2025北京初三一模数学汇编：圆解答题（第24题）

2025北京初三一模数学汇编

圆解答题（第24题）

一、解答题

1.（2025北京平谷初三一模）脂肪氧化率（单位：g/min）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪

产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果.脂肪氧化率与运动强度（单位％VO,max）密切

相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据：

运动强度（%VO2max）455055606570758085

脂肪氧化率（g/min）0.010.360.520.590.60m0.500.390.22

f肮舫氧化率（gmin）

2史较笃的也&委舱炎一虬：运动强M%VOg）

（1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为x,脂肪氧化率为是x的函数.在如图建立的平面直

角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象：

（2）结合函数图象，解决问题：

①加的值约为（精确到小数点后两位）；

②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为（精确到整数位）；

③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：

“运动强度

100

<M)

M)

70

60

50

40

30

20

。246810121416M动速4（knvb）

则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到

以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）.

2.（2025北京初三一模）如图，48是。的直径，AC=EC，过点3作《。的切线，交AE的延长线于点

D,连接2C交AE于点

D

£

F

(1)求证：ZBAC=ZAFC；

(2)若CF=1,BF=2,求8D的长.

3.(2025北京海淀初三一模)如图，是>。的直径，AC是弦，。是AB的中点，。与A3交于点

E,尸是延长线上的一点，且CP=EF.

⑴求证：C歹为。。的切线；

(2)连接2£>,取3。的中点G,连接AG.若C尸=4,tanZB£)C=1,求AG的长.

4.(2025北京海淀初三一模)如图，在VABC中，ZABC=90°,以A3为直径作(。交AC于点。.点E

在线段AQ上，DE=CD.连接BE并延长交(。于下.

⑴求证：NCBE=2NBAC；

(2)连接8交M于点G.若EF=2EG,CD=3,求。的半径.

5.(2025北京房山初三一模)如图，AB是直径，点。是。上一点，DC是，。切线，连接CO交

AD于点E,ZDCO=2ZDAB.

c

(1)求证：CO_LAB；

(2)若AE=W，tanZDAB=1,求AD的长.

6.(2025北京通州初三一模)如图，。是VABC的外接圆，A3是，。的直径，点。是C2的中点，连接

AD,OD,分别与CB交于点瓦尸.

⑴求证：AC//OD；

r)p1

⑵过点8作：，。的切线交OD的延长线于点G.若爷=：,DG=3,求Q半径的长.

AE2

7.(2025北京大兴初三一模)如图，VABC内接于<。，ZABC=45°,过点A作。的切线交延长线

于点。，CE是。的直径.

⑴求证：CE//AD；

324

(2)^BC=—,cos£>=m，求AZ)的长.

8.(2025北京初三一模)如图，43是。的直径，BD与。相切于8,C为：O上点，OD1BC,

OD与。相交于点E,AE交CB于F.

⑴求证：CD与二。相切；

（2）AF=3,EF=1,求CP的长.

9.（2025北京西城初三一模）如图，A5是Q的直径，点C在上，连接OC,作直线CELOC,交

直线48于点E,交—3OC的角平分线于点。，连接80.

CF1

⑵连接A£＞交OC于点?若k=7，BD=1,求。的半径.

（Jb2

10.（2025北京朝阳初三一模）如图，VABC是：。的内接三角形，/ACB=45。，点尸在的延长线

（1）求证：是：。的切线；

（2）若黑=＜，PB=M，求。半径的长.

11.（2025北京石景山初三一模）如图，是。的直径，点C在。上，OD〃BC交。于点。，过点

。作。的切线交CB的延长线于点E.

3

⑵过点B作交DE于点若tanA=—,DM=10,求，。半径的长.

4

12.（2025北京初三一模）如图，已知VABC中BC为。中的直径，AC交［。于点。，E为DC的中

点，连接EO并延长交（。于点F,交A8的延长线于点G,ZG=ZC.

G

⑴求证：AB为。的切线；

（2）连接ED交5。于点若引":ME>=3:4,AB=6,求3G的值.

13.（2025北京丰台初三一模）如图，AB,C。是。的直径，点E在）。上，连接OE交AB于点尸，连

接AE交8于点GZCDE=\ZAOC.

2

⑴求证：CDLAE-,

⑵过点。作。的切线交旗的延长线于点乩若黑［，AE*,求明的长.

参考答案

1.⑴见详解

（2）①0.55②51Vx<79③8

【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关

键.

（1）先逐个描点，再依次连接，即可作答.

（2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答.

②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答.

③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为0.60,此时对应的运动强度为65,则运动

强度为65所对的运动速度为8千米/小时左右，即可作答.

【详解】（1）解：如图所示：

①加的值约为0.55,

故答案为：0.55；

②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为51Vx<79（精确到整数位）;

故答案为：51cx<79；

③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：

则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为0.60,此时对应的运动强度为65,

则观察上表，运动强度为65所对的运动速度为8千米/小时左右，

即跑步的速度应控制在8千米/小时左右.

故答案为：8

2.⑴见解析

(2)2

【分析】(1)等弧所对的圆周角相等，得到/CB4=NC4E,直径，得至l|NACB=90°,根据等角的余角相

等，即可得证；

(2)证明求出AC的长，勾股定理求出的长，三角函数，推出/r仍=30。，切线得

到？90?,解直角三角形A5D,求出8。的长即可.

【详解】(1)证明：：AC=EC，

/CBA=/CAE,

：A5是1。的直径，

ZACB=90°,

：.NCBA+ABAC=90°,ZCAE+ZAFC=90°,

NBAC=ZAFC；

(2)'：ABAC=ZAFC,ZBCA=ZFCA=9Q°,

•*.Z\AFCs/\BAC,

•CFAC

,,AC-BC)

AC2=CFBC=CF\CF+BF)=lx3=3,

••AC=y/3(负值舍去)；

•*-AB=VAC2+BC2=2A/3，

..AC1

・・sin/CBA==—,

AB2

・•.ZCBA=30°,

.・・ABAC=60°,ZCAF=ZCBA=30°,

：.ABAD=30°,

•・•过点3作。的切线，交A石的延长线于点O,

:・?ABD90?,

/.BD=AB-tan30°=2岳3=2.

3

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌

握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

3.⑴见解析

(2)|Vio

【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运

用以上知识是解题的关键.

（1）连接oc,OD.由NOCD=NODC,FC=FE,可得NOED=NFCE,由A3是。的直径，。是

A8的中点，ZDOE=90°,进而可得NOCF=90。，即可证明CB为,：。的切线；

（2）连接BC,过G作垂足为//.利用相似三角形的性质求出3R=2,设O的半径为「，

则Ob=r+2.在RtOCF中，勾股定理求得r=3,证明G"〃OO,得出BHG^BOD,根据

黑=黑，求得BH,GH,进而求得A”，根据勾股定理即可求得AG•

BOBu

【详解】（1）证明：如图，连接OC,OD.

■:OC=OD,

:.ZOCD=ZODC.

;FC=FE,

：.ZFCE=ZFEC.

■:/OED=/FEC,

：.ZOED=ZFCE,

,「A3是。的直径，。是A3的中点，则

：.ZDOE=90°.

：.ZOED-^-ZODC=90°.

JZFCE+ZOCD=90°,即ZOCF=90°.

:.OC1CF.

：・CF为。的切线.

(2)解：如图，连接3C,过G作垂足为H.

丁AB是。的直径,

JZACS=90。，

：.^OBC+^FAC=90°,

,:OC=OB,

:.NOBC=NOCB,

■:ZFCO=ZFCB+ZOCB=90°,

:.ZFCB=ZFAC,

*.*ZF=ZF,

：._FCBsFAC,

.FCBCFCFB

**7^-AC?FA-FC，

Bei

*.*CF=4,tanZBDC=tanABAC==—,

AC2

JAF=8f

4FB

/.-=—，解得尸5=2,

84

设。。的半径为小则AF=2r+2=8.

解之得r=3.

*：GH±AB,

：./GHB=90。.

VZZ)OE=90o,

:./GHB=/DOE.

：.GH//DO,

BHGsBOD

.BHBG

**BO-BF*

:G为BD中点,

BG=-BD.

2

1313

：.BH=-BO=-,GH=-OD=-.

2222

39

：.AH=AB-BH=6——=—.

22

AG=JG”2+A*=C|)=|皿

4.(1)见解析

⑵3石

【分析】(1)连接30,设/54C=c,先证明BDLCE,然后根据垂直平分线的性质定理证明BC=3E,

再逐步求得NCBE=2a,即得答案；

(2)连接AF,先证明/DGE=90。，接着证明。D〃AF,即得△OBGs^AB厂和DGE^AFE,从而

可得OG=DG,继续证明，03。是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案.

【详解】(1)证明：如图，连接50,设NBAC=a,

AB是；。的直径，

:.ZADB=90°,

s.BDLCE,

CD=DE,

/.BC=BE,

.\ZBEC=ZC,

ZABC=90°,

.•.NC=90。—NS4c=90。—a,

:.ZBEC=90°-a,

ZCBE=180°-ZC-/BEC=180。一(90。-a)-(90°-a)=2a,

:.ZCBE=2ZBAC；

c

(2)解：如图，连接AF,

，•由(1)可得NC3E=2a,ZABC=90°,

\ZABE=ZABC-ZCBE=90°-2a,

ABAC=cc,

"BOD=2/BAC=2a,

,./DGE=/BGO=94。,

AB是。的直径，

.ZF=90°,

./F=/BGO,

.OD//AF,

△OBGsaABF,

OGOB1

'AF~AB~2"

.OD//AF,

.DGEs_AFE,

DGEG

'AF~EFf

EF=2EG,

DG1

••一，

AF2

\OG=DG,

NBGO=90。,

:.DB=OB,

OB=OD,

DB=OB=OD,

.•.△03。是等边三角形，

:./ODB=60°,

:.ADBE=3Q0,

DE=CD=3,NBDE=90。,

:.BE=2DE=6,

BD=飞BE?-DE。=>/62-32=373，

OB=3下!，

即:，。的半径为36.

C

【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合性问题，垂直平分线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的

判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

5.⑴见解析

⑵缙

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关

键.

(1)切线的性质，得到ODLCD,进而得到NCOD+N£)CO=90。，圆周角定理结合已知条件推出

ZCOD+ZDOB=90°,进而得到/fiOC=90。，即可；

(2)解RtZkOAE,求出。AOE的长，进而求出A3的长，连接80,圆周角定理得到NAC®=90。，根据

cosZOAB=—=—=求出AD的长即可.

ABAE10

【详解】(1)证明：是O切线,

：.OD±CD,

：.ZCOD+ZDCO=90°,

VZDOB=2ZDAB,ZDCO=2ZDAB,

:・/DCO=/DOB,

：.NCOD+NDOB=900,

：.ZB。。=90。，

CO±AB；

(2)VCOLAB,

：.NAOE=90。，

OPi

AtanZZ)AB=——=—,

OA3

JOA=3OE,

・•・AE=S#+OE2=MOE=®，

/.OE=1,

・・・OA=3,

AB=2OA=6,

连接5。，贝J：NAZ汨=90。,

AnOA3V10

cosADAB=——

ABAE10

①6=9回

105

(2)3

【分析】(1)证明NC4D=ND4B和NAr>O=Nn43,得到/C4D=/ADO,即可得到结论；

DFDF1

(2)证明」ACEs。尸石，得到—=—=—,^DF=x,AC=2x,得到AC=2O尸=2x,则

ACAE2

OB=OD=2x,由cos/GO8=^=堡即可求出答案.

OGOB

【详解】(1)证明：：点。是CB的中点，

.­.OD=ZB，

...ZCAD=ZDAB.

9

：OA=ODf

..ZADO=ZDAB.

.\ZCAD=ZADO.

\AC//OD.

（2）解：如图,

■:AC//OD,

..ACEsDFE,

.DF_DE_1

,AC~AE~29

设DF=x,AC=2x,

〈AB是)。的直径，

.\ZACB=90°,

'/AC//OD,

.•.O£)_LCB于点F,

:.CF=FB,

.•.O/是八4。5的中位线,

AC=2OF=2xt

/.OB=OD=2x,

•；BG是。的切线，

ZGBO=90°f

“GOB4OF

OGOB

'：DG=3,

2xx

=—,2,x=3,

2x+32x

。半径的长为3.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位

线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

7.（1）见解析

（2）—

3

【分析】（1）连接A0并延长，交（0于点孔连接。尸，利用切线的性质定理得到442）=90。，利用圆周

角定理得到？FOC90?,再利用平行线的判定定理解答即可；

（2）连接。4,EB,过点。作CFLAD于点R利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理求得

EC,利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判定与性质得到

AF=FC=OA=4,利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得。尸，则结论可求.

【详解】（1）证明：连接AO并延长，交：。于点F连接C7"如图，

则w为。的直径，

•・,AD为。的切线，

：.OA±ADf

：.NEW=90。，

VZAFC=ZABC,ZABC=45°,

：.ZAFC=45°.

'：OA=OF,

：.ZOFC=ZOCF=45°,

：.?FOC90?,

JZFOC=ZFAD,

：.CE//AD；

(2)解：连接OAEB,过点。作AD于点忆如图,

・.•CE//AD,

:.ZECB=ZD,

4

cosZ.ECB=cosND=—.

5

•；CE是。的直径，

JZEBC=90°f

cosZECB=-=-,

CE5

32

•・・BC=y,

32

・・・瓦旦

CE-5

・・・CE=8,

OC=OA=OE=4f

•・•ZAOC=2ZABC=90。，OA±AD,CF±ADf

・•・四边形Q4FC为矩形，

9：OA=OC,

・•・四边形Q4FC为正方形，

AF=FC=OA=4f

4DF

*.*cosD=—,cosD=----,

5CD

・

••DF二_4一,

CD5

^DF=4k,贝UCD=5k,

CFACU—DF?=3左=4,

，AD=DF+AF=—.

3

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角

三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形与正方形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

8.(1)见详解

⑵w

【分析】(1)首先证明OD是线段BC的垂直平分线，推出DC=E>3,推出ZDCB=ZDBC,由OC=QB,

推出NOCfi=NO3C,推出=+==由。3是切线，推出

OBA.BD,推出NDBO=90。，推出/DCO=90。，即可解决问题；

(2)由ACFsEHF,得工=——=——=3,设EH二a,则AC=3a,OH=-a,AB=5a,

EHFHEF2

13

BC=4afCH=BH=2a,FH=-a,CF=-a,在Rt△及H中，根据砂？=收?十七”2,列出方程即可

解决问题.

【详解】（1）证明：如图，连接OC,OD与BC交于点、H,

OD1BC,

：.CH=HB=^BC,即OD垂直平分线段BC,

DC=DB,

"DCB=/DBC,

QOC=OB,

:.ZOCB=ZOBC9

/.ZDCO=ZDCB+ZOCB=Z.DBC+ZOBC=ZDBO,

OB是切线，

:.OBLBD,

:.ZDBO=90°f

.•.NDCO=90。,

:.DC10C,

•.CD是。的切线；

(2)解：AB是直径，

/.ZACB=90°,

:.ZOHB=ZACB=90°,

:.OE//AC,

-ACFjEHF,型=里」，

ACBC2

ACCFAFr

-----=------=-----=3・

EHFHEF

、r.3

设EH-a,则AC=3a，OH=—a,

2

35

：.OA=OC=OB=OE=OH+EH=-a+a^-a,

AB=5a,

BC=-JAB2-AC2=4a

13

/.CH=BH=2a,FH=—a,CF=—a,

22

在RtZk£FH中,

222

EF=FH+EH9

1——a+ci,

4

275

【点睛】本题考查切线的判定和性质、勾股定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.⑴见解析；

⑵沁

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角

的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键.

(1)由角平分线的定义以及已知条件可证明△OCD丝△O3D可得=进而得到NOBD=90。

即可证明结论；

(2)如图：连接AC.易证一4/^~_。尸0,..4。公小。。后可得，=匚、-^=—=—,进而得到

ODOFODOEDE

DE=2CE=2CD,易证△OCD9△03。可得=CZ),贝l|BD=CZ)=CE=7、DE=14>BE=7有,根

据特殊角的三角函数值可得/E=30。，则OE=2OC,进而得到BE=OE+OB=2OC+OC=3OC,然后求

得OC即可解答.

【详解】(1)证明：平分，3OC,

:.NDOC=NDOB.

OC=OB,OD=OD,

.-.△OCD^AOBD.

:.ZOCD=ZOBD.

CELOC,垂足是C,

:./OCD=90°.

:.ZOBD=90P.

二半径03_L3D.

BD是。的切线.

(2)解：如图：连接AC.

D

/、NBOC=2NBOD=2NBAC.

EACO~JB

:"BOD=ZBAC,

:.AC//OD.

/.AAFCsADFO,AACEsAODE.

,AC_CFAC_AE_CE

'OD~OF1OD~^E~~DE"

CF_1

OF-2j

.AC_AE_CE_1

**OD-OE-DE-2,

.\DE=2CE=2CD.

△OCD”AOBD,

/.BD=CD.

BD=1,

:.BD=CD=CE=1.

DE=14.

•••sin"=^=[=＜，BE=^DE2-BD2=773

Un,14Z

・•・/£=30。，

・•・OE=2OC,

：.BE=OE+OB=2OC+OC=3OC

:.oc=乎,即o的半径为g道.

10.(1)总是。的切线

(2)1

【分析】(1)先利用圆周角定理证得4403=90。，再根据平行线的性质，求得/以。=90。，然后利用切

线的判定得出结论；

(2)先证明△OBQs^APD,再根据相似三角形的性质，列出比例式，设OD=k,接着用上表示出02,

然后利用勾股定理求得50，代入比例式中，求得PD,再利用线段的和求得3P,得到关于上的方程，求

出％,最后求出。乩

【详解】(1)证明：如图，连接Q4.

n

iDZACB=45°,

AP

.\ZAOB=2ZACB=90°.

PA//OB,

:.ZPAO=ZAOB=90°.

・・,AO是半径，

.•.?A是。的切线.

(2)设。4与族相交于点D

PA//OB,

:./OBP=/P.

•:/BDO=ZADP,

:△OBD^LAPD.

OP_BD_OB

"AD~PD~AP9

OB_1

~AP~29

OPBDOB_1

"AD-PB-AP-2*

OB=OA,

•0。_0。_1

,'OB~~OA~3'

设OD=k,则05=3左.

・••在RtZ\Oa)中，BD=1OB2+Olf=Mk.

..BD_1

*2,

PD=2®k.

：.PB=PD+BD=3Mk.

PB=回,

：.3Mk=M，

k.

/.OB=3左=1.

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题

的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长.

11.(1)见解析

(2)20

【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正

确作出辅助线是解题的关键.

(1)延长。。交AC于E先证明/fDE=90。，ZACB=90°,则可证明四边形CEE用是矩形，得到

CF=DE,再证明△AO尸推出b=』AC,即可证明AC=2OE；

2

(2)先证明NCAB=NEBA/,得到tan/EBM=tanA=』，即也=?，设£M=3x,BE=4x,贝lj

4BE4

aIS

£>E=3x+10,AC=2D石=6x+20,解直角三角形得至!j3C==x+15；AB=—x+25,贝!J

22

11595915

OD=-^AB=^-x+^-f由相似三角形的性质得到。产=：X+?,由矩形的性质得到小=CE,据此建立

24242

方程求解即可.

【详解】(1)证明：如图所示，延长。。交AC于忆

•；DE是。的切线，

：.ZFDE=90°,

OD//BC,

：.ZCED=180°-ZFDE=90°,

•「A3是。的直径，

JZACS=90°,

・•・四边形CED尸是矩形，

：.CF=DE,

丁OD//BC,

△AOFS/^ABC,

,AFAO_1

**AC-AB-2>

AF=-AC,

2

：.CF=AC-AF=-AC,

2

：.DE=-ACBPAC=2DE；

2f

(2)解：*：BM±AB,

：.ZACB=ZABM=ZBEM=90°,

：.NCAB+NCBA=NCBA+NEBM,

・•・NCAB=NEBM,

3

VtanA=-,

4

3

tan/EBM=tanA=—,

4

.EM_3

••=~J

BE4

设EM=3x,BE=4x,贝!J=3x+10,

AC=2DE=6%+20,

..BC3

・tanA4=-----=—,

AC4

39

BC=-AC=-x+\5-

42

・・・AB=^AC2+BC2=—X+25,

2

：.OD=-AB=—x+—；

242

•・•△AOFsAABC,

,OFAO_1

OF=­xH----

・•・DF=OF+OD=6x+20,

•・,四边形C瓦中是矩形,

:.DF=CE,

9

・・6x+20=4xH—x+15,

2

解得x=2,

OD=—x2+

，CO半径的长为20.

【分析】(1)连接OD,易证，ODE组OCE(SSS),可推出NOED=/OEC=90。，根据三角形内角和定理

易证ZOEC=ZCBO=90°,即可证明；

(2)连接3。，证明BDMsOFM,得到的=&,设OP=3x,则&)=4x,根据

OF3

tanZACB=,BP—=~~1=~,求出入=^^；求出5。==5,AD=4,AE=^~,根据

BCCD6x2yJ5x22

ADAT747

cosNA=21=啜=?=],求出AG,即可求解.

ABAG63

【详解】(1)证明：连接OD,

・・・E为OC的中点，

JDE=CE,

・.,OD=OC,OE=OE,

・•・OD石也AOCE(SSS),

・•.ZOED=ZOEC=90°,

VZG=ZOCEf/COE=NGOB,

：.ZOEC=ZCBO=90°,

；・CB_LAG,

YOB为。中的半径，

；・AB为。的切线；

(2)解：连接AD,

・：BC为。中的直径，

：.ZBDC=ZOEC=90°f

：.BDEF,

・•・BDMs,OFM,

.BDDM

9

：FM:MD=3:4f

.BD_4

*