江苏省南通市2024-2025学年高二下学期期末测试 数学模拟试卷（一）（含解析）

江苏省南通市2024-2025学年高二下学期期末测试模拟卷（一）数学试卷考察范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面解析几何、复数、计数原理与概率统计、平面向量、空间向量与立体几何、等式与不等式、新文化试题分类。题型统计：单选题8道、多选题3道、单空题3道。解答题5道。单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则的虚部为（

）A．1 B． C． D．2．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（

）A． B． C． D．3．已知集合，则（

）A． B． C． D．4．已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（

）A．9π B．4π C． D．3π5．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（

）A． B． C． D．6．已知的最小值为0，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知向量满足，则向量与的夹角（

）A． B． C． D．08．已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则；反之，若，则C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为1211．如图，“锦鲤曲线”由函数与的部分图象组成，其中．下列说法正确的是（

）A．曲线上任意点，与P对应的点也在曲线上B．曲线的“鱼尾”宽的取值范围为C．曲线“鱼身”D．存在三条不同的直线被“锦鲤曲线”截得弦长为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知事件和事件相互独立，，则．13．过点的直线与抛物线交于，两点，曲线在，两点处的切线相交于点，则面积的最小值为．14．在圆内接四边形中，，则，若，则的面积最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。15．已知函数．(1)求出函数的单调增区间；(2)当时，求函数的最大值及最小值；(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围．16．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为.(1)求双曲线的方程；(2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点.（i）记和的面积分别为，且，求直线的方程；（ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上.17．甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.(1)求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；(2)设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望.18．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，．(1)证明：；(2)若二面角为，且，求与平面所成角的余弦值．19．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若对一切实数x，都有恒成立，求a的值；(3)求证．对于任意的正整数n．都有.江苏省南通市2024-2025学年高二下学期期末测试模拟卷（一）数学试卷（解析）一、单选题1．已知，则的虚部为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由复数的除法运算，结合复数概念即可求解.【详解】由，可得：，所以的虚部为，故选：B2．若从小明､小红､小刚等6名同学中选出3名同学分别到三个班级进行学习经验分享，则小明､小红､小刚三名同学不去班，且小刚不去班分享学习经验的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】基本事件总数为，利用分步乘法原理结合排列组合求出符合条件的方案数，从而可求出概率.【详解】从6人中选3人排列共有种，由题意得去班的方案有：种；去B班的方案有：种；去C班的方案有：种；所以，满足条件的方案数是：.所以所求概率是.故选：D.3．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的描述法结合一元二次不等式和分式不等式化简集合，再根据集合的交集元素即可.【详解】集合，所以.故选：C.4．已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（

）A．9π B．4π C． D．3π【答案】A【分析】先计算正四棱锥的高以及底面外接圆半径，再利用球以及正四棱锥的性质得出，即可计算.【详解】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，由已知得，得，易知正四棱锥底面外接圆半径，球的半径为，由球的性质得，解得，所以球O的表面积为.故选：A．5．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，摸出的红球个数服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即可.【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为的超几何分布，故有3个红球的概率为故选：C.6．已知的最小值为0，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过换元法将原函数转化为关于新变量的函数，再利用导数研究新变量的取值范围以及新函数的单调性，进而求出的值.【详解】，则令，令，则；令，则，且时，，则的取值范围为.则的最小值为0，即的最小值为0，即，则时，，则．故选：A．7．已知向量满足，则向量与的夹角（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根据平面向量的模长求解数量积，再根据向量夹角余弦公式求余弦值，即可得向量与的夹角大小.【详解】向量满足，所以，则，所以，由于，所以.故选：D.8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角恒等变换化简已知等式，再结合诱导公式、二倍角公式得所求式子的值即可.【详解】已知,所以，则，即，所以.故选：C.二、多选题9．已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据二项式定理采用赋值法可得，，，再根据展开式的通项可得，以及的正负即可判断得结论.【详解】因为，令可得，故A正确；令可得，所以，故B不正确；展开式的通项为，所以，故C正确；由通项可知，所以，令可得，即，故D正确.故选：ACD.10．已知中，内角，，所对的边分别为，，，则下列命题中，正确的命题是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则；反之，若，则C．，，，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为D．，角的平分线交边于，且，则的最小值为12【答案】BCD【分析】应用正弦定理计算判断A，由正弦定理判断B，应用正弦定理及正弦值域计算判断C，应用面积法得出，结合基本不等式判断D.【详解】对于A，若，则，所以，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，A选项错误；对于B，由正弦定理得，若，则，所有；反之，若，则，所有，B选项正确；对于C，因为，，，所以，所以，要使此三角形的解有两个，则，所以，则的取值范围为，C选项正确；对于D，因为，角的平分线交边于，且，则，所以，所以，所以，所以，当且仅当时，取的最小值为12，D选项正确.故选：BCD.11．如图，“锦鲤曲线”由函数与的部分图象组成，其中．下列说法正确的是（

）A．曲线上任意点，与P对应的点也在曲线上B．曲线的“鱼尾”宽的取值范围为C．曲线“鱼身”D．存在三条不同的直线被“锦鲤曲线”截得弦长为1【答案】ABD【分析】证明函数与互为反函数，可判断A的真假；设，，求的取值范围，可判断BD的真假；根据求的取值范围，可判断C的真假.【详解】对A：由.所以函数与互为反函数，根据反函数的性质，曲线上任意点，与P对应的点也在曲线上，故A正确；对C：由.设（），则.由，由.所以在上单调递减，在上单调递增.又，，，所以.又，所以，所以不成立，故C错误；对B：设，则，那么点坐标为，所以“鱼尾”的宽为：.由题知当和时，；当时，，所以的取值范围是，故B正确；对D：因为，根据函数的性质，且，所以当时，，所以在，，上各有一解，故D正确.故选：ABD三、填空题12．已知事件和事件相互独立，，则．【答案】/【分析】根据独立事件的性质可得事件和事件相互独立，再根据独立事件概率乘法公式求解即可.【详解】因为事件和事件相互独立，所以事件和事件相互独立，则.故答案为：.13．过点的直线与抛物线交于，两点，曲线在，两点处的切线相交于点，则面积的最小值为．【答案】【分析】设，，从而点，处的切线方程为，，故点的坐标可以用点的坐标表示，联立直线的方程与抛物线方程，写出韦达定理，从而弦长与点到的距离都可以用含的式子表示，即面积的最小值可以转换为关于的函数的最小值.【详解】如图，设，，，，点处的切线方程为，同理，点处的切线方程为，联立两切线方程，求解可得，两切线的交点的坐标为．设所在直线的方程为，与抛物线方程联立得到，所以，，则点．所以，故，当时，有．故答案为：.14．在圆内接四边形中，，则，若，则的面积最大值为．【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理建立方程，利用两角和的正弦公式展开得，进而求得；设并结合正弦定理表示出，再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值.【详解】在中，，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以；所以是四边形外接圆直径，，设，则，在中，，由正弦定理得，即，在中，，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.故答案为：；四、解答题15．已知函数．(1)求出函数的单调增区间；(2)当时，求函数的最大值及最小值；(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为(3)【分析】（1）由辅助角公式得到，利用整体法求出单调递增区间；（2）求出，结合正弦图象得到最大值和最小值；（3）先求出，，当时，，当时，令，将其看作关于一次函数，其中，得到不等式组，【详解】（1），令，解得，，所以函数的单调增区间为，.（2）由（1）知，，当时，，由于在上单调递增，故当时，取得最大值，最大值为，最小值为.（3）由（2）知，，由，①当时，，②当时，令，将看作关于一次函数，其中，则需满足，解得且，综上所述，的范围为.16．已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为.(1)求双曲线的方程；(2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点.（i）记和的面积分别为，且，求直线的方程；（ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上.【答案】(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案；（2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案.【详解】（1）由题意：，解得，所以双曲线的方程为：.（2）（i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，联立得，设，因为点在双曲线的左支上，所以，解得，又，则，即有，则，解得，满足，所以，于是直线的方程为.（ii）由（i），则，故.，则，所以直线的方程为，同理，所以直线的方程为：，故点的横坐标满足：，显然，由题意得：，则，则，故点在定直线上.17．甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.(1)求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；(2)设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，分析的可能取值，计算对应的概率，分析事件“甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等”所包含的情况可得结果.（2）根据（1）分析的取值，计算对应概率可得分布列和期望.【详解】（1）用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值均为，则，，，，，.设甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等为事件，则.（2）由题意得，随机变量的所有可能取值为.由（1）得，，，∴，∴的分布列为：∴.18．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，．(1)证明：；(2)若二面角为，且，求与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由底面是正方形，得到，再由为等腰三角形得到，最后根据线面垂