2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：直角三角形斜边上的中线性质的运用（解析版）

重难点20直角三角形斜边上的中线性质的运用

EQ知识梳理

▲知识点：直角三角形斜边上的中线的性质

♦1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

几何语言：如下图：在母AABC中，点。是N3的中点,

OB=AO=CO=-AC.

2

♦2、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半、三角形

的中位线定理都是证明线段倍分关系的重要依据.“三角形的中位线定理”适用于任何三角

形；“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性

质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形.

m题型解读

上的中线性质的

国典题精练

【题型一利用直角三角形斜边上的中线求线段长】

1.（2025•峰峰矿区校级一模）一技术人员用刻度尺（单位：c加）测量某三角形部件的尺

寸.如图所示，己知N/C2=90°,点。为边48的中点，点/、2对应的刻度为1、7,

则CD=（）

C

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长.

【解答】解：♦..点4、2对应的刻度为1、7,

:.AB=7-1=6（cm）,

,.•//C8=90°,点。为线段的中点，

11

：.CD^~AB^~x6=3（cm）,

故选:B.

【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合的思想解答.

2.（2025•汉台区二模）如图，在△48C中，/。_18。于点。，ZBAD=ZCAD,DE是二

/CD的中线，若3c=12,40=8,则DE的长为（）

A.4B.5C.6D.7

1

【分析】判定是等腰三角形，推出CD=yC=6,由勾股定理求出4C=10,由

1

直角三角形斜边中线的性质得到DE=7。=5.

【解答】解：5c于点。，

/.ZADC=ZADB=90°,

ZBAD=ZCADf

：.ZB=ZCf

：.AB=AC,

•：AD1BC,

11

：.CD=BD=-BC=-X12=6,

•・・4D=8,

/•AC=VxD24-CD2-10,

〈DE是AZCD的中线，

1

：.DE=-AC=5.

故选：B.

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，关键是由等腰

1

三角形的性质推出CD=BD,由直角三角形斜边中线的性质得到DE=pC

3.（2024秋•工业园区校级期中）如图N4D5=N4C5=90°,E、尸分别是45、CD的中

点，若AB=26,CD=24,则△。斯的周长为（）

A.12B.30C.27D.32

【分析】先根据直角三角形的性质求出。尸与。月的长，再由等腰三角形的性质求出QE

的长，根据勾股定理求出所的长，进而可得出结论.

【解答】解：,.•/DB=N/C8=90°,尸是的中点，48=26,

11

：.DF=CF^-4B^-X26=\?>,

.♦.△CD尸是等腰三角形.

:点E是CO的中点，8=24,

1

：.EFLCD,DE=~CD=n.

在RtADEF中，DE=>JDF2-DE2=V132-122=5,

ADEF的周长为：DF+DE+EF^13+12+5=30.

故选：B.

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线

等于斜边的一半是解题的关键.

4.（2024•藁城区二模）如图，AB±BF,EFLBF,/£与3尸交于点C,点。是/C的中点,

/AEB=2N4.若/C=6,EF=1,则AF的长是（）

F

E

A.V10B.3C.V8D.V15

1

【分析】根据直角三角形的性质得到助=/O=pC=3,根据三角形外角的性质得到N

BDE=ZBED,求得2E=2D=3,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：时，

.../48C=90°,

:点。是NC的中点，AC=6,

1

:,BD=AD=~^AC=3,

:./A=/ABD,

：./BDE=/A+/ABD=2/A,

,:NAEB=2NA,

：./BDE=/BED,

:.BE=BD=3,

■:EFLBF,

：.ZBFE=90°,

：.BF=>JBE2-EF2=A/32-12==2V2.

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质,

熟练掌握勾股定理是解题的关键.

5.（2024春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，ZACB^90°,。是48的中点，过点。

C£>=4,AE=5,则NC=()

24

C.5D-T

【分析】由直角三角形斜边上的中线可求“2=8,根据线段垂直平分线的性质可得2E=

AE=5,再利用勾股定理求得CE的长，进而可求解/C的长.

【解答】解：■：ZACB=90°,。是48的中点，8=4,

：.AB=2CD=8,

EDLAB,

.,.DE垂直平分AB,

：.BE=AE=5,

'：AC2=AE2-CE2=AB2-BC2,

.\52-CE2=S2-(5+CE)2,

解得CE=1.4,

I-------24

：.AC=J52T.42=y.

故选：B.

【点评】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质与判定，勾股

定理，掌握勾股定理是解题的关键.

6.（2024•大石桥市校级一模）如图，在RtA42C中，/B4c=90°,点。是2c的中点,

连接ND分别以点4C为圆心，ND的长为半径在△NBC外画弧，两弧交于点£,连

接NE,CE,过点。作。尸，CE于点尸.若AB=6,NC=8,则。下的长为（）

A.—B.4C.—D.5

【分析】证明四边形NOCE是菱形，根据菱形的面积即可以求出。尸的长.

【解答】解：在RtZ\45C中，/A4c=90°,点。是BC的中点，

：.AD=CD,

AE=EC=AD,AE=EC=AD=CD,

四边形NDCE是菱形，

如图，过点/作于点〃，

.•.2C=10,

6x824

・・・加丁一

/\AHD^/\DFC,

■:ADLDF,

：.ZADH+ZFDC=90°,

9：AHLBD,

：.ZADH+ZDAH=90°,

I.NFDC=NDAH,

VZAHD=ZDFC=90°,

,:AD=DF,

：.AAHD冬LDFC,

24

：.DF^AH=~.

故选：C.

【点评】本题考查尺规作图、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等,

掌握这些性质是解题的关键.

7.（2024春•镇江期末）如图，在中，ZACB=90°，点D,E,尸分别为N―

AC,8c的中点.若CD=5,则跖的长为.

【分析】已知CD是RtZ\4BC斜边的中线，那么/B=2CD；E尸是△4BC的中位线,

则所应等于的一半.

【解答】解：：△NBC是直角三角形，8是斜边的中线，

1

：.CD^~AB,

又EF是△/3C的中位线，

:・AB=2CD=2X5=10crn,

1

.\EF=~'X10=5cm.

故答案为：5.

【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到

的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对

应边的一半.

8.如图，在△4BC中，AB=AC,ADLBC,垂足为。，£是/C的中点.若DE=3,则

的长为

【分析】根据垂线的性质推知△4DC是直角三角形；然后在直角三角形/OC中，利用直

角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得NC=6；最后由等腰三角形/3C的两腰/3=

AC,求得48=6.

【解答】解：：在△48C中，AD1.BC,垂足为£>,

...△/DC是直角三角形；

是ZC的中点.

1

：.DE=^AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），

又，：DE=3,AB=AC,

：.AB=6,

故答案为：6.

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，熟记直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

9.（2024秋•沛县校级期中）已知，如图，NABC=N4DC=90°,M,N分别是4C,BD

的中点，AC=26,50=24.求儿W的长.

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到5"=八攸=13,根据

等腰三角形的性质得到3N=12,根据勾股定理得到答案.

【解答】解：连接8M、DM,

A

VZABC=ZADC=90°,M是4C的中点，

1111

；.BM=万4。=~x26=13,DM="71C=-x26=13,

:.BM=DM=13,

TN是助的中点，

1

：.BN=DN=~BD=12fMNLBD,

：.MN=yJBM2-BN2=V132-122=5.

所以MN的长为5.

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理,

掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

【题型二利用直角三角形斜边上的中线求角度】

1.（2024秋•裕华区校级期末）如图，在RtZ\/8C中，ZACB=90°,于点。，Z

BCD=2Q°,E是斜边48的中点，则4DCE的度数为（）

A.30°B.50°C.45°D.40°

【分析】由先根据直角三角形的性质求出N8的度数，再由E是斜边N3的中点得出CE=

BE,故可得出/£CB=N3=70°,进而得出结论.

【解答】解：

AZBDC=90°,

VZBCD^20°,

：.Z5=90°-20°=70°,

,：ZACB=90°,E是斜边4B的中点，

1

：.CE=BE=^AB,

:./ECB=NB=70°,

:./DCE=NBCE-/BCD=I0°-20°=50°,

故选：B.

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线

等于斜边的一半是解题的关键.

2.（2024秋•凤翔区期末）如图，在△48C中，ZACB=90°,。在5c上，E是的中

点，AD、CE相交于尸，S.AD=DB.若48=20°,则/DFE■等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根据直角三角形斜边上中线性质得出BE=CE,根据等腰三角形性质得出NEC2

=Z5=20°,NDAB=NB=20°,根据三角形外角性质求出N4OC=

40°,根据/三角形外角性质得出。尸石=//。。+/石。5,代入求出即可.

【解答】解：：在△48C中，ZACB=9Q°,E是N8的中点，

：.BE=CE,

'：Z5=20°

AZECB=ZB=20°,

,:AD=BD,Z5=20°,

:.NDAB=NB=20°,

:.NADC=NB+NDAB=20°+20°=40°,

AZDFE=ZADC+ZECB=40°+20°=60°,

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质

的应用，能求出N/DC和NEC8的度数是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半.

3.如图，在四边形/2CZ）中，ZBCD=ZBAD^90°,AC,2。相交于点E,点G,H分

别是NC,8。的中点，若N8EC=80°,那么1等于（）

B

A.5°B.10°C.20°D.30°

【分析】连接/〃，CH,根据在四边形/BCD中，NBCD=NBAD=90°,“是8。的

1

中点可知=再由点G时NC的中点可知"G是线段/C的垂直平分线，

故NEGH=90°,再由对顶角相等可知/GEH=N5EC=80°,由直角三角形的性质即

可得出结论.

【解答】解：连接CH,

;在四边形/BCD中，ZBCD=ZBAD=90°,〃是的中点，

1

：.AH^CH=~BD.

:点G时/C的中点，

：.HG是线段AC的垂直平分线,

：.NEGH=90°.

:/BEC=80°,

：.ZGEH=ZBEC=S0°,

：.ZGHE=90Q-80°=10°.

故选：B.

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线

等于斜边的一半是解答此题的关键.

4.（2024秋•武穴市月考）△N8C中，于产，BELAC于E,M为3c的中点，若/

ABC=60°,N4CB=50°,尸的度数为（）

A.70°B.60°C.50°D.30°

【分析】根据垂直定义可得NBEC=NCEB=90°,然后利用直角三角形斜边上的中线

性质可得月从而可得/〃8F=NMR3=60°,ZMCE=ZMEC=

50°,最后利用三角形内角和定理可得NFA四=60°,NEMC=80°,再利用平角定义

可得/派=40°,从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可

解答.

【解答】解：'：CF±AB,BELAC,

；.NBEC=NCFB=90°,

为3c的中点，

11

FM=BM=~BC,EM=CM=~BC,

：.FM=BM=EM=CM,

:.NMBF=/MFB=60°,ZMCE=ZMEC=50°,

...NFMS=180°-NFBM-NBFM=60°,/EMC=180°-/MEC-/MCE=8Q°,

AZFAffi=180°-NFMB-NEMC=40°,

'：MF=ME,

180°-^FME

：.ZMFE=ZMEF=-----------------=70°,

故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的

已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

5.（2024春•九龙坡区校级期中）如图，在△48C中，NABC=90°,点E为/C的中点,

在中，ZAFC=90°,连接8E,BF,EF,若//C8=50°,/EC尸=24°,则/

EFB的度数为（）

A.14°B.16°C.18°D.20°

11

【分析】先利用直角三角形斜边上的中线可得班=£C=pC,EF=EC=/C,从而利

用等腰三角形的性质可得NEC8=NE3C=50°,然后利用三角形的外角性质可得N/班

=100°,ZAEF=4S°,从而可得乙8£尸=148°,再利用等量代换可得最后

利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得NK£B=N动尸=16°,即可解答.

【解答】解：：/N8C=90°,点E为4C的中点，

1

；.EB=EC=]AC,

:.NECB=/EBC=50°,

,/ZAEB是△E8C的一个外角，

NAEB=NEBC+NECB=100°,

：/4FC=90°,点E为NC的中点，

1

：.EF^EC=~AC,

：.ZEFC=ZECF=24°,

,/ZAEF是LECF的一个外角,

・•・ZAEF=/ECF+/EFC=48

：.ZBEF=ZAEB+ZAEF=148°,

11

9：BE=^AC,EF=^AC,

:・BE=EF,

180°-^BEF

：./EFB=ZEBF=---------------=16°,

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，根据题目的已知条

件并结合图形进行分析是解题的关键.

6.（2024秋•莲湖区期中）如图所示，在中，ZACB=90°,ZA=62°,CDL

AB,垂足为。，点E是5C的中点，连接即，则N瓦叼的度数是.

【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得N5=28。，然后利用直角三角形斜边上

的中线性质可得瓦）=仍，从而利用等腰三角形的性质即可解答.

【解答】解：-：ZACB=90°,ZA=62°,

・・・N5=90°-ZA=28°,

*：CDLAB,

；.NCDB=90°,

•・,点E是BC的中点，

1

：.ED=EB=-BC,

：.ZEDB=ZB=28°,

故答案为：28°.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质

是解题的关键.

7.（2024•碑林区校级模拟）如图，△NBC中，CDLAB,垂足为。，E为2C边的中点，AB

=4,/C=2,DE=y[3,则NZCD=.

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出8c=2£>E=2百，再利用

勾股定理的逆定理得出/4CB=90°,由/8=2/C可求解N/8C=30°,然后根据同角

的余角相等即可得出即可求解.

【解答】W：-CDLAB,E为8c边的中点，DE=近,

:.BC=2DE=2近,

'：AB=4,AC=2,

：.AC2+BC2=4+12=16=AB2,

...△48C是直角三角形，且N4C8=90°,且N/8C=30°,

AZACD+ZBCD=90°,

VZABC+ZBCD=90°,

...//CD=/4BC=30°.

故答案为：30°.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定

理，余角的性质，证明是直角三角形是解题的关键.

8.（2024秋•潍坊期末）如图，四边形/BCD中，ZADC=ZABC=90°,£为对角线/C

的中点，/DAC=30°,ZCAB=40°,连结BE,DE,BD,则N2DE=度.

1

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得/E=8E=DE=pC,根据

等腰三角形的性质以及三角形外角的性质求得N8£C=80°,/CED=60°,那么

=140°,然后在等腰中即可求出底角的度数.

【解答】解：•••//DC=//8C=90°,£为对角线NC的中点，

1

:.AE=BE=DE=^AC,

：.ZABE=ZCAB=40°,ZADE=ZDAC=30°,

：.ZBEC=ZABE+ZCAB=80°,ZCED=ZADE+ZDAC=60°,

ZBED=ZBEC+ZCED=140°.

;BE=DE,

180°-zBE£)

/BDE=ZDBE=---------------=20°.

故答案为：20.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性

质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键.

9.(2024春•哪城区期末)如图，在口4BCD中，点M为NC的中点，过点。作。尸，BC,

延长C8到点E使BE=CF,连接4B,EM.

(1)求证：四边形/EFD是矩形；

(2)若幺D=6,BF=3,ZADC=120°,求E"的长.

【分析】(1)先根据平行四边形的性质可得4D=BC,AD//BC,从而可得EF=BC=

AD,再根据平行四边形的判定可得四边形NEED是平行四边形，然后根据矩形的判定即

可得证；

(2)先求出EC=9,EB=CF=3,DC=6,再在RtZXD尸C中，利用勾股定理可得

DF=3V3,然后根据矩形的性质可得。?=4£=3百，在RtA4CE中，利用勾股定理可

得47=6打，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得.

【解答】(1)证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.AD//EF,

'：BE=CF,

：.BE+BF=CF+BF,即EF=BC,

：.AD=EF,

，四边形NEED是平行四边形，

又•：DFLBC,

：.ZDFE=9Q°,

，四边形NEED是矩形.

(2)解：由(1)可知，ZDFE=ZDFC=90°,AD=EF=BC,

'：AD=6,BF=3,

：.EB=CF=3,EC=9,

:四边形/BCD是平行四边形，ZADC=nO0,

：.ZDCF=60°,ZCDF=30°,

：.DC=2CF=6,

在Rt/XDFC中，由勾股定理得：DF2+CF2=DC2,

：.DF=yJDC2-CF2=A/62-32=3百,

:四边形NEED是矩形，

.,.DF=AE=3V3，ZAEC=90°,

在RtZUCE'中，由勾股定理得：AE2+EC2=AC2,

'-AC=7AE2+EC2=J(3圾2+92=6百，

是/C的中点，ZAEC=90°,

11LL

EM=~XC=-x6V3=3百.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三

角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键.

【题型三利用直角三角形斜边上的中线性质证明】

1.（2024春•零陵区校级期中）如图，ZX/BC中，BE平分NABC,BEL4F于尸,D为AB

中点，请说明。尸〃5c的理由.

BC

【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，BD=DF,/DFB=/

DBF,根据角的平分线的定义知再根据内错角相等

两直线平行得DF//BC.

【解答】解：：在直角△“口中，点。是斜边上的中点，

：.DF=BD=~AB,

：.ZDFB=ZDBF,

:BE平分/4BC,

：.ZFBC=ZFBD,

：.ZDFB=ZFBC,

C.DF//BC.

【点评】本题的关键是明白在直角三角形的性质中斜边上的中线是斜边的一半，角的平

分线的定义，平行线的判定中内错角相等，两直线平行.注意等边对等角的运用.

2.（2024秋•虹口区校级期末）如图，已知△/3C的高加、CE相交于点O,M.N分别是

BC、的中点，求证："N垂直平分DE.

A

【分析、连接EN、DN、EM、DM,由8。与CE为三角形的两条高，可得

ADB=NBEC=/BDC=90°,根据N为BC,/。的中点，利用斜边上的中线等于

斜边的一半可得EN=DN,根据线段垂直平分线的逆定理得到河、N在线段

OE的垂直平分线上，得证.

【解答】证明：连接EN、DN、EM、DM,

\"BDLAC,CELAB,

：.AAEC=ZADB=NBEC=NBDC=9U°,

,:M、N是BC、/。的中点，

1111

：.EN=~AO,DN=qAO,EM=~BC,DM=QBC,

：.EN=DN,EM=DM,

:.M、N在线段OE的垂直平分线上，

垂直平分。E.

【点评】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利

用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键.

3.(2024秋•扬州期末)如图，在△48C中，BD、CE分别是NC、N8边上的高，F是BC

的中点.

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若/EDF=60°,DE=2,求3c的长.

A

【分析】(1)连接即，由直角三角形斜边上的中线的性质可得EF=DF=BF=CF=]

BC,即可证明结论；

(2)证明是等边三角形即可求得结论.

【解答】(1)证明：连接所，

由条件可知N8DC=NC£8=90°,

MBCD,△BCE为直角三角形，

是BC的中点,

1

/.EF=DF=BF=CF=~BC,

斯是等腰三角形；

1

(2)解：\'EF=DF=BF=CF=~BC,

且NEZ用=60°,

...△即尸为等边三角形,

:.BC=2DE=4.

【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，及直角三角形斜

边上的中线的性质的综合运用.灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键.

4.如图，△NBC中，是边BC上的高，CF是边N8上的中线，DC=BF,点、E是CF的

中点.

c1)求证：DELCF-,

(2)求证：/B=2/BCF.

【分析】(1)连接。R根据直角三角形的性质得到。尸=73=8尸，进而证明。C=

。凡根据等腰三角形的三线合一证明结论；

(2)根据三角形的外角性质得到NED8=2/D尸C,根据等腰三角形的性质证明结论.

【解答】证明：(1)连接。巴

,：AD是边8C上的高，

AZADB=9Q°,

■:点F是AB的中点，

1

：.DF^~AB=BF,

，：DC=BF,

：.DC=DF,

丁点E是C尸的中点.

J.DELCF-,

(2),:DC=DF,

：./DFC=NDCF,

：.ZFDB=ZDFC+ZDCF=2ZDFC,

,:DF=BF,

：.NFDB=/B,

：.NB=2/BCF.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中,

斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

5.如图，在△4BC中，/A4c=90°,AD是中线，E是4D中点，过/作/尸〃3c交2E

的延长线于点尸，连接CF.

(1)求证：AD=AF；

(2)如果N2=/C,试判断四边形4DCF的形状，并证明你的结论.

【分析】(1)由E是/。的中点，AF//BC,易证得△4EF2ADEB,即可得N尸=3。，

又由在△ABC中，/A4c=90°,是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一

1

半，即可证得/。=BD=CD=58C,即可证得：AD=AF；

(2)当时，四边形/DCF是矩形.由/尸=8D=OC,AF//BC,可证得：四边

形/DC厂是平行四边形，又由/8=4C,根据三线合一的性质，可得4DL5C,AD=

DC,继而可得四边形NDCF是正方形.

【解答】⑴证明：尸〃5C,

ZEAF=ZEDB,

是4D的中点，

：.AE=DE,

YEAF=乙EDB

在△NEF和中，,

Z.AEF=乙DEB

:.AAEF沿ADEB(ASA),

：.AF=BD,

•在△4BC中，NBAC=9Q°,/£)是中线,

1

:.AD=BD=DC=~BC,

；.AD=AF；

(2)当/3=4C时，四边形/DC尸是正方形.

\'AF=BD=DC,AF//BC,

.•.四边形/。(女是平行四边形，

,CAB^AC,40是中线，

J.ADLBC,

'：AD=AF,

，四边形/DC尸是正方形.

【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与

性质.此题难度适中.

6.(2024•安顺模拟)如图，在△/BC中，点。在上，且CD=C8,£为30的中点，F

为NC的中点，连接即交8于点/，连接

1

(1)求证：EF=~AC；

(2)EFLAC,求证：AM+DM=CB.

【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得CEL2。，再根据直角三角形斜边上

1

的中线等于斜边的一半可得EF=-AC；

(2)根据“S/S”证明g△CFM,可得NM=CW,进而可得结论.

【解答】(1)证明：连接CE,如图，

•:CD=CB,E为的中点，

：.CE±BDf

•・,尸为4C的中点，

1

：.EF=~AC；

(2)证明：-：EF.LAC,

：.ZAFM=ZCFM,

•・•方为4。的中点，

：.AF=CF,

•：MF=MF,

：./\AFM^/\CFM(&4S),

：.AM=CM,

■:CD=DM+MC,

：.CD=DM+AM,

•:BC=DC,

：.AM+DM=CB.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

灵活应用定理是解决本题的关键.

7.(2024秋•温州期中)如图，已知2sBeADLDB,E为48的中点.

(1)如图1,求证：△ECZ)是等腰三角形.

(2)如图2,CD与AB交于点F,^AC=BC,若CE=4,BF=\,求CD的长.

图1图2

【分析】(1)根据△48C和△43。是直角三角形，点E是的中点DECE=l/245,DE

=1/2/8,由此可得出结论；

(2)过点E作EGLCD于G,由(1)的结论得CG=DG,证明△4BC是等腰直角三角

形，得CE=AE=BE=4,AEL4B,则8尸=1,EF=3,CE=5,再由三角形面积公式求

出EG=2.4,进而得CG=3.2,由此可得CD的长.

【解答】(1)证明：'：AC±BC,ADYDB,

:.AABC和△48。是直角三角形，

；点后是AB的中点，

11

：.CE=~AB,DE=~AB,

:.CE=DE,

4CDE是△£(7£)是等腰三角形；

(2)解：过点E作EGLCD于G,如图所示：

:CE=DE,

：.CG=DG,

'：AC±BC,AC=BC,

AABC是等腰直角三角形，

,:E为4B的中点，

：.CE=AE=BE=4,AELAB,

;BF=1,

:・EF=BE-BF=3,

由勾股定理得：CE=VCE2+EF2=5,

11

由三角形的面积公式得：Sm=/・EG=尹*EF,

CEEF4x3

:,EG--=2.4,

CF5

在Rtz^CEG中，由勾股定理得：CG=\CE2-EG2=32,

：.CG=DG=3.2,

；Q=CG+DG=6.4.

【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌

握直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键.

8.(2024秋•宿城区期中)如图，在锐角三角形/3C中，CD,分别是N5,NC边上的高,

M,N分别是线段3C,DE的中点.

(1)求证：MNLDE.

(2)连接DM,ME,猜想//与NOME之间的关系，并证明你的猜想.

(3)当/胡C变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若成立，直

接回答，不需证明；若不成立，请说明理由.

11

【分析】(1)连接。M,ME,根据直角三角形的性质得到。M=ME^-BC,得到

根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；

(2)根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论；

(3)仿照(2)的计算过程解答即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图(1),连接DM,ME,

•:CD、BE分别是/8、NC边上的高，河是8c的中点，

11

.\DM=-BC,ME=-SC,

：.DM=ME,

又为DE中点，

；.MNLDE；

(2)在△ABC中，ZABC+ZACB=\SO°-ZA,

DM=ME=BM=MC,

.".ZBMD+ZCME=(180°-2ZABC)+(180°-2NACB)

=360°-2(ZABC+ZACB)

=360°-2(180°-乙4)

=2ZA,

：.ZDME=180°-2ZA；

(3)结论(1)成立，结论(2)不成立，

理由如下：连接。M,ME,

在△NBC中，ZABC+ZACB^180°-Z.BAC,

:DM=ME=BM=MC,

：.ZBME+ZCMD=2ZACB+2AABC

=2(180°-ABAC)

=360°-2ABAC,

：.ZDME=\S0Q-(360°-2NBAC)

=2ABAC-180°.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜

边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

【题型四三角形中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应】

1.（2024春•南岗区校级期中）如图，在△N8C中，D,E分别是N8,NC的中点，连接

ED,尸是瓦＞延长线上一点，连接/ACF,若N4FC=90°,DF=1,AC=6,则3c的

长度为（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出£尸，进而求出根据三角形中位

线定理计算，得到答案.

【解答】解：在RtZ\/FC中，ZAFC=90°,E是/C的中点，AC=6,

1

则EF=~AC=3,

■:DF=\,

.,.DE—3-1—2,

,:D,E分别是/B,NC的中点，

是△/3C的中位线，

：.BC=2DE=4,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角

形中位线等于第三边的一半是解题的关键.

2.（2024秋•平昌县期末）如图，在△N8C中，D、£分别为48、NC的中点，点厂在。£

上，且4F_LCF,若NC=3,BC=6,则。尸的长为（）

B

A.1.5B.1C.0.5D.2

【分析】根据三角形中位线定理求出。E,根据直角三角形的性质求出EE,计算即可.

【解答】解：:。、E分别为45、NC的中点，BC=6,

1

：.DE=~BC=3f

\'AF±CFf

：.ZAFC=90°,

•・・E为力。的中点，AC=3f

1

；・FE=万/。=1.5,

:・DF=DE-FE=15,

故选：A.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

3.如图，△45。的周长为16,G、H分别为AB、/C的中点，分别以43、ZC为斜边向外

作RtZXZDB和RtA4£C,连接。G、GH、EH,则。G+G〃+E7/的值为（）

A.6B.7C.8D.9

11

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=]45,EH=-AC,三

1

角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GH=-BC,然后求出

DG+GH+EH的值为△久吕。的一半.

【解答】解：TG、H分别为4B、4C的中点，和为直角三角形,

11

.9.DG=-ABfEH=~ACf

・・・GH为△48。的中位线，

1

：.GH=-BC,

11

：.DG+GH+EH=~CAB+AC+BC)=~x16=8.

故选：c.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线

平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键.

4.（2024春•大足区期末）如图，在Rtz\N8C中//C8=90°,NN=30。，点。，£分别

1

是边48,NC的中点，延长3C到点凡使C尸=pC,若EF=2,则。E的长为（）

A.2B.1C.V3D.V3+1

1

【分析】连接CD,根据三角形中位线定理得到。£〃8C,DE^-BC,根据平行四边形

的性质求出根据直角三角形斜边上的中线的性质求出根据含30°角的直角三角

形的性质求出5C,进而求出£）£.

【解答】解：连接CD,

;点。，E分别是边48,/C的中点，

是△NBC的中位线，

1

J.DE//BC,DE=~BC,

1

,:CF=]BC,

J.DE//CF,

四边形DEFC为平行四边形，

；.CD=EF=2,

在RtZk4C8中，ZACB=90°，点。是边的中点，

则AB=2CD=4,

在RtZX/CB中，ZACB=90°,ZX=30°,

1

则8C=》45=2,

1

：.DE=~BC^l,

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边

上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键.

5.（2024•金乡县三模）如图，在△/8C中，ZBAC^90°,AD是2C边上的高，E、F分

别是/8、NC边的中点，若/8=8,AC=6,则△。£尸的周长为.

【分析】根据勾股定理求出BC,根据直角三角形斜边上的中线性质求出。E和。R根

据三角形的中位线性质求出防，再求出答案即可.

【解答】解：在RtZi4BC中，由勾股定理得：BC=<AB2+AC2=V82+62=10,

'：AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

:E、尸分别是/3、NC边的中点，AB=S,AC=6,BC=10,

111

:.DE=5AB=4,DF=^AC=3,EF=~BC^5,

：./\DEF的周K=EF+DE+DF=5+4+3=12,

故答案为：12.

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的中位线性质等

知识点，能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键.

6.（2024秋•两江新区校级期末）如图，在△N8C中，CF、8E分别平分//C8和//8C,

过点/作NDLC尸于点。，作/GL2E于点G,若N5=9,/C=8,2C=7,则GD=.

c

【分析】延长ND,交C8的延长线于点尸，延长/G,交5c的延长线于点°,依据等腰