2024-2025学年云南省玉溪市高二数学下学期第一次月考试卷（含答案）

2024-2025学年云南省玉溪市高二数学下学期第一次月考试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.

1.已知函数/（"）的导函数为/'⑺，贝。”是“函数/㈤在x=处有极值”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数在极值点处有极值时导数必为0,导数为0不一定有极值判断即可.

【详解】若函数/（"）在A/处有极值，则一定有

反之，若/'（Xo）=°,函数/（X）在“=兀处不一定有极值，

如/在x=0处满足但/CO在x=0处无极值，

所以“/'（%）=°”是“函数/（x）在x=/处有极值”的必要不充分条件.

故选：B

A==2",neN*18==2n,neN*］

2.已知集合eJ,e’，则（）

A.NjBB.B=4C,ACB=0D,A=B

【答案】A

【解析】

【分析】

可根据特殊元素与集合的关系作答.

［详解］A.VncN*,2”为偶数，故故AQ5

B.6eB,6史4,故B错

C.4eB,4eZ,故=0错

D,6€民6任2,故口错

故选：A

3.下列求导运算正确的是（）

A（sinx）=-cosxB.（-e'）'=e，

“1、，1

（In—）=——

C.xxD.（2，）'=2工

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解.

【详解】对于A中，由（smx）=cosx,所以人错误;

对于B中，由所以B错误；

（In与=（-lnx）z=--

对于C中，由％X,所以C正确；

对于D中，由（2、）=21n2,所以D错误.

故选：C.

4.已知｛%＞为等比数列，若%=2,%=6,则&=（）

A.4B,2百c,一2道口.-4

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中项的性质求解即可.

［详解］=2,%=6,

=。4•=2x6=12

*/=%•&〉0

。6〉0

4—2A/3

故选：B

设・208

5,a=log208,/>=0,8,c=2-,则。，b,c大小关系正确的是（)

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】

借助中间量°』进行大小比较即可.

【详解】解：因为函数yTog?”在定义域（°，+8）上单调递增，故"=log2（）.8<log21=0,即:

a<0

因为函数>=88'在夫上单调递减，故0<6=0.82<0.81<1,即：0<6<1,

因为函数>=2,在&上单调递增，故c=2"8>2°=1,则a<6<c.

故选：B

6.抛物线V=一的焦点坐标为（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线方程直接写出焦点坐标.

【详解】根据已知一=y，2夕=1,

（0,7）

所以焦点坐标为4.

故选：A

7,已知向量”（T私2）,向量石=（3,1,〃），满足a//i,则加+〃=（）

19J24J2

A.6B.6c.3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

—1=3左

<m-k

根据题意，设5=届，有12=加，求出加、"的值，计算可得答案.

【详解】解：向量/=（T,m,2）,向量彼=（3,1,〃），

若5//B,设G=kB

—1=3k

<m=k]1

%k=m——

则有〔，则3,则有3,〃=-6,

1，19

m+n=----6=----

则33,

故选：D.

22

C:―^一与=1（。>0,6>0）pp_瓜

8.已知双曲线矿卜的左、右焦点分别为4,4,直线y=03x与「相交

于46两点，若四边形/片即是矩形，则双曲线。的离心率0=（）

A.eB.百C.C+lD.8+1

【答案】D

【解析】

【分析】联立直线歹=瓜与c的方程组，求出弦相长，由|["=|后用|求解即得.

【详解】显然直线了=后与片片交于原点。，由双曲线对称性知，四边形'与朋是矩形，当

且仅当|四|口出五

设点幺(国,必),B(X2,%),而片(-c,0),F2(C,0)

y=\/3x

<x2y2iabab

由〔a-b~得)x=ab,解得信-3〃-yjb2-3a2,

\AB|=Jl+(百4|x,-x|=:融

2

贝U\b—3ci而|公知=2c,c=^a2+b2,

4ab°Z,2,b2b2

2

/22=2c4224(—5-)-6--3=0—r>0

所以“^一3/化简得/—6/62—3/=0,即a2a2,a2

=3+273e=—=J^Y=Jl+^-=si4+2y/3=V3+1

解得。一，双曲线，的离心率e有a\a-V。一

故选：D

【点睛】关键点睛：求椭圆或双曲线离心率，建立a,b,c的齐次关系是解决问题的关键.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，在直三棱柱"C-44。中，口,G,£分别为所在棱的中点，AB=4AF,三棱柱

ABC-挖去两个三棱锥A-EFG,4-BCQ后所得的几何体记为。，则（）

B.。有13条棱

C.。有7个顶点D.平面§G。//平面石厂G

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据几何体的结构特征以及面面平行的判定定理即可得解.

【详解】对于A,由图可知，。有面8CGE,面石尸G,面面8CG,面皮芯4Q,

面OE4GC,面4G。共7个，故A正确；

对于c,。有顶点与°&产,£，4，。1，。共8个，故c错误；

对于B,Q有棱BF,FG,GC,CB,FE,EG,BD,DCI，BCI,CC[,DA],CIA],EA、共]3条棱，故

B正确；

对于D,取中点“，连接S,4",则可得4〃//吗CH"JD,

因为N8=44F,则尸为NH中点，且E为44中点，

则£尸//4〃，即EF//BD,且石尸二平面8。。，RDu平面8°G,

所以昉//平面8°G,

又G为4c中点，所以/G//S//CQ,且尸G.平面"*G,

C'D°BDC1,所以尸G//平面BOG,

且EFcFG=F,EF,FGu平面EFG,所以平面//平面E尸G,故D正确；

故选：ABD

10.已知无穷等差数列｛""｝的前"项和为s〃，Sf,s7>sSj则。

A.在数列｛%｝中，%最大

B.在数列中，生或为最大

C,邑<S]0

D.当〃28时，4<°

【答案】ACD

【解析】

【分析】由条件推得数列公差d<°,故见最大，A项正确，B项错误；对5。与S3作差，化简，

通过举特例否定$3<Eo恒成立；根据S7>Sg推得/<-71,将通项表达式放大，由题设分析即

得.

【详解】设等差数列｛"〃｝的公差为"，由‘6<邑可得：又由$7>58可得：私<0,即

d＜。,故数列｛"'｝单调递减，%最大，即A项正确，B项错误；

对于C项，由Bo—邑=（10%+45"）—（3%+3"）=7%+42"=7（%+6"）=7%,由八项可

知%〉°故4。〉53,故C项正确；

对于D项，由上分析知％+7d＜0,则为＜-7d,故a“=%+（〃_l）d＜（〃_8）d,因d＜0,

〃28,故有％即D项正确.

故选：ACD.

11.如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正

方形，重复上述操作（其中一1=/2=/3）,得到四个小正方形48CQ,记它们的面积分

别为S/,SB，SC，S0,则以下结论正确的是（）

A.

SA+SD=SB+SC

B.SA-SD=SB-SC

Q邑+SQ...2sB

D.SD+SA<2SC

【答案】BC

【解析】

【详解】设Nl=N2=N3=a,最大正方形的边长为1,

小正方形4民的边长分别为名仇G".:。=c°s~a,b=sinacosa

c=sinacosa,d=sin2a

S+S=sin4a+cos4a>2sin2circos2a

AD，

22

SB=Sc=sinacosaSA+SD>2sB

所以C正确；

4444

SASD=sinasina.SBSC=sinasina

所以邑S°=SBSC,所以B正确，

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

_+£=l（a>Q方0）,

12.若直线。b过点Q，2）,则29。+6的最小值为一

【答案】8

【解析】

-1r\

—F2=l（a〉。乡0）—।——1

【分析】由直线。b过点（1/），可得ab,从而有

12

2a+b=(2a+b^—+—

ab,展开后利用基本不等式可求得其最小值

-tr\

—\--=1(Q〉Q0)—।——1

【详解】解：因为直线。b过点U"),所以。b

因为。>。>0

.77、(121个4Q6.14ab_

2a+b=(2a+6)—+—=2H------11-2>4+2J-------=8

所以\ab)ba\ba

4a_b

当且仅当6。，即"=2,6=4时取等号，

所以2a+6的最小值为8

故答案为：8

【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”的条

件，属于基础题

3]

sinCL――atan(»-P)=­/

13.已知5,12',2,则tan(a—77)的值为

_2_

【答案】11

【解析】

【分析】根据三角函数诱导公式及和差公式计算即可得出答案.

•」sina=3,ae信兀,tana-3

【详解】512J4

tan（a—=tan（兀+a—B）=tan[a+（兀-p）]

根据诱导公式得:

tan（7i-p）=—

由正切函数的和差公式，且2,上式可计算得:

tani+tan（兀一0）

tan（a—/7）=tan[a+（兀-P）]=

l-tanatan（7i-p）

_2_

故答案为：11.

[e\x>0

14.已知函数-2x-4x+l,x<0；若函数g（x）=/（x）+日恰好有两个零点，则实数

k等于.

【答案】-e

【解析】

①-小。）

【分析】首先判断°是否为函数的零点，从而得到方程xI）有两个根，令

A（x）=/（x）h⑺=/（X）

X"问题转化为函数"X（"°）与函数歹=一左的图象有两个交点，

利用导数说明“（X）在（°,+"）上的单调性，即可得到“（X）的图象，再数形结合即可得解.

卜工,x>0

TIJQI-v

【详解】因为[-2/—4x+l,xW0,则“0）=1,

对于函数g（x）=/（》）+丘，所以g（°）=/（°）=L显然。不是函数g（x）=/（》）+日的零点，

当Xw0时函数g（x）=/（x）+区恰好有两个零点,

/（X）

左（xwO）有两个根,

所以方程X

心)*

(xw0)

令X

/z(x)（x*°）与函数，=一£的图象有两个交点,

则函数X

exex(x-l)

h(x)h(x)=

2

当x>0时,x，则X

x在（L+00）上为增函数,

所以当x〉l时,/?(%)>0,函数

e'

X在（°』）上为减函数，又〃（l）=e

当0<x<l时，、（x）<0,函数

h(x)=-2x-4+—k(x)——2x—4H—

当x<°时，》,函数X在（-8,0）上为减函数,

由此可得函数”（x）的图象如下:

/（X）

h(x)（X，°）与函数歹二一"的图象恰有两个交点,

当一k=e即后=_e时，函数X

所以比=一e

故答案为：y

三、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.已知在ANBC中，三边生仇°所对的角分别为4民°，已知

cosA+cosScosC=y/3sinBcosC

（1）求0；

（2）若。=2，△ZBC外接圆的直径为生求A48c的面积.

C=-

【答案】⑴3；

⑵2回

【解析】

【分析】利用三角恒等变换和余弦展开式再结合特殊三角函数值可得;

利用正弦定理，余弦定理，三角形面积公式解出即可.

【小问1详解】

因为cos4+cos3cosc=V^sin5cosc,

因为c°sN=-cos（5+C）_sinfisinC—cos3cosc

所以sinBsinC=gsin5cosc,

又sinS/O,贝ijtanC=G,因为°«°，兀），所以3.

【小问2详解】

」一=4厂

由正弦定理，sinC,则c=4sinC=2,3,

「a2+b2-c24+b2-121

由余弦定理，2ab4b2,

解得b=4或b=-2（舍去），

,cS=-absinC=2s/3

故AA8C的面积2.

16.在圆锥心中，高？0=2,母线产/=4,6为底面圆。上异于/的任意一点.

p

B

(1)若过底面圆心。作△P4B所在平面的垂线，垂足为〃求证：平面

OHB：

兀

ZAOB=-.

(2)若3,求二面角8—尸区一0的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

叵

⑵百

【解析】

【分析】(1)先根据线面垂直的性质证明尸°,08,再证明08,平面尸。4,可得尸/,

根据OH工平面PAB,可得OHLPAt再根据线面垂直的判定定理即可得证；

(2)以。原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

因为如为圆锥的高，所以。尸工平面/08,

又08u平面408,所以尸0,08,

又。4_L08,00coz=0,0尸,。4u平面尸0/,所以08_L平面尸0/,

因为尸Zu平面尸。4,所以08,尸幺，

因为。"，平面P45,又尸Zu平面P45,所以

又因为°H(~\OB=O,OH,OBu平面OHB,所以R4_L平面OHB.

【小问2详解】

如图，以。原点，建立空间直角坐标系，

ZA

得0（0,0,0）,2（2百,0,0）8伊,3,0）°（0,0,2）

所以方=626,0,2）方=伊,3,—2）而=（0,0,2）,砺=伊,3,0）

设平面为夕的一个法向量为“=（*，凹，zJ,

AP-n=-2A/5%[+2Z]=0

则[方.云=瓜1+3乂一21°,则可取万=81,3）

因为y轴垂直平面尸。”，

则可取平面弦的一个法向量为阳=（0,1'°）,

一_n-m1V13

cosn.m=]—n-r=~i=——=---

则\n\\m\V13xl13,

叵

故所求二面角6-尸/一°的余弦值为13.

17.已知S”是等差数列卜"｝的前”项和，且4=3,S5=25

（1）求数列｛""｝的通项公式;

neN*,m>—+---1-

（2）若对任意‘-31323”,求加的最小整数值.

【答案】⑴%=21

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可;

（2）根据错位相减法求出和，即可得解.

【小问1详解】

设｛""｝的公差为〃，因为叼=3,§5=25

%+d=3a1=1

所以1"1+1。"=25,解得］"=2

所以4=2"1；

【小问2详解】

an_2n-\

因为4=2〃—1,所以三=下

小%1352n-\

T=--H——H----1-----=1—7H—H-----1--------

令313?3"332333n

一口+—+…+与

所以3"3233343"+i,

马-3"

1222/z-l31⑸J12«-1_22n+2

—I——+…H----

3323"~~13--3^~3--3n+1

1-----

两式相减得3

…-受

所以

----->0TJ

因为3",所以北<1

所以加21,故心的最小整数值为1.

18.已知函数/（x）=""，aeR.

（1）讨论函数/（X）的单调区间；

⑵当”1时，设g（x）=eV（x）+e，+加x（meR）,若g（x）20恒成立，求加的取值范

围.

【答案】（1）答案见解析;

⑵[-e,+co）

【解析】

【分析】（1）根据题意，求导可得了‘（X）,然后分aW0与a>0讨论，即可得到结果；

/、ex（inx-x）

MIV-I—__________________乙

（2）根据题意，分离参数，然后构造函数,x,求导可得"（X）,转化为最值问

题，即可得到结果.

【小问1详解】

4）定义域为（…），八）”『

①当时，/'（x）V0恒成立，/（X）在（°，+"）上单调递减

②当a>0时,

]_

X

［唱a

/(x)—0+

/(x)单调递减单调递增

综上所述，当时，/（"）的单调递减区间为

当。>0时，/⑺的单调递增区间为A/（”）的单调递减区间为1“

【小问2详解】

g(x)=e"(x-lux-1)+ex+mx=ex(x-lnx)+加x20恒成立

(inx-x)，/、(inx-x)

m>一------LA(x)=—------L

所以工恒成立，设工,

h)_e',—X+—e%l-x)_/(1)(…7

则U,

设中)=山-xT,则Ox1x,

当0<x<l时，«x)>°，'(x)递增，当x>l时，«x)<°，,(x)递减,

所以*x）max='⑴=—2<°,所以当x>0时，Inx-X-1<0恒成立,

当0vxvl时，〃（'）>°，〃（、）递增，当X>1时，'递减,

所以心)max=〃(l)=—e,

e"(lnx-x)

m>——-------

由X恒成立得-e,

所以优的取值范围为1一e，+0°）.

、

22

C—=1（Q〉Z7