量子力学（第2版）课件 20狄拉克符号

§4-5狄拉克符号知识点教学目标狄拉克符号的含义右矢和左矢两个态矢的标量积基矢组量子力学的狄拉克符号表示

领会右矢和左矢的意义。理解标量积的意义。熟悉基矢组的性质。能写出力学量算符、量子力学方程的狄拉克符号表示。本节内容1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示数学中表示一个矢量可以不引入坐标系或不用其分量表示，而直接用矢量符号表示。右矢和左矢在量子力学中表示一个量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示，这就是狄拉克符号。量子力学体系的一切可能状态构成一个态矢空间（希尔伯特空间）。态矢空间分为右矢空间和左矢空间左矢空间的矢量

表示为右矢空间中矢量

表示为1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示例如狄拉克符号含义坐标的对应本征值为的本征态动量的对应本征值为的本征态或能量的对应本征值为的本征态

、的对应本征值分别为、的本征态力学量算符满足的本征方程为代表fn对应的本征态1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示态叠加原理注意：右矢和左矢不能叠加。右（左）矢空间中的任意态矢可以表示成若干个右（左）矢叠加右矢和左矢互为共轭注意：和都没有意义。在同一表象中，和的标量积是相应分量的乘积之和。（后面证明）1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示标量积的定义标量积是一个数，可以在运算中随意移动位置。和的标量积为标量积的特点标量积的共轭比如：在x表象中比如：在Q表象中上式两边左乘，得1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示正交归一性力学量算符的本征方程为完备性构成一正交归一完备基矢组。比如：或基矢组基矢组的性质1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示展开系数所以比如应用：证明在同一表象中两个态矢的标量积是相应分量的乘积之和。在x表象中在Q表象中1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示定义算符该算符对任何矢量的运算，相当于把这个矢量投影到基矢上去，使它变成在该基矢上的分量。所以算符称为投影算符。投影算符性质1投影算符是厄米算符，其本征值为实数。性质2性质1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示投影算符的本征值和本征态设投影算符的本征方程为则即投影算符的本征值为1和0。当时与表示同一态，取c=1，则其本征态为当时凡与正交的态都是本征态。结论：投影算符的本征值为1的本征态是，本征值为0的本征态是与正交的态。1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示算符方程用左乘算符方程两端，有则令这正是算符方程在Q表象中的表示。所以，算符在Q表象中的矩阵元在Q表象中的本征方程1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示本征方程的狄拉克符号表示在Q表象中薛定谔方程薛定谔方程的狄拉克符号表示在Q表象中1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示定态薛定谔方程在Q表象中平均值公式的狄拉克符号表示无表象态矢在A表象、B表象的变换1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表示基矢变换变换矩阵元设A表象、B表象的基矢分别为、，则1右矢和左矢2标量积3基矢组4算符的狄拉克符号表示5量子力学公式的狄拉克符号表示6表象变换的狄拉克符号表