2023-2025北京高三（上）期末数学汇编：数列的概念

第1页/共1页2023-2025北京高三（上）期末数学汇编数列的概念一、单选题1．（2025北京通州高三上期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是（

）A．当时，数列为递减数列B．数列不可能为等比数列C．当，，都有D．当时，，，都有2．（2025北京朝阳高三上期末）“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（

）A． B． C． D．3．（2025北京顺义高三上期末）已知数列满足对任意的，都有．若，则（

）A．1 B．2C．3 D．44．（2024北京房山高三上期末）数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于，取3为弱率，4为强率，计算得，故为强率，与上一次的弱率3计算得，故为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知，则（

）A．8 B．7 C．6 D．55．（2023北京朝阳高三上期末）在数列中，，若存在常数c，对任意的，都有成立，则正数k的最大值为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2025北京石景山高三上期末）首项为正数的数列满足，给出下列四个结论：①存在和，使得是等比数列；②若且是奇数，则为奇数；③若且，则存在使得；④若且，则是递减数列.其中所有正确结论的序号是.7．（2025北京西城高三上期末）已知无穷数列满足.给出下列四个结论：①存在，使得集合中有无穷多个元素；②存在，使得集合中有有限个元素；③对于任意的，集合中至多有一个元素；④当时，集合.其中所有正确结论的序号是.8．（2025北京东城高三上期末）一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是．9．（2024北京顺义高三上期末）已知数列满足，给出下列四个结论：①若，则数列中有无穷多项等于；②若，则对任意，有；③若，则存在，当时，有；④若，则对任意，有；其中，所有正确结论的序号是．10．（2024北京朝阳高三上期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著作《少广缒凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数，取一正数作为的第一个近似值，定义，则是的一列近似值.当时，给出下列四个结论：①；②；③，；④，.其中所有正确结论的序号是.11．（2023北京东城高三上期末）对于数列，令，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；④若对任意的，都有，则有.其中所有正确结论的序号是.三、解答题12．（2025北京海淀高三上期末）已知为各项均为整数的无穷递增数列，且.对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或.(1)若，，写出的所有可能值；(2)若.①当时，求的最大值；②当时，求的最小值.13．（2025北京石景山高三上期末）项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列；①（其中）；②.(1)判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由；(2)若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为；(3)若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值.14．（2025北京丰台高三上期末）给定数列A：，，，和序列：，，…，，其中满足：①；②.对数列A进行如下s次变换：将A的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；……；以此类推，得到数列，简记为.(1)已知数列A：7，8，4，4，写出一个序列：，，使得为5，6，6，6；(2)对数列A：4，6，7，8，是否存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由；(3)对数列A：3，7，14，m，若存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等，求m的所有取值.15．（2024北京石景山高三上期末）对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．16．（2023北京西城高三上期末）已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．(1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;(2)若具有性质,证明:;(3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．17．（2023北京昌平高三上期末）已知数列满足：，且.记集合.(1)若，写出集合的所有元素；(2)若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；(3)求集合的元素个数的最大值.

参考答案1．C【分析】本题通过给定的数列递推式，写出项，分析数列的单调性、常数列情况、分类讨论，逐个判定即可.【详解】对于选项A，当时，可得，即.因为数列的各项均为正数，解这个方程.再由，即，解得.，，，可以发现，所以数列不为递减数列，所以选项A错误.

由，因为，得出，即.又由解出.由推出，进一步得到，结合得出，从而得到时，；同理得到时，；时，.当时，由变形为，得出，进而得到，推出，即，所以时，；同理时，.

对于选项B，时，，为等比数列，所以选项B错误.

对于选项C，当时，根据前面分析的单调性，所以在时恒成立且单调递减.当时，因为单调递减且，所以恒成立，进而，所以选项C正确.

对于选项D，当时，且.当时，因为数列单调递增且，所以不存在使，所以选项D错误.

故选：C.【点睛】关键点点睛：由，因为，得出，即.由推出，进一步得到，分类讨论得到数列单调性是关键.2．D【分析】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度，并把五根琴弦的长度从大到小排列，从而可求出“宫”和“角”对应的琴弦长度之比.【详解】设基准琴弦的长度为，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，五根琴弦的长度从大到小依次为所以“宫“与“角对应的琴弦长度分别为和，其长度之比为．故选：D.3．D【分析】根据已知条件赋值可求得结果.【详解】因为，所以.故选：D.4．B【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为为强率，由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即为强率；由可得，，即为弱率，所以，故选：B.5．B【分析】由可得，可得用极限思想和数学归纳法的思想分析计算即可得到正数k的最大值.【详解】因为，所以，所以，由于满足上式，故当时，有趋近于时，趋近于此时没有最大值，故不满足题意，舍去；所以，当时，可证对任意的，都有，由题知，若存在常数c，对任意的，都有成立，则，以下进行证明：存在常数，对任意的，都有成立.当时，，结论成立假设时结论成立，即则，则存在常数，对任意的，都有成立故正数k的最大值为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系和数列中参数最大值的求解，属于难题，解题的关键是要把递推关系进行转化求解，结合数列中的极限思想和数学归纳法的思想进而求解问题.6．①②④【分析】对于①取出一个特殊数列即可；对于②只需证明为奇数时，也为奇数，以此类推得到为奇数；对于③化简等式，由，证明，以此类推得到；对于④由作差法得到，再由二次函数的性质得到且时函数得到函数是递减函数，再由时得到，同理可证即可得到结论.【详解】对于①，当时，，此时是等比数列，①正确；对于②，设，则，当为偶数时为偶数，即为奇数；当为奇数时为偶数，即为奇数；即当为奇数时，也为奇数，同理也为奇数，所以②正确；对于③，因为，则，当时，，，同理，故不存在使得，③错误；对于④，，令函数，因为，函数是开口向上的二次函数，则函数在的最大值在端点处取得，即或，又因为，所以，，即当时，，即，又因为当时，，所以当时，，即，则，同理可得，所以此时是递减数列，④正确.故答案为：①②④【点睛】方法点睛，本题是数列的综合型题目，通过递推公式找到函数的一些性质，需要结合数列的函数思想来完成证明.7．②③④【分析】通过分析数列的递推公式，结合逻辑推理，数学归纳等对不同的结论分别进行讨论，判断其正确性.【详解】分析结论①，假设存在使得集合中有无穷多个元素.当时，.那么，因为，所以，则.这意味着一旦，后面的项不可能再无限次地小于，所以①错误.分析结论②，假设存在使得集合中有有限个元素.由，当时，，.如果，那么数列从第二项起都大于，即集合中只有有限个元素，所以②正确.分析结论③，假设时，则.，因为，所以，.所以对于任意的，集合中至多有一个元素，③正确.分析结论④，当时，，，.通过计算发现恒成立.用数学归纳法证明：先证明，当时，，假设当时，成立，则，所以成立，再证明当时，，，成立.假设当时，成立.则，所以.所以当时也成立，所以恒成立，所以当时，集合，④正确.

故正确结论的序号是②③④.故答案为：②③④8．②③【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对于③，由为周期数列，则一个周期必存在最大值判断；对于④，举例判断.【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误;对于②，由可知，，...，即数列的偶数项都相等，奇数项都相等，所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有，故数列为周期数列，故②正确;对于③，若为周期数列，不妨设周期为，所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现，故存在正整数，使得恒成立，故③正确;对于④，取数列为首项，当时，，即，则当为奇数时，，当为偶数时，，取，则恒成立，但不为周期数列，故④错误.故答案为：②③.9．①②③【分析】对于①：根据递推公式分析求解即可；对于②④：根据递推公式结合基本不等式分析判断；对于③：根据递推公式结合基本不等式可知，分和两种情况，结合④中结论分析判断.【详解】对于①：若，则，，以此类推可知：，即数列中有无穷多项等于，故①正确；对于②：若，则，，以此类推可知：，则，即，故②正确；对于④：若，可知，，以此类推，可知：，且，因为，可得，故④错误；对于③：若，可知，当且仅当等号成立，，当且仅当，即等号成立，以此类推，可知：，当且仅当等号成立，若，对任意，可得，显然成立；若，且，可知当时，，由④可知：当时，则，当时，，因为，对于结合指数性质可知：存在且，当时，使得，即；综上所述：存在，当时，有，故③正确；故选：①②③.【点睛】关键点睛：对于③：根据④中结论分析可知：当时，，结合指数性质分析判断.10．①④【分析】对于①②直接迭代计算判断即可；对于③④，先证明引理“数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，进一步根据不等式或者基本不等式的性质进行判断.【详解】对于①，，，故①正确；对于②，，故②错误；为了说明选项③④，引理：我们先来讨论与的关系；由于是偶数，所以，对于而言，由于为奇数，所以，所以有，由于数列每一项均为正，所以利用均值不等式，有，取不到等号，即，同时有，因此数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于；对于③，当时，由于是偶数，所以，由于数列从第3项起，奇次项均大于，以及每一项均为正，所以，于是，时，相邻奇次项之差同号，又由于，所以，即，从而时，恒有，故③错误；对于④，当时，根据上述引理可知，所以有，从而有，利用均值不等式有代入上式得，即，故④正确.故答案为：①④.【点睛】关键点睛：对于③④的判断，关键是先证明引理“数列从第三项起，奇数项大于，偶数项小于”，由此即可顺利得解.11．①②④【分析】利用并项求和法求和判断①；利用前n项和与第n项的关系求解判断②；假定存在导出矛盾判断③；利用给定的递推关系得出，并表示出即可推理判断④.【详解】对于①，，，①正确；对于②，，令，则，当时，，则，，因此，②正确；对于③，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，则必有，且都是非负整数，令正整数，于是，，与矛盾，③错误；对于④，由，得，当时，，则当时，，因此，，当时，，所以对任意的，都有成立，即④成立.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.12．(1)的所有可能值为7，9，15，17．(2)①1013；②的最小值为7.【分析】（1）求出或，再分类讨论即可；（2）首先分析得当时符合题意且，再利用反证法证明即可；（3）首先证明时存在符合条件的，再证明即可.【详解】（1）或，当时，因为，符合条件；则或或或，又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或.当时，则或或或，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去，综上，的所有可能值为7，9，15，17．（2）①的最大值为1013，理由如下：（i）当时符合题意且．（ii）假设中存在偶数，且首个偶数为，因为为递增数列，所以存在，使得或，进而有．所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾．所以中各项均为正奇数，又因为为递增数列，所以，即．综上的最大值为1013．②的最小值为7，理由如下：（i）首先证明时存在符合条件的：当前7项为$1，2，3，9，27，45，2025$时，且可构造的后续项使其符合题意（如可取．（ii）其次证明．由题，当时，，所以，进而有，所以，所以．（iii）最后证明．假设存在符合题意且，因为，所以当时，，所以存在，有，从而，所以，所以，从而，且因为，所以当时，，所以存在，有，从而为整数，又因为，所以为5的倍数，与矛盾．综上有的最小值为7．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分为两部分证明，第一部分证明满足题意，再证明即可.13．(1)不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列

，是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，(2)(3)【分析】（1）根据绝对值关联”的阶数列的定义判断即可；（2）根据“绝对值关联”的阶数列得到，再利用，则有，解出即可；（3）根据数列新定义得，且，再分离参数得，最后分类讨论即可.【详解】（1）不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，因为．是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，因为,且，满足两个性质.（2）因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，即．又，所以，同时，所以解得.又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，所以的最小值为.（3）数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列,所以，且，不妨设，，其中，记，不妨设（否则用代替即可），，所以．因为，，所以且，即不小于和中的最大者，当或时，和中的最大者均为，所以，当或时，或者，所以．综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，此时数列可为：符合题意．所以的最小值为．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是理解数列新定义得，再代入计算即可.14．(1)，（或）(2)不存在，理由见解析(3)（，且）【分析】（1）直接根据的定义写出序列：，即可；（2）根据条件分析，确定变换后三等的三项，推出矛盾即可证明；（3）根据条件分析，确定变换后相等的三项为3，7，m，得到且，令分情况讨论得到的范围即可求解.【详解】（1），.（或，）.（2）不存在.由条件①②可得，，，，四个数中恰有三个和一个3，即都是奇数.因此得到结论：对数列进行一次变换，新数列的每项与原数列对应项奇偶不同.假设对数列A：4，6，7，8，存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等.由于数列A：4，6，7，8中，4，6，8三项是偶数，7是奇数，由结论可得，只能4，6，8这三项经过一系列变换后相等.若在次变换中，4经过p次“”的变换和次“”的变换后，结果为；6经过q次“”的变换和次“”的变换后，结果为.所以，即，偶数等于奇数，矛盾.所以不存在序列：，，…，使得中恰有三项相等.（3）数列A：3，7，14，m中，3，7两项是奇数，14是偶数，由（2）中的结论可得，3，7，m这三项经过次变换后相等.设在s次变换中，3经过k次“”的变换和次“”的变换后，结果为；7经过l次“”的变换和次“”的变换后，结果为；m经过r次“”的变换和次“”的变换后，结果为；所以且，即且.令，则，.当时，于是；当时，于是；当时，于是；当时，于是；当时，于是；当时，，且，于是，即，与矛盾.综上，（，且）.【点睛】关键点睛：涉及新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.15．(1)，，，(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列的数列相关条件即可得出所有的数列；（2）利用反证法，假设不存在使得成立，得出与假设不成立，即可得出结论；（3）通过证明得出为单调递增，再通过为单调递增数列证明为单调递增数列，即可得出结论.【详解】（1）由题意，各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为：，，，（2）由题意，假设不存在使得成立，根据数列定义可知，，所以，则，即，所以，所以，这与已知矛盾，故若此数列中存在使得，则存在使得成立．（3）由题意，必要性：，，，则．因为为单调递增数列，所以对所有的，或，否则．因此，所有的同号或为，即，所以为单调递增数列．充分性：因为为单调递增数列，，且，所以只能，所以同号或为，所以对所有的，或，所以．所以，即为单调递增数列．【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，数列的单调性证明，反证法，考查学生的分析证明能力，具有较强的综合性.16．(1)不具有性质,具有性质,(2)证明见解析(3)【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;(2)“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.(3)设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.【详解】（1）解:由题知,即因为,所以不具有性质,由于,即因为故具有性质,因为故;（2）“”等价于“证明两