2025届江西省新八校高三年级下册第二次联考数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

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上栗中学新建二中新八校

2025届高三第二次联考试题

数学

考试时长：120分钟总分：150分

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集。斗川一…<5}「={—1,0,1},8={1,3,5},贝()

A.0B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,1,2,4}

2.若复数z满足(—l+2i)z=2,则z3=()

3.已知向量a=(x,l),S=(l,2),若+—则x=()

1i

A.----B.~C.—2D.2

22

4.已知{%}为等差数列，其前〃项和为色，若S”=11,则下列各式的值不能确定的是()

A.a6B.出+。3+。13C.S]+§21

5.已知函数/(力=2025,-2025-、，若关于x的不等式/(—x—1)+/卜4)<0恒成立，则实数。的取

值范围为（）

A.（―叫2）B.（―℃,—2）C.（2,+co）D.（一2,2）

6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有

数据一定都不小于20的同学人数是（）

甲同学：中位数为22,众数为20

乙同学：中位数为25,平均数为22

丙同学：第40百分位数为22,极差为2

丁同学：有一个数据为30,平均数为24,方差为10.8

A.1B.2C.3D.4

2

7.过双曲线C:二->2=1的中心作直线/与双曲线。交于尸、。两点，设双曲线。的右焦点为尸，已知

2

2兀

NPFQ=—,则XPFQ的面积为（）

A.也B.1C.V2D.V3

—•—■3

8.已知正方体N5CD-451GA的棱长为1，点M在正方体内（包含表面）运动，^CM-ACX=--

则动点M的轨迹所形成区域的面积是（）

AV3RV3c百D6

16842

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

7T

9.已知函数/（x）=sin2x+acos2x（aeR,。为常数），且函数y=/（x+§）为奇函数，则下列结论

正确的是（）

A./（x）的最小正周期为兀

Ba=—y/3

5兀

C./（X）与y=cos（2x+—）的图象有相同的对称轴

6

D.当xe[0,2兀]时，方程/（x）=cosx有且仅有4个实根

10.已知函数/（x）的定义域为R,/（x）+/（x-2）=/（x-l）,且〃17）〉/（25）,

/（18）〉”16）,则下列结论一定正确的是（）

A./（X）=/（x+6）B./（2）+/（4）=0C./（20）＜20D./（30）＞30

11.某同学在平面直角坐标系中画出了一朵四叶草图案，图案的边界线条可看作曲线C,已知曲线C上的

点到坐标原点的距离的立方等于该点到两坐标轴的距离乘积，对于曲线C,以下结论正确的是（）

A.曲线C是中心对称图形

B曲线C有且只有两条对称轴

C.曲线C上两点之间的最大距离为1

D.曲线C上的点的纵坐标的范围为[一过1,汉1]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知角尸的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称，若

,2

sm』=一,则cos2a-

3

13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有〃（〃22）个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次

抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.

假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为夕，则当?取到最大值时〃的值为.

an当口为偶数时

14.已知数列｛%｝满足：％eN+，a,,”=2'".现依次写出｛%｝的前若干项，若在

3a“+1,当a“为奇数时

第14项恰好第三次出现1,则为所有可能的取值集合为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在V48C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知6=6,12cosC=2a-c.

（1）求角B；

（2）若NC边上的中线长为5,求V4SC的面积.

16.如图，四棱锥P—48。中，底面48CD是平行四边形，AB=2,BD=PB=PD=M，

ZC=J7，且亚•丽=0.

p

(2)求平面4PC与平面4P。夹角的余弦值.

22

17.已知椭圆C：=+与=1(。〉b〉0)经过点(2,3)和点(273,V3).

ab

(1)求椭圆。的方程；

(2)设点川(加,0),若在椭圆C上存在不关于长轴对称的两点A,8满足|//|=忸/|,求实数机的取

值范围.

18.已知函数/(x)=x-sinx.

jrjr

(1)求曲线y=/(x)在点(§,/(§))处的切线方程；

兀

(2)证明：xe(0,5)时，/(x)<tanx-x；

(3)判断函数y=3/(x)-xsinx的零点个数.

19.通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列｛%,｝,具体产生方式为：若第〃次抛掷的结果为反面朝上，则

%=0；结果为正面朝上，则an=1.所有总项数为左项的数列｛%｝组成集合4.

(1)已知｛4｝e42,且｛%｝所有项的和为S,求S=2的概率；

(2)可用软件产生类似的随机数列｛cn｝,也满足*e｛0,1｝.若“q=1”的概率为!，"c2=1"的概率

为:，“G=1且。2=1”的概率为:，求“9=0且。2=0”的概率；

k

(3)在集合4中任取两个不同元素｛。“｝、｛4｝.记x=X一4H4一41+1%-HI+…+L-瓦I・

Z=1

工2的均值为E(x2),证明：£(工2)〉4子.

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集咱xeN|*V},人{—1,0』，8={1,3,5},贝产吸力()

A.0B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,1,2,4}

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即可.

【详解】依题意，t/={0,1,2,33,5},而8={1,3,5},则立5={0,2,4},又幺={—1,0,1},

所以Nc(6a)={0}.

故选：B

2.若复数z满足(―l+2i)z=2,则z3=()

275V5420

A.B.—C.—D.—

5359

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,即可得到三，再由复数的乘法计算可得.

/、22(-l-2i)24.

【详解】因为(—l+2i)z=2,所以z=-----------——―---=----------1,

八)-l+2i(-l+2i)(-l-2i)55

故选：C

3.已知向量a=(x,l),5=(1,2),若(2a+3)〃(a-2可,则x=()

11

A.----B.-C.—2D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出2Z+办、£-2石的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因为a=(x,l),6=0,2),所以2a+b=(2x+l,4),a-2Z>=(x-2,-3),

又(2a+B)〃(a—2可，所以—3(2x+l)=4(x—2),解得x=g.

故选：B

4.已知｛%｝为等差数列，其前〃项和为色，若S“=ll,则下列各式的值不能确定的是()

A.4B.4+03+。13C.S]+IVJID.+2:

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列前〃项和公式，结合等差数列的性质及通项公式逐项求解判断.

【详解】对于A,右=11(。；&)=11&=]1,则4=1，A不是；

对于B,设等差数列｛4｝的公差为d,出+。3+。13=。6-44+。6-3。+&+7。=3,B不是;

对于D,—~ax+-(72-1)^,则丛++q+4d=2(q+5d)=2,D不是；

n222022

对于C,E+S21=4+21%+210(7=22(%+5d)+100d=22+100d,而d值不确定，

因此E+S21不确定，C是.

故选：C

5.已知函数/(耳=2025工―2025-,若关于x的不等式/(—x—1)+/卜4)<0恒成立，则实数。的取

值范围为()

A.(―叫2)B.(—哈—2)C.(2,+co)D.(―2,2)

【答案】A

【解析】

【分析】首先判断了(x)的单调性与奇偶性，依题意可得a4<x+l对于任意x»0恒成立，再分x=0,

x>0两种情况讨论，当x>0时参变分离可得。<4+-/=,利用基本不等式求出五+—7=的最小值,

y/x7x

即可得解.

【详解】因为》=2025"，>=-2025-在R上单调递增,

所以/(x)=2025x-2025T在R上单调递增,

又/(—x)=2025-”-2025工=—(2025工—2025T)=—/(x),所以/(x)为奇函数,

由/(一工一1)+恒成立，即f(tzVx)<-/(-x-1)=/(x+1)恒成立，

所以。4<x+1对于任意x20恒成立，

当X=0时Q£R;

当x>0时

当且仅当五=3

即X=1时取等号,

yjx

二2,所以Q<2;

综上可得实数。的取值范围为(-*2).

故选：A

6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有

数据一定都不小于20的同学人数是()

甲同学：中位数为22,众数为20

乙同学：中位数为25,平均数为22

丙同学：第40百分位数为22,极差为2

丁同学：有一个数据为30,平均数为24,方差为10.8

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断.

【详解】甲同学的5个数据的中位数为22,众数为20,则数据中必有20,20,22,余下两个数据都大于

22,

且不相等，所有数据一定都不小于20；

乙同学的5个数据的中位数为25,平均数为22,当5个数据为17,18,25,25,25时，

符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20；

丙同学的5个数据的第40百分位数为22,极差为2,则5个数据由小到大排列后第二和第三个

数只可能是22,22或21,23,由极差为2知，所有数据一定都不小于20；

丁同学的5个数据中有一个数据为30,平均数为24,设其余4个数据依次为芭,与，七，5，

2222

则方差/=1[36+(%—24)+(x2-24)+(x3-24)+(x4-24)]

2222

=7.2+—[(x(—24)+(x2—24)+(x3—24)+(x4—24)],若xt,x2,x3,x4中有小于20的数，

52>7.2+5=12,2>10,8«不符合题意，因此西,》2，七,匕均不小于20,5个数21,21,24,24,30可满

足条件，

所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学.

故选：C

7.过双曲线C:二-『=1的中心作直线/与双曲线。交于尸、。两点，设双曲线。的右焦点为尸，已知

2

2兀

NPFQ=y,则4PFQ的面积为()

巧

A.B.1C.V2D.V3

3

【答案】D

【解析】

【分析】设双曲线的左焦点为厂'，连接尸尸'、QF',根据双曲线的对称性得到设

\PF'\=m,\PF\=n,结合双曲线的定义及余弦定理求出加〃，再由面积公式计算可得.

【详解】设双曲线的左焦点为尸'，连接PF、QF',由双曲线的对称性可知四边形尸尸0E为平行四边

形，

27r11

由/尸尸。=——，则,

33

不妨设P在双曲线的右支上，设归尸|=机，|尸青=〃，x|FF/|=2c=2V3,

由双曲线的定义可得卢/卜|产司=机—”=2。=2后，

在&FPF'中由余弦定理可得，|方户'「=\PF'f+|PF|2-2\PF'\-\PF\cosJ,

即12=m2+n2—mn={jn—n^+mn=(2行)+mn,解得加〃=4,

所以S"=S".=；|产甲•|%sing=；x4x?=G

—■—■3

8.己知正方体A8CD-45]G2的棱长为1,点M在正方体内（包含表面）运动，若CM2G=-万,

则动点M的轨迹所形成区域的面积是（）

AMRGC6DM

-zv.LJ.L.\-J.

16842

【答案】B

【解析】

——•——-1

【分析】利用数量积的运算律得=—,结合数量积的几何意义确定点M的轨迹，进而求出面积.

2

【详解】在棱长为1的正方体4BCD-4国GA中，

CM-AQ=（CA+AM）-AQ=CA-Aq+AM-Aq=-2+AM-Aq=-^,

则而•莺=:，而|公|=百，由数量积的几何意义知，而在花।上投影的数量为由，

26

因此点M在与ZG垂直的平面内，且点A到该平面的距离为日,

在正方体/BCD—481GA中易证ZG，平面48。，点A到平面48。的距离为也，

3

取AB,AD,44]的中点及尸,G,易得平面EFGII平面A.BD,

则AC,1平面EPG,且点A到平面EFG的距离为F,

1

所以点M的轨迹所形成区域为等边A£FG,面积为SFFr^—EF=立.（变）2=迫.

“EFG4428

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

7T

9.已知函数/(x)=sin2x+acos2x(QER,。为常数)，且函数y=/(x+§)为奇函数，则下列结论

正确的是()

A./(%)的最小正周期为兀

B.〃=—^3

5兀

C./(%)与＞=35(2%+—)的图象有相同的对称轴

6

D.当xe［0,2?i］时，方程/(x)=cosx有且仅有4个实根

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据给定函数及性质求出。并化简，再结合正弦函数的图象性质判断ABC；作出函数图象判断D.

7TJT

【详解】对于B,由函数y=/(x+§)为奇函数，得函数/(x)图象的一个对称中心为(§,0),

则/(1)=sin-^-+Qcos-^-=0,解得Q=B错误；

对于A,f(x)=sin2x+V3cos2x=2sin(2x+y),/(%)的最小正周期为兀，A正确；

JTJTJTSir

对于C,y=cos(2%+-+—)=-sin(2x+—),/(x)与y=cos(2x+——)的图象有相同的对称轴，C正

3236

确；

7T

对于D,方程/(x)=COSx在［0,2兀］上的实根个数即为/(X)=2sin(2x+?与g。)=cosx

JT

图象交点个数，在同一坐标系内作出函数〃x)=2sin(2x+§)与g(x)=cosx的图象，如图，

故选：ACD

10.已知函数/(x)的定义域为R,/(x)+/(x-2)=/(x-l),且〃17)〉/(25),

〃18)〉/(16),则下列结论一定正确的是()

A./(%)=/(x+6)B./(2)+/(4)=0C,/(20)<20D./(30)>30

【答案】AC

【解析】

【分析】根据所给关系推导出/(x+6)=/(x),即可判断A,再/⑴=a,f(2)=b,表示出“3),

/(4),/⑸，/⑹，再根据周期性及不等式的性质判断B、C、D.

【详解】因为/(x)=/(x—1)—/(x—2),

所以/(x+l)=/(x)-/(x-l),

所以/(x+l)=—/(x—2),即/(x+4)=—/(x+1),所以/(x+4)=/(x—2),

则/(x+6)=/(x),故A正确；

设/⑴=。，f(2)=b,

则/⑶=b-a,/(4)=-a,f⑸=-b,f(6)=-b+a,

所以〃17)=/(5)=-6,/(25)=/(1)=«,/(18)=/(6)=—b+a,/(16)=/(4)=-«,

由/(17)〉/(25),所以—6>a,即a+b〈0,

由/(18)>/(16),则-b+a〉-a,即2。一6>0,

a+b<0

所以

2a-b>0

i2

所以〃2)+"4)=6—a=](a+b)—](2a—b)<0,故B错误；

21

/(20)=/(2)=Z)=-(tz+Z))--(2a-Zj)<0<20,故C正确；

i2

f(30)=f(6)=-b+a=--(a+b)+-(2a-b)>0,无法判断是否大于30,故D不一定正确;

故选：AC.

11.某同学在平面直角坐标系中画出了一朵四叶草图案，图案的边界线条可看作曲线C,已知曲线C上的

点到坐标原点的距离的立方等于该点到两坐标轴的距离乘积，对于曲线C,以下结论正确的是（）

A,曲线C是中心对称图形

B曲线C有且只有两条对称轴

C.曲线。上两点之间的最大距离为1

D.曲线C上的点的纵坐标的范围为［一尊，等］

【答案】ACD

【解析】

【分析】设曲线c上任意一点？（x,y）,求出曲线c的方程，再结合对称性、基本不等式及导数逐项判断

即得.

23

【详解】设曲线C上任意一点P（X/）,依题意，（G+y2）3=|刘|.,gp（x+/）=xy,

对于A,由［（—x）2+（_y）2］3=（_x）2（_y）2,得点（一羽一点在曲线。上,则曲线C是中心对称图形，A正

确；

对于B,由［（—X）2+/『得曲线。关于了轴对称，同理曲线C关于X对称，

用X换了，且了换X,方程不变，则曲线。关于y=x轴对称，B错误；

______22

对于C,曲线C上点P（X/）到原点距离4=护守，由（卜+y2）3=，/2w（X）2,

解得当且仅当时取等号，则

442

由对称性得曲线C上两点之间的最大距离为1,C正确；

2222

对于D,由（X+y）=XV，得+,2=x3y3,令加==必，

m

则关于的方程加3+"=mno加3一加〃+〃3=0有非负实根,

若〃=0,则加=0；若〃>0,则加>0,

令/（加）=加'一加〃+〃3,求导得/'（加）=3加2-〃，当加£[0,'g）时，/'（7〃）<0；

当加£（Jg,+oo）时，r（m）>o,函数AM在[0,1§上递减，在《$+00）上递增,

3

于是/（"U=/（◎="—警<0,解得0<〃乜3即0"<:|昨,且y0,

综上—巫Wy工空,又曲线C是连续的，D正确.

99

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知角。、夕的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于x轴对称，若

2

smp=—,则cos2a=

3

【答案】|

【解析】

【分析】根据对称性求出sina,再由二倍角公式计算可得.

【详解】因为角。、4的终边关于x轴对称，

2

所以sina=-sin=——，

3

所以cos2a=l-2sin2a=1-2x（—2]=—.

I3j9

故答案为：—

9

13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有〃22）个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次

抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.

假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为0,则当。取到最大值时〃的值为.

【答案】6

【解析】

【分析】首先表示出单次抽奖中奖的概率A，则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率P=3p”6p；+3po,

构造函数，利用导数求出学取最大值时的夕°,即可求出〃.

【详解】依题意，单次抽奖中奖的概率P。=廿二/；、/八

C"(〃+3)(〃+4)

则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率p=C如o(l-z)2=3p；-6p；+3p0,

令/W=3x3-6x2+3x,xG(0,1),则f\x)=9x2-12x+3=3(3x-l)(x-l),

当0cxe,时，f\x)>0,当时，/r(x)<0,

33

函数/(X)在［o,；］上单调递增，在上单调递减，当x时，/(X)取得最大值，

n(n-l)1

因此当夕取最大值时，P。=----------7=一，而〃22,解得〃=6,

(n+3)(〃+4)3

所以当夕取到最大值时〃的值为6.

故答案为：6

an当Q为偶数时

14.已知数列｛%｝满足：/eN+，a,"1=2'".现依次写出｛4｝的前若干项，若在

3%+1,当%为奇数时

第14项恰好第三次出现1,则为所有可能的取值集合为.

【答案】(3,20,21,128)

【解析】

【分析】分析可得第8项恰好第一次出现1,再根据递推公式，逐步计算出4,即可得出集合.

【详解】依题意可得%eN+，只要第一次出现1,则后面必进入循环圈1—4—2—1,

若第14项恰好第三次出现1,则第11项第二次出现1,第8项恰好第一次出现1,

幺，当％为偶数时

若％=1，由1=2'"，解得%=2；

3%+1,当%为奇数时

当-2时，由-%当%为偶数时

解得«6=4,

3&+1,当。“为奇数时

由右性物为偶数时

当。6=4时,解得生=8或生=1（舍去），

3a5+1,当4为奇数时

当-8时，由3件当％为偶数时

解得为=16,

3%+1,当4为奇数时

由.存当。〃为偶数时

当%=16时,解得生=32或%=5,

3%+1,当%为奇数时

当仁32时，由-性当句为偶数时，解得％.64,

3a2+1,当％为奇数时

当“广时，由七号当％为偶数时，解得的=1。,

3%+L当。“为奇数时

”当例为偶数时

当出=64时，由。2=<2"，解得％=128或%=21,

3q+l,当%为奇数时

色，当。”为偶数时“一.

当。2=10时，由。2=,2,斛得％=20或%=3,

3q+1,当％为奇数时

综上可得％所有可能的取值集合为｛3,20,21,128｝.

故答案为：｛3,20,21,128）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在V48C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知6=6,12cosc=2a—c.

（I）求角B；

（2）若ZC边上的中线长为5,求V48C的面积.

【答案】（1）

⑵873

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得.

(2)利用向量运算律及(1)中信息求出ac,再利用三角形面积公式求解.

【小问1详解】

在V48c中，由12cosc=2a—C及余弦定理，得cosC=3^~

12a12

整理得力+，—QC=36=〃，因此COSB="^~而0<8<兀，

2ac2

71

所以3=;.

3

【小问2详解】

令/C边上的中线为5。，则丽=g(而+万亍)，又I而1=5,

则AD=-(BA+BC+2BA-BC)=-(a^+c2+ac)=25,

44

由(1)知/+c?—ac=36，于是ac=32,

所以V45c的面积S,nc=—acsinB=—x32x^-=8A/3.

"BC222

16.如图，四棱锥P—4BC。中，底面48CD是平行四边形，48=2,BD=PB=PD=5

AC=@，且赤•丽=0.

(1)证明：平面平面PAD；

(2)求平面4PC与平面4PQ夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

7

【解析】

【分析】(1)利用余弦定理求出Z。，即可得到从而得到4D,平面PAD,再由平行四边形

的性质得到BC1平面PBD,即可得证；

(2)设NCnRD=。，首先证明尸。，平面BCD,作OHLPD交PD于点、H,作。£_LP4,交R4

于点E,连接EX,即可得到NOE8即为平面4PC与平面4PD夹角，再由锐角三角函数计算可得.

【小问1详解】

因为ABCD是平行四边形，所以cosNADC+cosNDAB=0，

又AB=DC=2,BD=5AC=近，

Ku”1AD~+4—7AD~+4—3

所以-----------+-----------=0,解得4D=1（负值已舍去）,

4AD4AD

所以幺^2=2。2+8。2,即NNZ)8=90°，所以

又赤•丽=0，即40,尸8,又PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,

所以40,平面PAD,

又N5C。是平行四边形，所以BC//4D,所以5C，平面P5O,

又BCu平面P8C,所以平面PBC_L平面PAD；

【小问2详解】

因为PB=PD=C，设NCnAD=。，则。为AD的中点，

连接P。，则尸。_LAD,

又5cL平面PAD,尸Ou平面PAD,所以8CL尸0,

又BCC\BD=B,5。,60匚平面5皿，所以尸。，平面8C。,

在平面尸中，作交PQ于点X,

而40,平面PAD,O〃u平面PAD,所以40LOH,

又4DIPD=D,4D,P£>u平面尸40,所以OH，平面040,

作。£，尸2,交PA于点、E,连接也，

因为平面尸40,尸4u平面尸40,所以尸Z_LOH,

又OECOH=0,0E,0Hu平面OEH,所以平面。£打，又E〃u平面。断,

所以P4，，所以2OEH即为平面APC与平面APD夹角，

在&OPA中，由等面积法可得OAOP=APOE,

17.已知椭圆C：5+与=1伍〉b〉0）经过点（2,3）和点（273,V3）.

ab

（1）求椭圆。的方程；

（2）设点河（冽,0）,若在椭圆C上存在不关于长轴对称的两点A,8满足|/"|=怛/|,求实数〃?的取

值范围.

22

【答案】（1）二+上=1;

1612

（2）（-1,1）.

【解析】

【分析】（1）利用已知点建立方程组求解即得.

（2）设幺（X”％）,风工2，%），且西。工2，利用两点间距离公式可得机=三（七+々），再利用椭圆上的点坐

标的范围即可求得.

【小问1详解】

4I9

+

一

2-记=1

。

意

依

题

23,解得力=16/2=12,

12一+

a2-F=1

22

所以椭圆c的方程为土+2=1.

1612

【小问2详解】

依题意设/(孙必),及32，歹2)，且再。》2,

2

由\AM\=\BM\,得(X]—加)2+y；=(x2-m)+yl,

则(X]—in?~(x2-tn?=yf-yf(*),

因必2=i2--x^,

则货—N；=12一汨一112一汩

3

-

代入(*)式，可得：(%1+x22m)(xr-X2)=—(^+x2)(xl-x2),

化简得加=+、2)，

xxwx2

因<—4<X]<4,得-8<%]+/<8,

-4<x2<4

即得一1<加<1,

故实数加的取值范围是(-1,1).

18.已知函数/(x)=x-sinx.

7T7T

(1)求曲线y=/(x)在点(；,/(；))处的切线方程；

TT

(2)证明：xe(0,5)时，/(x)<tanx-x；

(3)判断函数y=3/(x)-xsinx的零点个数.

【答案】⑴3X-6V+TT-3V3=0；

(2)证明见解析；(3)2.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.

7T

(2)等价变形所证不等式，构造函数g(x)=sinx+tanx-2X,0<X<5,利用导数结合基本不等式推理

得证.

3Y

(3)利用函数零点的意义，把问题转化为求函数/z(x)=-----sinx的零点个数，再借助导数分段讨论求

x+3

解.

【小问1详解】

函数/(x)=x-sinx,求导得/'(x)=l-cosx,

则/'(g)=1-COS/=；,而/(I)=I-sin-=--—，

332八33332

所以所求切线方程为y—(方―等)=g(x—5)，即3x—6了+兀—3百=0.

【小问2详解】

不等式/(x)<tanx-x<»x-sinx<tanx-xsinx+tanx-2%>0,

令函数g(x)=sinx+tanx-2x,0<x<—,即g(x)=sinxH-------2x,

2cosx

2•2i

kc1-p•日用，/、cosx+sinx_1个

而0<cosx<1,求导得g(x)=cosx+-------------2=cosx+-------2

COSXCOSX

>2.U--2>0,则函数g(x)在(0,四)上单调递增，g(x)〉g(0)=0,

Vcosx2

所以/(x)<tanx-x.

【小问3详解】

函数歹=3/(%)-xsinx的零点个数，即方程3x-(1+3)sinx=0根的个数,

3x

而x=-3时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程------sinx=0根的个数,

x+3

令h(x)=-----sinx,原函数零点个数即为函数/?(x)的零点个数，

x+3

3x9

当x<-3时，一:—=3----->3,W-l<sinx<1,则〃(x)>0,

x+3x+3

因此函数〃(x)在x<-3时无零点；

9

当—3<xW0时,h\x)=-―---cosx>0,函数//(%)在(-3,0］上单调递增,

(x+3)

城x)<力(0)=0,因此函数〃(x)在一3<xW0时只有一个零点0；

当0<x<E时，^^(x)=h'(x)=-_-y-cosx,求导得d(x)=__-r+sinx,

2(x+3)(x+3)

显然函数9(x)在(0,1)上单调递增，而/(())=—g<0,"(^)〉。,

兀，，兀，

则存在方£（0,5）使得。（%）=0,当0<x<，时，（p｛x）<0；当，<xV'时，0（x）〉0,

JTJT

函数〃（X）在（0,。上单调递减，在亿万）上单调递增，又力'（/）</（0）=0,1（5）〉0,

TTJT

则存在/€（/,万），使得〃'（%）=0,当O<x<Xo时，h\x）<0；当天〈》〈万时，h\x）>0,

7T

函数〃（X）在（O,xo）上单调递减，在（x0,-）上单调递增，

JT7T

而//）<力（0）=0,//（-）>0,因此函数〃（x）在（0,-）上只有一个零点；

3%_99.

当时，小=3—小―3-亡〉_sinx,即〃（对>0,

2小

7T

因此函数〃（X）在X25时无零点，

所以函数〃（X）有2个零点，即函数y=3/（x）-xsinx的零点个数为2.

19.通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列｛4｝,具体产生方式为：若第〃次抛掷的结果为反面朝上，则

%=o；结果为正面朝上，则%=1.所有总项数为左项的数列｛%｝组成集合

（1）