2024-2025学年天津市十二区县高三数学下学期第一次模拟考试试题（含答案）

2024-2025学年天津市十二区县高三数学下学期第一次模拟

考试试题

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将答题卡交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号；

2.本卷共9小题，每小题共5分，共45分。

参考公式：•如果事件/、8互斥,那么P（/UB）=P（/）+P（B）

•柱体的体积公式忆=572,其中S表示柱体的底面积，力表示柱体的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足=贝|z=（）

A.1—iB.1+iC.2—2iD.2+2i

2.已知a,6eR,则“3>同”是“/<〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图是函数/（x）的部分图象，则/（x）的解析式可能为（）

4.已知函数f(x)=\x\—斤，若a=/—,b=flog]—,c=f4，，则a,dc的大

e囚Jl切I)

小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

5.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且54=452，。2〃=2%+1(〃6^^*),则生=()

A.6B.9C.11D.14

6.下列说法正确的是()

A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；

B.根据分类变量X与¥的成对样本数据，计算得到％2=4.712,根据小概率值a=0.05的独立

性检验(％05=3.841),可判断X与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；

C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；

D.若随机变量满足77=3J-2,则。(〃)=3。q)—2.

7.如图是函数f(x)=Ksm^cox+(p)^K>0,<w>0,-y<^?<的部分图象，A是图象的一个

最高点，。是图象与〉轴的交点，8,C是图象与x轴的交点，且。(0,—的面积等于春，

则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的图象关于点对称；

B.函数/(x)的最小正周期为2v；

C.函数/(x)的图象可由y=2sin(2x)的图象向右平移四个单位长度得到;

D.函数/(x)的单调递增区间是k7i--,kn+-,keZ。

8.祖晅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幕势既

同，则积不容异"。这里的“幕”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高

的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖晒原理可以

将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，

其中曲线/0C和BOD均是以2为半径的半圆，平面和平面BOD均垂直于平面ABCD,

用任意平行于帐篷底面48CD的平面截帐簿，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积

计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥

(如图2),从而求得该帐篷的体积为()

22

2

9.己知双曲线G：4—4=1(。〉08〉0)与抛物线C2:y=2px(p>0),抛物线C,的准线过

ab

双曲线G的焦点尸，过点尸作双曲线G的一条渐近线的垂线，垂足为点河，延长厂w与抛物

线。2相交于点N，若而+3砺=4两，则双曲线C］的离心率等于()

A.V3+1B.C.V2D.V2+1

2

第n卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共11小题，共105分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对一个的给3

分，全部答对的给5分。

10.已知集合0={—2,—1,0,1,2},4={0},3={小2+%—2<0}则(")集5=。

1

的展开式中,的系数为_________

-yfx

12.已知圆G：丁+夕2=4与圆C°：/+J?—8x+67+加=0外切，此时直线/:x+>+1=0被

圆C2所截的弦长为。

13.甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中

有3个红球、1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白

球的概率为；掷一枚质地均匀的骰子，如果点数大于等于2,就从甲箱子重随机抽出1

个球；如果点数大于等于3,就从乙箱子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为o

14.在平行四边形45co中，E是线段的中点，点尸满足於=3而，若设切=元=B,

则BF可用a,b表示为；点M是线段AD上一点，且DM=2AM,若BM工BF,

则cosZABC的最大值为。

15.己知函数/（乃="2+|21—"+1］有且仅有2个零点，则实数a的取值范围为。

三、解答题：本大题5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分14分）

已知△48C的内角4瓦。的对边分别为a,6,c，且（2。一百。卜osB=g/?cosC。

（I）求角8的大小；

（II）若c=g,a+b=2,求△48C的面积；

（III）若b=Ca,求sin（2Z+5）。

17.（本小题满分15分）

如图所示，在三棱柱48C—481G中，44］，平面48C，NBAC=90°,AB=AC=A4=2。

。是棱CG的中点，M为棱中点，P是幺。的延长线与4G的延长线的交点。

(I)求证：PB[//平面BDA1；

(II)求直线〃尸与平面AD4所成角的正弦值；

(III)求平面MP4与平面AD%夹角的余弦值。

18.(本小题满分15分)

22(八

已知椭圆£:二+4=l(a〉b〉0)过点1,—，焦距是短半轴长的2百倍，

ab2

\/

(I)求椭圆£的方程；

(II)点/,瓦尸是椭圆£上的三个不同点，线段交x轴于点。(。异于坐标原点。)，且总有

△AQP的面积与丛BQP的面积相等,直线PA,PB分别交x轴于点N两点，求|0Af|-|07V|的

值。

19.(本小题满分15分)

若某类数列｛4｝满足“V〃N2,&〉2,且4WO”则称这个数列｛4｝为“G型

4-1

数列”。

(I)若数列｛4｝满足%=3,%"用=32用，求外,名的值并证明：数列｛%｝是“G型数列”；

(II)若数列｛%｝的各项均为正整数，且％=1,｛4｝为“G型数列"，记bn=%+1，数列也｝

为等比数列，公比q为正整数，当｛4｝不是“G型数列”时，

(i)求数列的通项公式；(ii)求证：£」一＜二,(〃cN*)。

F4+112''

20.(本小题满分16分)

意大利画家达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲

线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数

X.-xX-X

c"x)=eq的图象,定义双曲正弦函数s/z(x)=-；,类比三角函数的性质可得双曲正

弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：ch2(x)-sh2(x)=l,②倍元关系：

sh(2x)=2sh(x)-ch(x)。

(I)求曲线M(x)在x=2处的切线斜率；

(II)若对任意x>0,都有(x-a-1乂sh(x)+ch(x)”2sinx-2(x-a)cosx恒成立，求实数

a的取值范围：

(III)(i)证明：当x>0时，sh(x)>x；

22

shsh

c4n

(ii)证明:H------1—1-,,•+-----；—>27?neN*)

tanl1.12/2+1

tan一tan-tan—

23n

数学参考答案

一、选择题：每小题5分，满分45分

题号123456789

答案BADCBBDDC

二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）

1Q

10.（-1）11,-18912.2A/713.

53

14—4i~

14.-a+-b;——V31J5.12-2)U卜2,2-

3313

三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分14分）

解析：（I）由正弦定理得：（2siib4-V3sinCcosB=A/5sia3cosC,1分

=>2siib4cos5二指sinCcos5+A/5sin5cosC=A^sin(5+C)=岳in?l,

显然sirk4丰0则cosB=——，3分

2

又5e(0.),故3=4分

(II)♦：B=°,C=5

6

a2+3-L2伺

由余弦定理可得cosB=-------~^=—,整理可得/+3=3°,5分

2x[X\万2

又。+6=2,解得a=b=1,6分

L旦分

/.SAABC=-^acsinB=;xlxV^x

24

1

..e.“sin85v2.

(III)由正弦定理得：sin8=V2sz

HL4,贝!JsirU=-—==——,9分

V2V24

,/b=41a,即b〉Q,则5〉4,故A为锐角，

I一分

/.cosA=Vl-sin2^=1-

sin2^=2siiL4cos^=2x—x,11分

cos2Z=2COS2T4-1=2X

+c°s2Zsin2立为+，L包2/4分

/.sin（2Z+B）=sin2/cos.

642428

17.（本小题满分15分）

解析（I）【方法1】在三棱柱NBC—481G中，连接/4口48=£,连接。E,由ZC〃GP,D

是棱eq的中点，得。是NP的中点,

由ABB4为平行四边形，得£为线段/片中点，于是DE//PB],而DEu平面遇（z平

面AE>4，所以「与〃平面3£>4。

【方法2】

在三棱柱48C—44。中，平面45C,

ZBAC=90°,则直线4片,40,2/两两垂直，

以点同为原点，直线44,4cl,//分别为x,八z轴建立空间直角坐标系,

由Z8=ZC=/4=2,得4（0,0,0）,4（2,0,0）,5（2,0,2）,£＞（0,2,1）,^（0,0,2）,

C（0,2,2）,M（l,l,2）,P（0,4,0）2分

设平面皮陷的法向量方=（x/,z）,则还=（2,0,2）,40=（0,2,1）

n-A,B=2x+2z=0/、

_二，令>=1，得万=（2,1,—2）,4分

in-A、D=2y+z=0

西=(2,—4,0)因为两•方=2x2—4+0=0,所以西上万

BDA

又因为Pg(Z平面BDAi,所以尸4〃平面i-

(II)由(I)平面的法向量万=(21,—2),又赤=(—1,3,—2),

MP-n\|-2+3+4|5A/14

则|cos<MP,n>

MP\\n\

5J14

所以直线"P与平面所成角的正弦值为10分

142

(III)设平面必用的一个法向量成=(x,y,2),瓦法=(—1,1,1),*=(—2,4,0),

则4令z=l,的玩=(4,2,1)

丽•A尸二-2x+4y=0

设平面与平面AD4夹角为氏

,\m-n\|8+2-2|8VH、

贝1Jcos。=cos<m,72>|=J­=----=--------,13分

\m\\n\01x363

所以平面儿牛与与平面夹角的余弦值包里.15分

18.(本小题满分15分)

131

-----1------=1

a24b2「，

1—ci~=4

解(I)：设制圆的半焦距c,由题意知2c=2闻，解得1,

,,,,b2=l

椭圆的方程工+/=15分

(II)分析得43两点关于X轴对称，由题意直线尸幺斜率左存在且不为0,

并且纵截距不为0

设直线尸=+加（左wO,加wO）,6分

•小7分

¥2=1

<~T+y一，化简得（1+442）/+86x+4掰2一4=0,8分

y=kx+m

8km

121+4左2

4加2—4

设/（占，％），尸（%2，%）-「》2=1仙,10分

1+4K

A>0

直线AP:=%+”X-％2），11分

马一西

令……）+X2=）+（%+"）%=-2+%%

再（优+冽）+々（kx1+加）2Axi*2+加（再+12）

kx2+m+kxi+mk+x2）+2m

14分

m

所以|（WH（9N|=--——二4A。15分

mk

19.(本小题满分15分)

a2W+1

解析：（I）V^nn+\~3令〃=1，则.*•出=9，

令〃=2,则a2a3~35*,-%=27；2分

由4/用二32用①，当〃22时，％_1%=321②,

由①+②得，当〃》2时，—=9,3分

所以数列{4“}(〃eN*)和数列{的,-}(〃eN*)是等比数列。

因为q=3,a“a“+i=32"+I,所以出=9,

所以出“t=3•9"T=321,=9・9"T=32",因此%=3",

从而，」=3〉2（〃22）,所以数列｛4｝是“G型数列”。6分

an-\

（ID（i）因为数列｛4｝的各项均为正整数，且｛%｝为“G型数列”，

所以，〉2,所以%+i〉2%〉4,因此数列｛%｝递增。又〃=%+1,

%

所以4+1-〃=%+i-%>0，因此也｝递增，所以公比4>1。

又也｝不是“G型数列”，所以存在〃0eN*,使得%<2,所以q<2,8分

%0

又公比q为正整数，所以q=2,又4=q+l=2,

所以〃=2",贝1。10分

,,+12n+1H2n+1,,

(ii)anan+i=(2"—1)(2-1)=2-3x2+1>2-3x2,

因为22"+i—3x2"=4"+2"(2"—3)〉4"(〃N2),所以。必用>4"(〃之2),

所以^^<工(〃22),13分

%%4"')

令时,党

111

不+不+…+不

15分（其他答案酌情给分）

20.（本小题满分16分）

X.—XX—X

解析：(I)解(%)=——-——，则c/z'(x)=七J］分

2

所以M'(2)=e；所以y=M(x)在x=2处的切线斜率为，；2分

(II)令G(x)=(x—Q—l)e'+2(x—Q)cosx—2sinx,贝！J

G'(x)=(x—Q—l)e"+ex+2cosx-2(x-sinx-2cosx

=^x-a^(ex_2sinx)3分

下面证明：对任意x>0,靖-2sinx〉0恒成立

先证明：对任意x>0,靖〉ex。

证明如下：设〃(x)=e'-er,贝iW(x)=e、—e,

当x£(-oo,l)时，n"(x)<0,函数单调递减，

当x£(l,+oo)时，〃'(1)>0,函数单调递增，

故〃⑴=0,故e"2ex,5分

继续证明：对任意x>0,x>sinx。

证明如下:令g(x)=x—siiu,则g'(x)=l—cosx20,

因此g(x)在(0,+oo)上单调递增；所以g(x)=x-siwc>g(0)=0,

故x>sinx7分

当Q«0时，对Vx£(0,+oo),都有G'(x)>0,函数G(x)在(0,+8)上单调递增,

则G(x)>G(0)=—3a—120,解得g；8分

当a>0时，对Vxe(0,a),都有G'(x)<0,对Vxe(a,+oo),都有G'(x)>0,

函数厂(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，

则对Vxe(O,a),都有G(x)<G(O)=—3a—1<0成立，不符合题意，舍去。

综上所述，实数a的取值范围是a<-1。9分

3

X-X

(III)(i)s/z(x)=^--,

令=s/z(x)—x=----x,则/⑴=e----。

所以尸(x)在(0,+00)上单调递增，所以尸(x)=s/z(x)—X〉尸(0)二①(0)—0=0

所以当x〉0时，s%(x)〉x成立；10分

(ii)下面证明：当x>0时，cosx21-工/成立，

2

令H(x)=cosx-l+L/,则/T(x)=—siiu+x

由(II)解答过程，对任意x>0,x>sinx成立,所以〃'(x)=-sinx+x〉0

12

所以〃(x)在(0,+8)上单调递增，所以笈(X)二-cosx—1H—X>0

2

11

所以当X〉0时，COSX>1——X2成立

2

1*11

令％二一,〃21且，可得cos—>1------

nn2n

即cos—>1——！=1——，>1----1-=1-|--一q,

n2n24n24n2-1