2025年沪科版八年级数学下册 第16章 二次根式 章节重点梳理【3大考点11种题型】

第16章二次根式13大考点11种题型】

【沪科版】

►题型梳理

【考点1二次根式】.............................................................................।

【题型1利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】.............................................2

【题型2利用V?=|a|化简］......................................................................2

【考点2二次根式的乘除】......................................................................3

【题型3二次根式乘除法法则适用的条件】.......................................................3

【题型4二次根式的乘除运算】..................................................................4

【题型5二次根式大小的比较】..................................................................4

【题型6分母有理化】..........................................................................5

【题型7二次根式化为最简二次根式】...........................................................6

【考点3二次根式的加减】......................................................................6

【题型8二次根式的混合运算】..................................................................6

【题型9与二次根式有关的化简求值】...........................................................7

【题型10二次根式的应用】......................................................................8

【题型11二次根式的规律探究】.................................................................10

院举一反三

【考点1二次根式】

1.二次根式的定义

形如石(a>0)的式子叫做二次根式.其中“《叫做二次根号，幺叫做被开方数.

(1)二次根式有意义的条件是被珏方数为韭负数.据此可以确定字母的取值范围；

(2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断：

①是否含有二次根号“1一"；

②被开方数是否为非负数.

若两个标准都符合，则是二^根式;若只符合其中一个标准，则不是二次根式.

(3)形如由4(£>0)的式子也是二次根式，其中二叫做二次根式的系数，它表示的是：心2•右(*0)；

1

（4）根据二次根式有意义的条件，若二次根式/匚方与」B-A都有意义，则有/=员

2.二次根式的性质

（1）双重非负性:易&Q;（主要用于字母的求值）

（2）回归性：（6）（。加）；（主要用于二次根式的计算）

必=同=『"他

（3）转化性:〔一心叫（主要用于二次根式的化简）

【题型1利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】

【例1】（23-24八年级•安徽池州•期末）代数式J（1-a）2+J（3-a"的值为常数2,则a的取值范围是（）

A.a>3B.a<1C.1<a<3D.a=1或a=3

【变式1-1］（23-24八年级•山东聊城•期末）如果9-3a,贝Ua的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【变式1-2］（23-24八年级•黑龙江绥化•期末）如果两个最简二次根式7^口与VI石二^是同类二次根式，

那么使V5a-2x有意义的x的取值范围是.

【变式1-3］（23-24八年级•上海宝山•阶段练习）若，炉+2/=—久代方,贝咏的取值范围是.

【题型2利用而=|a|化简】

【例2】（23-24八年级下•山东威海・期末）已知K了<0,则化简二次根式的正确结果是（）

A.V2B.—c.D.一近

【变式2-1］⑵-24八年级上•上海徐汇•阶段练习）将（a-3）区（a<0）化简的结果是.

【变式2-2］（23-24七年级上•青海黄南•期末）实数a,b在数轴上的位置如图所示，则J（a-6）2—旧化简

的值是.

0b

【变式2-3］（23-24八年级下•全国•单元测试）已知0<a<l,化简J（a+［）2-4+l（a-^）2+4

得.

2

【考点2二次根式的乘除】

1.二次根式的乘法法则：品.网=而(a>0,b>0).

2.二次根式的除法法则:

Va(2)&+R=Ja=b(a>0,b>0)；

⑴不

(3)分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化;

具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.

3.常用分母有理化因式：金与&,Va-7b与而+石，mTa+nVb与mVa-nVb,它们也叫互为

有理化因式.

4.最简二次根式：

(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，

①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母；

(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

5.二次根式比较大小的方法：

(1)利用近似值比大小；

(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

(3)分别平方，然后比大小.

【题型3二次根式乘除法法则适用的条件】

【例3】(23-24八年级上•上海浦东新•阶段练习)使等式侣=卷=厮成立的x的取值范围是一

【变式3-1](23-24八年级下•浙江•课后作业)若-2)(3-％)=VFZ•VI=成立,则无的取值范围是

)

3

A.%>2B.%<3C.2<%<3D.2<x<3

【变式3-2］（23-24九年级下•江苏南京•阶段练习）已知」詈=苧，贝帽的取值范围是（）

A.a<0B.a<0C.0<a<lD.a>0

【变式3-3】（23-24九年级上•河南新乡•阶段练习）若等式当成立，则血的取值范围是（

A.m>3B.m>-C.-<m<3

【题型4二次根式的乘除运算】

【变式4-1］（24-25八年级上•全国•课后作业）计算百++拒的结果为.

【变式4-2］（23-24八年级上•上海奉贤・期中）计算：£■+5"（-：闻）.

b37a2

【变式4-3］（23-24八年级下•浙江宁波•阶段练习）已知夕=a,470=b,则用a、b表示为（）

【题型5二次根式大小的比较】

【例5】（23-24九年级上•河南周口•阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数a,b,

若a>b,则随后讲解了一道例题：

参考下面例题的解法，解答下列问题：

试比较2百和3企的大

小.

2

解：（2V3）=12,

7

（3夜）=18,

V12<18,

/.2V3<3V2

（1）比较-3代和-5国的大小.

（2）比较逐+企和花+B的大小.

【变式5-1］（23-24八年级上•全国•单元测试）比较下列各组数的大小：

（1）5xb与3义4

4

(2)—2xa与一近

⑶西与鱼+V3

(4亨与0.5.

【变式5-2](23-24八年级•全国•课后作业)你能比较后'与皿1叩的大小吗?其中k为正整数.

\k+2—VkVk+4-Vk+2

【变式5-31(23-24八年级下•湖北恩施•阶段练习)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如强够,专+1

的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，孺=需=誓，=、倍=当，言==百一

V3V3XV33yj3x33V3+1(湍V3+1J(％V3—

1,这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：

⑴化简：篇;

(2)若。是a的小数部分，求:的值；

(3)比较、2023-42022与V2024-。2023的大小.

【题型6分母有理化】

【例6】(23-24八年级下•云南昆明•阶段练习)材料：将土，分母有理化，解：原式

73—72

=嘤*=童+&运用以上方法解决问题：已知a=占，=七.

(V3-V2)(V3+V2)3+V11V11-3

(1)将分母有理化；

(2)求层—4ab+b2.

【变式6-1】(2024•上海浦东新•二模)而”的一个有理化因式是()

A.7m+nB.y[m+y/nC.y/m—yfnD.7m_n

【变式6-2](23-24八年级上•上海黄浦・期中)分母有理化：%噜2)=_________.

V2+4+V6

【变式6-31(23-24八年级下•安徽滁州•阶段练习)我们已经知道，根据平方差公式可得(口+VbXV^-呵=

a-b,因为无理数代+也与无理数声-也的乘积为有理数，所以我们称无理数+网与无理数-血

互为有理化因式.例如：(1-72)(1+V2)=1-2=-1,所以无理数1—鱼与无理数1+企互为有理化

因式.

(1)无理数b-鱼的有理化因式是.

(2)计算—+赤宗・

5

【题型7二次根式化为最简二次根式】

【方法总结】应用二次根式的性质可以把二次根式化为最简二次根式，为二次根式的运算奠定基础.

【例71（23-24八年级•河南新乡•阶段练习）若y>0,则二次根式81炉歹化为最简二次根式为.

【变式7-1］（23-24八年级•河北张家口•期末）将式子（0为正整数）化为最简二次根式后，可以与

迎合并.写出一个符合条件。的值______.

【变式7-2］（23-24八年级•安徽•阶段练习）已知4=2心+1,B=3Vm,C=J10%+3y,其中A,B

为最简二次根式，且力+B=C,则2y-%的值为.

【变式7-3］（23-24八年级•山东烟台・期末）我们把形如a«+6（a,b为有理数，代为最简二次根式）的

数叫做«型无理数，如3而+1是岔型无理数，贝廉&+遮产是_____型无理数.

【考点3二次根式的加减】

1.二次根式化简题的几种类型：

（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.

2.同类二次根式：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

3.二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内

的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有

时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

【题型8二次根式的混合运算】

【方法总结】二次根式的混合运算可以运用整式的乘法法则和乘法公式计算.

【例81（23-24八年级•浙江杭州•自主招生）对于任意正数%,〃，定义运算※如下：小※n=卜色一型，根，

{y/m+y/n（jn<n）

计算（3X2）x（8X12）的结果为.

【变式8-1］（23-24八年级呐蒙古呼和浩特•期中）计算：

6

（1）^3718+1V50-4出卜反

⑵（-2直『+V24xJj+|V3-2|-6^|；

【变式8-2］（23-24八年级•贵州遵义・期中）在计算历x2b-岳+店时，小明的解题过程如下：

解：原式=2后忑—J六①

=2V18-迎②

=（2-1）“8-8③

=Vio@

（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第步开始出错的；

（2）请你给出正确的解题过程.

【变式8-3］（23-24八年级•河南洛阳•阶段练习）小明在解决问题“已知a=&，求2a2-8a+1的值”时,

他是这样分析与解答的：

a——=7—父产l、=2-V3,a—2――V3.

2+V3（2+V3）（2-V3），

（a-2）2—3,即小—4a+4=3.

彦—4a=-1.2a2—8a+1=2（a?-4a）+1=2x（—1）+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

⑴填空:悬^=--------------->而*T=-----------------------021）；

（2）计算：（房^+£^+齐片+…+本岛赢）（何万+1）；

（3）若。=K，，求2a2—12a—5的值.

V10—3

【题型9与二次根式有关的化简求值】

【方法总结】与二次根式有关的化简求值也是中考经常考的题型,方法灵活多样，例如直接代入法、整体代入

法等.

【例9】（23-24八年级•湖北宜昌•期末）已知a+6=6,ab=7,则代数式aj+6』的值为.

【变式9-11（23-24八年级•江西九江•期中）斐波那契数列中的第n个数可以用+［（竽-（等）J表示（其

中n21,这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰

好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为.

7

【变式9-2］（23-24八年级•四川成都•期中）若则m2一2m—1=__________.

V2022—1

【变式9-3］（2024•辽宁朝阳•模拟预测）m=,m2-2m-2014=______.

V2024—1

【题型10二次根式的应用】

【例10】（23-24八年级下•湖北荆州•阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公

式》，聪明的你可以发现：当。>0,b>0时，•二（声一介）=a—24ab+6>0,.*.a+h>2y/ab,当且

仅当Q=b时取等号，

例如：当。>0时，求Q+竺的最小值.

a

解：•/a〉0,ci+—>2Ia,—又2Ici,—=8,a+—>8,当a=4时取等号.

a\a7aa

（1）当％>0时，当且仅当％=时，％：有最小值为.

（2）当相>0时，求“T-+24的最小值.

m

⑶请解答以下问题：

如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平

行于墙的一边长为万米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

【变式10-1］（23-24八年级下•安徽滁州•阶段练习）（1）在边长为（代+b）c〃?的正方形的一角剪去一个

边长为（而-遮）。"的小正方形，如图1,求图中阴影部分的面积；

（2）小明是一位爱动脑筋的学生，他发现沿图1中的虚线将阴影部分前开，可拼成如图2的图形，请你根

据小明的思路求图1中阴影部分的面积

8

【变式10-2］（23-24八年级下•北京海淀・期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意.某社

团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米.为了提升团扇的耐用性

和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示.

（1）圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米；

（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短.

【变式10-3］（23-24八年级下•安徽合肥・期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示

“高空抛物害人害己”.为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间f

（单位：s）和高度/（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响，g~10m/s2,V5~2.236）

9

（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m,假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结

果保留根号）

（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10x物体质量（千克）

x高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人?

【题型H二次根式的规律探究】

【例11】（23-24八年级下•山东威海•期中）观察下列式子:

请你按照规律写出第〃（n>1）个式子是（）

【变式11-1】（2024九年级•湖北随州•学业考试）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①旧;②VF不方;

③“3+23+33；④S3+23+33+43,观察你计算的结果，用你发现的规律得出而肛声存不不为

的值为（）

A.350B.351C.352D.353

【变式H-2］（23-24八年级下•山东东营•阶段练习）观察下列各式:

=1+（一

=1+一）

.237

10

请利用你发现的规律，计算：

J1+专+*+J1+蚩+*+J1+蠢+靠+…+J1+康+$其结果为

【变式11-3](23-24八年级下•甘肃平凉・期中)观察以下各式：

高=&T备=8-&’看=〃一8

利用以上规律计算：

(v5+i+V^+V?+V?+V^+…+V2024+V2023)(^2024+1)=-------

11

第16章二次根式13大考点11种题型】

【沪科版】

►题型梳理

【考点1二次根式】.............................................................................1

【题型1利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】.............................................2

【题型2利用V?=|a|化简］......................................................................2

【考点2二次根式的乘除】......................................................................3

【题型3二次根式乘除法法则适用的条件】.......................................................3

【题型4二次根式的乘除运算】..................................................................4

【题型5二次根式大小的比较】..................................................................4

【题型6分母有理化】..........................................................................5

【题型7二次根式化为最简二次根式】...........................................................6

【考点3二次根式的加减】......................................................................6

【题型8二次根式的混合运算】..................................................................6

【题型9与二次根式有关的化简求值】...........................................................7

【题型10二次根式的应用】......................................................................8

【题型11二次根式的规律探究】.................................................................10

►举一反三

【考点1二次根式】

1.二次根式的定义

形如&(£>0)的式子叫做二次根式.其中叫做二次根号,2叫做被开方数.

(1)二次根式有意义的条件是被珏方数为韭负数;居此可以确定字母的取值范围；

(2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断：

①是否含有二次根号“1一":

②被开方数是否为韭负数.

若两个标准都符合，则是二^根式;若只符合其中一个标准，则不是二次根式.

(3)形如由W(£>Q)的式子也是二次根式，其中这叫做二次根式的系数,它表示的是：=(。之。)；

(4)根据二次根式有意义的条件，若二次根式/匚》与57都有意义，则有W二

12

2.二次根式的性质

（1）双重非负性:〃加一0：（主要用于字母的求值）

（2）回归性：（石）二。（。对）；（主要用于二次根式的计算）

V7=H=|fl（a-0）

（3）转化性:〔一或"40）.（主要用于二次根式的化简）

【题型1利用二次根式的性质确定未知数的取值范围】

【例1】（23-24八年级•安徽池州•期末）代数式J（1—a）2+J（3—。产的值为常数2,贝b的取值范围是（）

A.a>3B.a<1C.1<a<3D.a=1或a=3

【答案】C

【分析】分a<1,1<a<3,a>3三种情况讨论即可.

【详解】解：7（1-«）2+J（3-a）2=|l-a|+|3-a|

当a<1时，原式=1—a+3-a=4-2a,

由题意得4-2a-2,

解得a=l,不符合题意，舍去；

当1WaW3时，原式=a—1+3—a=2,

当a>3时，原式=a—1+a—1——2a—4,

由题意得2a—4=2,

解得a=3,不符合题意，舍去；

综上，a的取值范围是1WaW3.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握好=|a|是解题的关键.

【变式1-1]（23-24八年级•山东聊城•期末）如果«^^型=9—3a,则a的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【答案】D

【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键.根据J（3a—9）2=9—3a得到

3a-9<0,即可得到答案.

【详解】解：；J（3a—9）2=9—3a,

**•3a—9W0,

13

解得a<3,

故选D.

【变式1-2］（23-24八年级•黑龙江绥化•期末）如果两个最简二次根式与是同类二次根式，

那么使V5a-2工有意义的x的取值范围是.

【答案】x<y

【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的

关键.

先根据同类二次根式的定义列方程求出。的值，代入V5a—2%,再根据二次根式的定义列出不等式求解即

可.

【详解】解：二•最简根式后』与忻7是同类二次根式，

/.3a—4=16—a,解得：a=5,

A/5a-2久有意义，

：.5a-2x>0,即5x5-2久20,解得:x<y.

故答案为：%<Y-

【变式1-31（23-24八年级•上海宝山•阶段练习）若4炉+2/=-％77不1,贝卜的取值范围是.

【答案】-2<x<0

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案.

［详解］解：V%3+2x3=-xV%+2,

x<0,x+2>0,

解得-2WxW0,

故答案为：-2gxW0.

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质.

【题型2利用筛=同化简】

【例2】（23-24八年级下•山东威海・期末）已知孙<0,则化简二次根式的正确结果是（）

A.V2B.—7—yC.\—yD.—y［y

【答案】C

【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得y<0,结合题

14

意可得x>0,y<0,再利用二次根式的性质化简即可.

【详解】解：：47<0,

.♦.X与y异号，

又：一斗20,

.\y<0,

%>0,y<0,

=x,呈="?=G'

故选：C.

【变式2-11(23-24八年级上•上海徐汇•阶段练习)将(a-3)后(a<0)化简的结果是.

【答案】a\3一a.

【分析】根据二次根式的性质化简即可.

【详解】a—3<0,；.(a—3)———](3—a)2•一|a|V3—a=aV3—a.

故答案为

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键.

【变式2-2](23-24七年级上•青海黄南•期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则J(a-))2-，滔化简

的值是.

0b

【答案】b

【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简.

【详解】解：由数轴可知a<0<b,且|a|>|b|,

•••J(a—b)2=|a—b\=—(a—b)=/?—a,

=|a|=—a,

J(a—b)2-7cfl=(6-a)-(-a)=b.

故答案为：b.

【变式2-3](23-24八年级下•全国・单元测试)已知OVaVl,化简J(a+斤_4+J(a一,+4

得.

15

【答案】-

a

【分析】根据完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可求得答案.

【详解】VO<a<l

=—CL4-----Fa

aa

_2

a

故答案为2

a

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.

【考点2二次根式的乘除】

1.二次根式的乘法法则：品出=而(a>0,b>0).

2.二次根式的除法法则：

(1)(a>0,b>0)；(2)册+8=Ja+b(a>0,b>0)；

(3)分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；

具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.

3.常用分母有理化因式：金马品,而-而与而+6，+与mV^-n后，它们也叫互为

有理化因式.

4.最简二次根式：

(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，

①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母；

16

(3)化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;

(4)二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

5.二次根式比较大小的方法：

(1)利用近似值比大小；

(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;

(3)分别平方，然后比大小.

【题型3二次根式乘除法法则适用的条件】

【例3】⑵-24八年级上•上海浦东新•阶段练习)使等式层=鲁=正转成立的x的取值范围是一

【答案心]

【分析】根据负数没有平方根及分母不为0,即可求出x的范围.

【详解】根据题意，得卜一1>°，

tx+1>0

解得：卜>1,

则使得等式目=泛=v^+l成立的X的取值范围是x>1;

\X-1\%-1

故答案为x>1.

【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.

【变式3-1](23-24八年级下•浙江•课后作业)若J(x-2)(3-x)=VI=成立,贝b的取值范围是

()

A.%>2B.%<3C.2<x<3D.2<%<3

【答案】c

【分析】根据二次根式有意义的条件可得到关于久的一元一次不等式组1:，求解即可得到答案.

【详解】根据题意，得

(x—2之0

(3-x>0,

解得

2<%<3.

17

故选：c.

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得到一

元一次不等式组是解题的关键.

【变式3-2](23-24九年级下•江苏南京•阶段练习)已知传=手，则a的取值范围是()

A.a<0B.a<0C.0<a<lD.a>0

【答案】C

【分析】

a(a>0)

根据二次根式的性质后=\0(a=0)及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案.

—a(a<0)

【详解】

11—a_Vl—a

a2>0,

ya2a

rl-a>0(a<l

ja2Ho,即.aw0,

(Va2=ala>0

0<a<1,

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质后=

a(a>0)

0(a=0),二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相

(—a(a<0)

关知识点是解题关键.

【变式3-3](23-24九年级上•河南新乡•阶段练习)若等式隹?=雪成立，则小的取值范围是()

、m—3Vm—3

A.m>3B.C.|<m<3D.m<：或m>3

【答案】A

【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解.

【详解】解：根据题意得，—世，

(m-3>0②

・,•由①得，m>|；由②得，m>3,

m>3,

故选：A.

18

【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键.

【题型4二次根式的乘除运算】

【例4】（23-24八年级上•上海虹口•阶段练习）化简：-9当答+5

72az2

【答案】—3在|可

【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可.

【详解】解：一9、当誓+1

Y2az2

3m2-3n22

=一9------Q----X-.

2a23Jm+

x

=-3V6|a|.

故答案：—3乃|。|

【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则.

【变式4-1］（24-25八年级上•全国•课后作业）计算遍+夜x2遮+除的结果为.

【答案】10V3

【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算,根据运算法则计算即可.

【详解】解：原式+同+2

1

3+2x20+~——

10

1

3x-x20x10

2

=V300

=10V3,

故答案为：10V3.

【变式4-2］（23-24八年级上•上海奉贤•期中）计算:海+呼

19

【答案】-9a2vs

【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则求解即可.

【详解】解：[标+]5•(-：1)

b37a2

2Vab3)—

=­•b\a+——(——aVab)

b3a2

3a3—

=2\/u•,(—-ctytab)

=—9a2机.

【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的乘除，正确化

简和求解是解答的关键.

【变式4-3]（23-24八年级下•浙江宁波•阶段练习）已知b=a,V70=b,则所用a、b表示为（）

a+ba-bab

A.B.D.

1010c.-a10

【答案】D

【分析】根据题意将■变形为由此可得出答案.

7loo

【详解】解：由题意得:

小又屈ab

1010’

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将〃豆变形为J翳是解题的关键.

【题型5二次根式大小的比较】

【例5】（23-24九年级上•河南周口•阶段练习）综合实践活动课上，老师给出定理：对于任意两个正数a,b,

若a>b,则VH>VF.随后讲解了一道例题：

参考下面例题的解法，解答下列问题：

试比较2百和3夜的大

小.

2

解：（2V3）=12,

7

（3V2）=18,

V12<18,

20

/.2V3<3V2

⑴比较-3代和-5国的大小.

(2)比较遍+鱼和病+国的大小.

【答案】⑴-3函>-5g

⑵萌+V2<V5+V3

【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键.

(1)参考例题解法，先求原数的平方，再由负数比较大小的法则即可得到答案；

(2)参考例题解法，由完全平方公式对原数进行处理，进而即可得到答案.

29

【详解】(1)解：(3V5)=45,(5V3)=75,

V45<75,

.".3V5<5V3,

A-3V5>-5V3；

(2)解：V(V6+V2)2-8+4V3,+bp=8+2后，

22

XV(4V3)=48,(2V15)=60,48<60,

.".4V3<2V15,

8+4V3<8+2715,

.*.V6+V2<V5+V3.

【变式5-1](23-24八年级上•全国•单元测试)比较下列各组数的大小：

(1)5xB与3x4

(2)-2x&与—V7

⑶西与a+V3

(4亨与0.5.

【答案】(l)5xb>3x有

(2)-2xV2<-V7

(3)V5<V2+V3

(4用>0.5

21

【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的性质和乘法，解题的关键是将各数据平方后再比较.

(1)比较两数被开发数的值，即可得出结论；

(2)比较两数被开发数的值，即可得出结论；

(3)比较两数平方后的值，即可得出结论；

(4)比较两数被开发数的值，然后利用不等式的性质即可求解.

【详解】(1)解：5xV3=V25xV3=V75,3xV5=V9xV5=V45,

V75>45

AV75>V45

5xV3>3xV5；

(2)V2xV2=V4xV2=V8,

V8>7

Z.V8>V7

A-V8<-V7

*••—2xV2<—；

(3)V(V5)2-5,(V2+V3)2=2+3+2V6=5+3V6

*/5<5+3V6

.,.V5<V2+V3；

(4),.15>4

.".V5>V4

.,.V5>2

A—>1

2

A--i>1即旦>0.5.

2222

【变式5-2](23-24八年级•全国•课后作业)你能比较后'与叩的大小吗?其中k为正整数.

Vk+2-VkVk+4-Vk+2

r答案】—1—<---1----

1口木/Vfc+2-VfcVk+4-VFF2

【详解】试题分析：先分母有理化，再进行比较即可.

试题解析：

22

17k+2+yfk7k+2+y[k

y[k+2-Vfc-(VFTI-Vfc)(VFF2+Vfc)-2^

1_Vfc+4+V/c+2_Vfc+4+v/c+2

V/c+4—Vfc+2(Vfc+4—Vfc+2)(Vfc+4+Vfc+2)2

故」.

Vk+2—VkVk+4—Vk+2

【变式5-31(23-24八年级下•湖北恩施•阶段练习)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如蓍器,专+1

的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，*=盥=*=的=?,焉=房黑不=V3-

V373x733V3V3x33V3+1(V3+1J(V3—1J

1,这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题:

⑴化简：标取

(2)若。是鱼的小数部分，求:的值;

(3)比较同方-历历导国*-踮的大小.

【答案】⑴西一四

(2)372+3

(3)72023-V2022>V2024-V2023

【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关

键.

(1)分子分母同乘以(而司即可得；

(2)先根据无理数的估算求出a的值，再代入进行分母有理化即可得；

(3)根据题意得到百一会=而捻燕,V2024-72023=^^,然后由丽岛趣〉

砺£福即可求解.

【详解】⑴焉=既.,

75+73(V5+V3)(V5—V3)

_2(遥-⑸

一―5^3-'

=V5—V3；

(2)v1<2<4,

1<V2<2,

•••7^的小数部分是a-1,即a=V2—1,

23

则合高

3V2+3

一（应-1）（五+1）'

=3V2+3；

(3)根据题意得,

11

V2023+V2022>V2024+V2023

二V2023-V2022>V2024-V2023.

【题型6分母有理化】

【例6】(23-24八年级下•云南昆明•阶段练习)材料：将宝，分母有理化，解：原式

V3—V2

嘤%=正+亚运用以上方法解决问题：已知a

(V3-v2)(V34-v2)3+V11Vil—3

(1)将a,6分母有理化;

（2）求a?—4ab+b2.

【答案】(1)。=宇,6=4里

（2）8

【分析】(1)仿照示范例子，进行计算化简即可;

(2)根据完全平方公式变形计算即可.

本题考查了分母有理化，完全平方公式的应用，熟练掌握进行分母有理化计算是解题的关键.

【详解】（1）a=$（vn-3）711-3

3+V11（3+VlT）（Vll-3）-2-

1_（vn+3）_vn+3

Vll-3-（3+Vll）（Vll-3）-2

vn—3vn+3

（2）Va=-2-,b=-2-

a+b=V1T,ctb=p

小—4ab+按=（a+b）2—6ab—（Vil）—6x—=8.

【变式6-1】（2024•上海浦东新•二模）而不下的一个有理化因式是（）

A.+nB.y/m+y/nC.y[m—y/nD.y/m—n

24