2025年高考数学复习难题之常用逻辑用语

2025年高考数学复习难题速递之常用逻辑用语(2025年4月)

选择题(共8小题)

1.(2025•江西模拟)已知命题p：VxGR,2工>/,命题q：Bx,yeR,x+y<2啊,则()

A.p和q都是真命题B.-'p和q都是真命题

C.p和「q都是真命题D.「p和「q都是真命题

2.(2024秋•仁寿县校级期末)设xCR,则“xel”是“%2-尤20”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.(2023秋•袁州区校级期末)己知命题p：VxG[l,2],都有/日1,4],则「p为()

A.V.rg[l,2],都有/任口，4]

B.3xg[L2],使得4]

C.Vx£[l,2],都有/e(-8,1)u(4,+8)

D.3xe[l,2],使得/e(-8,1)u(4,+8)

4.(2024•宁波模拟)己知％是公比不为1的等比数列｛金｝的前〃项和，则”S2,S6,S3成等差数列”是

“存在不相等的正整数租，n,使得anm,即成等差数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1

5.(2024秋•镇康县校级月考)命题“VxeR,使得2%2+似-1)%+*>0"成立的一个充分不必要条件可

以是()

A.(0,1)B.(-3,+8)C.(-1,3)D.(-3,1)

6.(2024秋•浦东新区期末)设函数y=P(x),y=G(x)的定义域均为R,值域分别为A、B,且ACB

=0.若集合S满足以下两个条件：

(1)AU8US；

(2)Cs(AUB)是有限集，

则称>=尸(%)和y=G(x)是S-互补函数.给出以下两个命题:

①存在函数y=f(x),使得y=2/%"和y=log2f(无)是［0,16］-互补函数；

②存在函数y=g(x),使得y=sing(尤)和y=tang(x)是［0,+°°)-互补函数.

则()

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

7.(2024秋•梅里斯区校级期中)定义在R上且都不恒为零的函数y=/(x)与y=g(x)进行下列运算,

正确的是()

A.若y=/(x),y=g(x)均为奇函数，则>=/(g(x))为奇函数

B.若y=/(x),y=g(x)单调性相同，则y=/(xAg(x)为增函数

C.若/(g(尤))—f(g(~x)),则g(x)—g(-x)

c-/(一(血))-/(。(>2))、八而。。1)-9(尢2)

D.右.U,火！J

Xr-X2%i-%2

8.(2024秋•进贤县校级期中)命题p"3x6(0,+8),/-120"，则它的否定「p是()

A.aBxe(0,+8),B.aBxe(0,+8),7-1W0”

c.“Vxe(0,+8),D.“Vxe(0,+8),/-120”

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025春•广安区校级月考)下列说法正确的是()

A.若｛斯｝为等差数列，曲为其前"项和，则St,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍为等差数列(在N*)

B.若｛斯｝为等比数列，％为其前W项和，则SbS2k-Sk,S3k-S2k,…仍为等比数列(任N*)

C.若｛斯｝为等差数列，>0,d<0,则前"项和，有最大值

111

D.右数列｛斯｝满足a九+i=谥—5czn+9,a1=4,则++,,,+VI

a1—2a2—2an—2

(多选)10.(2024秋•安庆期末)已知函数/(x)=/gsinx,贝lj()

A.函数/(x)是周期函数，最小正周期为2TC

B.函数/(%)是奇函数

C.函数/(%)有最大值，无最小值

D.函数/(%)在(2/CTT,2/CTT+今eZ)上单调递增

（多选）11.（2024秋•鄢陵县期末）已知x,yGR,4?+6盯+9/=3,贝！J（）

A.\/x,yER,-2V3<4%+3y<2V3

B.3x,yGR,4%+3yW-3

C.Xfx,yER,1W4/+9/-6盯W8

D.3x,yER,4/+9/-6盯21

(多选)12.(2024秋•淮安期末)已知函数/(%)=sinxV2—cos?x,下列说法正确的有()

A.函数y=/(x)为奇函数

B.函数y=/(x)的周期为h

C.函数y=/(x)在区间[―刍，身上为增函数

D.当尤e(0,+8)时，函数了=/(无)的图象恒在直线丫=鱼X的下方

三.填空题(共4小题)

13.(2024秋•海淀区校级期末)已知函数/(x)的定义域为R,下列命题中

①若VxCR,f(x+1)>/(无)，则函数/(x)在R上单调递增；

②若Vxi,X26R,(xi)+f(X2)|^|siRri+sinx2|,则函数了(无)是奇函数；

③若Wxi,X26R,[/(XI)(X2)闫sinu-sirml，则函数/(尤)是周期函数；

④若V%i，久26(—.且为#孙-/(X2)|<|sinri-sinx2|>则函数/(x)+sinx在(-今,今上

单调递增，函数/(无)-sinx在(-机当上单调递减.

所有正确命题的序号是.

14.(2024春•房山区校级期中)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号,

他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xCR,用印表示不

超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.已知函数/(x)=sin|x|+|sin_x|,

函数g(x)=[/(%)],则下列命题正确的是.

①函数g(x)是周期函数；

②函数g(x)的值域是｛0,1,2)；

③函数g(x)的图象关于x=*对称；

71

④方程y-g(x)=x只有一个实数根.

15.(2024秋•嘉定区校级期中)如图，正方体ABC。-481C1D1则下列四个命题：

①点尸在直线3。上运动，三棱锥A-O1PC的体积不变；

②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACDi所成角的大小不变；

③点P在直线BCi上运动，二面角P-AD1-C的大小不变；

④点P是平面ABCD上到点D和Ci距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的一条直线.

其中的真命题是.(请在横线上填上正确命题的序号)

16.(2024秋•广州校级期中)已知命题“VxCR,4/+(a-2)%+1〉0”是假命题，则实数a的取值范

围为.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•青浦区期末)已知p；0,q：x2-2x+l-m2^0(m>0),且p是q的必要不充分条

件.求实数优的取值范围.

18.(2025•仁寿县模拟)已知“6R,命题p：VAG[-1,2],不等式机？--2x-1恒成立；命题“：

3xoGRr尤()2+4〃a0+1<0成立.

(1)若"为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围.

19.(2024秋•宁波期末)设全集U=R,集合A={x|lWxW4},集合8={x|a+2WxWa+10},其中a€R.

(1)若AC8=0,求a的取值范围；

(2)若“x&l”是“x&B”的充分条件，求a的取值范围.

20.(2024秋•玉溪校级期末)已知集合4={加区2厂<4},集合B={x|log3(2x+l)<2}.

1

(1)当a=2，求(CRA)ns；

(2)已知"x&T是“尤68”的充分不必要条件，求a的取值范围.

2025年高考数学复习难题速递之常用逻辑用语（2025年4月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BADAAAAC

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案ACDACDADACD

一.选择题（共8小题）

1.（2025•江西模拟）己知命题p：VxGR,2x>x2,命题q：3x,yeR,x+y<2^[xy,则（）

A.p和q都是真命题B.-'p和q都是真命题

C.p和「q都是真命题D.「p和都是真命题

【考点】复合命题及其真假.

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；逻辑思维；运算求解.

【答案】B

【分析】直接利用不等式的性质和赋值法判断命题的真假.

【解答】解：命题P：VxeR,2工>/,当尤=-1时，2工>/显然不成立，所以P是假命题，是真命

题.

命题4：3x,yGR,x+y<2y/xy,当尤=y=-1时，K+显然成立，所以q是真命题，

「q是假命题.

故选：B.

【点评】本题考查的知识点：不等式的性质，赋值法，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力，属

于中档题.

2.（2024秋•仁寿县校级期末）设尤6R,则“尤21”是“，-后0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法解x2-x20,结合充分条件和必要条件的定义即可求解.

【解答】解：由/-x20,可得龙21或xWO,

二“G1”是“，-尤川”的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查了不等式，简易逻辑，学生的数学运算能力，属于基础题.

3.(2023秋•袁州区校级期末)已知命题p：VxG[l,2],都有/日1,4],则1°为()

A.Vxg[l,2],都有/至口,4]

B.3xg[l,2],使得/土1,4]

C.V.re[l,2],都有fe(-8,1)u(4,+8)

D.2x£[l,2],使得/e(-8,i)u(4,+8)

【考点】全称量词命题的否定；全称量词和全称量词命题.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解.

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定判断即可.

【解答】解：命题pVxG[l,2],都有7日1,4],所以Y为八日1,2],使得/€(-8,1)u(4,

+8).

故选：D.

【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.

4.(2024•宁波模拟)已知S是公比不为1的等比数列｛斯｝的前"项和，则"S2,S6,S3成等差数列”是

“存在不相等的正整数相，n,使得丽，amn,初成等差数列”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件与必要条件；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合.

【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；简易逻辑；运算求解.

【答案】A

【分析】由已知结合等比数列的求和公式，等差数列的性质分别检验充分必要性即可判断.

【解答】解：对于公比不为1的等比数列｛珈｝,

.。e0rf■生*物司CC2fli(l-q6)CliCl-q2)difl-q3)

右S2,S6,S3成等差数列，则2S6=S2+S3,H即---------=---------+---------,

1-q1-q1-q

整理得/(2/-q-1)=0,结合qWO得2/-乡-1=0,

若存在不相等的正整数出n,使得即，amn,即成等差数列，贝U根+〃〃，

不妨设施>〃，则2严""=丁厂〃+1,即为""厂11=0,

所以]=0,

当力(机-1)=4,加-w=l时，772=3,n=2,

所以S2,S6,S3成等差数列时，存在不相等的正整数根=3,〃=2,使得加，amn,即成等差数列，

但所，amn,。"成等差数列时，1=0成立，但2q4-4-1=0不一定成立，

故"S2,S6,S3成等差数列”是“存在不相等的正整数m,“，使得am,amn,即成等差数列”的充分

不必要条件.

故选：A.

【点评】本题以充分必要条件为载体，主要考查了等比数列的求和公式，等差数列的性质的应用，属于

中档题.

5.(2024秋•镇康县校级月考)命题“VxCR,使得2/+9-1)久+义〉0”成立的一个充分不必要条件可

以是()

A.(0,1)B.(-3,+8)C.(-1,3)D.(-3,1)

【考点】充分不必要条件的判断.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；简易逻辑；运算求解.

【答案】A

【分析】先将命题转化为二次函数在R上恒成立问题，然后求出a的范围，最后利用集合法得出答案.

11

【解答】解：VxGR,使得2M+(a-l)x+2>0,等价于2M+(a-1)%+-〉0在R上恒成立，

1

故/=(a-1)2-4x2x*V0,解得-l<a<3,

要想是命题“VxeR,使得2/+m-1)K+*〉0”成立的一个充分不必要条件，

只需要满足为(-1,3)的子集即可，选项A满足题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查了全称量词命题的真假关系的应用，还考查了充分必要条件的判断,属于基础题.

6.(2024秋•浦东新区期末)设函数y=F(无)，y=G(x)的定义域均为R,值域分别为A、B,且AC8

=0.若集合S满足以下两个条件：

(1)AUBCS；

(2)Cs(AUB)是有限集，

则称(x)和y=G(无)是S-互补函数.给出以下两个命题：

①存在函数>=/(尤)，使得〉=2人》和y=k>g球(无)是[0,16]-互补函数；

②存在函数y=g(x),使得y=sing(无)和>=12118(x)是[0,+°°)-互补函数.

则()

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】新定义；集合思想；构造法；集合；逻辑思维；数学建模；新定义类.

【答案】A

【分析】命题①只需选择函数/G)的值域为(1,4)或(1,4]或[1,4)即可，命题②需根据tawv和

siiu的值域逐步取值，从而找到合乎条件的g(x).

【解答】解：对于命题①：不妨取f0)=4-4.定义域为R,易得值域为[1,4),

所以y=2^x>的值域A=[2,16),y=log2/(x)的值域B=[0,2),当$=[0,16]时，

容易验证AC8=0,AU8US,且Cs(AUB)={16}为有限集，故命题①正确；

7171

对于命题②：构造函数g(尤)，其定义域为R,值域为CUu+8n=1口”其中c=[,

、、、1111

Di=[a〃，即)，满足a〃邛〃均为锐角且汝九仇九二:2几+]'tan6n=y2—,故s讥a九=-^====,sin/3n=-j====f

!U!jy=sing(x)的值域A=AoUu+8=IA〃，其中Ao=[孝，1),A=[^^

rln2+2/2n+l^

y=tang(x)的值域为5=3oUu+°°九=13”,其中瓦=3+8),%=[号存，卷)'

取5=[0,+8),则An5=0,AUBCS,Cs(AUB)={0}为有限集，故命题②正确.

故选：A.

【点评】本题是关于集合与函数的新定义问题，关键在于根据需要逐步构造出合适的函数，属于难题.

7.(2024秋•梅里斯区校级期中)定义在R上且都不恒为零的函数y=/(x)与y=g(x)进行下列运算,

正确的是()

A.若y=/(x),y=g(x)均为奇函数，则y=/(g(x))为奇函数

B.若y=f(x),y=g(x)单调性相同，则y=/(x),g(x)为增函数

C.若/(g(尤))—f(g(-尤))，则g(x)—g(-x)

c右f(g(%i))-f(g(久2))、八』

D.右则

Xi-%2Xr-X2

【考点】命题的真假判断与应用；定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，举出反例可得2、C、。错误，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项:

对于A,若y=/(x),y=g(x)均为奇函数，贝Ug(-无)=-g(x),

则/(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x)),则函数y=/(g(尤))为奇函数，A正确;

对于8,设/(x)=x,g(x)=3x,在R上都是增函数，则/(xAg(x)=3?,在R上不具有单调性，

2错误；

对于C,设/(无)=7,g(x)=3x,满足/'(g(x))=/(g(-x)),但g(无)=g(-x)不成立，C

错误；

对于D,设/(x)—-x3,g(无)=-2x,f(g(尤))=-(-2无)3=8彳3,

c//、、**rV田口f(g(xi))—f(g/、uiL出(久i)—g(^2)

f(g(x))在R上递增1t，满足----------------->0,但/rig(x)为减函数，胸足------------<0,D

久1一%2久］一久2

错误.

故选：A.

【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和单调性，属于中档题.

8.(2024秋•进贤县校级期中)命题曲"3x£(0,+8),/-120”，则它的否定「p是()

A."3x6(0,+8),X2-KO"B.u3x£(0,+°°),x2-1W0”

C.“v无e(0,+8),7-1<0"D."Vxe(0,+8),d-12。”

【考点】求存在量词命题的否定.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解.

【答案】c

【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解.

【解答】解：p-(0,+8),--1解0”,则它的否定一>是："vxe(0,+°°),%2-1<0),.

故选：C.

【点评】本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题.

多选题(共4小题)

(多选)9.(2025春•广安区校级月考)下列说法正确的是()

A.若｛板｝为等差数列，S"为其前〃项和，则叫S2k-Sk,S3k-S2k,…仍为等差数列aeN*)

B.若｛斯｝为等比数列，S"为其前”项和，则8,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍为等比数列(住N*)

C.若｛小｝为等差数列，G1>O,d<0,则前"项和8有最大值

111

D.右数列｛〃〃｝¥两足a九+i=谥-5a九+9,a1=4,则++,,,+VI

a1—2a2—2an—2

【考点】命题的真假判断与应用；等差数列的前n项和；等比数列的性质.

【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求

解.

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的定义，可判定A正确；当夕=-时，取左=2,得到52=0,可判定B错

111

误；根据等差数列的性质，可判定C正确；化简得到一；=--------------利用裂项法，可判

口九一2Ctn-3an+1-3

定D正确.

【解答】解：对于A中，设数列｛砺｝的公差为d,

因为Sk=ai+«2+«3+,•,+ab

S2k-或+1+以+2+或+3+…+。2匕

S3k-S2%=〃2左+1+Q2左+2+。2k+3+一・+。3左，

可得：(Szk-Sk)-Sk=(S3女-S2Q-QS2k-Sk)=,,•=后d(ZEN*),

所以Sk,Slk~SkfS3k~S2kf…仍为等差数列(依N*),故A正确；

对于B中，设数列｛劭｝的公比q(qNO),

当9=-1时，取左=2,此时S2=ai+〃2=o,此时不成等比数列，故B错误;

对于C中，当m>0,dVO时，等差数列为递减数列，

此时所有正数项的和为品的最大值，故C正确；

对于。中，由a九+i=W-5an+9,%=4,可得a九+1-3=嫌—5ctn+6=(dn-2)(cin—3),

所以Cln72或

1111

所以•

3(an-2)(an-3)的1-3(1九一2

111

所以，——,

a九一2ctn—3an+1—3

111

所以-•----+------+…+-----

ct]—2g—2Q九一2

111111

(Z]_3a?_3+a?_3Q3_3++ctfi—3Q?i+]—3

11

——=1--------——

・3册+1-3

因为。1=4,所以％i+i=ci^i—5cin+可得：

所以故「正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查等差数列、等比数列及其前〃项和，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属中档题.

(多选)10.(2024秋•安庆期末)已知函数/(x)=lgsinx,则()

A.函数/(x)是周期函数，最小正周期为如

B.函数/(%)是奇函数

C.函数/(%)有最大值，无最小值

D.函数/(x)在(2/CTT,2/CTT+今(々EZ)上单调递增

【考点】命题的真假判断与应用；复合函数的单调性；三角函数的最值.

【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解.

【答案】ACD

【分析】对于函数f(x)=/gsinx,需要根据对数函数的定义域、三角函数的周期性、奇偶性、单调性

以及最值等性质来逐一分析每个选项.

【解答】解：对于A,因为sinx>0.

所以2加VxV(24+1)11,蛇Z.

因为y=sinx的最小正周期是2m所以/(%)是周期函数，最小正周期为2mA选项正确.

对于5,函数/(%)=/gsiiix的定义域为(2加，(2Z+1)11),蛇Z,定义域不关于原点对称.

根据奇函数的定义，对于函数y=/(x),如果对于定义域内的任意x,都有/(-%)=-/(元)，

且定义域关于原点对称，而/(%)定义域不关于原点对称，所以/(x)不是奇函数，5选项错误.

对于C,因为0<K=sinxWl,当作(2E,(2H1)n),依Z时.

而〉=值〃在(0,1］上单调递增，当sinx=l时，f⑺取得最大值/gl=0,无最小值，。选项正确.

对于£),令/=sinx,y=lgt.y=/g/在(0,+°°)上单调递增.

/=sinx在(2/C7T,2kn+今(keZ)上单调递增，且siar>0在此区间成立.

所以函数/(x)=/gsinx在2/CTT+GZ)上单调递增，。选项正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查命题真假的判断，属中档题.

(多选)11.(2024秋•鄢陵县期末)已知％,yGR,4^+6盯+9/=3,贝!j()

A.Yx,yGR,-2v5<4%+3y<2v5

B.3x,yER,4x+3yW-3

C.Vx,yER，1W4?+9y2-6孙<8

D.3x,y£R,4/+9y2-6盯21

【考点】全称量词命题真假的应用；存在量词命题真假的应用.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑；运算求解.

【答案】AD

-1*771

【分析】对于AB,4%2+6xy+9y2=^(4%+3y)2+~^y2=3,则］(4x+3y)2<3,从而可求出4x+3y

的范围进行判断，对于C,利用2(2x+3y)220化简变形结合已知条件可判断，对于D,利用2(2x

-3y)220,化简变形结合已知条件可判断.

-1DI1

【解答】解：对于A8,因为4/+6xy+9y2=］(4x+3y)2+彳丫2=3,所以工(4x+3y)?W3,当

且仅当y=0时取等号，所以(4x+3y)2^12,所以一2gW4x+3yW2百，所以A正确，B错误；

对于C,因为2(2x+3y/'0,所以2(4»+12xy+9j2)20,当且仅当2x=-3y时取等号，所以8?+24xy+18y2

》0,所以12x2+18孙+27/24/-6盯+9/,所以3(4/+6盯+9y2)-6孙+9y2,所以4x2-6盯+9/

W9,当且仅当2x=-3y时取等号，所以C错误，对于因为2(2x-3y)220,所以2(4?-12xj+9y2)

20,当且仅当2x=3y时取等号，所以8/-24孙+189》0,所以12?-18xy+27y224/+6xy+9y2,所以

4■久2_6盯+9y2《4尤+6y+9y=当且仅当2x=3y时取等号，所以。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查不等式性质的应用，解题的关键是对己知的等式进行恰当的变形，利用完全平方的非

负性可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.

(多选)12.(2024秋•淮安期末)已知函数/'(x)=sinxV2—cos2x,下列说法正确的有()

A.函数y=/(x)为奇函数

B.函数y=/(%)的周期为n

C.函数y=/(无)在区间［―*,身上为增函数

D.当尤e(0,+8)时，函数了=/(无)的图象恒在直线？=的下方

【考点】命题的真假判断与应用；函数的单调性；奇函数偶函数的判断；函数的周期性.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值；运算求解.

【答案】ACD

【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A,由函数周期性的定义分析8,由函数单调性的性质分析C,

由不等式的性质分析。，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,函数/(%)=S讥%，2-COS?',其定义域为R,有/(-X)=-f(x),则/(X)为奇函数，A正

确；

对于5,f(x)=sinx&'—cos2x,有/(x+n)=-sinx\/2—cos2x,

则n不是函数/G)的周期，B错误；

对于C,f(x)=sinxV2—cos2x=sinxVl+sin2x,

在区间［0,$上，y=sinY为增函数且y=sinx20,y=+sin?%也是增函数,

._________n

则/(x)+si*%在［o,］］上递增，

又由y=f(x)为奇函数，则/(无)在区间［―£,刍上为增函数，C正确；

对于Df(x)=sinrV2—cos2x=sinxVl+sin2x,

当xe(0,+8)时，由于sinxWx,41+siv7xW鱼恒成立,故/(x)<V2x,

则函数了=/(无)的图象恒在直线y的下方，D正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数三角函数的奇偶性，涉及函数的最值，属于基础题.

三.填空题(共4小题)

13.(2024秋•海淀区校级期末)己知函数了(无)的定义域为R,下列命题中

①若VxCR,f(x+1)>/(无)，则函数/(x)在R上单调递增；

②若Vxi,X2GR,(xi)+f(%2)|<|sinxi+sinA-2|,则函数/(尤)是奇函数；

③若X2CR,|f(xi)-f(X2)|^|siiu-i-sinx2|,则函数/(x)是周期函数；

④若x2E,£)且xi=x2,|f(xi)-/(%2)|<|sinxi-sinx2|,则函数/(x)+sinx在(-左,刍上

单调递增，函数/(无)-sinx在(―齐刍上单调递减.

所有正确命题的序号是②③④.

【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】②③④.

【分析】令f(X)=sin(2KX)+x可判断①；用奇函数的定义可判断②；用周期函数的定义可判断③;

用函数单调性的定义判断④，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：

对于①，令/'(x)=sin(2TTX)+X,满足/'(X+1)>f(x),

但函数/(无)在R上不是增函数，故①错误；

对于②，令xi=尤，X2=-x,则，(x)4/(-尤)IWkinx+sin(-尤)|=0,

可得尤)+f(-x)=0，即满足/(-X)=-/(尤)，则函数/(X)是奇函数，可知②正确；

对于③，若Vxi,X2£R,|f(xi)-f(%2)l^lsinxi-sinx2|,

所以(x)-f(X+2TT)|W|sinr-sin(X+2TT)|=0,BP/(x)-f(X+2TT)=0,

满足/(x)=/(无+2TT),可得函数/(x)是周期为T=2ir的周期函数，即③正确；

对于④，取Vxi,X2,满足—5«尤2<冷，因为函数〉=5加在区间(-专—)上单调递增，所以silLVl

<sinx2,

可得Isinri-sin_x2|=sinx2-sinn,所以，(xi)-f(%2)|<sinx2-sinxi,

即sinxi-sinx2</(xi)-f(%2)<sinx2-sinxi,

可得了(尤1)+sinxi</(%2)+sinx2且/(xi)-sinxi>/(%2)-sinx2,

所以函数八x)-Situ在区间(-缶-)上单调递减，函数/(x)+sinx在区间(-宏-)上单调递增，

即④正确.

故答案为：②③④.

【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的性质和应用，涉及全称量词命题真假的判断，属于中档题.

14.(2024春•房山区校级期中)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号,

他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设XER,用国表示不

超过工的最大整数，则尸印称为高斯函数，例如[-2.1]=-3,[2.1]=2.已知函数/(%)=sin|x|+|sinx|,

函数g(x)=，(x)],则下列命题正确的是②④.

①函数g(x)是周期函数；

②函数g(x)的值域是｛0,1,2｝；

③函数g(x)的图象关于久=5对称；

TI

④方程3-gQ)=x只有一个实数根.

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】分类讨论；数形结合法；三角函数的图象与性质；直观想象；运算求解.

【答案】②④.

【分析】先研究函数/(X)的奇偶性，作出函数/(X)的图象，作出函数g(X)的图象判断①②的正

71

确性，由特值判断③的正确性，再分类讨论判断方程5-g(%=*的根的个数得解.

【解答】解：由题得函数/(无)=sin|x田sinx|的定义域为R,

/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=/(x),

所以函数/(x)为偶函数，

当OWxWlt时，f(X)=$皿-+$111¥=25加，；

当H<X<2TT时，f(x)=siiu--sinx=O；

当2itWxW37t时，f(x)=siiu+siiu=2sin.r；

所以函数/(x)的图象如图所示，

所以函数g(无)的图象如图所示,

由,g（—T/T）='（-/TT）]=[VL2]=bg（7'Dll）=V（7）]=[O]=o,

所以函数g（无）的图象不关于x=*对称，故选项③不正确；

71

对于方程]•g（%）=x,

当g（x）=0时，x=0,方程有一个实数根；

当g（x）=1时，x=-*TT,此时g（-TC）=2W1,此时方程没有实数根；

当g（x）=2时，X=1T,止匕时g（IT）=0W2,此时方程没有实数根；

7T

故方程号•g（x）=久只有一个实数根，故选项④正确.

故答案为：②④.

【点评】本题性新概念题，考查了函数的奇偶性、对称性及值域，也考查了数形结合思想、分类讨论思

想，作出图象是关键点，属于中档题.

15.（2024秋•嘉定区校级期中）如图，正方体ABC。-AiBiCiDi则下列四个命题：

①点尸在直线8。上运动，三棱锥A-D1PC的体积不变；

②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACDi所成角的大小不变；

③点P在直线BC1上运动，二面角尸-AOi-C的大小不变；

④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则尸的轨迹是过点B的一条直线.

其中的真命题是①③④.（请在横线上填上正确命题的序号）

【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用等体积转换法，线面的夹角，二面角，直线和平面的位置关系判断①②③④的结论.

【解答】解：对于①，点尸在直线BC1上运动，由于8C1〃平面AD1C,

所以2Q上任意的点到平面ADC的距离相等，所以三棱锥A-O1PC的体积不变，故①正确；

对于②；点P在直线8cl上运动，直线和平面AC/力所成的角和直线AC1与平面4C£h所成的角不

相等，故②错误；

对于③；点尸在直线BC1上运动，AP的轨迹是平面小。1,二面角P-ADi-C的大小不受影响，故③

正确；

对于④；点P是平面A8C。上到点。和Ci距离相等的动点，故点尸的轨迹为一条与直线8C平行的直

线，故④正确；

故答案为：①③④.

【点评】本题考查的知识要点：等体积转换法，线面的夹角，二面角，直线和平面的位置关系，主要考

查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

16.(2024秋•广州校级期中)已知命题“VxeR,4/+(a—2)x+*>0"是假命题，则实数。的取值范

围为(-8,0154,+8).

【考点】全称量词和全称量词命题；命题的真假判断与应用.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑；逻辑思维；

运算求解.

【答案】(-8,0]U[4,+8).

【分析】直接利用全称命题和特称命题的转换，命题真假的判断和一元二次不等式有根的充要条件求出

实数。的取值范围.

1

【解答】解：命题“VxER,4/+(。—2)%+4>0”是假命题，

1

则命题FXER,4x2+(。一2)%+彳<0”为真命题，

故/=(a—2)2—4x4X*0,整理得a2-4a20,

解得aN4或aWO,

故实数。的取值范围为(-8,0]U[4,+8).

故答案为：(-8,o]U[4,+8).

【点评】本题考查的知识要点：全称命题和特称命题，命题真假的判断，一元二次不等式有根的充要条

件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

四.解答题(共4小题)

17.(2024秋•青浦区期末)已知p：茄金20,q：/-2x+l-rMwo(m>0),且p是q的必要不充分条

件.求实数优的取值范围.

【考点】充分条件与必要条件.

【专题】转化思想；定义法；简易逻辑.

【答案】见试题解答内容

【分析】先化简p,q利用P是g的必要不充分条件，确定实数，”的取值范围.

【解答】解：由p：券NO得黑+2)(1/X)20,

即『2*1°,即-2Wx<10,

1%H10

2

由x-2x+l-徵2WO(m>0),得[x-(1-m)][x-(1+m)]W0,即1-机WxW1+m,

即q：1-

若p是q的必要不充分条件，

m>0m>0

贝小1-THN―2,得，m<3,即0<MW3,

kl+m<10\m<9

即实数GH取值范围是(0,3].

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件

的定义是解决本题的关键.

18.(2025•仁寿县模拟)已知“zeR,命题p：VxG[-1,2],不等式机2-3〃运_?-2x-1恒成立；命题g：

3xo£R,x(?+4优xo+l<O成立.

(1)若"为真命题，求实数机的取值范围；

(2)若命题0、q有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围.

【考点】全称量词命题真假的应用；存在量词命题真假的应用.

【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解.

【答案】(1)［1,2］；

11

(2)(—8,-2)U(2/+8)U(2，1).

【分析】(1)当在［-1,2］时，求出函数>=7-2%-1的值域，可得出关于实数机的不等式，即可求

解；

(2)求出当命题q为真命题时，实数M的取值范围，分两种情况讨论：p真q假、p假q真，综合可

得出实数机的取值范围.

【解答】解：(1)当1,2］时，?-2x-1=(x-1)2-2£［-2,2］,

若p为真命题，贝Um2--2,即m2-3m+2W0,解得1

因此实数机的取值范围是［1,2］；

(2)若q为真命题，贝!J△=16根2-4>0,解得mV-*或租〉±，

(1<m<2

(i)若p真q假，贝叼11,可得g0,

m<lS&n>2ii

(为)若p假q真，贝"11，解得zn或机>2或二<%<1,

m<-4>n>422

'LL

综上所述，实数机的取值范围是(-8,u(2,+oo)U(i,1).

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于中档题.

19.(2024秋•宁波期末)设全集U=R,集合A={x|lWxW4},集合B={x|a+2WxWa+10},其中“6R.

(1)若4口8=0,求a的取值范围；

(2)若“xeA”是"B”的充分条件，求。的取值范围.

【考点】充分条件的应用与判定定理；求集合的交集.