2025高三数学模考《立体几何》好题汇编（学生版）

立体几何大题

近期模拟题精选

23道有难度的立体几何大题

高分必做，增长见识

夯实功底，提升能力

«1.(2025«嘉兴二M)如图,在边长为2的正三角形ABC中，E,F分别为/C,BC的中点，将△CEF沿EF

翻折至ZXPEF,使得PEYAE.

⑴证明:平面PBE_L平面ABEE；

(2)求直线PB与平面PEF所成角的正弦值.

题2.（2025•江西八所北点中学联考）如图,在平面四边形ABCD中，ABCD是边长为2的等边三角形，AB

4D且AB，AD,沿BD将△BCD折起，使点C到达点P.

⑴求证：_R4_LBD；

（2）当三棱锥P-ABD体积最大时，求平面APD与平面BPD夹角的余弦值.

43.(2025・湖北十一校二联)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD，AB,PB=PD,底面ABCD是边长为

同的菱形，NABC=筌.

O

(1)证明:平面PACA,平面ABCD；

(2)若平面PAB与平面ABCD所成角的正切值为2,点Q满足用=4弱,求直线CP与平面ABQ所成

角的余弦值.

慝4.（2025•T8第一次联考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形,AD//BC,AB±AD,PA

±平面ABCD,AP=AD=2AB=4BC.

（1）求证:平面PAC±平面PBD；

（2）AM±平面PCD于点M■，求二面角M-AD-P的余弦值.

题5.（2025•合肥二模）如图，三棱柱ABC-A^C,的所有棱长都为2,60°,河是AA,的中点，AC.

±BM.

（1）证明：平面ACC.A,±平面ABC；

（2）求CB.与平面ABB^A,所成角的正弦值.

题6.(2025•铁海中学模拟)在平行六面体ABCD-A.B.C.D,中，底面ABCD为正方形，=441=2,

AA.AB=卷，侧面CDDG±底面ABCD.

O

(1)求证：平面AXBC±平面CDDG；

(2)求直线AB｝和平面AiBCi所成角的正弦值.

<7.(2025•苏得常慎一模)如图，在四面体ABCD中，AB=BD=2,AADC=ZBDC=90°,点E为棱AD

的中点，点F为棱AC上的动点.

(1)求证：平面ACD±平面BEF-,

(2)已知二面角A-DC-B的大小为30°,当直线与平面ACD所成角的正弦值的最大值为2g时，

求此时四面体ABEF的体积.

题8.（2025•广西4月联考）如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为等腰梯形，AB〃CD,AD=DC=

2,AB=4,△PBD为等边三角形,且平面PBD±平面ABCD.

（1）作出点B在平面RLD的射影E,并证明；

（2）求平面_R4B与平面PAD的夹角的余弦值.

题9.(2025•徐州一模)如图，在直三棱柱ABC-中，AB1=BC1=CA,,BC,±CA.

(1)证明：三棱柱ABC-ABiG是正三棱柱；

⑵证明：ABJCA；

(3)设ABiU平面a,BCiH平面a,若直线BCX与平面a的距离为©，求三棱柱ABC—45G外接球的

表面积.

慝10.（2025^辽宁二模）如图①,在矩形ABGD中，AD=l,AB=2,M■为AB的中点，将△AM。沿MD折

起，使A到4处，平面A'DM±平面MBCD,连接A'B，4。（如图②）.

①②

⑴证明：4。，平面4MC；

（2）己知Q是线段上的动点，且=AMC（O<4<1）,直线DQ与平面4DC所成角的正弦值为

曜，求九

15

Mil.(2025•杭州模拟)在平面四边形ABCD中，AB=8。=CD=BD=2,AB，,将ABCD沿BD翻

折至△BPD,其中P为动点.

⑴设AP=AD,

⑴证明：AB，平面BPD；

(w)求三棱锥P-ABD的体积；

(2)求直线AP与平面ABO所成角的正弦值的最大值.

题12.（2025•湖南长寿十二校联量1二联）如图所示,在直角梯形BCEF中，NCBF=ABCE=90°,A,D分别

是BF,CE上的点，且AD〃,AB==2=2AF=2,将四边形ADEF沿AD向上折起，连接

BE,BF,CE,在折起的过程中，记二面角E—AD—C的平面角为a.

（1）请将几何体EFABCD的体积表达为关于a的函数，并求其最大值；

⑵当aC传，苧）时,求平面和平面夹角的余弦值的取值范围.

题13.（2025・宣城二模）如图1,在平行四边形ABCM中，及。=2MA=2,AMAD=专，。为。取的中点，8

O

为AD的中点，AF=,沿AD将/\MAD翻折至I]/\PAD的位置，使PF_LAC,如图2.

（1）证明：BD〃平面PHF；

（2）求平面PBC和平面PAD所成角的余弦值.

题14.（2025•东北三省三校二模）斜三棱柱ABC—4B1G各棱长均为4,24AB=等，。为棱上的一

O

点.

⑴求证

（2）若平面AA^B，平面ABC,且二面角A—AQ—C的余弦值为当L，求BD的长.

题15.（2025•湖南婶大附中大联考）如图，在直三棱柱ABC-A^C,中，AB=人为=2AC=4,cosABAC=

堂，。是四边形44。。1（不含边界）内的动点且BP=4.

（1）求证：BC±平面A.ACC^

（2）求平面ABP与平面BCP所成角的余弦值的取值范围.

题16.（2025・九加陕—）如图1,在半径为2的扇形。。。中，/。（^=等，。是弧PQ上的动点（不含P,Q）,

O

过点。作CD〃OQ,交OP于点。.当4OCD的面积取得最大值时，将扇形OCQ沿着OC折起到

OCE,使得平面OCE_L平面OPC（如图2所示）.

图1图2

⑴求图2中。。的长度；

（2）求图2中直线CD与PE所成角的余弦值；

（3）探究在图2中的线段OE上是否存在点使得四面体MOCP内切球的半径为白？并说明理由.

慝17.（2025•品明三*）如图，四棱锥P-ABCD中，24，平面ABCD,AB±AD,AD//BC,AD=2AB

=2BC=2.

⑴证明：平面平面PCD；

⑵若24=2,动点河在△24。内（含边界）且MB?+TWO?=5.

①求动点”的轨迹的长度；

②设直线CM与平面PBD所成角为仇求sinJ的取值范围.

题18.(2025•哈三中二#)已知等腰△ABC中，/B=等，AB=BC=4,0是线段AC上一点.现将△ABO

O

沿BO折起至△4BD的位置.设折叠后平面4BD和平面BCD所成的二面角A'—BD-C为/0<8

＜乃).

⑴图⑵图

(1)若。为AC中点,求证：DB±A'C.

(2)若由5=2皮4=£.

①求平面BCD和平面4DC所成角的正弦值；

②设E为BD的中点,过E作平面a截三棱锥A'-BCD的外接球,求截面面积的最小值.

题19.（2025•绍兴二模）如图，在四面体ABCD中，/力CD=/BDC=5,AC=BD=1,CD=,,记二面角

人一5-3为仇“，"分别为40,5。的中点.

（1）求证：MN±CD；

⑵若①=空，。=卷,求直线MN与平面ABD所成角的正弦值；

乙O

（3）设在四面体48co内有一个半径为r的球，若劣=氏求证：

题20.（2025•皖北博作区联考）如图，在五面体ABCDFE中，菱形ABCD的边长为2,EA=EB=FCFD

=回，EF>BC.

（1）证明：BC〃EF且ABJ_

（2）求五面体ABCDFE体积的最大值.

（3）当五面体ABCDFE的体积最大时，求平面ABE与平面BCFE夹角的余弦值.

题21.（2025•谢芦岛一模）如图1,已知抛物线=2Px（p>0）的焦点为F,准线交c轴于点。，过点F作倾

⑴求抛物线。的方程；

（2）如图2,把ZVLDF沿DF翻折为4PDF，使得二面角P—OF—B的大小为萼.

O

①若，=寺,求直线BD与平面PBF所成角的正弦值；

O

②证明：三棱锥D-PBF的体积为定值.

%22.(2025•湖北八市三月联考)如图