2025年广东省深圳某中学高考数学一模试卷+答案解析

2025年广东省深圳高级中学高中园高考数学一模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|0</<3},B={—2,—1,0,1,2},则AG8=()

A.{-1,1}B.{0,1,2}C.{—1,0,1}D.{-2,—1,0,1}

2.若z=l+*贝!J|/—H=()

A.y/2B.1C.0D.2

3.已知向量乱了满足才+了=(2,3),才—了=(2,—1)，则同2_由『=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.tan195°=()

A.—2-通B.-2+^3C.2-73D.2+^3

5.已知直线a,6分别在两个不同的平面a,。内,则“a〃b”是“平面a〃平面/?”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在等差数列{厮}中，电=-9,a3=-1记Ci=仇&2…厮(冗=1,2,…)，则数列{累}()

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

22

7.椭圆1+4=1(°>6>0)的上顶点为/,点尸，。是椭圆上关于原点对称的两个点，若直线AP和N。

azbz

的斜率之积为一:，则椭圆的离心率为()

A.迪B.遮C.-D.-

2223

8.已知直线/：网+%―M=o与图c：工2+力=/2,点则下列说法错误的是()

A.若点/在圆C上，则直线/与圆C相切B.若点/在圆。内，则直线/与圆。相离

C.若点N在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点N在直线/上，则直线/与圆C相切

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,M),下列结论中正确的是()

A.。越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

第1页，共17页

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

10.已知函数/(2)=gsin2c,贝1］()

A./(，)的最小正周期为27r

7T7T

B./(乃在［一］点上单调递增

C.当我［磊］时,/⑶的值域是［―f事

D.f⑸的图象可由g(c)=：sin(2c+的图象向右平移1个单位长度得到

24o

11.已知正方体48。。一43。1。1，贝1()

A.直线BCi与所成的角为90°

B,直线BCi与所成的角为90°

C.直线3。1与平面3瓦。1。所成的角为45。

D.直线BQ与平面ABCD所成的角为45°

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.二项式Q+3》展开式中的常数项是.

13.已知双曲线C：/—92=1,左、右焦点分别为公、凡，过刃作倾斜角为60°的直线与双曲线C交于

M,N两点，则△MN丹的周长为.

14.学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员(一名主裁判，两名不

同的助理裁判，一名第四裁判)，其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要

求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在中，内角B,C的对边分别为a,b,c,已知a=7,b=8,cosB——

⑴求力;

(2)求/C边上的高.

16.(本小题15分)

9

已知抛物线C：y2=2px,斜率为5的直线/交抛物线于M,N两点，且

第2页，共17页

(1)求抛物线C的方程；

(2)试探究：抛物线C上是否存在点尸，使得PMLPN?若存在，求出尸点坐标；若不存在，请说明理由.

17.(本小题15分)

如图，在三棱锥A—中，已知43=4。=00=2，BC=AD，AC1BD.

(1)若3。=2,求证：ABLCD；

(2)若30=生强，求直线与平面/CD所成角的正弦值.

18.(本小题17分)

已知函数/(2)=ln(e2a:+1)—az—团,其中aER.

(1)当a=0时，讨论函数/(，)的单调性；

⑵当a=1时，证明：曲线/(乃是轴对称图形；

(3)若/(劝<In2在R上恒成立，求a的取值范围.

19.(本小题17分)

若数列｛an｝(iW冗W月冗eN*,rn,keN*)满足须e｛—1,1｝.定义广义规范数列如下：｛厮｝中共有

血+上项(篇》k)，其中m项为—1，左项为1,且对任意，+k项，。2,•••,期中的—1的个数不

少于1的个数.当加=k时，满足上述定义的数列称为规范数列.记/(以卜)表示“广义规范数列”的个数.

(1)若｛厮｝既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有｛厮｝的通项公式；

(2)求/(6,2),Vm>2；进一步证明：当时，f(m,fc)=/(m-1,A:)+f(m,fc-1)；

7

(3)当k=3时，记En+3表示m+3项数列中符合广义规范数列的概率，求证：Pm+3

(提示：I2+22+-+n2=n(n+1)(2n+1))

6

第3页，共17页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合A={x|0<a?<3}={引—M<x<0或0<a:<A/3}>

而8={—

故4nB={-1,1}.

故选：A.

求出集合8,利用交集的定义可求得集合4nB.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查复数的模及其几何意义，复数的加、减法运算及其几何意义，复数的乘法运算，属于基础题.

根据复数的乘法运算和减法运算求出复数/_z，由复数模的几何意义求出e—W的值.

【解答】

解：■：z—1+i,

：./=(1+犷=2，，

\z2-z\=\2i-1-i\=\-1+i\=y(-l)2+l2=V2.

故选：A.

3.【答案】D

【解析】解：由才一了二(2,—1)，才+了=(2,3)，

两式相加减可得，~b=(0,2),t=(2,1),

故同2_|V|2=22+l2-(22+02)=1.

故选：D.

根据模长公式即可求解.

本题主要考查向量的模长公式，属于基础题.

4.【答案】C

11

【解析】解：tan195°=tan(180°+15°)=tan15°=tan(60°—45°)=‘二‘。八/⑪"?=—“广1—

''''1+tan60°tan45°1+通x1

—2—\/3.

第4页，共17页

故选：c.

利用诱导公式以及两角差的正切公式即可求解.

本题考查了诱导公式以及两角差的正切公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于

基础题.

5.【答案】D

【解析】解：直线a,b分别在两个不同的平面。，户内，

当a〃b时，平面a与平面0可能平行也可能相交，即充分性不成立，

当平面a〃平面/3时，直线a,6分别在两个不同平面a,内，

则两直线平行或异面，即必要性也不成立，

,"a〃旷是“平面a〃平面的既不充分也不必要条件.

故选：D.

根据直线平行和面面平行的判定条件分别进行判断即可.

本题考查了直线平行和面面平行的判定条件，是基础题.

6.【答案】B

【解析】解：根据题意，在等差数列｛厮｝中，句=—9,。3=-1，

则其公差d==丁〒=%

o—1o—1

故。九=Qi+（几一l）d=—9+（ri—1）x4=4n—13,

注意到Q1<。2<。3<0<。4=3<Q5<，，，，

且由4<0可知力<0（，）3,zeTV）,

T

由—di>1（〃24,，eN）,得TJ<24,2eN）,

J-i-i

所以数列｛4｝在ne[3,+oo）,neN上为递减数列，

所以数列｛4｝不存在最小项，

由于a1——9,a2=—5,。3=—1，—1>

故数列｛1｝中的正项只有〃=45,

故数列｛4｝中存在最大项，且最大项为Z.

故选：B.

首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小

项.

本题考查等差数列的性质，涉及数列的单调性，属于基础题.

第5页，共17页

7.【答案】A

【解析】解：点4(0,6),设PQo,go),Q(——伏)),

2

,Vo-by0+by1-b1

贝ijkAP-kAQ=------------=-2—=--

xox0端4

又%W=i，

a2bz

故选：A.

设P(%W，则Q(-3-的)，根据斜率公式结合题意可得：kAP-kAQ=再结合第+《=i,整理可

4azbz

得离心率.

本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题.

8.【答案】C

「2

【解析】解：圆心。(0,0)到直线/的距离小=

Va2+b~

若点4(a,b)在圆C上,则a2+肥=72,

「2

所以d=〉0),则直线/与圆C相切，故/正确；

Va2+

若点4a㈤在圆C内，则。2+庐</2,

72

所以d=>0),则直线/与圆C相离，故8正确；

Va2+o2

若点4a㈤在圆C外，则02+卜2〉,2,

「2

所以d=/―^<r(r>0),则直线/与圆C相交，故C错误；

va2+D2

若点4(a,6)在直线/上，则&2+肝—『2=0,即。2+解=/2,

「2

所以4=7^=不=7位>0)直线/与圆(7相切，故。正确.

\/a2+b2

故选：C.

求得圆心。(0,0)到直线/的距离，再根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题.

9【答案】ABC

【解析】解：对于选项/,标为数据的方差，所以(7越小，数据在〃=10附近越集中，正态曲线越瘦高,

所以该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大，故/正确；

第6页，共17页

对于选项8,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故8正确；

对于选项C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等，

故C正确；

对于选项D,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10)与落在(10.2,10.3)

的概率不相等，

所以落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率也不相等，故D错误.

故选：ABC.

根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.

本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：N中，由函数/(2)的解析式，可得函数的最小正周期为7=?27=r心所以/不正确；

B中，令力=2力e[—5w]，而g=公由土在[一子万]上递增，

7T7T

所以/(口在[—了/上单调递增，所以8正确；

C中,因为力G—,设[=2]€[—―,—],则sintG[―VE,“，

oooo2

所以/Q)e[-必」]，所以c不正确；

42

|77-17T

D中，因为g(2)=-sin(2a;+-)=-sin[2(a:+-)],

2428

7T

所以/(，)的图象可由gQ)的图象向右平移了个单位长度得到，所以。正确.

O

故选：BD.

由三角函数的性质逐一判断所给命题的真假.

本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查异面直线所成角，直线与平面所成角，属于中档题.

根据题意画出对应正方体，由异面直线所成角结合正方体性质判断/、B,由直线与平面所成角结合正方体

性质判断C、。即可.

【解答】

解：对于在正方体—中，显然有81。〃。小，BXCLBCX,

第7页，共17页

则BdZ4i，即直线BQ与04所成的角为90°，故/正确；

对于3,AiBi±BCi，BCiLBiC,小历Cl耳。=耳，AiBp_BQu平面。4_BQ,

口。」平面DA^C,而。4U平面DAXBXC,

.-.BCilCAi，即直线5。1与。4所成的角为90°，故3正确；

对于C,连接4。1，交耳。1于O,连接8。，

显然在正方体AB。。—4bBic中，CiOlBiDi,BiBICiO,

又BiDiCBiB=Bi，口1。1U平面_BiBU平面

所以G。，平面RBiOiD

所以直线与平面3片。1。所成的角为/。记。，

设正方体48C0—小场。1功棱长为1,则GO=g,BCi=s/2,

则sinZCiBO=|^=|,所以/QB。=30°,

即直线8。与平面3修。1。所成的角为30°,故C错误；

对于。，正方体4BCD—41gle01中，。。」平面N3CA,

所以直线与平面/BCD所成的角为/。出。，

显然正方体ABCD-4场。1。1中ZCiBC=45°,

即直线与平面/BCD所成的角为45°，故。正确.

故选：ABD.

12.【答案】

O

【解析】解：展开式的通项为4+l=(；)P&8-2r

令8-2r=0得r=4

所以展开式的常数项为(j)4C4=1

第8页，共17页

故答案为K

o

利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0,求出入将r的值代入通项求出展开式的

常数项.

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

13.【答案】12

【解析】解：因为凡（0,0）,,0）,

因此直线为沙=tanjg-A/2）=V3（x-\/2）,

o

设N（物92）,

根据（『2—6得谓―6血/+7=0，

根据韦达定理可得叼+政=3\/2,2"2=了

因此|_WN|=+3-y（x1+灰）？一42解2=2\/18—14=4，

由于“囿=囚局+2,附员|=川园+2,

因此|MFi|+\NFi\=\MF2\+\NF2\+4=|MJV|+4=8,

因此阳局+|Wi|+\MN\=12.

故答案为：12.

由月（一，^0）,生（v^,0），可得ACV为沙=tanj（a;-，^）=通（2一U）,代入双曲线方程中，利用弦长

公式求出|A8|,再由双曲线的定义即可求解周长.

本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题.

14.【答案】

।O

第9页，共17页

【解析】解：第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数:

先从4名女生中选出一名担任主裁判，有4种选法,

再从剩下12人中选出3人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判，

注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有(用2—题)种选法，

故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为4(4%-4》，

第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数:

先从4名女生中选出一名担任主裁判，有4种选法，

再从9名男生中选出一名担任第四裁判，有9种选法，

最后从剩下11人中选出2人分别担任不同的助理裁判，有种选法，

故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为4x94：i，

设事件/表示“四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是

男生”，

4x9端_55

则

P(4)4«-Ai)=73"

55

故答案为:

73'

先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有

女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果.

本题主要考查了条件概率的定义，考查了排列组合知识，属于中档题.

15.【答案】解：(1)在△46。中，因为cosB=—?所以sinB=，l—COS2B="1

77

由正弦定理得，sin4=20=Y3，

b2

因为cosB=—所以所以0<A<J

7T

所以A=可一

O

(2)在AABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=x(―^)+x，

所以/C边上的高为asinC=7义.=空.

142

【解析】(1)结合同角三角函数的平方关系与正弦定理，可得sin4的值，再判断/的范围，即可得解；

(2)先结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求出sin。的值，再由asin。，得解.

本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻

辑推理能力和运算能力，属于基础题.

第10页，共17页

16.【答案】解：⑴根据M。,—2)在抛物线上，那么(—2)2=2px1,解得。=2,

因此抛物线C为沙2=4匕

⑵如图，

2

、江Hc/rn、

设点P(7,m),

2

根据直线/的斜率为:且过”(1—2),

O

2

那么直线/为：g—(―2)=系/一1),所以21—3沙一8=0,

O

(21—3g—8=00

联立直线/和抛物线可得＜2/，可得才—6g—16=0,解得沙=—2或沙=8,

所以可得N点的纵坐标为8,代入/=4*,得2=16,所以N(16,8),

若PM工PN，贝丽，即^?.时=0，

22

又PA/=(1—三,—2—m),P7\/(16—彳)8—m)，

,m22

则可得(1———)•(16———)+(—2—nz)(8—m)=0，

整理得，m[m+2)(m-8)(m+6)=0,解得m=0,或6=一2,或加=8,或加二一6,

当m=8时，尸(16,8)与N重合，舍去，

当机=一2时，/1,一2)与屈重合，舍去，

当?71=-6时，P(9,-6),

当m=0时，尸(0,0).

综上，抛物线。上存在点P,为(0,0)和(9,—6)时，PMLPN.

【解析】(1)由2)在抛物线上，代入求出尸，即可求出抛物线。的方程；

2

⑵设P(十,m)，求出直线/并与抛物线C的方程联立，求出N点坐标，^PMIPN转化为百方.而=0,

第11页，共17页

求出m并检查是否符合题意即可.

本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题.

17.【答案】(1)证明：取8C的中点£,连接DE,

因为=4。=。。=3。=2，

所以BC14E，BCLDE,又AE,为平面ADE内两条相交直线，

所以BCLL平面4DE,又/。在平面4DE内，

所以

由血.次=近+匝.(U1+砌=就耳+用.而+玩+瓦.而,

因为ACLL8D,所以加.。1=0，

所以•质=+标+玩•而=而•质+瓦・林=石•福，

XBC1AD,

所以助•丽=而•无=0，

所以4B，。。；

(2)解；过点N作8。的垂线，交8。于点O,连接CO,

因为Acre。，又/。，/c为平面/。。内两条相交直线,

所以8。，平面NOC,又CO在平面/OC内，

所以B。，。。，

又AB=CD=2,BC=AD，BD=BD，

AABD兰ABCD,

第12页，共17页

所以。为5。中点，所以_BC=AD=2,

因为46=2,80=二公

由勾股定理可得：AO=C0

在△04C中，AC=2,由余弦定理可得cos乙4。。=

2OA-OC2732通

2x——x——

所以sinAAOC=71-cos2AAOC=—

时、101八ACC./,„„12%/32\/3A/3\/3

\以S/XAOC=-OA*0CsinZ.A0C=-x---x----x—=—,

223323

S/XADC=-x2X2X—=Vs，

设B到平面ACD的距离为d,

则VB-ACD=IxS丛AOCxBD=：xS/\ADCXh，

oo

解得：无=曳!，

9

设直线AB与平面ACD所成角为6，

所以直线与平面ACD所成角的正弦值为生G

9

【解析】(1)取5c的中点£连接/£,DE,易证再通过空间位置的关系的向量表示即证

福•前=前•屈=0即可；

(2)通过等体积法，求得3到平面NCD的距离为，即可求解.

本题考查用向量的方法证明直线与直线垂直及直线与平面所成的角的正弦值的求法，属于中档题.

18.【答案】解:⑴当a=0时,函数/3)=ln(e2"+l)一同,则/'(W=

e2x-l

当立〉0时，?(c)=r---------1

v'e2x+1e2x+l

因为x〉0,所以e21〉l，所以尸(乃〉0,

第13页，共17页

2*3e2x+1

当力<0时,[3)=+1=>0.

^ne2x+l

所以当a=0时，函数/(①)在R上单调递增.

(2)证明:当a=l时,函数/(①)=足付。+1)-劣-同

=侬三二)一阳=皿/+b，)一|剑，

/(—优)=ln(e-x+ex)-\-x\=ln(ex+e-x)—阳=/(力)，

所以/(乃为偶函数，关于〉轴对称;

所以当Q=1时，曲线〃/)是轴对称图形.

⑶因为/(2)<In2在R上恒成立，所以ln(e2,+1)—Q/一团(ln2,

当力20时,有ln(e23：+1)—QN—<In2,

2P2zo

'J*+ie2x-\-l

当Q21时，f\x)<0在(0,+oo)上恒成立，

故/(力)在[0,+8)上为减函数,故/(力)</(0)=ln2,此时不等式恒成立,

若Q<Lln(e2a;+1)—ax—x>In^—ax—x=(1—d)x,

此时当力〉-2时,ln(e2;r+1)—QN—i〉ln2,

1—a

故ln(e2a:+1)—ax—xIn2不成立，

故当①20时，若不等式ln(e2=+1)—ax—\x\WIn2恒成立，则Q>1.

若iW0,则ln(e2,+1)—Qi+力4In2,

2j2

又/'(立)=2^,1-a+1=3-a-2,二T

ezx+1ezx+1

2

当出<0时，1<e2"+1^2,故1—a<3—Q—3----<2—a,

ezx+1

若a=L则0〈/⑵(1,故/Q)在(-oo〈)上为增函数,

故/(c)W/(0)=如2恒成立;

若l<a<2,当」<#2时,有'伍?"+1)—aa?+a;>(1-a)a?>(1-a)x上史=ln2,与题设矛盾,

若a22,此时/⑶<0在(—oo,0)上恒成立，故/(2)在(—oo,0)上为减函数，

故/⑵》/(0)=如2在(―8,0］上恒成立,与题设矛盾.

综上，a的取值范围为{1}.

【解析】(1)去绝对值求导函数，根据导函数正负判断原函数增减；

(2)去绝对值判断函数为偶函数，从而确定其关于了轴对称;

第14页，共17页

(3)先讨论，》0时不等式恒成立，此时可就a21,a<1分类讨论后得a21，在此条件下再讨论zW0不

等式恒成立，从而可求参数的范围.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题.

19.【答案】解：(1)规范数列要求加=k，即数列中—1和1的数量相等，

均为加项，等比数列的公比，•必须使得所有项而6

因此公比r只能是-1或1,若公比r=l，则所有项均为首项用的值，

但若的=1则数列全为1,此时—1的数量为0,与机=心21矛盾，

同理，若幻=-1则数列全为一1,此时1的数量为0,亦矛盾，

因此公比r=l不满足条件，若公比「=一1,

1

则数列为交替数列an=ai-(-I)"-.

由于规范数列要求-1和1的数量相等，总项数为2%,故加+卜=2m，即卜=机，

这与规范数列定义一致，接下来需验证前缀条件：对任意，

前/项中—1的个数不少于1的个数，若首项何=1则数列为1,-1,1,-1,

此时前1项中1的个数为1,-1的个数为0,不满足前缀条件，

因此首项必须为—1,即©=—1数列为一1,1,-1,1,当，为奇数时，

前i项中有亨个-1和上J个1，显然-1的个数多于1,当i为偶数时，

前4项中有5个—1和;个1,满足-1的个数不少于1的个数，

因此，唯一满足条件的等比数列为厮=(-1-，

进一步验证总项数2/时-1和1的数量均为m,符合规范数列定义；

⑵当m〉2时，若第一个位置为—1,则剩余m—1个—1和2个1,

此时广义规范数列的数目为/(m-1,2),若第一个位置为1,

则剩余加个-1和1个1,且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数，

这种情况等价于k=1的广义规范数列，其数目为/(m,1),

因此,递推关系为/(m,2)=/(m—1,2)+/(呵1),当k=1时,

数列中有加个-