2024-2025学年浙江省高二数学下学期开学适应性考试检测试题（含答案）

2024-2025学年浙江省高二数学下学期开学适应性考试检测试题

（含答案）

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若复数z满足0+z）z='（i是虚数单位），则z的虚部为

111.1.

A.2B,一5C,2；D.-2；

【答案】A

【解析】

Z

【分析】由0+'）z='得z1+Z.，然后分子分母同时乘以分母的共轨复数可得复数Z,从而可得Z的虚部.

【详解】因为（l+'）z=i,

z-...i..=----z（-l--—-z-）---=i--—----=z--+-1--=1—।—1.i

所以1+i（1+0（1-01一/1+122,

所以复数Z的虚部为万.

故选A.

【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以

分母的共轨复数,转化为乘法运算.

2.平面。的一个法向量点'（一I〉」）在［内，则点尸（丫㈤到平面&的距离为（）

_迪6^/53A

A.20B.2C,5D.10

【答案】C

【解析】

【分析】由点到平面距离的向量法计算.

【详解】4=(-2,0,-2),

n-PA-6_3屈

cos<n,PA>=

桐V5xV8-10

3丽6A/5

d=|cos<n,PA>|=2V2X-----------=----------

所以点尸（L2,3）到平面a的距离为105

故选：C.

3.已知加eR,则“加=-6”是“直线5+2）x一（加一2）y+2=0与3x+加y-1=0平行,，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可;

［详解］因为直线（机+2）》一（机-2）＞+2=0与3x+w—1=0平行，

m（m+2）=-3（m-2）

所以［一心（祖+2）/3X2,解得加=1或加=_6,

所以“加=—6”是“直线（机+2）x—O_2）y+2=0与3x+即-1=0平行”的充分不必要条件.

故选：A.

4.若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的

余弦值为（）

4433

--

A.5B.5C.5D.5

【答案】C

【解析】

【分析】设圆锥的底面半径为乙高为3母线长为/,则球的半径也为人由题意可得

■人W

323求得"=2r,从而可求出母线长，然后利用余弦定理可求得答案

【详解】几何体的轴截面如图所示，设圆锥的底面半径为小高为仙母线长为/,则球的半径也为明

因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，

所以323，得h=2r

所以/=J/+(2<)2=后,

设圆锥的轴截面的顶角为a,则

(V5r)2+(V5r)2-(2r)26r2_3

cosa

IO77"?

故选：C.

5.若数列｛4｝为等差数列，数列也｝为等比数列，则下列不等式一定成立的是()

AI%>a2a3

cA+为4a+&D.^4-b3~b2

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式，结合作差法即可判断AB；根据等比数列的通项公式，建立不等式

4(qT)2(g+i)wo、和小)0+i)wo,解之即可判断CD.

【详解】设数列｛4｝的首项为q,公差为“；数列曲)的首项为公差为外

A：%%-。2a3=%(4+3d)-(%+d)(%+2d)=-2d2KO,所以%%V。2a3,故卜错误

B：由选项A的分析知，为%<4%,故B正确；

C：若4+"-^2+4,贝心4-&一(仇-幻=02(4-4)一(仇-")=4(«-1)(42-1)40

4«0J420

即々(g-l)2(q+l)W0,解得一“1或1,

又因为4、夕的取值范围未知，所以不一定成立，故C错误；

D：若"-4-b3~b2,则为-“+(%-幻=如2(g-l)+4(q-l)=4(g-l)(q2+l)=0

<0也20

解得〔qNi或1qvi,

即4(9一l)(d+1)W0

又因为4、的取值范围未知，所以"—44不一定成立，故D错误.

故选：B

6.下列函数图象中，不可能是函数“x)=X-cosX(aeZ,\a\<2)(

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数解析式，得至ij〔R,都有/(x)=­.cosx>0,可排除以再结合々的取值，可确定ABD

可能取到.

【详解】因为"x)=4cosx(aeZ,|a|<2),

若I'2],则y=x"〉0,cosx〉0,所以0,

故函数"x)=Xj°sx(aeZ,|«|<2)的图象不可能是《

若。=1,则'();'()()'():,所以函数

是奇函数，图象关于原点对称，且当L时，"x)=x.cosx>0；当

“X)=X8SX

%Gk2-，7rJn-+f(X)=X-COSX<0廿用后~Agr~i

J时，J'),其图象与A相同；

若a=2,贝〃(x)=Fcosx,又/(—x)=(-x)Lcos(—x)=/(x),则函数”x)=Y是偶函

数，图象关于了轴对称；当To」时，"x)=x"c°sx>0；当.2'2］时，

2

/(x)=x2.cosx<0,当l2；J时，/(x)=x-cosx>0,所以其图象可能是B选项;

若a=_l,则/(x)=xT，cosx,又/(—x)=(-x),cos(—x)=_xTcosx=_/(x),所以函数

/(X)…COSX为奇函数，其图象关于原点对称；且"°；当〔’2%寸，W,cosx>0

当汽"时,

f(x)=X-1-cosx<0当时，/(x)=x-1-cosx>0

其图象可能

是D选项.

故选：C.

【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于常考题型.

7.已知£,户分别是矩形3磔边欧的中点，沿正将矩形/四翻折成大小为0的二面角.在动点尸

从点£沿线段以'运动到点尸的过程中，记二面角8-4P-C的大小为'，贝ij()

A当&<90。时，sin'先增大后减小

B当。<90。时，sin“先减小后增大

C.当a>90。时，sin'先增大后减小

D.当a>90。时，sin'先减小后增大

【答案】C

【解析】

【分析】根据二面角的定义通过作辅助线，找到二面角的平面角，在RtZ\G"C中表示出tane的值，利

用tan。的值的变化来判断sin。的变化即可.

【详解】当。<90°时，由已知条件得EF1平面FBC,

过点C作OS吗垂足为J过点G作C/LZP,垂足为“，

...CGu平面ESC,EF1cq...CG，平面ABFE,

CC1AP

又...Apu平面ABFE,1，,AP1平面,/.AP_LCH,

则NG〃C为二面角B-AP-C的平面角,

,八CC,

tan0------

在Rt^GHC中，G”,动点户从点£沿线段项运动到点尸的过程中，G"不断减小，则

tan夕不断增大，即sin。不断增大，则A、B错误；

匚

FC

当a>90°时，由已知条件得E/工平面E8C,

过点°作,8”,垂足G在BF的延长线上，过点C作CHVAP垂足在AP延长线上，

...CGu平面FBC，二EF±CQ.CCj±平面&BFE,

又...APu平面ABFE,CCi1AP，,AP1平面，,APA.CH,

则NGHC为二面角B-AP-C的平面角的补角,，即夕=兀一△,

tan〃=±^

在Rt2\G"°中，C】H如下图所示，动点尸从点£沿线段"运动到点户的过程中，G"先变

小后增大，则,an6先变大后变小，sin/?先变大后变小，

sin，=sin（7i-Q）=sin夕，则sin。也是先变大，后变小，则C正确，D错误；

故选：c.

AB

>Z>>0)1

8.的左顶点，过点4且斜率为2的直线，与椭圆C交于另一点

op\为半径的圆在点尸处的切线与£轴交于点a若阳>忸9,

〃(点9在第一象限).以原点。为圆心,

则椭圆C离心率的取值范围是()

A.B.

C.D.7

【答案】B

【解析】

_k>j_

由题意可推得要使pq,只需PB~2,由此设直线力尸方程，并联立椭圆方程，求出点

【分析】

一〃+4"-kPO>-

。坐标,nPQ

进而得到4〃，令,°2,即可得到a,6的不等关系，求得答案.

4121P@,只要/P%―/PA0,只要—kpQ2kp,

【详解】要使A

71

-kpo——

即只要2

y=—(x+a)

...直线/尸方程为：’2'

22

二,匕=1

/b2

j=1（x+a）

联立

12

得尸必+/1（》+。）=a2b2即（1+指卜2+2小+。4_44262=0

a,-4a2b2

222

va+4b__/+4ab

*2——oo

注意到玉=-。为方程（*）的一个根，故~-aa+4b-,

「.一+4皿2,4ab2,]_4加_4-

所以点I。+46a+46可得_a^+—/+4/,

_d+4/

由于阳世，故?。=一一k,

=>2（a2-c2）>a2=>e2<^

,1a1

令*5,得「I"?

即—年

/

所以离心率的取值范围是1

故选：B

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得6分，部分选对的得得部分分,有选错的不得分.

9.在正四棱台4sCO—'4Goi中，AB=2AB=2AA\,则（）

A.直线与G2所成的角为60°

B.平面儿41〃。与平面班1℃的夹角为60°

c.平面。加

D.AA'1平面A'BD

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别取正方形/BCD、正方形44GA的中心°、。1,连接。°1,由正四棱台的几何性质可知

°&'平面/8。。，以点°为坐标原点，直、布、的方向分别为x、V、z的正方向建立空间直

角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】分别取正方形NBC。、正方形,SGA的中心。、a,连接°a,

由正四棱台的几何性质可知0°1,平面46C。，

以点。为坐标原点，DA,万、的方向分别为x、了、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

设48=244=244=4设。。i=〃则'（2，一2,0）

则阳hJ（2R+（-2+iy+〃2=E=2,可得让凡

所以，6（220）、c（—2,2,0）、D（-2,-2,0）与行）G《1,1,忘）行）,

我）皿=（0,一2,0）

对于A选项,

AA/CQ]-2

cosAA,CD

XXX2^22

所以,羽I•西

所以，直线"4与GQ所成的角为60°,A对;

对于B选项,设平面“42。的法向量为叫=a'弘'4）,DA=（4,0,0）,

mx•DA=4玉=0

则［0•而=_/+%+岳I=0,取弘=也，可得叫

设平面网G0的法向量为加2=&,8/2）,C5=（4,o,o）,CG=《,—1,后）

m2,CB=4X2=0

则［加2（G=苫2-%+缶2=0,取必=也，可得加2=G，"1）,

mx-m211

故平面与平面851GC的夹角不是60。，B错；

对于c选项，因为℃=（T1‘正卜'4,且°G、四不共线，所以，OG//N4,

因为z4a平面。加，OGu平面G吗所以，色〃平面G吗c对;

对于D选项，丽=（4,4，。），鬲=（3，1，夜），

则AAX-BD=-4+4=0AAX-DAX=—3+1+2=0

所以AAX_LBDAA{_LA、D

又因为4。、BQu平面4吗所以，N/J平面4助，D对.

故选:ACD.

10.设尸为双曲线C：/—/=2的右焦点，。为坐标原点.若圆/+（）一加y=4交，的右支于力，占两

点，则（）

A.。的焦距为2及B.Q「+3「为定值

C.QI+IM的最大值为4D.E+IS的最小值为2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据双曲线方程求焦距，判断A；根据两个圆的方程联立，利用韦达定理表示+1°用，即

可判断B；并根据基本不等式，即可判断C；根据坐标表示，结合B选项，即可判断D.

22

C:土-匕=1

【详解】双曲线方程22,其中/=〃=2,则。2=/+/=4,所以焦距2c=4,故A错

误；

设/（再，弘），8（》2，%）,

所以\OAf+1。砰=X；+货+X；+只=2+弁+2+£+M2+式，

=4+2（y：+y；）=4+21（%+%）2-2%%..

x2-/=2

<

联立〔一+&-m）2=4,得

2y2—2my+m2—2=0

m2-2

其中"+%=%"2=^,代入（*）

（2—八

网?+|时=4+2m2-2x^——=8

得到（2J（定值），故B正确;

31+|邳师而鸣一当网=阿时，等号成立，故c正确;

附=Jd；="-你+2=12（XT?=V2（x,-l）\FB\=V2（X2-1）

，IRJ

后。,+2+—；+2)2及

所以回+\FB\=42（Xl+X2）-242=

=J?+勇+4+2《y；y；+2。；+y；）+4

_m2-22

由B选项可知，%+“=根，必%=^^,/+黄=（必+%）2-2"2=2

，当加2=2时，取得的最小值6+4J5,

所以上式

则同|+阿的最小值是亚x(2+行＞2行=2,故口正确.

故选：BCD

11.已知数列t"兀1,1,2,1,3,5,1,4,7,10,其中第1项为1,接下来的2项为1,2,接

下来的3项为1,3,5,再接下来的4项为1,4,7,10,依此类推，则()

A.Wo=21

。“（"+1）=/_2〃+2

B.

C.存在正整数如使得%,%出，""2成等比数列

D.有且仅有3个不同的正整数加，加+1，加+2,使得玛+%+1+4+2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意将数列｛1J分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，第〃组：

2〃-1,3〃-2,…,1+（"-.则每组数构成首项为1,公差为（〃-D的等差数列，且项数为n.结合等差数

列的通项公式和前〃项求和公式计算，依次判断选项即可.

【详解】将数列｛%｝分组，第一组：1;第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，

第刀组.L%2〃-1,3〃-2,•••,1+（〃-1）2,

则每组数构成首项为1,公差为（〃一0的等差数列，且项数为〃

A：由21=1+5（5-1）=%。，知”20为数列｛4｝的第六组数中的第5项，故A正确；

1C〃（〃+1）a

1+2+•••+〃=-----an（»+l）c

B：由2,知—为数列的第〃组数中的第〃项，

此时该组数据是以1为首项，（〃一〃为公差的等差数列，

2

a„（„+l）=1+（M-1）（M-1）=M-2M+2

所以F—,故B正确；

C：“，，"%，+1，％"+2为数列｛%，｝中的连续3项：

①若""4+1，金+2为数列｛4｝中第左‘3）组的连续3项，当4“，《”+14+2成等比数列时，

《“，金+1，%“+2为常数列，不符合题意，所以4，4+1，,+2成等差数列;

若a,K，am+i,am+2为数列｛4｝中第k组和第（左+1）组的3项，

②当明在第左组，“”的%+2在第（％+1）组，此时《"+i=l,%，4+1，品+2不成等差和等比数列；

③当°“”盘+1在第左组，%+2在第（左+1）组，此时《，，+2=1,"仇，玛+1，4+2不成等差和等比数列，

综上，“，，，，%，，+1，4，，+2不成等比数列，故c错误;

&*）项,

D：由选项C的分析知，当%，°山+1山加+2为情况①中的3项，设为第左组的％，〃C+1，ac+2

k=4

<

则％+%+能+2=3%=3[1+/-1）司=156,解得[。=17,不符合题意;

当%“，*4+2为情况②中的3项,则册在第k组，“加+1，。加+2在第（k+1）组,

此时％=1,2左+2,4+2=左,所以

am+am+l+am+2=-21+2+1+左=左、一:+3=156

z__l±V609

解得"—2—,又左eN*,所以《无解，不符合题意；

1

当4+i,am+2为情况③中的3项，则%"，％”+1在第左组，%，+2在第(女+D组时,%”+2=,

得l+("l)("2)+l+("l)x("l)+l=156,解得左=10,符合题意.

即分别为第十组的第%第10项，即%=1+9x8=73,%]=1+9x9=82,

有%>+%>+i+"a+2=156,故口正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律，进而分组.本题

将数列分组后，每组数构成首项为1,公差为(〃一”的等差数列，且项数为〃，利用等差数列的通项公式

计算是解题的关键.

非选择题部分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.

1cos48-4cos28+3

tan0=-------------------二

12.若2,则cos46+4cos2e+3

1

【答案】16##0.0625

【解析】

【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可.

cos4。一4cos28+32cos228-l-4cos2e+3_(cos2^-l)2

■工一cos48+4cos28+32cos?29-1+4cos29+3(cos29+1)?

【详解】

1

故答案为：16

13.已知数列｛""｝中，。〃%+1=2”,则%.设数列包｝的前，项的和为邑，则

儿=.

【答案】①.1②.125

【解析】

【分析】

•篦+2_2

根据题中条件，得到出=2,an,则列也”｝的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列，根据

等比数列的求和公式，即可得出结果.

[详解]因为q=L4Al+1=2",

_n+1如=2

所以的=2,an+lan+2=2,贝！j%；

即数列W的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列，

n-1n-\

则当〃为奇数时，%=4,22=22；

〃[n

当为为偶数时，%=4.22=22；

歪一=1

因此为2;

则S]]—(%+%+“5+••・+%])+(%+“4+06+…+"io)

=(1+2+22+...+25)+(2+22+23+...+25)=1+2(2+22+23+...+25)

2(1-25)

=1+2--^------^=125

1-2

故答案为：1;125.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.

兀

/ABD+/CBD=—

14,在三棱锥/一88中，40_L平面BCD,2,BD=BC=2,则三棱锥

A-BCD外接球表面积的最小值为.

(2+275)71

【答案】

【解析】

【分析】设NC80=a,在等腰△BCD中，求得CD,设△BCD的外心是M,外接圆半径是「，由正

1

r二-----

a

cos—

弦定理得2,设外接球球心是°,可得（WD4是直角梯形，设°M=//可得幺。=2〃，把"（

4D）也用々表示，然后可表示出外接球半径尺,利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求

得最小值，从而得球表面积的最小值.

CD=2BCsin-=4sm-

【详解】设NC8O=a，在等腰△8C。中,22

设△BCD的外心是外接圆半径是广,

.a

「「4Asm—

21

2rq=.............-r---------

sina个."aaa

2sin—cos—cos—cos—

则2222

设外接球球心是0，则0M1平面BCD,DMu平面BCD,则OM1DM,

同理AD±DM,

又平面BCD,所以NQ//(W,0MM是直角梯形,

设OM=6,外接球半径为R,即OD=CM=R,

r2+A2=M

则+(ND—〃)2=R2,所以ZD=2〃，

71

/ABD=——a

在直角△/区0中,2NBAD=a

2

tana=----AD=^—h=」一

ADtanataner

22

211cosa2cosa2

R=-------2-------1--------------?-------1--------------------=---------------7-------1--------------------

tanacos2——asinal+cos6r1-cosa1+cosa

2

c/3、

)

cos2a+2-2cosa2(——C0S6Z

=+~~z—

1-cos2a1-cosa

L°sa=//*』)

令2，则22

2t2t

R92=-l+——=-l+-------------

l-(--02-r+3r-

24

2

=T+~

3Y+R

5

t二——

当且仅当4f2时等号成立,

/[^i+Vs_

所以4位?2的最小值是712(2+26)兀.

故答案为：Q+2百）兀

【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选

定一个参数，由已知设NC80=a,其他量都用&表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等

式等求得最小值.考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

厂asinB=bsin4+巴

15.在A/BC中，内角4B,，的对边分别为a,Ac,。=3.2,V3<

（1）求角

（2）作角4的平分线与8C交于点。，且4D=5求b+c.

71

【答案】（1）3

⑵6

【解析】

【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得;

（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b+c=cb,再运用余弦定理解方程即得.

【小问1详解】

(1V31

asinB=bsinA+—sinB-sin4H---cosA一sin4sin3=0

(22

因I3J,、由正弦定理可得:

sin5=0

22

即7

——cosA=—sinA

因5£（0,兀）,故sinBwO则有22即tan/=

A=—

因/e(0,7T),故3.

【小问2详解】

因为/O为角平分线，所以S’DAB+S‘DAC=S“BC,

-ABADsinNDAB+-ACADsmADAC=-ABACsmABAC

所以222

JT7TAB+AC=ABAC

ABAC=-/DAB=ADAC=-,AD=6^44-

因3,6

即+=所以Z?+c=cb

a1~b2+C1-2bccos—=（Z?+c）2-3bc

又由余弦定理可得：3,

把a=3a,6+c=仍分别代入化简得：S+c）2-3（b+c）-18=0,

解得：6+。=6或6+c=-3（舍去），所以6+c=6.

16.若存在常数4,6使得函数*"）与GG）对于给定区间上的任意实数％均有汕+'2G（x）,

则称＞=履+6是＞='（"）与片G（x）的隔离直线.已知函数/O-X+1,

⑴在实数范围内解不等式："x）»g（x）；

（2）当x＞。时，写出一条＞=/（"）与＞=8（"）的隔离直线的方程并证明.

xe-00,—2U（0,+8）

【答案】（1）

（2）y=x,证明见解析

【解析】

【分析】（1）由/（x）=g（"）解得x=l或X5,在同一个平面直角坐标系中作出函数

y=/（》）/=g（x）的图象，结合图形即可求解；

（2）求出/（x），g（x）的图象的交点，设是存在隔离直线函数＞=履+6,可得

y=kx+l-k利用/（x）之丘+6可求出A的值，结合证明g（x）＜x（x＞°）,即可得出结论.

【小问1详解】

2,111

由/（x）=g（x）,即X"+1-5（F）+1,解得x=l或X—2.

在同一个平面直角坐标系中作出函数）=/（乃,、=8（乃的图象，如图，

%<f（1、_/1、

由图可知，当一2时，函数/（X）单调递减，g（x）单调递增，且八一

所以/（x）»g（x）；

当5<“<°时，函数/a）单调递减，g（x）单调递增，且“一5）=抵一5）,

则/（x）<g（x）.

当°<x<i时，函数/*）在（°,5）上单调递减，在上单调递增，

g（x）单调递增，且/⑴=g（l）,所以/（x）»g（x）；

当X>1时，函数/（X）单调递增，g（x）单调递增，且/⑴=g（l）,/（x）»g（x）,

|--D（0,+8）

所以不等式/（x）2g（x）的解集为I2j

一条隔离直线为丁=%.

证明：由（1）知，令/（x）=g（x）,由x>0解得x=l,

当x=l时，/（x）=g（x）=1,即N=/（x）J=g（x）有公共点（1,1）,

设>=/（x）与>=g（x）存在隔离直线函数了=履+6,

则点（口）在隔离直线函数了=依+6上，则左+6=1,即6=1一左,

所以歹=履+1—左；

若当x>0时有/（x）»丘+6,即V_》+12自+（1一k），

贝——（I+%）x+%»°在（°，+8）上恒成立，即（XT）（xTRO,

由于le（O,+8）,故此时只有k=1时上式才成立，则6=1-左=0.

y=g（x）-x=--|x+—|+1<-—x2jx--+1=0

下面证明g（x），x（x>°）,令xj2'x,

即片g（x）-xWO,故g（x）<x,当且仅当"x即》=1时，等号成立，

所以"丘+i,即>=x为片/⑺与>=g（x）的隔离直线函数.

17.如图，正方形4s°。中，边长为4,E为4B中点,尸是边8C上的动点.将VNOE沿QE翻折到

△SDE,ABEF沿EF翻折到ASET7,

（1）求证：平面平面SFD；

（2）设面S4Dc面S8C=/,求证：AD//1.

（3）若BF>1,连接。尸，设直线SE与平面DEE所成角为'，求”的最大值.

【答案】（1）证明见解析；

71

（2）证明见解析；（3）§

【解析】

【分析】（1）由已知S£,SQ,S£_LSE,可得面5y刃，由面面垂直的判定定理可得证；

（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；

（3）设S在面/哥'上的射影为。，则NSEO为直线以'与平面颇所成角设8£=x（l<x<4）,利用

体积法，由匕-DEF=%-质尸求得SO,从而得sin。的表达式，结合换元法及函数的单调性求出'的最大

值.

【小问1详解】

因为/颇是正方形，■■■SE1SD^SE1SF,

又SDcSF=S,S。,S尸<=面5y办.■.5£_1_面5y打

又SEu平面SET"所以平面SEE，平面以〃

【小问2详解】

证明：因为NO//®，40<Z面SBC,BCu面S8C,所以40//面S8C,

又因为面"°C面SBC=/,所以40〃/

【小问3详解】

设S在面亚犷上的射影为°,连接£0,则NS£0为直线空与平面心所成角..

设BF=x(l<x<4)；则CF=4-x.

c=4x4——x4x2——x2xx一;x4x(4一x)=4+x

3DEF22

在AZ)£E中，DS=A,SF=x,£>F=7X2-8X+32

cos3/S2_0-

可得2DSSFx

SAUDRDFr=—2DS,SF,sin/DSF-4A/x—1

4H:L2=(4+x>SO=>SO=业?

K-DEF=^E-DSF

.•・sm”gMH

又SE=2,SEx+4

4

Jx-1=t.tG百］,sin8二

s".-5

tH—

令

g(Z)=Z+y,ZG^),V3)

令

g(%l)—g«2)=4+；—=(%—，2)+~~~~=«「5

h\G)VI^2J第2

当”2£@，8）且时，4—2＜。卬2-5（0臼2）。，则g（Q-g（，2）＞。

可得g（。在（°何

上单调递减,

，.当即》=4时，sin。最大为2,

71

，8最大值为§.

18.已知数列也｝的前〃项和为为满足S〃=2%-2（〃eN）

（1）求数列｛4｝的通项公式；

之？2IM2fl—

⑵记1="；+域+…+片，数列kJ的前〃项和为《，证明："I2心-1

【答案】（1）%=2"

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意，根据%+i=S"+i-S"计算可得%+1=2%,结合等比数列的定义和通项公式即可求

解；

（2）由（1）可得片二’,利用等比数列前〃项求和公式计算求出（，则

2"2"_1^L＞2_______=-（—______—

丁"4"-143x4"-12",根据放缩法可得I才X口吐口丑

结合等比数列前〃项求和公式与裂项相消求和法计算即可证明.

【小问1详解】

・,=S］=2。］—2.a1=2

由S”=2。”-2及Sn+l=2an+i-2

a

得n+\=S"+i-S"=2%+i—2%,即an+l=2an

{%}是以2为首项，2为公比的等比数列,

4=2”

【小问2详解】

4=(2)=4"

1-4一3《1),从而7；44"-1

『葭2"32"1

「4

R<-+

"2

2

a32"32"32"311

——=—X-----------=—X------------------------------->—X-----------------------------------

T44"-14(2"—4(2"-l)(2"+i-1)4(2"—12n+1-1

又

1111111

R>--2+23+...-----------------

412^12-12-1-2-12"-12H+1-12n+1-l

31