2025年山东中考数学总复习 第六章 章末综合评价卷（六） 圆

章末综合评价卷（六）圆

（时间：120分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符

合题目要求）

1.如果一个圆的直径是8cm,圆心到一条直线的距离也是8cm,那么这条直线

和这个圆的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.不能确定

A圆的直径为8cm,

圆的半径为4cm,

*.*圆心到直线的距离为8cm,

・•.圆的半径〈圆心到直线的距离，

.•.直线与圆相离.

故选A.]

2.（2024•岱岳区期末）如图，已知在。。中，3c是直径，AB=DC,则下列结论

不一定成立的是（）

A.OA=OB=AB

B.ZAOB=ZCOD

C.AB=DC

D.。到A3、CD的距离相等

A['：AB=DC,

：.AB=DC,

，ZAOB=ZCOD,

'：OA=OB=OC=OD,

：.COD(SAS),

...0到A3、CD的距离相等，

所以B,C,D选项正确；

而。4=03,但不一定等于A3,故A选项错误.

故选A.］

3.［易错题］已知。。的直径CD=10cm,A3是。。的弦,AB=8cm,且A3LCD,

垂足为M,则AC的长为()

A.2V5cmB.4V5cm

C.2V5cmgJc4V5cmD.2A/3cm或4旧cm

C［如图，连接AC,AO,

11

/.AM=-AB=-X8=4(cm),0D=0C=5cm.

当C点位置如图1所示时，

"：0A=5cm,AM=4cm,CD±AB,

：.0M=y/OA2-AM2-V52-42=3(cm),

CM=0C+0M=5+3=8(cm),

：.AC=yjAM2+CM2=V42+82=4V5(cm);

当C点位置如图2所示时，同理可得0M=3cm,

V0C=5cm,

.,.MC=5-3=2(cm),

在RtAAMC中，AC=y/AM2+MC2=V42+22=2V5(cm).

故选C.］

4.［新考法］(2024•河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深

厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120。时，扇面面积为S,该折扇张开的角

度为废时，扇面面积为S”，若加=羡，则机与〃关系的图象大致是()

mm

C［设该扇子所在圆的半径为R,

sc=-12-0--r-t-T?-2=—TCR2,

3603

••.7lR2=3S,

•.♦该折扇张开的角度为废时，扇面面积为Sn,

•s„=^^=—X3S=—

••n360360120’

二S

.•.m=S九—=12"0^=九——=——1n,

SS120120

'.m是〃的正比例函数,

。心0,

・•.它的图象是过原点的一条射线.

故选C.]

5.（2024•济宁）如图，分别延长圆内接四边形A3CD的两组对边，延长线相交

于点E,F.若/石=54。4匕ZF=43°19,,则NA的度数为（）

A.42°B.41。20'

C.41°D.40。20,

C•四边形A3CD是圆内接四边形，

/.ZA+ZBCD=180°,

ZCDF是△ADE的外角，

：.ZCDF=ZA+ZE,

,：ZBCD是ACDF的外角，

ZBCD=ZF+ZCDF,

：.ZBCD=ZF+ZA+ZE,

：.ZA+ZF+NA+ZE=180°,

A2ZA+ZF+ZE=180°,

VZE=54°4r,ZF=43°19,,

.,.2NA+43°19'+54°41'=180°,

ZA=41°.

故选C.］

6.［情境题］（2024•宁阳期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重

要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时

的曲线起点为A,曲线终点为3,过点A,3的两条切线相交于点C,列车在从

A到5行驶的过程中转角a为60。.若圆曲线的半径OA=3km,则这段圆曲线

部的长为（）

圆心。

A.7ikmB.271km

C.371kmD.6nkm

A[VC4,CB是。。的切线，点A,点3是切点,

：.CA±OA,CBLOB,

即NO4C=NO3C=90°,

VZa=60°,

/.ZACB=180°-60°=120°,

ZAOB=360°-120°-90°-90°=60°,

・•.这段圆曲线翁的长为察萨=7i(km).

故选A.]

7.(2024•东平二模)如图，将扇形OAB沿OB方向平移，使点0平移到OB的

中点。处，得到扇形O2E.若NAO3=90。，OA=2®则阴影部分的面积为

()

C.，+2v5D.7I+3A/3

B[如图，设04与卷交于点T,连接0T,

,1点。是0B的中点，0B=0A=2W,

：.OO,=|(9B=V3,

0T=0B,

1

：.00'=k)T,

由平移的性质，得/4。'3'=/4。3=90。，即/。。7=180。一/4。8'=90°,

nnr1

VcosZT00'=—OT=-2,

：.ZTOO'=60°,

：.0'T=00'•tanNTOO'=V^Xtan60°=3,ZA0T=ZAOB-ZTOO'=3Q°,

由平移的性质，得S网彩+Si=S?+Si,

2

3°”(2

：.Smi)=S2=S^OAT+S^OO'T=网+1XV3X3=7l+—.

36022

故选B.]

8.题目：“如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,以点A为圆心，以

小于A3的长度为半径作。A,P是OA上一点，连接3P.将线段3尸绕点3顺

时针旋转90。得到线段BP,连接PP.当NAPB为何度数时，PP与。A相切，

切点为P?”对于其答案，甲答：ZAPB=135°,乙答：ZAPB=60°,丙答：ZAPB

=45°,则下列判断正确的是（）

A.只有甲答的对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

B［当P在的左侧时，如图所示,

'：ZPBP'=90°,

：.ZBPP'=45°,

当PP是。A的切线时，AP±PP',

：.ZAPP'=90°,

：.ZAPB=90o+45°=135°.

当P在AB的右侧时，

同理可得NBPP'=45°,

当尸尸是。A的切线时，AP±PP',

：.ZAPP'=9Q°,

ZAPB=90o-45°=45°.

故选B.]

9.（2024•宁阳期中）如图，在中，ZBCO=90°,ZCBO=30°,BO=

4cm,将△5C0绕点。逆时针旋转至△夕CO,点C在50的延长线上，则边3C

扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）

22

A.兀cm

2

C.4兀cmD.(4兀+遮)cn?

C「.♦将△3C。绕点。逆时针旋转至△夕CO,ZOBC=30°,

••OC=OCr,/COC'=/BOB',OB=OBf=4-crn,S/\COB=S/\COB',

VZBCO=90°,NO5c=30。，

/.ZCOB=900-ZOBC=60°,OC=-OB=2cm,

...ZCOC=180°-zCOB=120°,

/.ZBOB,=120°,

...阴影部分的面积S=S^KBOB'~\'S^COB'-S扇号coc'-SACOB=S期矽BOB,-S扁号coc'=

22

120TTX4120HX216n—^=47r(cm2).

3603603

故选C.]

10.（2024•泰山期末）如图，OM的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点P是

0M上的任意一点，PA±PB,且以，尸3与x轴分别交于A,3两点，若点A,

点B关于原点0对称，则AB的最大值为（）

A.13B.14

C.12D.28

D[连接PO,

'JPALPB,

：.ZAPB=9Q°,

•.•点A,点B关于原点0对称，

：.AO=BO,

：.AB=2P0,

若栗使A3取得最大值，则P0需取得最大值，

连接0M,并延长交。〃于点P,当点尸位于P位置时，0P取得最大值，

过点M作MQLx轴于点Q,

则。。=6,MQ=8,

：.OM=10,

又,.•MP=r=4,

OP'=MO+MP'=10+4=14,

：.AB=2OP'=2X14=28.

故选D.]

二、填空题（本大题共6小题，满分18分.只要求填写最后结果，每小题填对得

3分）

11.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺

作如图所示的测量，测得A3=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为

f［连接AC,

VZABC=90°,且NA3C是圆周角，

••.AC是圆形镜面的直径，

由勾股定理得

AC=7AB2+BC2-V122+52=13(cm),

所以圆形镜面的半径为当cm.

故答案为上.］

2

12.［情境题］草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进

行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品.某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了

一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模

型的侧面积为

20兀cn?［根据题意，圆锥的母线长为，32+42=5(cm),

所以该圆锥的侧面积为|X8兀X5=207i(cm2).

故答案为2071cm2.］

13.［跨学科］(2024•兰州)"轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋

战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的

示意图，其中。QN的半径分别是1cm和10cm,当。M顺时针转动3周

时，ON上的点P随之旋转相，则〃=.

S1图2

108。A/的周长为271cm,

/.（DM顺时针转动3周时，点尸移动的弧长为6兀cm,

兀niixlO

••6180

解得几=108.

故答案为108.]

14.（2024•泰山一模）如图，在平面直角坐标系中，已知。。经过原点。与光

轴，y轴分别交于A,B两点，点B的坐标为（0,2V3）,OC与。D交于点C,

Z0CA=3Q°,则图中阴影部分的面积为.

271-2V3［连接A3,

ZAOB=90°,

...AB是直径，

根据同弧对的圆周角相等得NOA4=NC=30。，

'JOB=2^,

：.OA=OB•tanZABO=OB•tan30°=2V3x—=2,AB=-^—=4,

3sm30°

即圆的半径为2,

.•・5四影=5半四一5448。=等—[*2*2百=2兀—2百.

故答案为2R一2瓜]

15.（2024•泰安模拟）如图，直线/与。。相切于点D,过圆心。作ER〃/交。。

于E,R两点，点A是。。上一点，连接AE,AF,并分别延长交直线/于3,C

两点.若。。的半径R=5,BD=12,则NAC3的正切值为.

|[连接OD,作EHLBC,垂足为H,如图.

：ER为直径,

NA=90°,

,?ZB+ZC=90°,ZB+ZBEH=90°,

ZBEH=ZC,

•直线/与。。相切于点D,

：.OD±BC,

而EHLBC,EF//BC,

...四边形EHDO为正方形，

EH=OD=OE=HD=5,

：.BH=BD~HD=1,

在RtABEH中，tanZBEH=—=~,

EH5

7

/.tanNACB=-.

5

故答案为3]

16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDER的中心与原点

O重合，AB//x轴，交y轴于点P.将△Q4P绕点0顺时针旋转，每次旋转90°,

则第2022次旋转结束时，点A的坐标为.

(-1,-V3)•正六边形A3CDER的边长为2,中心与原点。重合,轴,

：.AP=1,AO=2,NO必=90°,

：.OP=7A02-AP2=®

...第1次旋转结束时，点A的坐标为（百，-1）,

第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1,-V3）,

第3次旋转结束时，点A的坐标为（一百，1）,

第4次旋转结束时，点A的坐标为（1,V3）,

A4次一个循环，

,.•2022+4=505...2,

.•.第2022次旋转结束时，点A的坐标为（-1,-V3）.

故答案为（-1,-V3）.J

三'解答题（本大题共5小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过

程或推演步骤）

17.（12分）如图，已知A3是。。的直径，C,。是。。上的点，OC〃BD,交AD

于点E,连接3C.

⑴求证：AE=ED；

(2)若A3=10,ZCBD=36°,求左的长.

［解］(1)证明：'..AB是。。的直径，

/.NAD"90°,

OC//BD,

：.ZAEO=ZADB=9Q°,

即OSA。，

：.AE=ED.

(2)：OCLAD,

：.AC=CD,

：.ZABC=ZCBD=36°,

：.ZA0C=2ZABC=2X36°=72°,

：.AC=^^=2n.

180

18.(12分)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个

底面积为121n2,高为3.2m,外围高为1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的

毛毡(兀取3.142,结果取整数)？

［解］如图是一个蒙古包的示意图.

根据题意，下部圆柱的底面积为12m2,高〃2=1.8m;上部圆锥的高历=3.2—

1.8=1.4(m).

圆柱的底面圆的半径厂=J五—1.954(m),

侧面积为2TIX1.954X1,8^22.10(m2).

圆锥的母线长Z^V1.9542+1.42^2.404(m),

侧面展开扇形的弧长为2兀X1.954弋12.28(m),

圆锥的侧面积为［X2.404X12.28Q14.76(m2).

因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20X(22.10+14,76)^738(m2).

19.(14分)如图，正方形ABCD内接于。。，在靠上取一点E,连接AE,DE,

过点A作AGLAE,交。。于点G,交DE于点E连接CG,DG.

(1)求证：AAFD沿ACGD；

(2)若A3=2,NBAE=30。,求阴影部分的面积.

［解］⑴证明：'.•AGUE,

，NE4G=90°,

ZEDG=ZEAG=90°,

•四边形A3CD是正方形，

：.AD=CD,ZADC=9Q°,

"：ZADF+ZFDC=ZCDG+ZFDC=90°,

/.ZADF=ZCDG,

在△ADR和△CDG中，

f^GAD=乙GCD,

IAD=CD,

{^ADF=乙CDG,

：.△ADR2△CDG(ASA).

(2)过点、D作DHLAG于点、H,连接。4,OD,

•四边形ABC。是正方形,

11

・..ZBAD=9^,ZAGD=-ZAOD=-X90°=45°,

/.ZDAG+ZBAG=ZBAE+ZBAG=90°,

：.ZDAG=ZBAE=30°,

〈DHLAG,

：.ZDHG=90°,

：.△HDG和△DRG都是等腰直角三角形.

在RtZXADH中，ND4G=30。，

：

.DH=2-AD=2-X2=1,

AH=y/AD2-DH2=V3,

：.AG=AH+HG=V3+1,

DF=DG=42DH=42,

.,.5AADF=SAADG-5ADrc=jx(V3+l)X1-|xV2xV2=^i,

'：OA=OD,ZAOD=90°,

：.AAOD是等腰直角三角形,

：.0A=^AD=y/2,

2

cm

S弓形AD=S扇形A0£>—S^AOD=9（短）1xV2XV2=——1,

36022

：.Smt,=SMDF+S引取AD=^+1

20.（16分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交3C于点D,

DELAC,垂足为E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若NC=30。，CD=2V3,求助的长.

［解］(1)证明：连接。。，则。。=。3,

：.ZODB=ZB,

'：AB=AC,

：.ZC=ZB,

：.ZODB=ZC,

：.OD//AC,

,.•DELAC于点E,

：.ZODE=ZCED=9Q°,

是。。的半径，DE±OD,

:.DE是。O的切线.

（2）连接AD,

'.'AB是。。的直径，

AZADB=90°,：.AD±BC,

'：AB=AC,CD=243,

：.BD=CD=2y/3,

'：ZB=ZC=30°,

：.AD=BD•tan30°=2V3xy=2,

'：OD=OA,ZAOD=2ZB=6Q°,

••.△AOD是等边