第20讲期末复习（讲义）

第20讲期末复习模块一：三角一、单选题1．（2021·上海高一单元测试）若，则点必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由的范围，判断的正负，即可得出结论.【详解】，点在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查三角函数值的符号，属于基础题.2．（2021·上海）在△中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.3．（2021·上海）已知的三个内角所对的边分别为，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理直接求解即可.【详解】由正弦定理知，,即，故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.4．（2021·上海）设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为.（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B试题分析：，，又，，注意到，只有这两组．故选B．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.5．（2021·上海高一单元测试）使成立的的一个变化区间是A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函数线解不等式得解.【详解】如图所示当和时，，故使成立的的一个变化区间是.故选A【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．（2021·上海高一单元测试）若，则的值为A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可得，所以，再利用余弦的倍角公式和两角差的正弦公式，即可求解.【详解】由题意，因为，可得，所以又由余弦的倍角公式，可得.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数的倍角公式，以及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．（2021·上海高一单元测试）已知函数，若，，则（）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由函数的解析式，求得，，进而得到，，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，函数，令，即，即，所以，令，即，即，所以，又因为，，即，，所以，，即，，平方可得，，两式相加可得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题8．（2021·上海）在中，若，则这个三角形一定为______三角形.【答案】直角【分析】由正弦定理得到，即可得出结果.【详解】因为在中，，由正弦定理可得：，满足勾股定理，因此，该三角形是直角三角形.故答案为直角【点睛】本题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于基础题型.9．（2021·上海）在中，若，，，则______.【答案】【分析】先由正弦定理求出，再由大边对大角，即可得出结果.【详解】因为在中，，，，由正弦定理可得：，所以，又，所以，因此.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及三角形的性质即可，属于基础题型.10．（2021·上海）在中，若，，，则______.【答案】【分析】根据正弦定理，可直接得出结果.【详解】因为在中，，，，由正弦定理可得：，所以.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.11．（2021·上海杨浦区·高一专题练习）已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为______.【答案】【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.【详解】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的弧长，所以面积.故答案为：.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..12．（2021·上海杨浦区·高一专题练习）已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．【答案】9【分析】记圆心角为，弧长为，扇形所在圆的半径为，根据题中条件，由扇形面积公式，即可求出结果.【详解】记圆心角为，弧长为，扇形所在圆的半径为，由题意可得，，，所以，因此扇形的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查求扇形的面积，熟记公式即可，属于基础题型.13．（2020·上海南汇中学高一期末）若角的终边经过点，则________．【答案】【分析】根据三角函数的定义，直接求解.【详解】由条件可知，.故答案为：14．（2021·上海高一单元测试）若（为第四象限角），则__________.【答案】【分析】由得，根据同角的三角函数关系求出，切化弦化简，再代入即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴，由为第四象限角得，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，在解题时可先化简再求值以减少计算量，考查计算能力，属于基础题．15．（2021·上海高一单元测试）某班在东方绿洲军训时设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为___________.【答案】【分析】由八边形求出的范围，把八边形面积用表示后由三角函数性质求得最大值．【详解】由题意图中正方形边长为，∴八边形面积为，又由题意，∴，∴时，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的应用，解题时用已知角表示出八边形面积，由三角函数恒等变换化函数为一个角的一个三角函数函数形式，然后由正弦函数性质得最大值．本题中注意由八边形条件求出的范围．16．（2020·上海南汇中学高一期末）一个扇形的周长是，圆心角为，则此扇形的面积为________．【答案】【分析】设该扇形的半径为，根据已知条件求出的值，再利用扇形的面积公式可求得结果.【详解】设该扇形的半径为，则该扇形的弧长为，扇形的周长为，解得，因此，该扇形的面积为.故答案为：.17．（2021·上海）若，且，则________.【答案】【分析】利用诱导公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再结合诱导公式可求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，，所以，，，故，故答案为：.18．（2021·上海高一单元测试）如图，在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，若，，为△外一点，，，则平面四边形面积的最大值为________【答案】【分析】根据题意和正弦定理，化简得，进而得到，在中，由余弦定理，求得，进而得到，，得出四边形的面积为，再结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，在中，因为，所以，可得,即，所以，所以，又因为，可得，所以，即,因为，所以，在中，，由余弦定理，可得，又因为，所以为等腰直角三角形，所以，又因为，所以四边形的面积为，当时，四边形的面积有最大值，最大值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.19．（2021·上海高一单元测试）已知，，，则__________.【答案】【分析】由于，故先求出、，再根据两角和的正弦公式求值即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，，∴，，又，，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，注意角与角之间的关系，考查整体思想，考查计算能力，属于中档题．20．（2021·上海高一单元测试）已知是关于的实系数方程的两个根，则的最小值为__________.【答案】【分析】由题意，根的判别式且，求出的范围，再根据韦达定理，用表示出和，然后用两角和的正切公式表示出，借助一次函数的单调性即可求出最小值．【详解】解：由题意有，且，∴，且，∵是关于的实系数方程的两个根，由韦达定理，和，∴，∵，且，∴，且，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查两角和的正切公式得应用，考查韦达定理的应用，属于中档题．21．（2021·上海高一单元测试）已知α为第二象限角，化简=________【答案】1【分析】直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的化简，变换是解题的关键.22．（2021·上海高一单元测试）已知则________.【答案】【分析】先由的范围和求得的符号和的值，再根据余弦的二倍角公式，求得的值.【详解】，所以，，又因为所以又因为解得故答案为：【点睛】易错点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角的余弦公式的应用，注意的符号，这是本题的易错点.三、解答题23．（2021·上海）的外接圆半径是2，若，，求边长.【答案】或【分析】先正弦定理得到，求出，或，进而可得出，或，从而可求出结果.【详解】因为的外接圆半径是2，，，所以（其中为外接圆半径），即，所以，或，因此，或，所以或.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.24．（2021·上海）在中，，，，求边长和的面积.【答案】;【分析】先由求出；再由正弦定理求出，根据三角形面积公式，即可求出结果.【详解】因为在中，，，，所以；由正弦定理可得：，所以，所以.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可，属于常考题型.25．（2021·上海高一单元测试）若角的终边上有一点，且.（1）判断实数符号，并说明理由；（2）求的值.【答案】（1），见解析；（2）.【分析】（1）由可得是第二象限，然后根据，得到的取值范围；（2）由，计算出的长，按点在第二象限和第三象限分类讨论，然后计算出和的值，得到答案.【详解】因为，所以得到和异号，所以在第二象限或者第三象限，当在第二象限可得，，当在第三象限时，不成立，综上，的取值为.（2）因为当在第二象限可得，所以，当在第二象限，，所以可得，，，所以，【点睛】本题考查三角函数的正负判断角所在的象限，由终边上的点求三角函数值，属于简单题.26．（2021·上海高一单元测试）求证：（1）；（2）．【分析】直接利用同角的三角函数关系证明．【详解】证：（1）；（2）．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系及其应用，属于中档题．27．（2021·上海高一单元测试）已知，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用同角的三角函数关系，将两边同时平方先求出，再求出；（2）利用（1）的结论，结合立方差公式求；（3）由和（1）的结论联立求出和，求出，将原式弦化切后再代入求值．【详解】解：（1）∵，∴，∴，又，∴，，∴；（2）由（1）可知，，∴；（3）∵，，∴，，∴，∴．【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系以及齐次式的化简求值，考查计算能力，属于基础题．28．（2021·上海）在中，若，求的取值范围.【答案】【分析】利用正弦定理，把边化角，结合二倍角公式，可得结果.【详解】由正弦定理可得所以所以因为，所以，于是，因此，即，故的取值范围是.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了二倍角公式，属中档题.29．（2021·上海杨浦区·高一专题练习）已知，且是第四象限角，求的值.【答案】.【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为，且是第四象限角，所以，因为，解得或因为是第四象限角，所以所以30．（2021·上海）在△ABC中，若，试判断△ABC的形状．【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形．【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化简，得到，解得或，从而判断△ABC的形状.【详解】由正弦定理，得，即，．∴，或．∵，则或．故△为等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，属于中档题.31．（2021·上海杨浦区·高一专题练习）某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度．轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里．轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点．（1）求轮船的速度；（2）求、两点的距离（精确到l海里）．【答案】（1）40海里/小时；（2）56海里.【分析】（1）在中，利用正弦定理求解.（2）在中，ly余弦定理求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，即，解得.所以海里/小时；（2）在中，由余弦定理得：，，，所以海里【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.模块二：三角函数一、单选题1．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A．在第一象限和第四象限内是减函数B．在第一象限和第三象限内是增函数C．在上是减函数D．在上是增函数【答案】D【分析】直接利用正弦函数和余弦函数的单调性进行判断即可【详解】对于，该函数的单调递减区间为：，故A错，C错.对于，该函数的单调递增区间为：，故B错，D对.故选：D【点睛】此题考查正弦函数和余弦函数的单调性，属于基础题2．（2021·上海高一单元测试）要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】将函数表示为，结合三角函数的变换规律可得出正确选项.【详解】，因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，故选D.【点睛】本题考查三角函数的平移变换，解决三角函数平移变换需要注意以下两个问题：（1）变换前后两个函数名称要保持一致；（2）平移变换指的是在自变量上变化了多少.3．（2021·上海高一单元测试）下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数的单调性和奇偶性逐一判断选项即可.【详解】A.是奇函数，上单调递增，A选项错误.B.是偶函数，B选项错误.C.是奇函数，且定义域为，C选项错误.D.是奇函数，单调递增区间为，D选项正确.故选：D【点睛】本题考查三角函数的定义域、单调性和奇偶性，属于基础题.4．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）下列函数中为奇函数的是A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性定义判断．【详解】记每个函数为，A中，是偶函数，错；B中，是偶函数，错；C中函数原点不是对称中心，轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错；D中函数，是奇函数，正确．故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．5．（2021·上海）已知、均为锐角，且，则、的大小关系是A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】将等式化简，根据三角函数有界性，利用不等式以及的单调性判断出、的大小关系.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为在上递增，且，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的综合应用，难度一般.(1)分析角的大小，可通过相应的三角函数的单调性进行分析；(2)注意借助三角函数的有界性进行不等式的放缩.6．（2021·上海）把函数的图象沿着轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：（1）该函数的解析式为；（2）该函数图象关于点对称；（3）该函数在上是增函数；（4）若函数在上的最小值为，则.其中正确的判断有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论.【详解】把函数的图象沿着轴向左平移个单位，可得的图象，再把纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数，故（1）错误；由于当时，，故该函数图象关于点对称，故（2）正确；在上，，故函数该函数在上不是增函数，故（3）错误；在上，，故当时，函数在上取得最小值为，，故（4）正确，故选：B.【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.7．（2021·上海高一单元测试）设函数，，值域为，则以下结论错误的是（）A．的最小值为 B．a不可能等于，C．的最大值为 D．b不可能等于，【答案】D【分析】作出正弦函数y=sinx的图象，并加以观察并根据函数的单调性对A、B、C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得选项.【详解】解：作出正弦函数y=sinx的图象，加以观察得：对于A，当时，函数在上单调递增，此时函数的最小值为，函数的最大值，此时函数的值域为，达到最小值，故A正确；对于B，如果，由于没有达到最小值1，则才能出现函数的最小值1.而此时函数的最大值为1，而不是，与题设矛盾，因此，故B正确；对于C，当时，函数在上先单调递增，再单调递减，此时函数的最小值为，函数的最大值，此时函数的值域为，达到最大值，故C正确；对于D，当时，此时函数的值域为，所以b可能等于，，故D不正确；故选：D.【点睛】本题给出正弦函数的几个结论要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题.8．（2021·上海高一课时练习）函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】去绝对值号转化为分段函数，即可求出值域.【详解】因为，由正弦函数的值域可知，故选：D【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，考查了分段函数值域的求法，属于中档题．9．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）下列命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则.②若锐角、满足，则.③若，则对恒成立.④要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位..其中真命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】对于①，联系偶函数和增函数得到函数在上为减函数后即可解决；对于②，，化成同名三角函数后利用三角函数的单调性即可解决；③，根据三角函数的周期性解决；④函数的中x的系数，要引起特别注意，它对平移变换的量产生影响.【详解】解：①由已知可得函数在上为减函数，且由于，②由已知角的范围可得：，③错，因为易知，其周期为，故应有恒成立，④错，应向右平移个单位得到.故其中真命题的是：②.故选：A.【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，诱导公式，三角函数的单调性，正弦定理，属于中档题．10．（2021·上海高一单元测试）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出，通过函数经过的最大值点求出值，即可得到结果.【详解】由函数的图象可知:，.当，函数取得最大值1，所以，，，，故选：D.【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求的值，通过最值点求的值是解题的关键，属于基础题.二、填空题11．（2021·上海高一课时练习）函数的定义域为______【答案】【分析】由解此不等式可得函数的定义域【详解】解：由，得，所以函数的定义域为，故答案：【点睛】此题考查求正切型函数的定义域，属于基础题12．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）函数的最小正周期为________.【答案】【分析】由余弦的倍角公式知，结合最小正周期即可求出最小正周期【详解】由余弦函数的最小正周期知：故答案为：【点睛】本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期13．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）余弦函数在闭区间[______，]上是增函数.【答案】【分析】由余弦函数图像的性质可直接得结果.【详解】由余弦函数图像的性质可知在闭区间[，]上是增函数，故答案为：【点睛】本题考查余弦函数图像的性质，考查余弦函数的单调性，属于简单题.14．（2021·上海高一单元测试）若，，则____________.【答案】或.【分析】由已知直接利用反三角函数求解.【详解】由，且，得，综上可知，或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查反三角函数求值，属于基础题.15．（2021·上海）余弦函数的定义域是______，最大值是______，最小值是____，周期是____，递增区间是_____________________，递减区间是______________________，对称轴是__________________，对称中心是____________.【答案】R1【分析】根据余弦函数的性质，分别填入横线.【详解】定义域是，最大值1，最小值1，周期，递增区间是单调增区间为，递减区间是；对称轴，对称中心.故答案为：R；1；；；；；；16．（2021·上海高一课时练习）若函数的图像关于点对称，则实数a的值为_________．【答案】1【分析】根据函数的性质可知函数过点，代入求解即可.【详解】因为函数在处有定义，且图像关于点对称，故点在函数上.故，即，解得.此时，关于点对称满足条件.故.故答案为：1【点睛】本题主要考查了根据三角函数的性质求解参数的问题，属于基础题.17．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）函数的最小值为________.【答案】【分析】根据余弦型函数的图象与性质即可求解.【详解】，，，所以函数的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，由定义域求函数的值域是常见题型，需要熟练掌握，属于容易题.18．（2021·上海高一单元测试）若函数的局部图像如下图，则_______．【答案】4【分析】根据图象确定周期，解得.【详解】由图得故答案为：4【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.19．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）已知，，将的图像向右平移个单位得到的图像，若，则________.【答案】【分析】先由题意，得到，再由函数奇偶性，根据题中条件，即可得出结果.【详解】将的图像向右平移个单位得到的图像，所以，又，所以为奇函数，因此只需，，则，，又，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数的平移原则，属于基础题型.20．（2021·上海高一单元测试）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______.①的一个周期为；②的图象关于对称；③是的一个零点；④在单调递减；【答案】①②③【分析】先由图像的平移变换推导出的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．【详解】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故①正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故②正确；由，得，是的一个零点，故③正确；当时，，在上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21．（2021·上海高一单元测试）已知函数的一条对称轴为，则______；【答案】【分析】根据三角函数的性质可知在取得最大值或最小值，建立方程即可求解.【详解】，其中是辅助角，是的一条对称轴，，整理得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数性质得应用，利用在对称轴的函数值是最大或最小是解题的关键，属于中档题.22．（2021·上海高一单元测试）已知函数，将其图象向左平移个单位长度后，得到的图象为偶函数，则的最小值是_______【答案】【分析】先利用两角和的正弦公式化简的解析式，然后再利用图象平移变换的规律求平移后的解析式，最后由奇偶性可得的最小值.【详解】，将其图象向左平移个单位长度后，得的图象，由图象为偶函数图象可得所以令，得.故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性，属于中档题.23．（2021·上海高一单元测试）已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图像的一条对称轴，且，则的解析式为___________.【答案】【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求，根据周期公式求，再代入对称轴，求，最后再验证，确定函数的解析式.【详解】【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.三、解答题24．（2021·上海）求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么（1）y＝cosx＋1，x∈R；（2）y＝sin2x，x∈R.【答案】（1）2，；（2）1，.【分析】根据三角函数的性质，直接求函数的最大值，并求此时对应的值.【详解】（1）函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2，此时；（2）函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1，此时，得.25．（2021·上海高一单元测试）已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的所有零点之和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函数的单调增区间，结合函数在区间，上单调递增，即可求得实数的取值范围；（2）由，求解在上的值，即可得到函数在区间上的所有零点之和．【详解】解：（1）由，得，．取，可得，函数在区间，上单调递增，实数的取值范围是；（2）由，得，则或，．又，，，，．即函数在区间，上的所有零点是0，，故零点之和为．【点睛】本题考查复合函数单调性的求法，考查利用三角函数值求角，属于基础题．26．（2021·上海高一单元测试）已知函数的最大为2.（1）求的值，并求的最小正周期；（2）求在上的单调递增区间.【答案】（1），最小正周期为；（2）单调递增区间为和.【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期；（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果.【详解】（1），所以，因为函数的最大为2，所以，解得；所以，因此最小正周期为；（2）由，得，所以的单调递增区间为，又，取，得在上的单调递增区间为和.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的最值求参数，考查求正弦型函数的最小正周期，以及正弦型函数的单调区间，涉及二倍角公式以及辅助角公式，属于常考题型.27．（2021·上海高一专题练习）函数的最小值是2，其图象相邻最高点与最低点横坐标差是3，又图象过点(0，1)，求函数解析式．【答案】【分析】根据函数的最值求出，根据周期求出，根据函数图象过点求出，可得函数解析式.【详解】易知：A=2，半周期，∴T=6，即，从而，则，令x=0，有，又，∴，∴所求函数解析式为.28．（2021·上海高一单元测试）已知(a为实常数).（1）当定义域为R时，求的单调递增区间；（2）当定义域为时，的最大值为4，求实数a的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数，进而求得单调递增区间；（2）由（1）得，再求出的取值范围，进而得到函数的最大值，从而求得实数a的值.【详解】（1），，的单调递增区间为；（2），，当，即时，.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦函数的单调区间、由函数的最值求参数的值等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.29．（2021·上海高一单元测试）已知函数，.（1）把化成（，，）的形式，并写出函数的最小正周期和值域；（2）求函数的单调递增区间；（3）定义：对于任意实数、，，设，（常数），若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），，；（2），；（3）.【分析】（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，利用正弦型函数单调增区间计算即可求解；（3）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解.【详解】（1），，值域为；（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为，;（3）若对于任意，总存在，使得恒成立，则，，当，即时，，当，即时，，故，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题.30．（2021·上海杨浦区·高一课时练习）如图，设、是半径为1的圆上的动点，且、分别在第一、二象限，是圆与轴正半轴的交点，△为等边三角形，记以轴正半轴为始边、射线为终边的角为.（1）若点的坐标为，求值；（2）设，求函数的解析式和值域.【答案】（1）3；（2），值域为.【分析】（1）根据的坐标，利用三角函数的定义，求出，，再利用诱导公式，即可得到结论；（2）由题意，，利用余弦定理，可得函数的解析式，从而可求函数的值域．【详解】解：（1）的坐标为，以轴正半轴为始边，射线为终边的角为根据三角函数的定义可知，，，；（2）为正三角形，．，，，所以，．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查余弦定理求边长的平方，考查学生的计算能力，属于中档题．31．（2021·上海高一单元测试）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，.如果与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？并求这个最大值.【答案】时，矩形的周长最大，最大值为.【分析】由题意可知的取值范围，分别求得矩形的边长关于的三角函数表达式，得到周长关于的三角函数表达式，利用辅助角公式化简后，利用三角函数的图象和性质研究最大值.【详解】由题意可知，，而，，所以.同理可得，.于是矩形的周长为.所以，当，即时，矩形的周长最大，最大值为.【点睛】本题考查利用三角函数的图象和性质求解实际应用中的最值问题，涉及辅助角公式，属基础题.32．（2021·上海高一单元测试）如图，学校门口有一块扇形空地，已知半径为常数，，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地作为体温检测使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段.取的中点为，联结，交线段于点.记，（1）用表示线段和的长度；（2）当取何值时，矩形的面积最大？最大值为多少？【答案】(1)，;(2)当时，面积最大为【分析】(1)由题目已知可求出且，在直角三角形中，结合三角函数值可求出；由题目已知可求出，进而可知，结合即可求出的长度.(2)由(1)可求出面积的表达式，结合二倍角公式以及辅助角公式可求，结合即可求出面积的最大值.【详解】(1)解：因为为的中点，，所以且，所以，，因为，所以，即，则，所以.(2)由(1)知，矩形的面积，由题意知，，所以当时，.【点睛】本题考查了三角函数值的定义的应用，考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了正弦型函数最值的求解.模块三：平面向量一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）若点是所在平面内的一点，满足，则（）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】化简得，即得解.【详解】，，得．故选：C．2．（2021·全国高一课时练习）（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量加法的运算法则可得.【详解】，故选：C.3．（2021·全国高一课时练习）的三边BC，CA，AB的中点分别是，，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用向量加法法则及数乘法的法则计算．【详解】如图，的三边，，的中点分别是，，；.故选：C.4．（2021·浙江杭州市·学军中学高一期中）已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量投影的定义求解.【详解】由题设可得，即，则，设与的夹角为，则.又，故,因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为.故选:C5．（2021·全国高一课时练习）如图，ABC中，，＝3，＝2，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的加法、减法和平面向量基本定理求解.【详解】，，，，故选：D二、填空题6．（2021·全国高一课时练习）中，__.【答案】【分析】直接利用向量加法法则即可求出答案.【详解】故答案为：.【点睛】用符号表示的向量的加减法：①加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）；②减法：起点相同，方向指向被减向量（符合三角形法则）.7．（2021·全国高一课时练习）已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为__．【答案】【分析】由题设，易知的坐标，根据向量线性运算的坐标表示及向量相等求，即可写出的坐标.【详解】由题意，得：，∴,,,．故答案为：．8．（2021·全国高一课时练习）在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示__．【答案】【分析】根据平面向量的基本定理，结合已知基底，即可确定向量的坐标.【详解】在平面直角坐标系内，已知，是两个互相垂直的单位向量，若，则向量用坐标表示．故答案为：．9．（2021·浙江高一期末）如图，在中，是线段上的一点，若，则实数_________．【答案】【分析】设，根据向量的运算关系可求得，再结合已知建立关系即可求出.【详解】设，则，，，解得.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是设出，利用向量关系将表示出来.10．（2021·全国高一课时练习）已知在中，点满足，若存在实数使得成立，则________.【答案】【分析】由已知等式可知为的重心，由重心的性质知，由向量的线性运算可构造等式求得结果.【详解】，为的重心，设中点为，则，，则.故答案为：.11．（2021·全国高一课时练习）已知是夹角为的两个单位向量，，.若，则实数k的值为________．【答案】【分析】由，带入，整理即可得解.【详解】由得，整理，得k－2＋(1－2k)＝0，可得，所以，故答案为：.三、解答题12．（2021·全国高一课时练习）作五边形，求作下列各题中的和向量：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可；（2）利用平面向量的加法法则求解即可．【详解】（1）；（2）.13．（2021·全国高一课时练习）在中，，，，，．（1）若，求实数的值及；（2）若，求四边形的面积．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）利用中位线的性质可得出点为的中点，可得出的值，再利用直角三角形的性质可可求得；（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，根据求出的值，可求得、，由此可求得四边形的面积.【详解】（1）由，可知为的中点，若，则为的中点，即，又，所以；（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，则、、，，，又，，则，解得，则，则，，因此，四边形的面积为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用平面向量的数量积转化两个向量的垂直关系，同时也考查了四边形面积的计算，解题的关键就是利用向量的垂直关系求出实数的值，进而利用四边形的面积公式求解.14．（2021·全国高一课时练习）已知,，（1）求与的夹角；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知得出，进而利用夹角公式即得；（2）分别求出和差向量的模及数量积，代入夹角公式即得．【详解】解：（1）,∴，∵θ∈[0，π]，∴.（2）∵，∴∵，∴∴模块四：复数一、单选题1．（2021·浙江高一期末）复数的虚部是（）A．i B． C．1 D．6【答案】D【分析】根据复数的概念可得.【详解】的虚部