2025届河南省五市高三年级下册第二次联考数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

2025年河南省五市高三第二次联考

数学

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项:

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2

A=\x\x'<1SrA-B,则（）.

1.已知集合I।

AB.-UAuBIGBD.IGAB

设复数z=匕&

2.则z的共轨复数的虚部为（）.

3-4i

2B.一|i2

A.——C.D

5II

…2sin«-costz

3.已知向量a=（3,4）,b=（cos6if,sincif）,若&〃b，则二-----——值为（）.

sina+2costz

33

A.——B.-C.D-I

44~2

i9

4.函数/（x）=log0（xT）+l过定点A,若+=,则一+一的最小值为

mn

（

A.4B.6C.8D.10

5.有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x

表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A:尤+y为偶数，B:xy为偶

数，C:x>2,则下列不正确的是（）

A.；

B.A与8相互独立

C.A与。相互独立D.8与C相互独立

6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知

AB=4，AA=2,现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg,则该“方斗”

可盛米的总质量为（）

B.114kg

C.76kgD.112kg

jrQ

7.在VA3C中，内角A、B、C所对边分别为b、c,若。=—,c2=-ab,则sinA—sin5=()

34

A+3B+厉C+近D

2622

8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A（玉,必）,3（9,必），则A3两点

间的曼哈顿距离d（A,B）=\xi-x2\+\yl-y2\,已知M（4,6）,点N在圆C:必+V+6x+4y=0上运

动,若点P满足或/,尸）=2,贝的最大值为（）

A.73+9B.^1+713

2

C.V145+V13D.7149+713

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列命题正确的是（）.

A.若A3两组成对数据的样本相关系数分别为9=0.97,方=-0.99,则A组数据比3组数据的相关性

较强

B.若样本数据x2,玉,的方差为2，则数据2%-1,2X2-1,...»24一1的方差为8

C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的25%分位数小于

原样本数据的25%分位数

D.某人解答5个问题，答对题数为X，若X5(5,0.6),则E(X)=3

10.己知函数/(x)=cos(%3+2%),则().

A.任意aeR,总有-a)=f(a)B.任意aeR,总有一/(a)<l

C.不存在aeR,使得/(—a)=—/(a)D,若0Wa<bWL则

11.如图，多面体容器ABC-DEF,底面VA3C水平放置，aABD,.BCE,△ACF所在的平面均与

底面VA3C垂直，且四个三角形均是边长为2的等边三角形，下列选项正确的是().

A.EF//AB

B平面AD/，平面ABC

C.经过直线AB的平面截该几何体，截面的最大面积为主叵

4

D,从上面。石尸往该容器注水，当水面是正多边形时(未注满)，注入的水的容积为。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线16y2-9/=144的焦点到其渐近线的距离为.

JT

13.已知扇形。46的半径OA=3,NA03=§,点C在A8(不含端点)上，点。，E分别在半径08,

Q4上，且CD〃Q4,DELOA,贝/CDE的面积的最大值为.

B

14.有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意人张进行翻动,

使其正面朝上，以后每轮都选择左张翻动，使其朝上面发生改变.若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3,

则k的取值集合为.

四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知等比数列｛4｝的前〃项和为％且邑+24+1=26

(1)若Z?=l,求数列｛4｝的通项公式;

(2)若01aan=L%9f.求6.

16.如图，在三棱柱ABC—A4G中，A3J_平面5。。1片，四边形BCG用为菱形.

(1)证明：BjClAC1；

(2)若/43。=60。，AB=4,二面角人一片G的余弦值为巨，求三棱柱ABC—A笈G的体

7

积.

17.已知抛物线C:y2=2px,焦点厂在直线3x—y—3=0上，又动直线/与C的交点为A,B两点，A,B

在了轴同侧，S.OFAF+OFBF-AFBF^-4-

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明直线/经过定点；

(3)直线尤与直线OA,08分别交于M,N,若恒成立，求f的值.

18.已知函数/(x)=(l-x)e*+；必一1,g(x)=(x+l)ln(x+l)-at,其中aeR.

(1)求函数八％)的零点；

(2)/(x)=/(x)+g(x)+|/(x)—g⑸.

(i)用max{相，力表示相，”的最大值，证明：F(x)=2max{/(x),g(x)}；

(ii)是否存在实数。，使得VxeR，E(x)NO恒成立？若存在，求。的取值范围；若不存在，请说明理

由.

19.某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛.在竞赛中，每位参赛

教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题

开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概

率均为每次答题是否答对互不影响.

(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率.

(2)记甲第i次答题所得分数X,(ieN*)数学期望为E(X,).

(i)求E(Xj,E"2),E(X3),并猜想当，时，E(X,)与£(X,T)之间的关系式；

(ii)若£E(XJ〉320,求”的最小值.

1=1

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=\x\x2<BAAD

1.已知集合L,，°RA6,则().

A.-l^BB.C.leBD.IeAB

【答案】C

【解析】

【分析】先计算一元二次不等式得出集合4再根据集合间的关系判断各个选项.

【详解】因为集合4=卜,<1}=(—1,1),且为4口3,

则(—00,-l]o[l,+oo)cB.

所以一-leAoB-IGB，UAnB.

故选：C.

2.设复数z=*2,则z的共辗复数的虚部为（）.

3-4i

2.

D.—1

5

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求解z,再由共轨复数得到虚部.

l+2i_(l+2i)(3+4i)_-5+10i12.

【详解】-------1—1,

3-4i-(3-4i)(3+4i)-2555

122

所以z=—《一《i,其虚部为一《,

故选：A.

3.已知向量4=(3,4),b=(cos%sincr),若々〃6,则空吧二整区的值为().

smcr+2coscr

331i

A.一一B.-C.——D.-

4422

【答案】D

【解析】

4

【分析】根据向量共线的坐标表示可得tana=—,再根据齐次化问题运算求解即可.

3

【详解】因为向量6=(3,4),B=(cosa,sina),a//b>

贝3sina=4cosa,可得tana=一,

2xJ

~,2sino-cosa2tana-131

所以1-----------二--------—二—;----=—

sin。+2cosatan。+2。+22

3

故选：D.

i2

4.函数/(x)=loga(xT)+l过定点A,若+=1,加>o,”>o},则一+一的最小值为

mn

(

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出点A的坐标，进而求出机,〃的关系式，再借助"1"的妙用计算作答.

【详解】当］—1=1,即x=2时，恒有y=l,即y=loga（x—1）+1过定点4（2,1）,

因为+=1,机>0,”>0},所以点A在mx+/y=1上，

则2加+〃=1,且根>0,n>0,

n

工日/日12（12）小x.n痴、71cI4m_

mn\mn）mnvmn

n4Hz1|

当且仅当一二，即〃=2加时取"=由2加十〃=1且〃=2加得：m=—,n=—,

mn42

1112

所以当根=:,〃=大时，一+一取得最小值8.

42mn

故选：C

5.有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用工

表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A:尤+y为偶数，B:xy为偶

数，C:x>2,则下列不正确的是（）

3

A-P（B）=-B.A与8相互独立

C.A与。相互独立D.6与C相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】分别求解各个事件的概率，利用独立事件的乘法公式可判断选项.

【详解】由题意事件A包含两种情况，两次取出的标号都是奇数和都是偶数，

1132

类似可得尸（3）=1—5X5=7,P（c）=-,故A正确；

事件A3表示两次取到的标号都是偶数，所以P（A3）=gxg=；,而P（A6）WP（A）P（6）,所以A与

5不独立，故B错误；

有放回地取球两次，共有基本事件为C：C：=6x6=36j,

121

事件AC表示的基本事件有C；C；=12个，所以「（4。）===；；,

363

由于P（AC）=P（A）P（C）,所以A与C相互独立，故C正确；

1Q1

事件BC表示的基本事件有CC；+C；C；=18个，所以P（3C）=9=G，

362

由于P（6C）=P（6）P（C）,所以3与C相互独立，故D正确；

故选：B.

6.“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知

AB=4,44=2,现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg,则该“方斗”

可盛米的总质量为（）

C.76kgD.112kg

【答案】D

【解析】

、

【分析】设线段AA、BBrCG、的中点分别为4、B>C?D2,利用台体的体积公式计算出棱

台ABC。—4旦G2与棱台A4GR—432c2。2的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.

【详解】设线段44］、BBrCG、的中点分别为4、B-5、D2,如下图所示：

易知四边形至四台为等腰梯形，因为线段A4、8用的中点分别为4、B2,

设棱台-AB2C2D2的高为,体积为匕，

则棱台ABCD-\BXCXDX的高为2h,设其体积为V,

52h

V5656

所以，一=高=二，所以，该“方斗”可盛米的总质量为一x38=112kg.

匕19/z1919

卜

故选：D.

jrQ

7.在VABC中，内角A、B、C所对边分别为。、/?、。，若C=—,=—ab,则sinA-sin3=()

34

A+2B+厉C+近D+石

2622

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦定理化简得出a-b=±Y5c，再利用正弦定理结合连比定理可求得结果.

3

9

【详解】由余弦定理可得片=a2+Z?2-2abcosC=a2+b2-ab--ab,

4

2

2Q^-c,故［一8=±2^。，

所以(a-b)+ab=~ab所以=-ab=-x—c2

v744993

bc

由正弦定理可得二--,可得-----------

sinAsin5sinCsinA-sinBsinC

故sinATinB=FsinC=±*x#=±半

故选：B.

8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A（%,％）,5（%,必），则两点

间的曼哈顿距离d（A5）=归一百+比一，已知“（4,6）,点N在圆C:x?+V+6x+4y=0上运

动,若点P满足或/,尸）=2,贝ij|PN|的最大值为（）

A.7V3+V13B.12^+而

2

c.7145+^D.^/1^+垣

【答案】D

【解析】

【分析】求得圆心C,半径厂=而，设尸(乙)，%)，贝用%―4|+仅o—6|=2,可得点尸的轨迹为正方形,

结合圆的性质，即可求解.

【详解】如图所示，由圆。：必+/+6%+4y=0,可得(x+3y+(y+2)2=13,

则圆心C(—3,—2),半径r=^/13>

设「(毛,%),则民―4|+|%—6|=2,可得点p的轨迹为如下所示的正方形，

其中A(4,8),5(6,6),则[4。|=阿，忸。|=阿，

则|PN|W|AC|+厂=7149+而，所以|PN|的最大值为V149+713.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列命题正确的是().

A.若A8两组成对数据的样本相关系数分别为。=0.97,rB=-0.99,则A组数据比8组数据的相关性

较强

B.若样本数据x2,...»%的方差为2，则数据2%一1,2X2-1,2%一1的方差为8

C.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的25%分位数小于

原样本数据的25%分位数

D.某人解答5个问题，答对题数为X,若X5(5,0.6),则E(X)=3

【答案】BD

【解析】

【分析】由相关系数的意义即可判断A；由方差的性质即可判断B；根据百分位数的定义判断C；由二项

分布均值公式即可判断D.

【详解】对于A,因为以|=0.97<g|=0.99,即A组数据比8组数据的相关性较弱，故A错误；

对于B,若样本数据石,看,…％的方差s1=2,贝擞据2石—1,2%—1,…,2/T的方差s；=2?Y=8,

故B正确；

对于C,将这原来的30个数从小到大排列为生,。2，-，。3°，则30x25%=7.5,所以原来的25%分位数

为外，

若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据为。2，・，出9,贝U28x25%=7,

所以剩下28个数据的25%分位数为七包，由于。1，出，，。30互不相同，则。8<。9，

所以"土巴〉即剩下28个数据的25%分位数大于原样本数据的25%分位数，故C错误；

2

对于D,某人解答5个问题，答对题数为X，若X〜6(5,0.6),则£(X)=5x0.6=3,故D正确.

故选：BD.

10.已知函数/(x)=cos(x3+2%),则().

A.任意aeR,总有f(-a)=f(a)B.任意aeR,总有—

C.不存在aeR,使得/(—a)=—/(a)D.若则/(a)>/0)

【答案】ABD

【解析】

【分析】由函数的奇偶性、单调性，结合余弦函数的值域逐个判断即可.

【详解】对于A,因为-尤)=cos(—d-2x)=cos(x3+2x)=/(%),函数为偶函数，故A正确，

对于B,由余弦函数y=cos//wR的值域为［—1,1］,可知B正确，

对于C,当/+2a=］时，可得：f(«)=cos=0,

jttBt/(-«)=cos(-«3-=cos=0,满足/(-a)=—/(。)，故C错误，

对于D,易知丁=三+2%在［0,1］上单调递增，且ye［0,2］,

由丁=85%在［0,2］上单调递减，可得:

/（无）=cos（%3+2x）在［0,1］单调递减,

又0＜。＜匕＜1,a3+2a＜b3+2b，

所以y（a）＞/3）,D正确，

故选：ABD

11.如图，多面体容器ABC-DE7"底面VABC水平放置，△ABD,BCE,△ACF所在的平面均与

底面VA3C垂直，且四个三角形均是边长为2的等边三角形，下列选项正确的是（）.

A.EF//AB

B.平面ADR，平面ABC

C.经过直线AB的平面截该几何体，截面的最大面积为主叵

4

D,从上面。石尸往该容器注水，当水面是正多边形时（未注满），注入的水的容积为。

【答案】ACD

【解析】

【分析】A分别取线段5cAe的中点G,H,证明四边形EFHG为平行四边形即可；B利用反证法；C分

截面为VABC或△ABD和平面7与平面EC尸或平面DEF相交两类来讨论即可；D先利用相似得出正六

边形的边长，再将体积分为三个棱锥和一个六棱柱的体积.

［详解】对于A,分别取线段BC,AC的中点G,H,连接EG,FH,

因，5CE为边长为2的等边三角形，则EGLBC,EG=6

因平面ESC_L平面ABC,平面石BCc平面ABC=5C,EGu平面EBC,

则EG平面ABC,

同理可得FH，平面ABC,EH=6,则EG〃EH,EG=FH,

则四边形EFHG为平行四边形，则EF//GH,

又因所以石尸〃A5,故A正确；

对于B,若平面A£不，平面ABC,又平面ACFL平面ABC,

平面ACFc平面ADF=A/L则可得平面ABC,

又显然AF不垂直于平面ABC,故假设错误，故B错误；

对于C,设过直线AB的平面为a,平面a与多面体ABC-Z2EF的表面交线为/,

则平面a由平面ABC到平面AB£＞的转动过程中，截面的可能性有：

若截面为VA3C或△A5£),则截面面积为@x2?=6；

4

若平面a与平面ECF或平面DEF相交，

由A选项可知，EF//AB,43.平面后。尸，所u平面EC*，则AB〃平面ECV,

又平面a平面ECF=/,A5u平面a,则A3〃/,则瓦7//,

由于对称性可知，此时截面为等腰梯形，显然当/与所重合时截面面积最大，

因等腰梯形EE钻的上底所=GH=1,下底至=2,腰项=芯4=2,

则等腰梯形EE钻的面积为白叵，故此时截面面积的最大值为当叵；

44

因土叵〉百，故C选项正确；

4

对于D,由A选项可知，EF//AB,又跖4平面ABC,ABu平面ABC，

则昉〃平面ABC,

同理可得。E〃平面ABC,又DEEF=E,DE,EFu平面DEF,

则平面。瓦7/平面ABC,

欲使水面〃KLMN是正多边形，结合对称性可知,

只需MN//BC,NI//EF,初V=NZ即可,

「MNENCNNIMNENCNN1…八，w

因=——,——=——，则nl=——,——=—,则MN=EN,CN=2NI,

BCECECEF2221

422

则CN=2硒，姒CN=—,EN=—,NI=—,

333

6d2百

则S11KLMN=6x

又因EG，平面ABC,且2EG=2叵，则多面体17KLMN—ABC的高为2叵,

333

过点M,L分别作MP//EG//LQ,则四边形LMPQ是面积为正义乙=上旦的矩形,

339

由平面ABC,孙匚平面心同。。，则平面A5CL平面LWP。，

过点3作30,PQ,又平面ABC）平面LMPQ=PQ,30u平面ABC,

则301平面LMPQ,则80为四棱锥3—LMPQ的高，

又等边V3PQ的边长为2,则3。=走，

33

则四棱锥3—LMPQ的体积为％=」义迪＞＜走=色，

D—LMrt239327

因多面体"KLMN-ABC去掉三个体积相等的四棱锥后，剩余的部分为直六棱柱，

则该部分体积为SI]KLMN义正=正义正=+,

1JI\.L,lVlly3333

4416

故多面体"KLWN—ABC的体积为一+3x—=一，故D正确.

3279

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线16y2—9/=144的焦点到其渐近线的距离为

【答案】4

【解析】

【分析】先求出标准方程，再由点到直线的距离公式求解即可.

【详解】双曲线的标准方程为匕—上=1，可知Q=3,6=4,o=必奇=5,

916

由双曲线的对称性，不妨取上焦点鸟（0,5）与其中一条渐近线y=即3x—4y=0,

_,20

再由点到直线的距离公式可知焦点到其渐近线的距离d==4,

&6+9

故答案为：4.

JT

13.已知扇形。48半径。4=3,=点C在A8（不含端点）上，点。，E分别在半径08,

上，且CD〃Q4,DELOA,贝hCDE的面积的最大值为.

【解析】

【分析】这道题考查的是二倍角公式、辅助角公式与求三角形面积的结合，具体过程见详解.

【详解】如图，连接OC,过点C作。4的垂线，垂足为C',设NCQ4=。，则可知CDEC'为矩形，有

OC=3,DE=CC^3sin（7，（9C=3cosq,

又因为NAQ3=1,DE=3sinq,所以OE=6sin/C。=OC-OE=3cos^-石sin4

11Q

=—xCDxDE=耳x(3cos0-6sin夕)x3sin8=5(3sin8cos0-百sin20

Q.CDE

由二倍角公式可知

3sinqcos^=gsin%,百sii?q二道.力cos%,故

lflsin20+Tcos2^T-[-sin20+—cos2^-—,

°.CDE2224

由辅助角公式可知

-[-sin2^+—cos2^=—f—sin2^+-cos2d]=—sin129+三],

2(22J2^22J26J

又点C在A3（不含端点）上，所以0,。

故当夕=工时，CD石的面积的最大值为空一型=迪,

6244

故答案为：巫或，瓜

44

14.有9张卡片反面朝上一字排开放在桌面上，现在进行如下操作：第一轮选择其中的任意左张进行翻动,

使其正面朝上，以后每轮都选择左张翻动，使其朝上面发生改变.若使其正面全部朝上的最少翻动轮数是3,

则k的取值集合为.

【答案】{3,5,7}

【解析】

【分析】由题意，每张卡片需要翻动奇数次才能最终正面朝上，得到总翻动的次数之和为9个奇数之和为

奇数，得到左为奇数，分左=3,k=5,k=7,k=9,四种情况讨论，即可求解.

【详解】由题意，每张卡片需要翻动奇数次才能最终正面朝上，

则总翻动的次数之和为9个奇数之和为奇数，所以总翻动次数为3左为奇数，即左为奇数，

当左=3时，可分三组翻动前三张、中间三张、后三张，每张被翻动1次，

此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意；

当左=5时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动15,第二轮翻动37,第三轮翻动

3、4、5、8、9）,此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意；

当左=7时，合理选择三轮翻动的5张卡片组合（如：第一轮翻动17,第二轮翻动39,第三轮翻动3

-7）,此时9张卡片的正面全部朝上，符合题意；

当左=9时，三轮翻动后，此时9张卡片的正面全部朝下，不符合题意，

所以左的取值集合为｛3,5,7｝.

故答案为：｛3,5,7).

四、解答题：本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.己知等比数列｛%｝前w项和为S”，且S,+2a“+i=2。.

⑴若b=l,求数列｛4｝的通项公式；

(2)若%他a„=«1<a2L%9f.求6.

【答案】(1)

(2)6=512.

【解析】

【分析】(1)通过〃=1，〃=2得到方程，联立求解即可；

1919

(2)法一：通过“(一或一<〃<19结合通项公式化简求解即可,法二：原式化为

22

(1x1+2++(耳—1)(1、1+2+-+(18—nj

|=aj9-"-1化简求解即可.

【小问1详解】

设等比数列｛卬｝的公比为q,

由题意知：当”=1时：+2axq=2b①

2

当〃=2时：a；+axq+2a^q=2b②

联立①②，解得q=b,q=g

因为z，=l,所以数列｛a“｝的通项公式％.

【小问2详解】

由(1)知?.

19—

方法一：故当19一〃>〃，n<一时，原式可化为

2

4+14+2L=1.

因为〃〃+1〃19f=%+2〃18-〃=L=a9a11=Q]0，所以4+4+2L019f—%o=1；

所以〃10=1.

19

a191

同理当19一〃<〃，即万<〃<19时，原式可化为。20-%~L%=io~='

所以〃10=1.

所以力1,解得Z?=512.

1+2+1+2++(18-n)

方法二：原式可化为

n(n-l)(19-n)(18-n)

2_“19-"-'2

即—CLi

219

z[X18/2-9x19、〃一

即=1,b-=1.

87

所以力1,解得人=512.

16.如图，在三棱柱ABC—44G中，ABJ_平面3。£四，四边形3CG用为菱形.

(1)证明：BjCIAC,；

(2)若NBjBC=60。,AB=4,二面角人一旦孰一3的余弦值为YU,求三棱柱ABC—A笈G的体

7

积.

【答案】(1)证明见解析

⑵166

【解析】

【分析】（1）利用菱形对角线垂直，再结合已知中线面垂直，可通过证明线面垂直来证明线线垂直;

（2）可利用空间向量法来求二面角的大小，再通过方程可求出边长及三棱柱的体积.

【小问1详解】

因为四边形BCG与为菱形，所以用

因为平面3CC1与，及Cu平面BCC4,所以A5,51C.

又因为ABu平面ABC-BGu平面ABC】，ABIBC^B,

所以旦CL平面ABC1.

因为AGu平面ABCr所以5C，AG.

【小问2详解】

方法一：因为/与3。=60。，所以一旦是等边三角形，

取5c中点连接吕加，则用耳G，

以用为坐标原点，分别以与M,Bg,4片所在的直线为无轴，y轴和z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示.

设BB]=a,则4（0,0,0）,Q（0,a,0）.

所以用A=,4,4G=（O,a,O）.

m-B,A=0

设平面AB|G的法向量为772=（尤,y,z）,贝卜

B]C]=0

6aa.八

即＜2%~2y+z—,令x=l,得tn=

ay=O

由条件知4A=(o,o,4)为平面4GB的一个法向量.

设二面角A-四。1-3的平面角为凡易知夕为锐角.

।6a

力耳用FV21

因为三棱柱ABC—的高为与闻，且B[M=2#),

所以其体积眼=?4x4x2凤16技

方法二：因为N5|BC=60。，所以N53iG=120。.

过8做8。，用G交GA的延长线于O,连接AO,

因为A3,BC，所以与G，面A3O,所以4。，用£,

所以NAOB是二面角A-B^-B的平面角.

所以cosNAO3=叵，所以tanNAO3=2叵，即殁=2叵，

73OB3

因为AB=4,所以05=26.

在，8。片中，解得BB]=4.

又301平面AgG，所以三棱柱ABC-44cl的高为OB,

所以其体积VFiTx4x4x2G=16H

17.已知抛物线C:/=2px,焦点厂在直线3x—y—3=0上，又动直线/与C的交点为A,8两点，A,B

在x轴同侧，且+—

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明直线/经过定点；

(3)直线尤=《/片。)与直线。4,。8分别交于M,N,若AN〃氏W恒成立，求f的值.

【答案】(1)/=4%

(2)证明见解析(3)/=±1

【解析】

【分析】(1)根据题意可得代入直线3x—y—3=。运算求解即可；

(2)设直线/的方程为x=：政+”,联立方程可得韦达定理，根据向量的坐标运算或数量积的运算律可得

+%%=5，结合韦达定理运算求解即可；

(4八(4/)

(3)可得Mt,一,Nt—•方法一：分析可知上3=心用，结合斜率公式分析求解即可；方法二：根

IyjIy2J

据几何性质分析可知=t2，结合韦达定理运算求解.

【小问1详解】

对于抛物线V=2px,其焦点坐标

因为焦点/在直线3x—y—3=0上，

所以3x2—0—3=0,解得p=2.

2

所以抛物线C的方程为/=4x.

【小问2详解】

设直线/的方程为》=冲+〃，4(%,%),B(x2,y2).

x=my+n,.

联立《2，把工=阳+”代入y=4x得K_4nzy_4"=0,

y=4x

所以A=16m2+16〃>0，%+为=4<，%%=-4”.

因为A,8在无轴同侧，所以=-4”〉0,所以〃<0.

方法一：因为歹(1,0),则处=(1,0)，AF=(l-A1,-y1),BF=(l-x2,-y2),

所以OF-AF+OF-BF-AF-BF=(1—尤］)+(1—尤2)一［1—(尤i+尤2)+*i/+］

=1一%％2一=—4,

即%1%2+%%=5.

2222

又因为X]五，则亚+%%-5=0,

416-12

即〃2—4〃—5=0，解得〃=—1或〃=5（舍去），所以〃=—1.

所以直线/的方程为%=冲—1,恒过定点（—1,0）.

方法二：因为0尸4尸+0/.3/一4歹.3歹=4斤（0尸一3尸）一0尸（0尸一3厂）+0/2

=^AF-OF^OF-BF^+l=l-OAOB=l-x1x2-yly2,

所以1一%々一%%=—4，所以=5.

2222

又因为X]=A区，则至之+当3―5=0,

416-2

即〃2—4〃—5=0，解得〃=—1或〃=5（舍去），所以〃=—1.

所以直线/的方程为了=切—1,恒过定点(—1,0).

【小问3详解】