2025年鲁教版（五四制）九年级数学下册 综合质量评价（三）

综合质量评价（三）

六〜九年级

（时间：120分钟满分：150分）

第I卷（选择题共48分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项符合题目栗求）

1.在1,—2,0,|这四个数中，绝对值最大的数是（A）

A.-2B.0

C.-D.1

3

2.下列运算正确的是（D）

A./+cP=a，

B.（ab^—ab2

C.（a+Z?）2—tz2+Z>2

D.3+。）（。一。）=。2—4

3.一个几何体是由7个完全相同的小正方体搭建而成的.若它的俯视图如图所

示，则它的左视图不可能是（D）

4.如图，AB//CD,3E交AD于点E,若N3=18。,ZD=32°,则N3ED的度

数为（C）

A.18°B.32°

C.50°D.60°

5.某校为落实“双减”及“作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质

管理”工作有关要求，随机抽查了初中部分学生每天的睡眠时间，绘制成如图所

示的条形统计图，则所抽查学生每天睡眠时间的中位数和众数分别为（B）

C.9h,10hD.9.5h,10h

6.如图，已知。。上三点A,B,C,半径。C=l,ZABC=15°,切线以交。C

的延长线于点P,则线段必的长度为（B）

7.若关于x的方程（a—Of—2x—2=0有实数根，则。的取值范围是（D）

-1

A.12一且B.

2

C.土且aWlD.a^-

22

8.将抛物线6x绕原点旋转180。，则旋转后的抛物线的表达式为（C）

A.y=（x-3）2+9

B.y=（x+3）2+9

C.y=-（x+3）2+9

D.y=-（x-3）2+9

9.数学活动课上，雪飞同学将如图1、图2所示的一小一大两个正方形按图3的

方式拼在一起，两个正方形的中心重合.然后他将图3向右平移到图4所示的平

面直角坐标系中，使正方形的中心与平面直角坐标系的原点。重合，边分别与

坐标轴平行.已知反比例函数y=乙的图象与大正方形的一边交于第一象限的点

X

A（l,ri）,且经过小正方形的顶点3,则阴影部分的面积是（A）

图4

A.4（n2-n）

B.4层一〃

C.r^—n

D.4n2

解析：•反比例函数的图象经过点A（l,ri）,

・・k=1Xn=n.

・••反比例函数的表达式为

y=-X.

,小正方形的中心与平面直角坐标系的原点。重合，边分别与坐标轴平行，

设点3的坐标为（机，m）.

反比例函数y=:的图象经过点B,

.'.m2=n.小正方形的面积为4,储=4〃.

♦大正方形的中心与平面直角坐标系的原点。重合，边分别与坐标轴平行，且

A（l,n）,

大正方形在第一■象限的顶点坐标为（“，ri）.

，大正方形的面积为4n2.

图中阴影部分的面积=大正方形的面积一小正方形的面积=44一4〃=4（"一

n）.

10.如图，在平行四边形ABCD中，E,R分别是边AD,的中点，AC分别交

BE,DR于点M,N,对于下列结论：①△ABEm△CDR；②AM=MN=NC；③EM

=]BM;（4）s^ABM=S^AME■其中，正确的有（C）

11.如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD小明在山坡的坡脚A处测得宣传

牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°,

已知斜坡A3的坡角为30。,AB=10m,AE=15m,则宣传牌CD的高度是(A)

A.(20-10V3)mB.(20+5V3)m

C.(15+5V3)mD.(15V3-5)m

12.如图，在矩形A3CD中，AB=2,BC=4,P是对角线AC上的动点，连接

DP,将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于ND4C,且DG±PG,即ZDPG

=ZDAC.连接CG,则CG的最小值为(C)

A.V5B.|

C.-D.—

525

第n卷(非选择题共102分)

二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)

13.“98.36亿”可用科学记数法表示为9.836X109.

14.小颖家离学校1200m,其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.她去学校

共用了16min,已知小颖走上坡路的平均速度是3km/h,走下坡路的平均速度是

5km/h,去时上坡路和下坡路分别是多少千米？设去时上坡路xkm,下坡路y

x+y=1.2,

km,则可列方程组为x,y16

-+-=—

V3560

15.已知等腰三角形的三边长为a,b,c,满足忻汽+山一7|=0,那么三角形

的周长是17.

16.已知点A(m,yi),3(根+2,竺)，C(xo,yo)在二次函数y=ax2+4ax+c(aW0)

的图象上，且C为抛物线的顶点.若加三”>丁1,则m的取值范围是m<—3.

17.如图，已知点E,H在矩形A3CD的边AD上，点EG在边3c上，将矩

形A3CD沿ERGH折叠，使点3和点C落在边AD上同一点P处.折叠后，

点A的对应点为点4,点。的对应点为点。.若NRPG=90。，A'E=3,D'H=

1,则矩形ABCD的周长等于12+68

18.如图，直线y=gx,点4的坐标为（1,0）,过点4作x轴的垂线交直线于

点B1）,以原点。为圆心，OB长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x

轴的垂线交直线于点比，以原点。为圆心，。班长为半径画弧交x轴于点A3,

按此作法进行下去，点此的坐标为（8,0）,点此的坐标为⑵口0）

三'解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

19.（6分）（1）若关于x的分式方程卷=居一2的解是非负数，求a的取值范围；

x-12x-2

⑵先化简，再求值：（第+久—1）三六，其中X是不等式组［久+3<°，的整数

I9>0

解.

解：（1）分式方程去分母，得2x=3a—4x+4,

解得x=呼.

根据题意，得一20,且也W1,

66

解得。三一3且。力士

33

⑵解不等式组，得一gVxV—3,

・•.整数解为x=~4.

%+3%+3

(x+2)2.%+3x+2

x+3x(x+2)x*

当x=14时，原式=士^=L.

—42

20.(8分)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调

查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图如下:

组别时间t/h频数/人

A0</<12

B1<1<2m

C2W/V310

D3</<412

E4</<57

F■54

请根据图表中的信息解答下列问题：

⑴频数分布表中，m=5■,扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度

数为45。,“C”部分所占百分比为25%；若该中学有2000名学生，则

每周课外阅读时间不低于4h的大约有550人:

⑵已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生.用画树状图或列表的方

法求从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生的概率.

解:(1)加=40—(2+10+12+7+4)=5.

在扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为360。＞＜三=45。.

40

“C”部分所占百分比为Xxi00%=25%.

40

若该中学有2000名学生，则每周课外阅读时间不低于4h的大约有2000X3

40

=550(人).

故答案为5;45°;25%;550.

⑵画树状图如下:

开始

女女女男女女男女女男女女

共有12种等可能的结果，其中恰好都是女生的结果有6种，

...恰好都是女生的概率为盘咛.

21.(8分)如图，一次函数y=与反比例函数y=£(x>0)的图象交于

6),8(3,九)两点.

⑴求一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积；

⑶根据图象，直接写出履+6—2>0的x的取值范围.

X

解：(1)：点A(m,6),B(3,〃)在反比例函数y=：(x>0)的图象上,

:.m=l,n=2,即A(l,6),3(3,2).

将A(l,6),B(3,2)代入一次函数丁=丘+。，

f=6,解得k=-2,

得

3k+b-2,b=8.

一次函数的表达式为y=-2x+8.

(2)令一2x+8=0,得x=4,即。(4,0).

Si=S2TBOO=：x4X6一；X4X2=8.

(3)由图象可知，b;+/?-->0的x的取值范围是l<x<3.

X

22.(10分)一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机

器收割10公顷小麦比80个农民人工收割这些小麦要少用1h.

(1)这台收割机每小时收割多少公顷小麦?

⑵通过技术革新，这台收割机的工作效率得到了提升，收割10公顷小麦比100

个农民人工收割这些小麦要少用0.8h.求这台收割机的工作效率相当于一个农

民工作效率的多少倍.

解：（1）设一个农民每小时收割小麦x公顷，则一台收割机每小时收割小麦120%

公顷.

由题意，得四一1=旦，解得x=工.

80%120%24

经检验，x=工是原方程的根，并符合题意.

24,

1

.•啖X120=5（公顷）.

这台收割机每小时收割5公顷小麦.

（2）设这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的n倍，则由（1）知一个农

民每小时收割小麦工公顷，一台收割机每小时收割小麦二公顷.

2424

由题意，得‘^=乎+0.8,解得“=150.

i°ox莉莉

经检验，“=150是原方程的根，并符合题意.

.,.这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍.

23.（10分）如图，在矩形A3CD中，E是3C上一点，连接DE,AE,延长C3到

点E连接ARitZAFC=ZDEC.

⑴求证：四边形ARE。是平行四边形;

⑵若四边形ARE。是菱形，CE=6,DC=8,求AE的长.

⑴证明：•四边形ABCD是矩形,

：.AD//FC.

'：ZAFC=ZDEC,：.AF//DE.

：.四边形AFED是平行四边形.

(2)解：,四边形ABCD是矩形，

AZABC=ZC=9Q°,AB=DC,AD=BC.

在Rt^DCE中，CE=6,DC=8,

则DE=yJCE2+DC2=V36+64=10.

♦四边形ARE。是菱形，

：.FE=DE=AD=AF=10.

：.BC=AD=10.

：.BE=BC-CE=10-6=4.

在RtAABE中,AB=DC=8,

则AE=y/AB2+BE2-V64+16=4A/5.

24.（10分）如图，点。在。。的直径A3上，DEL弦3c于点E,R为A3延长

线上一点，ZBDE=ZBCF.

⑴求证：CT是。。的切线；

Q）若/F=/BDE,BF=3,求阴影部分的面积.（结果保留兀）

（1）证明：如图，连接。C.

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB.

'JDELBC,

：.NDEB=90°.

：.ZBDE+ZDBE=9Q°.

ZBDE=ZBCF,

：.ZOCB+ZBCF=90°,即OCLCF.

,.•oc是半径，

...CT是。。的切线.

⑵：ZF=ZBDE,ZBCF=ZBDE,

：.ZF=ZBCF.

ZOBC=ZOCB=ZF+ZBCF,

：.Z0CB=2ZBCF.

VZOCF=90°,

9

/.ZOCB=-ZOCF=60°.

3

'：OB=OC,.•.△BOC是等边三角形.

/.ZBOC=60°,OB=OC=BC=BF=3.

在中，OC=3,OF=OB+BF=6,

：.FC=VOF2-OC2=3V3.

・O_c，c，_1\zo\zo/o6011X32_9遮3n_9V3-3H

■・3阴影=3z\oc/—3扇形Q§c=：；X3X3V3——--------=---•

Z3oUZzz

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸，2—浮—3与x轴交于A,

3两点（点A在点3的左侧），与y轴交于点C,连接BC.

（1）求直线3C的表达式；

（2）抛物线的对称轴与BC交于点D,P为直线3c下方对称轴右侧抛物线上的一

点，连接PB,PD.当的面积最大时，点。从点P出发，先沿适当的路

径运动到y轴上的点“处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上的点N处，

最后沿适当的路径运动到点3处停止.求点。经过的最短路径的长；

（3）将△BOC绕点0顺时针旋转60。得到△9。C,点B,C的对应点分别为B',

C,E为直线上一点，连接夕E,CE.当△夕CE为等腰三角形时，求符合条

件的点E的坐标.

解：（1）：抛物线y=#一竽尤一3与x轴交于A,3两点（点A在点3的左侧），与

y轴交于点C,当x=0时，y=-3;

当y=0时，#一好一3=0,

解得%1=—V3,X2=3V3.

：.A(~y/3,0),B(3V3,0),C(0,一3).

设直线BC的表达式为y=kx+b,

f；_V3

3l」3V3/c+5=0K,——,

将3(3g,0),C(0,—3)代入，得解得3

U=-3,b=—3.

直线BC的表达式为v=yx-3.

(2)如图1,过点P作PG//y轴.

图1

由(1)可知，直线3C的表达式为3,B(3V3,0).

设P(a,|a2—~~3^),

AG(a,ya-3).

：.PG=—a-3~(-a2a-3)

3\337

=--a2+V3<7.

3

'->=|x2—3=|(x—V3)2—4,

抛物线的对称轴为直线x=V3.

点。的横坐标为g.

2

/.5APBD=|X（3V3-V3）XPG=V3|«2+V3a）=-y（a-+?.

VV3<a<3V3,-y<0,

当时，SAPBD最大,此时—/）•

如图2,作点P关于y轴的对称点P（—甲，一?），连接P3,交y轴于点

交抛物线的对称轴于点N,连接PM.

由题意，得点、Q沿P一般一N-3运动时所走的路径最短，即最短路径的长为PM

+MN+NB的长.

：点P,P关于y轴对称，：.PM=P'M.

：.PM-\-MN+NB=P'M+MN+NB=P'B.

过点P作P'HLx轴于点H,P'B=<P'H2+BH2=J(7)2+(学j=4詈.

・•.点Q经过的最短路径的长为当亘.

(3)如图3,过点C作轴于点R,过点B'作B'T±y轴于点T.

设E(zn,日6-3),

：将△30C绕点0顺时针旋转60。得到△夕0C,

AZCOC=ZBOB'=60°,OC'=OC=3,OB'=OB=3V3.：.ZCOR=ZB'OT=

30°.

"：ZORC=ZOTB'=90°,

：

.C'R=~2,2OR=—,2B'T=—2,OT=~.

.•y"(瞑

.,.B,C,2=5C2=OB2+OC2=(3V3)2+32=36,

CE2=[m-(-^)]+[ym-3-(-|)]

=1m2+2V3m+9,

22

8/2=（6一学）+［ym-3-（-1）］=

|m2-2V3m+9.

,/△9CE为等腰三角形，

：.B'C'=C'E或B'C'=B'E或CE=BE

当）C=CE时,36=#+2倔7?+9,

初汨

解仔m-_---6--V-3--±--6-V--3-9--_--3--V-3--±-3-V--3-9.

84

.•.点E的坐标为（厚詈竺，亚字竺）或

/-3V3-3V39-15-3V13\

V4,47

当B'C'=B'E时，36=1m2-2V3m+9,

的月

解仔m-_--6--V-3--±-6--V-3--9-_--3-V--3-±-3-V--3-9.

84

.•.点E的坐标为（迪乎竺，士尹）

或（38+37^3V13-9^

当CE=3'E时，|m2+2V3m+9=（1m2）-2V3m+9,解得m=0.

当机=0时，B',C,E三点在同一条直线上，不能构成三角形.

综上所述，点E的坐标为（苦迺，苑|芝）或（苦当竺，誓竺）或

/3V3-3V39-9-3V13\声/3V3+3V393V13-9\

\4'4广"14'47,

26.（14分）［教材再现］

（1）如图1,在正方形ABCD中，对角线AC与3。相交于点。，图中有8个等

腰直角三角形.

［深入探究］

（2）如图2,在矩形A3CD中，AE,BE,CF,DR分别为ND43,ZABC,ZBCD,

ZADC的平分线，AE与DF交于点M,BE与CF交于点N.

①求证：四边形EMRN是正方形；

②连接EF求证：EF=A