线/C上的点，/EGF=90°,求/G的长.

【变式9-6】（2024春•惠州校级期中）如图，△48C中，点。是边/C上一个动点，过。

作直线设“N交N/C5的平分线于点E,交N/C5的外角平分线于点「

（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=12,CP=5,求0c的长；

（3）当点。在边NC上运动到什么位置时，四边形NECF是矩形？并说明理由.

IEQ限时冽评

1.（2024秋•顺德区期末）如图，点E在矩形/BCD的边4D上.若△E2C是等边三角形,

则//E8的度数为（）

C.60°D.75

2.（2025•福田区一模）如图，在矩形/5CD中，对角线NC与AD相交于点O,过点C作

CE〃A0交48的延长线于点E,下列结论不■定正确的是（）

1

B.OB=-CE

1

C.是等腰三角形D.BC="^AE

3.（2024•雁塔区校级四模）如图，在△43。中，N4C8=90°,点。为的中点，点E

在4C上，且连接CD交BE于点F,若N4=25°,则ND①的度数（）

B

D

A.65°B.70°C.75°D.80°

4.（2024•秦都区校级一模）如图，在矩形/BCD中，对角线NC,8。交于点O,过点。

作EFLAC交AD于点E,交BC于点F.己知AB=4,A4OE的面积为5，则DE的长为（