2025年上海高考数学二轮复习：热点题型1 集合与逻辑（选填题热点八大题型）原卷版+解析

热点题型•选填题攻略

专题01集合与逻辑（八大题型）

o------------题型归纳•定方向-----------*>

题型01集合的概念.............................................................................1

题型02集合的关系.............................................................................1

题型03集合的运算.............................................................................2

题型04集合与函数、不等式.....................................................................2

题型05集合的运算（字母运算，含文氏图）......................................................2

题型06充分必要条件...........................................................................3

题型07命题的否定、反证法.....................................................................4

题型08集合难点...............................................................................4

♦>-----------题型探析,明规律------------♦>

【解题规律•提分快招】

1、元素与集合的关系：属于（€）,不属于（仁）；

2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内；

3、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性；

4、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要分类讨论，或检验；

5、集合的表示方法主要有列举法，描述法，vezm图法等；

6、充分条件、必要条件的两种判定方法：

（1）定义法：根据pnq,qnp进行判断，适用于定义、定理判断性问题；

（2）集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

7、求参数问题的解题策略：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或

不等式组）求解；

⑵要注意区间端点值的检验.

题型01集合的概念

【典例1一1】.中国国旗上所有颜色组成的集合为.

【典例1-2].已知集合4={〃2,帆},若2eA,贝Ip”=.

【变式1-1].已知0e{2,f_“，则实数x=.

2

【变式1-21.若集合A={xeZ|-2VXV2},B={y\y=x+l,xGA},则用列举法表示集合3=

【变式1-3].已知集合"={0』,a+1},若—leM,则实数.

题型02集合的关系

【典例2-1].已知集合&={2,卜+1|,。+3},且leA,则实数。的值为.

【典例2-2】.已知集合4={1,3},B={l,a,4},且4=3,则。=.

【变式2-1】.若集合A={l,x},B={l,x2},且A=B,贝ijx=.

【变式2-2].己知集合人={尤）<尤<2},B=[x\x<a\,若AqB,则。的取值范围是.

【变式2-3].若集合M={0,2,3,7},N={x|x=B,aeM,beM},则集合N的子集最多有个.

题型03集合的运算

【典例3-1】.已知集合4=[4,.），8={2,4,6,8},则AB=.

【典例3-2]].已知集合河={1},N={a,a2},且MuN=N,则实数。=.

【变式3-1】•己知全集0=11,集合4=卜卜区1},3={0,1,2},则入B=.

【变式3-2].若集合4=卜«<2卜8={小训，则AB=.

【变式3-3].已知集合4={无卜2Vx<1},^B={x\2a-1<x<a+}},若AB=0,则实数。的取值范

围为•

题型04集合与函数、不等式

【典例4-1].已知集合4={-1,0,1},3={引尤2<2]，则AB=（）

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【典例4-2].设集合M=,x|x=45+gxl80,左ez1,N==45+'xl80/eZ,,那么（）

A.M=NB.NjMC.M=ND.McN=0

【变式4-1].己知集合4={孙加+2》+2=0}中有两个元素，则实数机的取值范围是.

【变式4-2].已知集合A/={X|J^T<4},N={x|-2〈尤V3,尤eZ},则A/N=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【变式4-3].设集合M={xW=x},N={x|lgxV0},则MN=_.

题型05集合的运算（字母运算，含文氏图）

【典例5-11.设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（）

A.若AcBnBcC,贝！]A=CB.若=贝IJA=C

C.若AB=BC,则Cg3D.若AuBuBcC,则C13

【典例5-2】.如图表示图形阴影部分的是（）

A.(AC)(BC)B.(AB)(AC)

C.(AB)(BC)D.

【变式5-1】.已知全集为U,非空集合A3满足4U瓦下列各式中，错误的是()

A.A(JB=UB.Ac8=0

C.D.AnB^B

【变式5-2】•设A8是全集U的两个子集，A^B,则下列式子成立的是()

A.AcBB.A<JB=U

C.AnB=0D.A।B=0

【变式5-3】.已知全集U和集合/、N、P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()

A.Mc(N2P)B.Mc(N2P)

C.M2(N2P)D.Mc(NcP)

题型06充分必要条件

【典例6-1].已知x,yeR,贝『'|.8-了1=1%1+及1''是“孙<。”的条件.

【典例6-2].设a：1〈尤W4,p：x>m,a是夕的充分条件，则实数机的取值范围是.

【变式6-1]."x>y>o”是“尤的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【变式6-2】•已知p:Y-2》-8<0应:1-。<尤<2。-3,且P是4的充分不必要条件，则实数。的取值范围

是.

【变式6-3].已知集合A=<x|log：(x+2)<0卜集合3={x[(x-a)(x-6)<0},若"°=一3"是"A320”

的充分条件，则实数b的取值范围是.

题型07命题的否定、反证法

【典例7-1】•已知命题0任意正数x,恒有(x+l)e*>l,则命题p的否定为.

【典例7-2】.已知陈述句a：所有的aeA满足性质p,则a的否定形式为.

【变式7-1】.若要用反证法证明“若无2+产=0,则x=O且>=0"，应假设为

【变式7-2】•用反证法证明“若f-2x-3=0,则尸-1或％=3”时,应假设.

【变式7-3】.存在xeR,使得〃x)>0的否定形式是()

A.存在xeR,使得B.不存在xeR,使得〃X)WO

C.对任意的D.对任意的xeR,/(x)>0

题型08集合难点

【典例8-1】.若规定集合E={0」,2,,•㈤的子集{4%,%,%}为E的第％个子集，其中

上=2%+2%+2%++2%,则E的第211个子集是.

【典例8-21.设集合U“={1,2,3,…，科，〃为正整数，记/⑺为同时满足下列条件的集合A的个数:①A=%,

②若尤eA,贝!]2xeA,③若xeN,贝!)2xeX,贝!1/。6)=

【变式8-1].设4、4、&、L、4是均含有2个元素的集合，且Ac4=0,4八4+尸0(7=1,2,3,,6),

记2=4口4。4。-则8中元素个数的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【变式8-21.M是正整数集的子集，满足：leM,2022eM2023e并有如下性质：若a、beM,则

eM,其中[可表示不超过实数x的最大整数，则M的非空子集个数为.

【变式8-3].已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aeS,则当且仅当。=，〃+〃(其中加weS

且或a=p+4(其中p,qeS,p,qeZ*且pwq).现有如下两个命题:①4&S；②集合

{x|x=3〃+5,"eN}aS.则下列选项中正确的是()

A.①是真命题，②是真命题;B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题;D.①是假命题，②是假命题.

♦>----------题型通关•冲高考-----------*>

一、填空题

1.（2024.上海奉贤.一模）设全集。={1,2,3,4},集合A={2,4},则入=.

2.（2024.上海.三模）已知集合4={0』,2},B={X|X3-3X<1},则AB=

3.（2024高三.上海.专题练习）已知集合/=口|苫+220},N={x|x-l<0},则MN=.

4.（2023・上海长宁•二模）若"x=l”是“x>a”的充分条件，则实数。的取值范围为.

5.（2024.上海普陀.二模）已知aeR,设集合4={1,。,4},集合3={l,a+2},若AB=B,贝lja=

6.（15-16高一上•上海•期中）集合尸={（x,y）|y=Y,xeR},集合Q={（x,y）|y=-Y+2,xeR},则

PQ=

热点题型•选填题攻略

专题01集合与逻辑（八大题型）

♦>-----------题型归纳•定方向-----------*>

题型01集合的概念.............................................................................1

题型02集合的关系.............................................................................2

题型03集合的运算.............................................................................3

题型04集合与函数、不等式.....................................................................5

题型05集合的运算（字母运算，含文氏图）......................................................6

题型06充分必要条件...........................................................................8

题型07命题的否定、反证法....................................................................10

题型08集合难点..............................................................................11

O----------------题型探析・明规律----------♦>

【解题规律•提分快招】

1、元素与集合的关系：属于（e）,不属于（仁）；

2、对于元素与集合的关系，牢牢抓住元素是否在集合内；

3、集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性；

4、解决集合中元素的问题特别注意互异性，有时需要分类讨论，或检验；

5、集合的表示方法主要有列举法，描述法，ve〃”图法等；

6、充分条件、必要条件的两种判定方法：

（1）定义法：根据P。!，qnp进行判断，适用于定义、定理判断性问题；

（2）集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

7、求参数问题的解题策略：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或

不等式组）求解；

（2）要注意区间端点值的检验.

题型01集合的概念

【典例1-1】.中国国旗上所有颜色组成的集合为.

【答案】｛红，黄卜

【分析】根据集合的定义即可求解.

【解析】中国国旗上所有颜色组成的集合为｛红,黄｝.

故答案为：｛红，黄｝.

【典例1-2].已知集合4=｛加,帆｝,若2eA,则加=.

【答案】-2

【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.

【解析】因为4=}〃,帆},且2eA,

[m=2[m^2

则।或।,°,解得根=一2.

0网片2[网=2

故答案为：-2.

【变式1-1].已知042,尤2—1},则实数x=.

【答案】±1

【分析】直接根据/一1=0求解即可.

【解析】0e{2,x2-l),

x2-1=0,

解得x=±l.

故答案为：±1.

【变式1-2].若集合A={xeZ|-2MXV2},8={y|y=犬+l,xeA},则用列举法表示集合B=

【答案】{5,2,1}

【分析】根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入y=x?+l中，计算可得y的值，即可得8的

元素，用列举法表示即可得答案.

【解析】根据题意，A={-2,-1,0,1,2},

对于集合B=(y|y=N+i,xeA},

当x=±2时,y=5,

当彳=±1时，y=2,

当x=0时，y=l；

故答案为{5,2,1}

【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合2中x所取的值为A中的元素且必须用列举法表示.

【变式1-3].已知集合"={0,若—leM,则实数。=.

【答案】-2

【分析】利用元素与集合的关系可得出关于。的等式，解之即可.

【解析】因为集合”={。,1,。+1},若-leM,则=解得a=-2.

故答案为：—2.

题型02集合的关系

【典例2-1].己知集合4={2,卜+.+3},且leA,则实数。的值为.

【答案】0

【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得.

【解析】由集合A={2,|a+1,a+3},且leA,得|。+1|=1或。+3=1,解得。=0或。=-2,

当a=0时，A={2,1,3},符合题意，

当。=-2时，=1且。+3=1,与集合元素的互异性矛盾，

所以实数。的值为0.

故答案为：0

【典例2-2】.已知集合4={1,3},B={l,a,4},且则。=.

【答案】3

【分析】利用集合间的基本关系及元素与集合的关系计算即可.

【解析】由题意A={L3},B={l,a,4},且4=3,可知3e{l,a,4},所以a=3.

故答案为：3

【变式2-1】.若集合A={l,x},B={l,x2},且A=3,贝口=.

【答案】0

【分析】利用两个集合相等结合集合元素的互异性求解即可.

【解析】因为集合4=3,所以x=V解得x=0或1,

当x=1时不满足集合元素互异性的要求舍去，

当尤=0时，A=B={l,0},

故答案为：0

【变式2-2】.已知集合4={引1<%<2},B={x\x<a],若A=则。的取值范围是.

【答案】[2,+8)

【分析】由A=3列不等式求a的取值范围，

【解析】回集合A={x[l<x<2},B=\x\x<a\,A^B,

06/>2.

回。的取值范围是[2,+8).

故答案为：[2,+8).

【变式2-3].若集合”={0,2,3,7},N={x|x=M,aeM,beM},则集合N的子集最多有个.

【答案】128

【分析】先求出集合N,再求集合N的子集个数.

【解析】集合"={0,2,3,7},N={x|x=M,aeM,beM},

所以N={0,6,14,21,4,9,49},

则集合N的子集个数有27=128个.

故答案为：128.

【点睛】本题考查集合子集的个数，掌握当集合中有〃个元素时，子集的个数为2"，属于基础题.

题型03集合的运算

【典例3-1].己知集合4=[4,内），B={2,4,6,8},则AB=.

【答案】{4,6,8}

【分析】找出集合A与集合8的公共元素，即可确定出交集.

【解析】因为集合人=[4,包），3={2,4,6,8},

所以A3={4,6,8}.

故答案为：{4,6,8}.

【典例3-2].已知集合”={1},N=[a,a2],且MuN=N,则实数。=.

【答案】-1

【分析】根据集合中元素的互异性求。的值.

【解析】MN=N=MjN,。=1或/=i,由互异性，a=-l.

故答案为：-1.

【变式3-1].已知全集0=1<,集合4=卜卜曰},8={0,1,2},则£2=.

【答案】{2}

【分析】将集合A化简，即可得到再由交集的运算，即可得到结果.

【解析】因为A=Wl}={x|TV无V1},则入={*归<一1或X>1},

且3={0,1,2},所以NB={2}.

故答案为：{2}

【变式3-2].若集合4=卜|«<2卜B={x\x>\\,则AB=.

【答案】{邓。<4}

【分析】

根据集合的交运算进行运算即可.

【解析】A={x|04尤<4bB=^x\x>\^,Ar\B-|x|l<x<4j,

故答案为:{x\l<x<4}.

【变式3-31.已知集合4={止2<xVl},集合3=32”-1<尤<〃+1},若A8=0,则实数。的取值范

围为■

【答案】（_8,_3]u（l,+e）

【分析】由题意分集合B是否为空集进行讨论，结合Al3=0,列出相应的不等式（组），从而即可得解.

【解析】集合A={x|—2<xVl},集合3={x|2a-l<xWa+l},且AB=0,

若3=0,贝U2a—l>a+l,即a>2,此时满足AB=0,即a>2满足题意；

若则2a-l«a+l,即a42,此时若要使得AB=0,

则还需2。-1>1或。+1«-2,解得。4-3或a>l,

注意到此时aW2,从而此时满足题意的。的范围为aW-3或l<aV2；

综上所述，实数。的取值范围为（-力,-3]口（1,+⑹.

故答案为：（-oo,-3]u（l,+oo）.

题型04集合与函数、不等式

【典例4-1].已知集合4={-1,0,1},3=卜|尤2<2，},则AB=（）

A.{1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1）

【答案】C

【分析】验证集合A中的元素，是否是集合B中元素，即可求

【解析】因为（一1）2>2,所以一1e3,02<2°,所以0c3,仔<21,所以leB,

所以A3={0,1}.

故选：c

【典例4-2].设集合卜=45+■|xl80N='x|尤=45+：*180,4ez1,那么（）

A.M=NB.NjMC.M屋ND.McN=0

【答案】C

【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得.

【解析】由题意得加=，彳卜=45+|xl80,%ez}=kk=（2A+l）x45#eZ},

即M是45的奇数倍构成的集合，

N=,x|x=45+：xl80，左eZ,={尤卜=（左+1）x45,左eZ},

即N是45的整数倍构成的集合，

所以A/=N.

故选：C.

【变式4-1].已知集合4=司32+2%+2=（）}中有两个元素，则实数机的取值范围是.

【答案】（一s，O）u]o,£|

【分析】由题意可知：“/+2x+2=o有2个不同的实数根，利用△判别式列式求解即可.

【解析】由题意可知：的、2x+2=0有2个不同的实数根，

HZWO1

则L/lQ八，解得m<7且加

[A=4-8m>02

所以实数m的取值范围是（-巩O）u]o,£].

故答案为：（-巩。）①（。,；）.

【变式4-2].已知集合M={x|Jx-l<4},N={尤[-2<xV3,xeZ},则AfN=（）

A.{疝<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

【答案】D

【分析】首先求集合M,再求McN.

【解析】Jx-l<4,即0Wx-l<16,得lVx<17,

即M={x|lVx<17},且N={x|-2<x<3,xeZ1,

所以MN={1,2,3}.

故选：D

【变式4-3].设集合/={中2=元},N={x|lgxW0},则/N=_.

【答案】{1}

【分析】分别求解出集合M和集合N,根据交集定义求得结果.

【解析】M={x|尤2=%}={0,1},Af={x|lgx<O}={x|O<x<l）.•.A/cN={l}

故答案为：{1}

【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次方程和对数不等式的求解，属于基础题.

题型05集合的运算（字母运算，含文氏图）

【典例5-1】•设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（）

A.若Ac3=BcC,则A=CB.若Au5=5uC,贝!|A=C

C.若AB=BC,则CuBD.若Au8=3cC,则C=3

【答案】C

【分析】关于这几个命题真假的判断，真命题可以根据集合的运算和运算法则证明，如果命题是假命题,

则可以举反例.

【解析】对于A,Ac3=3cC,当&={1,2},3={1}（={1,2,3}时，结论不成立，则A错误；

对于B,Aufi=BuC,当4={1,2},3={3},。={1,2,3}时，结论不成立，则B错误；

对于C,因为AB=B,AB=BC,所以

又B=BIC,所以3=3C,则C=3,则C正确；

对于D,AuB=BnC,当4={1}1={1,2},。={1,2,3}时，结论不成立，则D错误；

故选：c

【典例5-2】.如图表示图形阴影部分的是()

A.(AC)(BC)B.(AB)(AC)

C.(AB)|(BC)D.(AJB)CC

【答案】B

【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足"是8的元素且C的元素，或是A的元素"，由韦恩图

与集合之间的关系可得答案.

【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素

故可以表示为A.(8C),也可以表示为：(AB)(AC).

故选：B.

【变式5-1】•已知全集为U,非空集合A8满足4M瓦下列各式中，错误的是()

A.AuB=UB.AoB=0

C.AuB=BD.Ar>B=B

【答案】C

【分析】根据非空集合、子集的知识求得正确答案.

【解析】依题意，全集为U,非空集合48满足

所以AuB=U、Ac3=0、A<J8=A、AoB-B

所以ABD选项正确，C选项错误

故选：C

【变式5-21.设A,8是全集U的两个子集，A^B,则下列式子成立的是()

A.AcBB.A<JB=U

C.Ac豆=0D.AfB=0

【答案】C

【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案.

【解析】依题意，48是全集U的两个子集，ACB,

A选项，A^~B,所以A选项错误.

B选项，AuB=Act7,所以B选项错误.

C选项，Ar<B=0,所以C选项正确.

D选项，AB20,所以D选项错误.

故选：C

【变式5-3】•已知全集。和集合M、N、尸如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()

A.Mc(N2P)B.Mc(N2P)

C.ML＞(NDP)D.MC(NCP)

【答案】B

【分析】根据图可得阴影部分在集合M中，不在集合N、P中，进而可得答案.

【解析】解：根据图可得，阴影部分在集合M中，不在集合N、P中，

则阴影部分所表示的集合是Mc(NuP).

故选：B.

题型06充分必要条件

【典例6-1].己知尤，yeR,贝i]"|x-yl=|x|+lyl"是"孙＜。"的条件.

【答案】必要不充分

【分析】由己知中x,yeR,根据绝对值的性质，分别讨论"|x-y|=|x|+|y|"n"-＜。"，与"冲＜O"n

"|x-yl=|x|+lyl",的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案.

【解析】若I尤-yl=|x|+lyl,则x，y异号或xy至少有一个为0,故充分性不成立，

若"呼＜0",则尤，y异号,贝「|x-y|=|x|+|y|"成立，

即"|x-y|=|x|+|y|"是"孙＜0"的必要条件;

即"|x-y|=|x|+|y|"是"孙＜0”的必要不充分条件；

故答案为：必要不充分.

【典例6-2].设a：1＜XW4,B：x＞m,a是夕的充分条件，则实数机的取值范围是.

【答案】(力,1]

【分析】由。是£的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数机的取值范围.

【解析】回a：1＜XW4,B：x＞m,a是月的充分条件，

则(l,4]=0,+co),则mWl,

回实数m的取值范围是(-s,l].

故答案为：（—』].

【变式6-1]."x>y>0"是的（）

xy

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.

2

,1,1、尤2-IV-1（孙+1）（尤一丫）p八

[解析]由尤---（y）=------------=------------,又x>y>0,

xyxyxy

1111

所以x----（y一—）>0,即尤>y__,充分性成立；

xyxy

当时，即（¥[1）（X7）>。,显然x=2,y=-l时成立，必要性不成立.

Xy孙

故〃%>y>0〃是〃x-L的充分非必要条件.

%y

故选：A

【变式6・2].已知〃:炉―2x-8<0,/l-Q<X<2Q-3,且P是4的充分不必要条件，则实数〃的取值范围

是•

【答案】

【分析】根据不等式所表示的集合的关系列出不等式，解出即可.

【解析】尤z-2彳一8<0,解得一2cx<4,T^A={X|-2<X<4},B={x\\-a<x<2a-3\,

若P是4的充分不必要条件，则AB,

1—aS—Z7

则有G2、/，且等号不会同时取到，解得。

[2Q—3N42

则实数。的取值范围是:,+»[.

故答案为：^+c°y

【变式6-3].已知集合人=卜108]原+2）<0],集合8=卜|（彳一4（％-6）<0},若"a=-3"是"AiB^0"

的充分条件，则实数b的取值范围是.

【答案】b>-l

【分析】分别求出关于A、8的不等式，通过AB#0”,求出6的范围即可.

【解析】解：4={九|1吗（"+2）<:0}龄|龙>-1},

a=-3

B={x\{x-a)(x-£>)<0}=(-3,b)或(6,-3),

由"AB手0",得b>—l,

故答案为：b>-l.

【点睛】本题考查了充分必要条件，考查对数函数以及解不等式问题，考查集合的关系，是一道基础题.

题型07命题的否定、反证法

【典例7-1】.已知命题p：任意正数x,恒有(x+l)e、>l,则命题p的否定为.

【答案】存在正数与，使(x0+l)e，l

【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.

【解析】由全称命题的否定为特称命题知：

存在正数4,使(Xo+l)e&41.

故答案为：存在正数%,使(Xo+I)e-Vl

【典例7-2].已知陈述句a：所有的aeA满足性质p,则。的否定形式为.

【答案】存在。eA不满足性质p.

【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果.

【解析】陈述句a是全称量词命题，故其否定形式是：

存在a&A不满足性质p.

故答案为：存在aeA不满足性质”

【变式7-11.若要用反证法证明"若无2+^=0,则x=0且y=。"，应假设为

【答案】xwO或工。

【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得

结果.

【解析】要证命题的结论为尤=0且y=o,它的否定为无力0或

故答案为：尤力0或y*o.

【变式7-21.用反证法证明"若/一2彳-3=0,则产-1或％=3"时,应假设.

【答案】XW-1且XH3

【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可.

【解析】"x=-l或x=3"的否定为"xw-1且XH3".

故答案为：xw—1且尤工3

【变式7-3】.存在xeR,使得〃尤)>。的否定形式是()

A.存在xeR,使得/'("WOB.不存在尤eR,使得/(x)(0

C.对任意的xeR,/(x)<0D.对任意的xeR,/(x)>0

【答案】c

【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.

【解析】"存在xeR,使得了⑺的否定形式是"对任意的xeR,/(x)<0".

故选：C

题型08集合难点

【典例8-1】.若规定集合E={0,1,2,，科的子集{«,%,%,%,}为E的第七个子集，其中

左=26+2%+2%++2"”，则E的第2"个子集是.

【答案】{0」,4,6,7}

【分析】正确理解左的含义，々=211时，即要先求出满足2"<211,2前>211的〃=7,即E的第211个子集

应含有的元素，计算出211-27=83,再要求满足2,<83,2向>83的”=6,即E的第211个子集应含有的元

素，如此类推即得.

【解析】因27=128<211,28=256>211,则E的第211个子集必包含7,止匕时211—128=83；

又因26=64<83,27=128>83,则E的第211个子集必包含6,此时83—64=19；

X24=16<19,25=32>19,则E的第211个子集必包含4,此时19-16=3；

又2:2<3,2?=4>3,则E的第211个子集必包含1；而2°=1.

综上所述，E的第211个子集是{0,1,4,6,7}.

故答案为：{0』,4,6,7}.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，

将文字语言转化为数学语言.

【典例8-2],设集合U”={1,2,3,…为正整数,记/⑺为同时满足下列条件的集合A的个数:①A3%,

②若xeA,贝！12尤任A,③若xeX,则2了任印，则/(16)=

【答案】256

【分析】任取偶数XC4,将无除以2,若商仍为偶数，再除以2,L,经过上次后，商必为奇数，此时商

为m,从而x="2*,的x是否属于A,由加是否属于A确定，求得/(〃)的表达式，即可求解.

【解析】任取偶数xe。,，将x除以2,

若商仍为偶数，再除以2,L,经过七次后，商必为奇数，此时商为机，

从而x=其中加为奇数，左eN*,

由题意知，若meA,则xeA等价于％为偶数；

若利0A,则xeA等价于左为奇数，

所以x是否属于A,由“，是否属于A确定，

设Q,“是L中所有奇数的集合，所以/(")是。”的子集个数，

当"为偶数(或奇数)时，U“中奇数的个数为。(或半)，

所以/⑺=<2不为偶数,所以/(16)=28=256.

2亏,〃奇数

故答案为：256.

【变式8-1］.设A、4、A3、L、4是均含有2个元素的集合，且AC4=0,4「4+1=0。=1,2,3,,6),

记8=4口4口4口-口4，则B中元素个数的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】设4、X?、L、尤“(〃24)是集合8互不相同的元素，分析可知〃24,然后对〃的取值由小到大进

行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.

【解析】解：设小马、L、招(〃")是集合B互不相同的元素，若力=3,则Ac4w0,不合乎题意.

①假设集合B中含有4个元素，可设AH%,%｝，则4=4=4=｛玉,及｝，

A=A=4=｛玉，％｝，这与4c4=0矛盾；

②假设集合8中含有5个元素，可设A=4=｛/％｝，4=4=｛&，%｝，

A=｛$,占｝,&=｛孙&｝,4=｛*七｝，满足题意.

综上所述，集合B中元素个数最少为5.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大

进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.

【变式8-21.M是正整数集的子集，满足：leM2022eM2023eM,并有如下性质：若。、beM,则

,其中［x］表示不超过实数x的最大整数，则M的非空子集个数为.

【答案】22。。_1

【分析】根据题意，先判断M中相邻两数不可能大于等于2,可得2,3,2021eM,从而求出再

根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案.

【解析】由题意可知：若%,y^M｛x<y),贝ijx+l,九+2,…，>-1均属于

而事实上，若y—中x+iv£±2<^±£<'，

2V2

所以x+14

故［X,y］中有正整数［后铲］,

从而“中相邻两数不可能大于等于2,

故2,3,…，2021eM,

若022024,p&M,则有2023eM,与2023eM矛盾，

当。=》=2022时，J},

当。=6=1时，则忙J1，

所以［器丁］€［1,2022］,

所以M={1,2,­•,2022）,

所以非空子集有2®_1个.

故答案为：22022-1.

【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新

的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的

迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新

定义的要求，“照章办事"，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

【变式8-3］.已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aeS,则当且仅当a=根+a（其中私"eS

且"w"），或。=。+4（其中p,geS,0,qeZ*且〃wq）.现有如下两个命题:①4GS；②集合

{x|x=3〃+5,〃wN}uS.则下列选项中正确的是（）

A.①是真命题，②是真命题；B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题；D.①是假命题，②是假命题.

【答案】C

【分析】根据集合s的定义即可判断①是假命题，根据集合S的定义先判断5eS,3nsS,再由VxeA,

有x=3a+5,3neS,5eS且3