河南省三门峡市2023-2024学年高二下学期5月期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省三门峡市2023-2024学年高二下学期5月期末调研考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第I卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由散点图可知第1个图表示的正相关，故；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故，且，故，综合可得，即，故选：C2.计算（）A.34 B.35 C.68 D.70【答案】A【解析】由组合数性质得故选：A.3.某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）关于时间（单位：）的函数满足关系式，则时，弹簧振子瞬时速度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据已知求导得，则，所以此时弹簧振子瞬时数度为.故选：D.4.已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】因为且，由题意知，得，求得，故选：.5.如图，现要用5种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，所有的着色方法数为（）A.120 B.180 C.240 D.300【答案】C【解析】故选:C.6.某超市销售的袋装大米的质量M（单位：kg）服从正态分布,，若从该超市中随机选取60袋大米，则质量在的袋数的方差为（）A.9.6 B.14.4 C.24 D.48【答案】B【解析】根据题意，因，且，由正态分布的性质，则有，设质量在的袋装大米的袋数为，则，所以.故选：B7.当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例关系，可以设一个新的变量，这样与之间就是线性关系．下列表格中的数据可以用非线性方程进行拟合，1234562.53.64.45.46.67.5用线性回归的相关知识，可求得的值约为（）A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68【答案】B【解析】设，则，则1491625362.53.64.45.46.67.5则，，则．故选：B.8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）A.函数的最大值为1B.函数最小值为1C.函数的最大值为1D.函数的最小值为1【答案】C【解析】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，故恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，，由图像可知，恒成立，故单调递增，当，，单调递减，所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知某地区十二月份的昼夜温差，，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（）A.B.若，则C.从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为D.从这10人中随机抽取2人，其中女生人数期望为【答案】ABD【解析】对于A，因为，，所以，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，服从超几何分布，其中，，，所以，故D正确.故选ABD.10.定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（）A. B.的极大值与极小值之和为6C.有三个零点 D.对于任意实数过的切线有且只有一条【答案】BD【解析】对于A中，因，可得且，令，即，可得，由函数的对称中心为，可得，解得，又由，所以A不正确；对于B中，由A知，，当时，；当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，极小值为，所以极大值与极小值之和为，所以B正确；对于C中，当时，；当时，，所以函数只有一个零点，所以C不正确；对于D中，设切点坐标为，得到，即切线的斜率为，则切线方程为，将代入切线方程，可得，令，可得，所以函数为单调递减函数，所以与的图象有且仅有一个公共点，即对于任意实数过的切线有且只有一条，所以D正确.故选：BD.11.已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为B.第二次抽到3号球的概率为C.如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种【答案】ABC【解析】记第一次抽到第号球的事件分别为则有对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确；对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，，故B选项正确；对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，记第二次抽到3号球的事件为，,第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；故选：ABC.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的最小值为0，则_______.【答案】【解析】因为，所以.若，则在上单调递减，无最小值.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.故答案为：13.的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．【答案】【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．14.10块相同的巧克力，每天至少吃一块，5天吃完，有______种方法；若10块相同的巧克力，每天至少吃一块，直到吃完为止又有______种方法．（用数字作答）【答案】126；512【解析】由题知，关于空1：若10块相同的巧克力，每天至少吃一块，5天吃完，将10块巧克力排成一排，共有9个空格，分成5份，只需4个隔板，所以共有种方法；关于空2：若10块相同的巧克力，每天至少吃一块，直到吃完为止，至多吃10天，至少吃1天，当1天吃完时，共种方法，当2天吃完时，将10块巧克力排成一排，共有9个空格，分成2份，只需1个隔板，所以有种方法，当3天吃完时，需要分成3份，只需2个隔板，所以有种方法，当4天吃完时，需要分成4份，只需3个隔板，所以有种方法，……，当10天吃完时，需要分成10份，只需9个隔板，所以有种方法，综上：共有种方法。故答案为：126；512四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，其导函数为．（1）求在处的切线方程；（2）求的单调区间．解：（1）因为的导数为，所以在处的切线斜率为，而故所求的切线方程为，即．（2）因为，定义域为所以g解得，解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为．16.2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求；（2）估计参与调查者的平均年龄；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1），（2）估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．（3）选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：人，第2组：人，第3组：人，第4组：人，第5组：人，青少年组有人，中老年组有人，参与调㚗者中关注此问题的约占，有人不关心民生问题，选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，列联表如下：关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计16040200有的把握认为是否关注民生与年龄有关．17.某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的数量对照表.年份2016201720182019202020212022年份代码（x）1234567新建社区养老机构（y）（1）已知两个变量与之间的样本相关系数，请求出关于的经验回归方程，并据此估计2023年即时，该地区新建社区养老机构的数量；（结果按四舍五入取整数）（2）若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布,其中年龄的有54人,试估计该地参与社区养老的老人有多少人？(结果按四舍五入取整数)参考公式与数据：①，②若随机变量，则，，③，解：（1），由于，，∴,∵，∴，∴，∴回归方程，当时，.（2）由该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，故，,该地参与社区养老的老人有（人）,该地参与社区养老的老人约有2523人.18.2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及数学期望．解：（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同，则，所以．（2）左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，依题意，的可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012所以．19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证