2025年高考押题预测卷：数学（天津卷03）（解析版）

2025年高考押题预测卷

高三数学（天津卷）•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共45分）

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合4=卜|。<«<2},B={xeZ||.r|<2},则AB=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】A

【详解】由0<小<2可解得0<x<4,所以A={x|0<x<4},

由忖<2可解得-2Wx42,又xeZ,所以3={-2,-1,0,1,2},

所以Ac3={l,2}.

故选：A.

2.已知a为平面，州〃为两条不同的直线，且〃〃/0,设命题甲：mlIn-,命题乙：nila,则（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】.mlIn,mlla,:.nHa或nua,充分性不成立；

.mlIa,nila,二"，和〃相交、平行或异面，必要性不成立.

故选：D.

3.函数/（元）的图象如图所示，则/（尤）的解析式可能为（）

B.仆）="

-10fex+e-x

【答案】B

【详解】由图可知"X）的图象关于原点对称，则"》）为奇函数,

IOCOS（-JC）_lOcosx

对于A：/（力半鲁定义域为R,定义域关于原点对称，A-M=〃x）,

（-x）2+1x1+1

所以y（x）=¥署为偶函数，不符合题意，故A错误;

l°（e'+ef）定义域为R定义域关于原点对称,

对于C〃力|,

V+2

10（e-r+e%）10（e%+e-%）

/（T）==〃尤），

（-尤）2+2JC+2

所以小）=9e+e-

为偶函数，不符合题意，故C错误;

X2+2

对于D：f（尤）=也二£］定义域为R，定义域关于原点对称,

V'炉+2

f（工）「。（…）1。—

”"E+2-尤z+2-“X），

10（ev-e-v）

所以〃x）=为奇函数,

—-+2-

当x>0时，eJ>e-x>0,x2+2>0,所以/（x）>0恒成立，不符合题意，故D错误;

故利用排除法可知选项B符合题意.

故选：B

53

4.已知a=ln—,Z?=—,c=log,3,则（）

22■

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【详解】已知。=ln*|<lne=l,6=T，c=log23>log220=T,

则a<b<c.

故选：A.

5.已知互不相等的数据不，/，X3,x4,x5,%,♦的平均数为f,方差为s；,数据X］,%，%，匕，Xs，

4的方差为江，则（>

A.s；>s；B.s；=s；

C.s；<s；D.s；与s；的大小关系无法判断

【答案】C

【详解】根据已知条件第一组数据的个数为7个，且％+%+电+：+%+%+/=’,

所以玉+々+%+%4+%5+%6=6/,

2（石一t\+（%2—'）+（%3—'）+（/—'）+（毛—"）+（%6—'）+（'—'）

4二----------------------------------------------------------

7

（王一+（%2—+（退一t\+（%4—'）+（*5—'）+（，6—'）

=----------------------------------------------------------------,

7

第二组数据的个数为6个，且平均数；=匹+%+电［―+\+%="，

66

2_（占—J+伉―/）2+（工3―，）2+（彳4-）一+（*5-J+（%一）-

%―6，

2-

因为（玉—Z）+（%2—?）+（忍—?）"+（X4—，）2+（三+（%—»）2>0，

所以S：<S；.

故选：C

6.已知函数〃x）=A/^sin7i0x-cos7i0x®>O）在［0,1］内恰有3个最值点和3个零点，则实数。的取值范围

是（）

102310里)z用

A.~3,~6B.不JC.,3'6)D.3,6J

【答案】D

【详解】因为/'(x)=7§simr0x-cos兀①x=2sinTICOX-3>o),

IT7T7T

且当0<X<l时,——<71GX——<7lCf)——,

666

因为函数〃尤）在[。川内恰有3个最值点和3个零点,

所以当《无0—丁＜3无，解得'

2636

故选：D.

7.在直三棱柱中，AB=AC=2,AB±AC,若该棱柱外接球的表面积为12兀，则侧面8屁。0绕

直线Bg旋转一周所得到的旋转体的体积为（）

A.12KB.16TIC.20兀D.247r

【答案】B

【详解】因直三棱柱ABC-AAG中，AB=AC=2,ABLAC,

则两个底面三角形的外接圆圆心分别为耳C],BC的中点q,Q，

如图所示，BC=BG=26.

设棱柱的外接球的半径为R,圆心为0,

由47出2=12兀，可得R=由对称性知，。为。,。2中点,

因侧面BB£C绕直线BBt旋转一周后得到的几何体是底面半径为2夜，高为2的圆柱,

其体积为V=几（2应彳x2=16兀.

故选：B

8.已知双曲线C:二-4=l(a>0,b>0)的焦距为4右，左、右焦点分别为月,B，过点尸।作斜率不为。的

ab

直线/与双曲线C的左、右支分别交于A,8两点.若△A3居的内切圆与直线/相切于点且|AH|=8,则

双曲线C的渐近线方程为()

A.x±4y=04x±y=0

C.2x±y=0%±2y=0

【答案】D

【详解】设△AB鸟的内切圆分别切于点M,N,

则

|AH|=|AM|=8,\BH\^\BN\,\MF2\^\NF2\,

因为怛制一忸玛卜2a,

所以(|西|+忸川)-处码+忸帅=%,得血T阳=2%

所以前|)—|成卜2°,即8+|筋|-|吗|=2即①

因为|例|-|A居|=2a,所以(|AW|+|g|)—|M|=24,

即8+|峭|-|叫=2。，②，

所以①+②，得16=4a,得a=4,

因为2c=4石，所以c=26,

所以/=5-6?=J(2府-42=2，

22〃1

所以双曲线C:'—5=1(〃>0/>0)的渐近线方程为'=

即x±2y=0.

故选：D

9.已知函数〃尤)=.32'1”八，v龙40,+助，有〃x)"(-x)20恒成立，则。的取值范围是()

\—2x—ax+1,xW(J

A,[1,+<»)B.[1,2^]C.j,2D.[1,3]

【答案】D

【详解】；x«0,+oo),re(fo,0),

当a<0时，贝lj/(-%)=-2(-x)3-a(-x)2+1=2x3-ax2+1>0恒成立，

〃x)=ax-lnx-l在(0,+oo)上单调递减，

由一次函数>=axT与函数>=lnx一定存在交点可知函数/(x)存在零点，

即存在/,使得xe(O,x(,)时,/(x)>0,xe(%+oo)时,/(x)<0,

不符合题意，舍去.

当a>0时，

设直线y=ax-l为函数y=ln无切线，设切点为(小山百)

则。=工，即历占=，*%_1=0,则々=1,。=1,

三百

①当0<。<1时，函数/(x)=ax-Inx-1存在两个零点，

令8(%)=/(-%)=2/—加+],则glx)=6x?-2«x=2x(3x-a),

.•.当寸，g'(x)<0,g(x)单调递减；当尤时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

故〃r)=g32gl=

=g(x"g>0,即>。恒成立.

此时无法满足题意，舍去；

②当a=l时，由①可知〃“对，/(-x)>0,满足

3

③当a>l时，〃力>。恒成立，要使得恒成立，则需要/(f)对恒成立，由①得120,

a<3,BPKfl?3.

综上所述iWaW3.

故选：D.

第二部分(非选择题共105分)

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.已知i为虚数单位，若(l-i)(2+ai)是纯虚数，则实数。=.

【答案】—2

【详解】因为(l-i)(2+oi)=2-2i+oi-ai2=2+a+(a-2)i,

〃+2=0

所以解得Q=—2.

Q—2w0

故答案为：-2.

11.已知，6-9](“为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常

数项为___________

【答案】-90

【详解】由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为25=32,

令x=l得，展开式中所有项的系数和为伍-if,

由题意知它们相等得，(a—1)5=32=>a=3,

5-kk

再根据展开式通项公式:=c^-k(-1/^3,

当5号-*一2k=0时，解得左=3，

3

所以展开式中的常数项为T4=C；35-3(-1)=-90,

故答案为：-90.

12.已知圆C：(x-l)2+(y-2)2=5,圆C'是以圆/+/=1上任意一点为圆心，半径为1的圆圆。与圆c，

交于A,8两点，则当—ACB最大时，|CC[=.

【答案】2

【详解】易知圆心C(l,2),半径一6，

又因为4,8都在圆上，可知|C4|=|CB卜斯，如图所示:

当公共弦长AB最大时，/ACB最大，此时弦A5为圆C的直径，

在RCACC'中，ZAC,C=90,|AC,|=l,

所以|CC[=yl\Acf-\AC'f=2.

故答案为：2

13.某校高三年级共8个班举行乒乓球比赛，每班一名选手代表班级参加，每一轮比赛前抽签决定对阵双

方，负者淘汰，胜者进入下一轮，直至最后产生冠军，其中各场比赛结果相互独立.根据以往经验，高三

（1）班选手甲和高三（2）班选手乙水平相当，且在所有选手中水平稍高，他们对阵其他班级选手时获胜

2

的概率都为除甲、乙外的其他6名选手水平相当，则高三（1）班的选手甲通过第一轮的概率为,

第三轮比赛由甲、乙争夺冠军的概率为.

・小山、964

【答案】U指

【详解】甲在首轮遇到乙的概率为:，此时甲获胜的概率为

甲遇到其他6名选手的概率为3，此时甲获胜的概率为g,

1162149

所以甲获胜概率为：P=-x-+-x-=—+-=

727314714

第一轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为弓=g乂（2]=_1.

进入第二轮的4人中，甲和乙不相遇的概率为且两人均击败对手的概率为[I],

故第二轮中甲和乙不相遇且两人均获胜，其概率为上=色，

所以甲、乙在第三轮争夺冠军的概率为尸=《5=&x&=生.

964

故答案为：u;而

3

14.在平行四边形ABC。中，NA=60。，AB=-AD.若M为。。的中点，则向量AM在向量AD上的投影

向量为（用也表示）；若AB=3,点G在边。C上，满足。G=gDC,点E,尸分别为线段48,BC

上的动点，满足3E+3户=1,则GE-G/的最小值为.

1123

【答案】vADV

OO

【详解】依题意可知A"=AD+DM=AD+gAB,

3

又NA=60。，AB=-AD,

2

所以4Z）•AM=AD.（AZ）+；=AD2+gAZ）.AB=A炉+曰卜@cos60

-21I-I3I-I111-211I|2

=AD+-\AD\x-\AD\x-=—AD=—|AZ）|

88

Hl|2

则向量AM在向量AD上的投影向量为华华鸟=ADA^AD8-AO=—AD-.

\AD\\AD\|AD|2|AD|8

以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：

3

由AB=3,45=3/1。可得AD=2,且么=60。，

所以4（0,0）,。（1,6），

又DG=；DC,所以G（2,指）；

设E«,0）,2<t<3,所以BE=3—f,由3E+3/=1可得=2；

（t^3（Z-2）

又NABC=120。，所以尸-+2,一—L；

\7

因止匕GE=,_2厂』）,GF=；,』（「）_#•

7

可得GE6」("2)一石产‘同-川=/-5，+6+3=卜』；3,

2V7|_2J22

显然当时5取得最小值，最小值为2三3.

2o

11?3

故答案为：--AZ)；--

OO

/(x),/(x)<g(x)

15.设函数/(%)=匕"一加一〃，函数8(％)=-(〃+1)%+匕+1-〃,〃。0,〃£区.若函数%(%)=

g(x),/(x)>g(x)口

有两个零点，则〃的取值范围为

【答案】(-1,0){1,—}

【详解】令函数°(x)=/(x)-g(x)=ex-njc-n-[-(n+l)x+e+l-n]=ex+x-e-l,

函数。(%)在R上单调递增,而夕(1)=1,则当％<1时，(p(x)<0,f(x)<g(x),

ex-rvc-n,x<1

当1之1时，(p(x)>0,f(x)>g(x)因此〃(%)=

-(n+l)x+e+l-n,x>l

exr<1

令函数"(x)='1,由力(x)恰有两个零点，得函数y="(x)的图象与直线y=〃(x+D有两个交点,

[-x+e+l,x>l

在同一坐标系内作出函数y="(x)的图象与直线y=〃(％+D,

直线y=〃(x+i)恒过定点(-1,0),观察图象，

当一1<“<0时，函数y=〃(x)的图象与直线y="(x+l)恒有两个交点，则

e

当直线过点P(l，e)时，函数>=a(x)的图象与直线y=〃(x+l)有两个交点，则w=]；

当直线y=〃(尤+1)与曲线>=6工相切时，函数y=〃(元)的图象与直线y=〃(尤+D有两个交点,

,e'-0

e=n=------

设切点坐标为(f,e'),y'=ex,于是，1),解得，=0,〃=1,则几=1,

er=n(t+1)

所以〃的取值范围为（-1,0）

故答案为：（-1,。）

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（14分）

在VABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且bcos^|-cj=gccosB.

⑴求角8；

（2）若VABC是锐角三角形，且c=4,求。的取值范围.

【详解】（1）因为bcos，-。=V^ccosB,由正弦定理可得sin2sinC=6cos8sinC,

因为3、Ce（O,?i）,贝！JsinC>0,所以，sinB=5/3cosB>0,

贝1J有tan2=6，故2=].（6分）

0<C<-

9TTTV

（2）因为VABC为锐角三角形，贝":，所以，-<C<-,

.271_7162

Qn<A=------C<—

[32

所以，tanO—,则0<—1—<6,（9分）

3tanC

由正弦定理可得二=-J,

smAsmC

所以，csinA4SmlC+3）2sinC+2V3cosC、2百八，（13分）

a=---------=---------------=--------------=2-\--------------G2,8

sinCsinCsinCtanC

即。的取值范围是（2,8）.（14分）

17.（15分）

如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABC。为直角梯形，且满足ADLCD,EG//AD,

EG=AD=DC=DG=2BC=2,CD//FG,OG_L平面A8CD.

（1）证明：46_1平面。。£；

（2）求平面C0E与平面A8E夹角的余弦值；

（3）在线段BE上是否存在一点P,使得直线。P与平面ABE所成角的正弦值为返？若存在，求国的值;

若不存在，说明理由.

【详解】(1)因为EG〃A£>且EG="»,所以四边形ADGE为平行四边形,

又AD=DG,所以四边形AOGE为菱形，所以AGLDE.

因为OG_L平面ABCOCDu平面ABCD,所以OG_LCD,

又40，。,£>34£><=平面凡。心在£)3门&〃=£),所以平面ADGE,

又AGu平面ADGE,所以CD_LAG,

又AG工DE,DE,CDu平面CDE,DEeCD=D,所以AG_L平面CDE（4分）

(2)因为。G_L平面ABC。,DAu平面ABC。，所以OGJ_DA,

又DGLDC,DADC,

以。为原点，分别以ZM,DC,£)G的方向为x轴，>轴，.z.轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,3（1,2,0）,G（0,0,2）E（2,0,2）,

所以AB=（T,2,0）,AE=（0,0,2）,E3=（T,2,—2）,OE=（2,0,2）,AG=（—2,0,2）,（6分）

由(1)知平面CZJE的法向量为m=AG=(-2,0,2),

n-AB=-x+2y=0

设平面ABE的法向量为〃=(x,y,z),贝1卜

n-AE=2z=0

令y=l，得X=2,z=o,所以几=（2,1,0）.（8分）

4_VlO

故c|cos（m,n）|\m-n\_

|m||n|2gx65

平面COE与平面ABE夹角的余弦值为巫；（10分）

5

（3）假设线段BE上存在点P,使得直线OP与平面加汨所成角的正弦值为返,

85

EP=2EB=(-2,22,-22)(0<2<1),DP=DE+EP=(2-2,22,2-22),

n-DP\|(2,1,0).(2-A,22,2-22)|

则cos(4DP

|/z||DP\V?ZTJ(2-1，+4^2+(2-22)2

48四八

（12分）

国9万一122+8OJ

解得八：或"|•⑴分）

FPFP

所以线段班上存在点尸，当二=:1或二=35时，

EB2EB6

使得直线。尸与平面叱所成角的正弦值为运.（15分）

85

18.(15分)

已知椭圆E:"+；=l（a>b>0）的离心率为当且过点P（-2,l）.

（1）求E的方程;

（2）已知。为坐标原点，直线/：y=x+f与E交于M,N两点.

①若的面积为2,求直线/的方程;

②记外接圆的圆心为G,平面上是否存在两定点0月,使得||G团-6闾|为定值？若存在，求出两定

点G，乙的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

c_V3

a2

(-2)2I2

【详解】（1）由题意知+5=1；解得0=26力=拒,c=^,

c2=a2-b2

22

所以E的方程为土+乙=1.（4分）

82

（2）设知（拓％）］（无2，%）,如下图所示:

贝|石+冗2=一£,玉/（6分）

①所以|MN|=J1+1忖一引=&,J（%1+t）2-4%工2

=y/2•

-

又点0到直线MN的距离1=［告=黄,

所以一.(W的面积s=；|MN|M=1x|^?xi=2,

解得"石或"-行，即直线/的方程为y=%+6或y=x-6.(9分)

27

②所以OM的中垂线方程为：yjJ-y

，BP^x+y^y七L=0，（*）

同理可得QV的中垂线方程为：%工+%>-七&=。，(**)

由(*)(**)两式可得西必无一可JMX一

2

所以,外接圆圆心G的横坐标％:六;；加(11分)

—X；%=X（x2+%）（%2

X^yi+（%—%）%%2（石+%）一片2+%）+（尤—石）（石+%）

=（%;%一片%2）+%（考一工；）+（工2—%）（玉+%）（%2+。

=（x2-^）［jqx2+?（x2+x1）+（jq+r）（x2+z）］

（无2-%）［2占％+2（%+玉）+/］2^^+2（马+石）+广2

所以％=-(12分)

2《犬2_尤1)2t

t3/8

=----FXQ+X]H-----------,

t2105%

兀再+%2

又肋V的中垂线方程为y-X产,gpy=-x-^

2)

33t8

所以圆心G的纵坐标为%=-—t——---1—，

~10~5t5105t

2

所以*m3t8|=||,(13分)

---1—

105t

4R

即圆心G在双曲线必-丁=||上,

476

易知双曲线两焦点为-

5

77

由双曲线定义可知存在定点片，学,o],工、

，。或耳,0满足题意;

7

4cQ使得||G周-|GB|=|6.(15分)

所以存在定点大,0或65'J

19.(15分)

已知数列｛%｝的前几项和S“，4=1,an>0,。/3=45“-1.设数列也｝的前〃项和为7；,且仿=1,

2,1+1-2

5见+12"+1-1

⑴求｛%｝的通项公式;

(2)求工(-1)'44+1；

i=l

4S15

(3)求证：2^<—.

k=\LkLk+\1Z

【详解】(1)数列｛q｝中，anan+1=4Sn-l,当“22时，a^a,,=4S,^-1,

两式相减，得（4+「％）%=44,而a“>0,则-4,

由1=1,得出=4S-1=3,因此数列｛%,/,｛%,｝都是公差为4,首项分别为1,3的等差数列,

a

%〃T=\+4(〃-1)=4〃-3=2(2〃-1)—1,即当〃为奇数时，an=2n-1;

a=a

2n2+4(n-l)=4n-l=2-2n-l,即当〃为偶数时，an=2n-l,

所以｛%｝的通项公式是4=2〃-1.(5分)

(2)由(1)知q=2i—1,(―1)"1%一i%+(―1尸〃2M2i+i=—(4，—3)(4，—1)+(4i—1)4,+1)=4(41—1),

当月为偶数时，'(一1)'卬a=4(3+7++2…"3+'T.g=2〃5+l),

z=i22

〃〃+1

naaaa2

当为奇数时，£(-1)'44+1=£(T)'iM-n+i„+2=2(〃+1)(〃+2)-(2〃+1)(2〃+3)=-2/?-2〃+1,

Z=1Z=1

-2/一2〃+1,“为奇数

所以

i=l2"2+2”,”为偶数

⑶依题意，£祟二铲一£(；；)="-;=>；_2n+1-2

而E

i=l1i1i+\i=l1i1i+li=l1i+l711i+i1i+i

12向-21

因止匕1一二=声父=1一产口，解得&1=2向T,(12分)

当“22时,T„=2"-l,7；=1满足上式，则］=2"-1,

+122

当“22时,TnTn+l=(2"-1)(2"-1)-2-2"-3-2"+1>2-2"-3-2"=2"(2"+2"-3)>4",

G11sli1

-

当时,/------------二------------1/----------<—F=一+

k=l1k1k+l1i12k=21klk+1J3

4

11“1、115-1_1，5

=§+万F'而而一大谈

〃15

所以ZTT<布,(15分)

k=l1k1k+\12

20.(16分)

已知函数/(x)=em,g(x)=x+6,(a,6eR).

⑴若a=-l,函数Hx)=/(x)-g(x)