2025届苏科版中考数学第三轮冲刺专项练习：几何动态及最值问题（附答案）

【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习

(几何动态及最值问题)

一、单选题

1.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE,将线段CE

绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是()

2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为0(0,0),A(12,0),B(8,

6),C(0,6).动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q

从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒,作AG±PQ

于点G,则AG的最大值为()

A.V73B.—C.—D.6

55

3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(10,0),点P为线段OA上任意一点.在直线y=；x上

取点E,使PO=PE,延长PE到点F,使PA=PF,分别取OE、AF中点M、N,连结MN,则MN

的最小值是()

A.4.8B.5C.5.4D.6

4.如图，等边的边长为1,D,E两点分别在边AB,AC上，CE=DE,则线段CE的最小值为

)

5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8,AD=17,折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为

PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P,Q也随着移动.若限定P,Q分别在边BA,BC上移动,

6.如图，正方形ABCD中，AB=4,E,F分别是边AB,AD上的动点，AE=DF,连接DE,

CF交于点P,过点P作//BC,且=2,若NCBK的度数最大时，贝UBK长为（）

C.2410D.442

7.如图，已知P是半径为3的。A上一点，延长AP到点C,使AC=4,以AC为对角线作口ABCD,

AB=4V3,0A交边AD于点E,当口ABCD面积为最大值时，EP的长为（）

13

A.-HB.HC.-RD.3n

22

8.如图，直线I与。。相切于点A,M是。。上的一个动点，MHXI,垂足为H.若。。的半径为1,

则MA-MH的最大值为（）

9.AD=3.EEF=2.QB=2,AD=3.E,F分别是AD,CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动

点，连接AP,PQ.则AP+PQ的最小值等于（）

10.如图，已知OC的半径为3,圆外一点O满足OC=5点P为。C上一动点，经过点。

的直线/上有两点A、B,且OA=OB,ZAPB=90°,/不经过点C,则AB的最小值（）

A.2B.4C.5D.6

11.如图，^ABC中，ZBAC=45",ZABC=60",AB=4,D是边BC上的一个动点，以AD为直

径画。。分别交AB、AC于点E、F,则弦EF长度的最小值为（）

B

A.V3B.VeC.2V2D.2g

12.如图，已知A,B两点的坐标分别为（8,0）,（0,8）,点C,F分别是直线x=-5和X轴上的

动点，CF=1O，点D是线段CF的中点，连接4D交y轴于点E,当AABE面积取得最小值

时，tan^BAD的值是（）

13.如图，正方形ABCD的边长为1,点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、

D作射线AP的垂线，垂足分别是B\C\D',则BB，+CC+DD，的最小值是（）

A.1B.V2C.V3D.V5

14.如图，正方形ABCD中，AB=2,E是BC中点，CD上有一动点M,连接EM、BM,

将ABEM沿着BM翻折得到4BF/W.连接DF、CF,则DF+^FC的最小值为（）

二、填空题

15.AC=4cm.DO的直径，点C在半。。上，AB=5cm,AC=4cm.D是0上的一个动点，连接AD,

DC

过点C作CELAD于E,连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为

D

E

16.已知点A、B是半径为2的0。上两点，且/BOA=120。，点M是00上一个动

点，点P是人M的中点，连接BP,则BP的最小值是

17.如图，已知在aABC中，AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点，连接MB,以MB、

MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

18.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是A边上一点，且AE=0，点F是边BC上的

任意一点，把4BEF沿EF翻折，点B的对应点为G,连接AG,CG,则四边形AGCD的面积的最小

值为

B

19.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在AD边上，且AE：ED=1：3，动点P从

点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF工PE,交射线BC于点F,设M是线段EF的中

点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为

BC

20.如图，折线AB-BC中，AB=3,BC=5,将折线AB-BC绕点A按逆时针方向旋转，

得到折线AD-DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE,

若CE_LBC,则tan/EDC=°.

21.如图，在平面直角坐标系中，A(1,V3)，B(2,0),C点在x轴上运动，过点0作直线

AC的垂线，垂足为D.当点C在X轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为

22.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边

的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于N,则MN的最

23.如图，已知。。的半径是2,点A,B在。。上，且NAOB=90。，动点C在。。上运动(不与

A,B重合)，点D为线段BC的中点，连接AD,则线段AD的长度最大值是

24.如图所示，等边4ABC的边长为4,点D是BC边上一动点，且CE=BD,连接AD,BE,AD

与BE相交于点P,连接PC.则线段PC的最小值等于

A

25.在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半

轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停

止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为

26.如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且=F为AB边上的一个动点，连

接EF,以EF为底向右侧作等腰直角AEFG，连接CG,则CG的最小值为

27.如图，等边△AOB,点C是边A0所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中,

CD=6,DE=V3，则OF的最小值为

28.如图，在AABC中，AB=10,AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA,

CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是

B\

仆》、

29.如图，在等边AABC中，AB=4,点P是BC边上的动点，点P关于直线AB,AC的对称点分别

为M,N,则线段MN长的取值范围是

三、综合题

30.如图，在口ABCD中，AB=5,BC=10,sinB=1，点P以每秒2个单位长度的速度从点B出

发，沿着B>C~>D->A的方向运动到点A时停止，设点P运动的时间为ts.

(1)连接AC,判断^ABC是否是直角三角形，试说明理由；

(2)在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的0c与AD边相切，求t的值；

(3)在点P出发的同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着CfDfA的方向

运动，当P、Q中的一点到达终点A时，另一点也停止运动.求当BP_1_CQ时t的值.

31.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，

点A落在点/X处，连接AC、BD.

(1)如图1,求证：ZDE4=2/ABE；

(2)如图2,若点4恰好落在BD上，求tan/ABE的值;

(3)若AE=2,求

SAA'CB.

(4)点E在AD边上运动的过程中，Z4cB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段

AE的长；若不存在，请说明理由.

32.在综合与实践课上，老师组织同学们以"三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1,现

有矩形纸片ABCD,AB=8cm,AD=6cm.连接BD,将矩形ABCD沿BD剪开，得至IJ^ABD和^BCE.

保持4ABD位置不变，将4BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为a(0。外

<360°).在4BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.

(1)如图2,将图1中的4BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=；

(2)继续旋转^BCE,当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；

(3)在4BCE旋转过程中，连接AE,AC,当AC=AE时，直接写出此时a的度数及△AEC的面

积.

33.如图，/ABC中，4cB=90°,BC=6,4C=8.点E与点B在AC的同侧，且AE1AC.

(1)如图1,点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y,求y关于x的

函数解析式，写出自变量X的取值范围;

（2）是否存在点E,使APAE与AABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理

由；

（3）如图2,过点B作BD1AE,垂足为D.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为&E.

若点C到0E上点的距离的最小值为8,求0E的半径.

34.如图1,已知：在矩形ABCD中，AB=30cm,AD=9cm,点。从A点出发沿AD以acm/s

的速度移向点D移动，以。为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点。右侧）.同

时点E从C点出发沿CD以&cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF〃BD交BC于F,再把

△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G.若在整过移动过程中4EFG的直角顶点G能与

点M重合.设运动时间为t（0VtV3）秒.

（1）求a的值；

（2）在运动过程中，

①当直线FG与。。相切时，求t的值；

②是否存在某一时刻t,使点G恰好落在。。上（异于点M）?若存在，请写出t的值；若不

存在，请说明理由.

35.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6,0）,点B的坐标为（0,2）,点M从点A

出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度

移动.设移动的时间为t秒.

(1)若点M在线段0A上，试问当t为何值时，4人80与以点0、M、N为顶点的三角形相似?

(2)若直线y=x与4OMN外接圆的另一个交点是点C.

①试说明：当0<t<2时，0M、ON、0C在移动过程满足OM+ON=&0C；

②试探究：当t>2时，OM、ON、0C之间的数量关系是否发生变化，并说明理由.

36.

(1)如图，已知^ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE〃BC,DE=(BC.

(2)利用第(1)题的结论，解决下列问题:

①如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,E、F分别是AB,CD的中点，求证：EF/7BC,FE=|(AD+BC)

②如图，在四边形ABCD中，NA=90。，AB=30,AD=3,点M,N分别在边AB,BC上,

点E,F分别为MN,DN的中点，连接EF,求EF长度的最大值.

37.如图①，在△ABC中，NC=90。，AC=15,BC=20,经过点C的。。与△ABC的每条边都相

交.。。与AC边的另一个公共点为D,与BC边的另一个公共点为E,与AB边的两个公共点分别为

F、G.设00的半径为r.

①盲用图

（1）（操作感知）

根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的。。，并标明相关字母；

（2）（初步探究）

求证：CD2+CE2=4r2；

（3）当r=8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；

（4）（深入研究）

直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大

值，每一个最大值对应的圆心。所形成的路径长为

38.（操作体验）

如图①，已知线段AB和直线I,用直尺和圆规在I上作出所有的点P,使得/APB=30。，如图

②，小明的作图方法如下:

第一步：分别以点A,B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点0;

第二步：连接0A,0B；

第三步：以。为圆心，0A长为半径作。。，交I于匕，P2；

所以图中P],P2即为所求的点.（1）在图②中，连接P]A,P&,说明/AP】B=30。

（方法迁移）

（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得/BPC=45。，（不写做法,

保留作图痕迹）.

BC=2.AB=mCD,BC=2.AB=m,P为AD边上的点，若满足NBPC=45。的点P恰有两个，则m的取

值范围为

（3）已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点，且/BPC=135。，若点P绕点A逆

时针旋转90。到点Q,则PQ的最小值为

39.

（1）如图1,点A在00上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC,

使得点B、C都在00±.

（2）已知矩形ABCD中，AB=4,BC=m.

①如图2,当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF,使得点E

在边BC±,点F在边CD上；

②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF,请直接写出m的取值范围.

40.（概念认识）

若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将

符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.

如图①，点P是锐角^ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在AABC的内部

或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.

A

A

（1）（初步思考）若等边AABC的边长为1,则边BC关联的极限内半圆的半径长为.

（2）如图②，在钝角4ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹,

不写作法）.

（3）（深入研究）如图③，/AOB=30。，点C在射线0B上，0C=6,点Q是射线0A上一动

点.在△QOC中，若边0C关联的极限内半圆的半径为r,当时，求0Q的长的取值范围.

答案解析部分

1.【正确答案】D

2.【正确答案】B

3.【正确答案】A

4.【正确答案】B

5.【正确答案】A

6.【正确答案】A

7.【正确答案】B

8.【正确答案】A

9.【正确答案】C

10.【正确答案】B

H.【正确答案】B

12.【正确答案】D

13.【正确答案】B

14.【正确答案】A

15.【正确答案】413-2

16.【正确答案】47-1

17.【正确答案】等

18.【正确答案】生

2

19.【正确答案】9

20.【正确答案】y

21.【正确答案】V3+1

22.【正确答案】2V5

23.【正确答案】V5+1

24.【正确答案】些

3

25.【正确答案】4+40

26.【正确答案】V2

27.【正确答案】20-3

28.【正确答案】4.8

29.【正确答案】6<MN<4y[3

30.【正确答案】（1）解：假设^ABC是是直角三角形，连接AC,如图,

.,.ZABC*90°

：AB=5,BC=10,

.,.AC=7BC2-商:543

AABC是不是直角二角形;

AB5

；.AE=4,

：.0C与AD相切时,PC=4

①当点P在BC上时,PB=BC-PC=10-4=6,

t=g=3(s)

②当点P在CD上时,PC+BC=10+4=14,

.•.”£=7(s)

③当P在AD上时，PC=4,PD=3,CD=5,PD+DC+CB=18

.•.T=9(S)

，t的值为：3或7或9；

（3）解：易得，点P在BC上或点P在CD上，不存在BP_LCQ,

：.P,Q均在AD上,

当点D与点Q重合时，t=5,

P与点Q重合时，t=7.5

/.AQ=15-t,AP=25-2t(t>7.5)

：BP_LCQ,

：.tan/PBCtan/QCB噫黑=1

44

XtanM=—,tan^QCB=-

.44

''28-2tt-8-

解得，t=10或t=12,

经检验，t=10或t=12均为原方程的根，

.,.当BPJ_CQ时t的值为10或12.

31.【正确答案】(1)证明：由折叠的性质知：ZAEB=ZA'EB,

11

.\ZAEB=-(180--ZA'ED)=90°--ZA'ED,

:四边形ABCD是矩形，

.•.ZA=90°,

/.ZABE=90°-ZAEB=90°-(90°-jZA'ED)=jZA'ED,

.,.ZA'ED=2ZABE；

(2)解：：四边形ABCD是矩形，

；./A=90°,AD=BC=8,

在RtZ^ABD中，根据勾股定理得：BD=V62+82=10,

设AE=x,贝！IDE=AD-AE=8-x,

由折叠的性质知：A'E=AE=x,A'B=AB=6,ZBA'E=ZA=90°,

.•.A'D=BD-A'B=4,

.".ZDA'E=90°,

在RtZ\DA'E中，根据勾股定理得：DE2-人72=人心2=：16,

即(8-X)2-x2=16,

解得：x=3,

.•.AE=3,

在RtAABE中，tanZABE=-=-

AB62

(3)解：过A，作MN_LAD,交AD于M,交BC于N,如图3所示:

B

图3

则MN_LBC,MN=AB=6,ZA'ME=ZBNA'=90°,

.,.ZEA'M+ZA'EM=90o,

由折叠的性质可知：A'E=AE=2,A'B=AB=6,/BA'E=NA=90。,

；./EA'M+/BA'N=90°,

.,.ZA'EM=ZBA'N,

.•.△A'EM^ABA'N,

・AM_A'E_2_1

••——；=,

BNBA63

设A'M=x,则BN=3x,A'N=6-x,

在RtAA'BN中，由勾股定理得：A'N2+BN2=A'B2,

即(6-x)2+(3x)2=62,

解得：x=1.2或x=0(舍去)，

；.A'N=6-1,2=4,8,

，SZ\A'CB=-BCxA'N=-x8x4.8=19.2；

22

(4)解:ZA'CB的度数存在最大值，理由如下：

如图1,过点B作BF_LCA咬CA'的延长线于F,

图1

DCDC

在RtZ\BFC中，sinZA'CB=—=—,

BC8

，BF越大时,sin/A'CB越大,即/A'CB越大，

当点E在边AD上运动时，点A'与F重合时，BF最大=A'B=AB=6,

AA'BXA'C,

.'.ZBA'C=90°,

由折叠知，ZBA'E=ZA=ZD=90°,

...点A,在CE上，如图4所示:

图4

•.•四边形ABCD是矩形，

，/D=NA=90°,CD=AB=6,

根据三角形面积得，SABCE=|BC・AB=jCE・A'B,

VA'B=AB,

；.CE=BC=8,

在RtACDE中，根据勾股定理DE=VCE2-CD2=府彳=2<7，

；.AE=AD-DE=8-2夕.

32.【正确答案】（1）j

（2）解：VBE=BD,BA±DE

.\ZDBA=ZEBA

ZDBA=ZCEB

ZEBA=ZCEB

AEF=FB

设CF=x,则在RtZkBCF中,

（8-x）2=62+x2,

解得x=:

二CF=-

4

（3）60°；ieV3-24或300°,16^3+24.

33.【正确答案】（1）解：:AE_LAC,ZACB=90

；.AE//BC

.AE_AP

VBC=6,AC=8

.：AB=7BC2+AC2=10

：•AE=x,AP=y

.xy

“6~10-y

lOx

•y=(x>o)

x+6

(2)解：VZACB=90,而NPAE与NPEA都是锐角，

・：要使APAE与AABC相似，只有ZEPA=90,

即CE±AB

止匕时AABC-AEAC,贝"二勺，

86

32

/.AE=—

3

故存在点E,使AABC〜AEAP,

此时AE=y

(3)解::•点C必在0E外部，

此时点C到&E上点的距离的最小值为CE-DE.

设AE=x.

①当点E在线段4。上时，ED=6-x,EC=6-x+8=14-x

；.x2+82=(14-x)2

解得：X=y

即。E的半径为%

②当点E在线段AD延长线上时，ED=x-6,EC=x-6+8=x+2,

.：x2+82=(x+2)2

解得：x=15

即0E的半径为9

0E的半径为9或9

34.【正确答案】（1）解：如图1中，当点G在AD上时.

.•.ZBAD=90",

VAB=3V3，AD=9,

-,.tanZBDA=冷竽=[

.\ZADB=30°,

VBC//AD,EF〃BD,

ZCFE=ZCBD=ZADB=30°,

；./FEC=/FEG=60°,

.\ZGED=60°,

VCE=EG=V3t,

在Rt^GED中，DE=-EG=—t,

22

AVst+yt=3V3,

，t=2,

.•.CE=EG=2V3,DE=43,DG=3,AG=6,

:在整过移动过程中4EFG的直角顶点G能与点M重合，

2a+2=6,

.*.a=2cm/s.

(2)解：①如图2中，作GQ_LAD于Q,GR_LCD于R,QG的延长线交BC于P,FG的延长线交

AD于T.

t,

QG=DR=3V3-V3t-yt=3V3-t,在RtAGQT中,

VZTGQ=30°,

222

/.QT=QG.tan30»=3--t,.-.TD=-t-(3--t)=3t-3,

2

竽+3t-3=9,解得t=36-40

15

图4

由OA+DT-OT=AD,可得2t+3t3竽=9,解得t=至浮

综上所述，t=誓s或答s时，直线FG与00相切

②如图5中，当点G在00上时，作GN_LAD,

则DN=|t,ON=DN-OD=|t-(9-2t)=1t-9,NG=手t-3g,0G=2,

VOG2=ON2+NG2,

：.(^t-9)2+(竽t-3/)2=4,

整理得：19t2-90t+104=0/.(t-2)(19t-52)=0,

•••t=或t=2(舍弃)

19

•\t=s时，点G在。。上.

19

35.【正确答案】(1)解：由题意，得OA=6,OB=2.

当0<t<2时，OM=6-3t,ON=t.

若△ABOs/^MNO,贝U丝="，gp—=-.解得t=l.

OMON6-3tt

若△ABOs/^NMO,则黑="，即9=3；.解得t=1.8.

ONOMt6-3t

综上，当t为1或1.8时，△ABO与以点0、M、N为顶点的三角形相似.

(2)解：①当0<t<2时，在ON的延长线的截取ND=OM.

:直线y=x与X轴的夹角为45。*...0C平分NAOB.

AZAOC=ZBOB.

：.CN=CM.

，CN=CM.

又：在。。中/CNO+/CMO=180°,ZDNC+ZCNO=180",

AZCND=ZCMO.

.,.△CND^ACMO.

.".CD=CO,ZDCN=ZOCM.

又；NAOB=90。，；.MN为。。的直径.

，/MCN=90°.

.•.ZOCM+ZOCN=90".

.,.ZDCN+ZOCN=90°,

.,.ZOCD=90",

XVCD=CO,.\OD=V2OC.

.,.ON+ND=V2OC,

.•.OM+ON=V2OC.

②当t>2时，ON-OM=V2OC.

过点C作CD_LOC交ON于点D.

VZCOD=45°,

.1.△CDO为等腰直角三角形，

.".OD=V2OC,

连接MC,NC,

：MN为00的直径，AZMCN=90°,

又：在。。中，ZCMN=ZCNM=45°,；.MC=NC,

XVZOCD=ZMCN=90°,AZDCN=ZOCM,

.,.△CDN^ACOM.ADN=OM,

又；0D=V2OC.,.•.ON-DN=V2OC,

.,.0N-0M=V2OC.

36.【正确答案】（1）解：如下图，延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF,

A

：.AE=CE,AD=BD

在/ADE和Z\CFE中

(AE=CE

I/AED=NCEF

(DE=EF

^AADE^ACFE(SAS)

.\ZA=ZECF,AD=CF

・・.CF〃AB

XVAD=BD

ACF=BD

・・・四边形BCFD是平行四边形

ADF=BC,DE〃BC

VEF=DE

ADE=-DF=-BC

22

；.DE〃BC,DE=jBC

(2)解：①连接AF,并延长AF交BC延长线于点M

NDAF=/M

：F分别是CD的中点

.\DF=FC

/AFD=/MFC

：.八ADFg△MCF(AAS)

：.CM=AD

.".BM=AD+BC

,；E、F分别是AB、CD的中点

，EF〃BC,FE=jBM

，EF〃BC,FE=j(AD+BC)

②解：连接DM

DM最大时，EF最大

与B重合时DM最大

DM=DB=y/AD2+AB2=6

...EF的最大值为3.

37.【正确答案】(1)解：如图①即为所求,

图①

(2)证明：如图②中，连接DE.

VZDCE=90°,

...DE为。。直径,即DE=2r,

；.CD2+CE2=DE2=4r2,