2025年上海高考数学二轮复习：热点题型6 解答压轴题（五大题型）原卷版+解析

热点题型•解答题攻略

专题06解答压轴题(五大题型)

♦>----------题型归纳•定方向------------<>

题型01新定义导数.............................................................................1

题型02导数在三角函数的应用...................................................................3

题型03导数与数列.............................................................................4

题型04数列综合...............................................................................5

题型05导数、数列与常用逻辑用语..............................................................6

*>----------题型探析•明规律----------*>

【解题规律•提分快招】

1、同构法的三种基本模式：①乘积型，如ae"61nb可以同构成恁上(1116)*&,进而构造函数於)=xet②

比商型，如^■〈昌可以同构成]^羡<名，进而构造函数_/(x)=a；③和差型，如e"±a>b±lnb,同构后可以

Cl111U111C111U1114

构造函数fix)—ev+x-或fix)=x±lnx.

2、涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻

找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

3、“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转

换有

(1)VX1，X2GD,/Ul)>g(X2)"x)min>g(x)max.

，))(尤)

(2)VX1G£)1,3X2£D2/Ul)>g(X2"Xmin>gmin.

(3)3XleDl,v%2G。2,尤l)>g(%2)5x)max>g(尤)max.

4、数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项

和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

题型01新定义导数

【典例1-1].(2023.上海黄浦・二模)三个互不相同的函数y=〃x),y=g(x)与y=〃(x)在区间D上恒有

f(x)>h(x)>g(x)或恒有f(x)<h(x)<g(x),则称y=人(无)为y=y(X)与y=g(X)在区间。上的“分割函

数”.

(1)设九(X)=4x也⑺=X+1,试分别判断y=4(x),y=为(X)是否是y=2d+2与y=-d+公在区间

(F,y)上的“分割函数，，，请说明理由；

(2)求所有的二次函数y=ax1+cx+d(a^O)(用。表示c,d)，使得该函数是y=21+2与y=4x在区间

(-00,+00)上的“分割函数”；

(3)若[m,n]^[-2,2],且存在实数k,b,使得y=丘+6为y=/-4炉与y=4/-16在区间[m,n\上的“分割函

数”,求〃-机的最大值.

【典例1-2].(2024-2025・上海高三•专题练习)若函数/(X)在区间/上有定义，且Vxe/,则

称/是的一个“封闭区间”.

⑴己知函数/(x)=x+sinx,区间/=[0,r](r＞0)且的一个“封闭区间”，求r的取值集合；

⑵己知函数8(彳)=皿%+1)+%3,设集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合P中元素的个数；

(ii)用力-。表示区间的长度，设机为集合尸中的最大元素.证明：存在唯一长度为优的闭区

间。，使得。是g(x)的一个“封闭区间”.

【变式1-1].(23-24高三下.上海浦东新•阶段练习)设函数y=/(x)的定义域为开区间/,若存在不

使得y=〃x)在x=x0处的切线/与y=的图像只有唯一的公共点，则称y=/(x)为“L函数”，切线/为

一条“L切线”.

⑴判断.v=x-l是否是函数y=的一条“心切线”，并说明理由；

⑵设g(x)=e2-6x,求证：y=g(x)存在无穷多条“L切线”;

⑶设/(力=尤3+62+1(。〈尤＜c)，求证：对任意实数a和正数Gy=/(x)都是“L函数”

【变式1-2】.(2024.上海嘉定.一模)设A为非空集合，函数/(X)的定义域为。.若存在不€。使得对任意

的均有则称/'(%)为函数〃x)的一个A值，尤()为相应的A值点.

⑴若4=[-2,0],〃力=$也.证明：％=2E+；;i,keZ是函数的一个A值点，并写出相应的A值；

⑵若4=[0,+力),〃力=-％8("=犬+%+1.分别判断函数〃力拓(力是否存在人值？若存在，求出相应的

A值点；若不存在，说明理由；

(3)若A=(Y,0],且函数〃H=原+依2(4€2存在人值，求函数〃x)的A值，并指出相应的A值点.

【变式1-3].(2024•上海普陀二模)对于函数y=/(无)，xeD而y=g(x),尤e2,设R=。，若占，

x2eD,且工产马，皆有|/(不)一〃9)|三米(不)一8(*2)|(/＞。)成立，则称函数y=/(x)与y=g(x)“具有性

质“⑺”.

⑴判断函数〃尤)=尤2,xe[l,2]与g(a)=2x是否“具有性质小2)”，并说明理由；

⑵若函数/(x)=2+/,彳€(0,1]与8食)=!"具有性质”“)，，，求/的取值范围；

X

⑶若函数〃元)=二+21nx-3与y=g⑺"具有性质H(l)”，且函数y=g(x)在区间(0,+8)上存在两个零点4,

x2,求证工；+%；>2.

题型02导数在三角函数的应用

【典例2-1］.(2024•上海徐汇.一模)已知定义域为。的函数y=/(久)，其导函数为丫=尸(久)，若点(%,%)

在导函数y=尸(为图象上，且满足/'(不>/'(%)20,则称/为函数y=/(久)的一个“T类数”，函数y=f(x)

的所有“T类数”构成的集合称为“T类集”.

⑴若〃x)=sinx,分别判断!■和日是否为函数y=fO)的“T类数”，并说明理由；

(2)设y=((x)的图象在R上连续不断，集合M={x|r(x)=0}.记函数y=f⑴的"类集”为集合S,若

SuR,求证：M蛊；

⑶己知=-Lcos3尤+9)3>0),若函数y=/⑺的“T类集”为R时。的取值构成集合A,求当eWA时

CD

。的最大值.

【变式2-1】.(2024•上海崇明•一模)定义：若曲线G和曲线g有公共点尸，且曲线G在点P处的切线与

曲线g在点P处的切线重合，则称G与G在点尸处“一线切

⑴己知圆(了-。)2+/"。>0)与曲线)=/在点(1,1)处“一线切，，,求实数。的值;

(2)设/(尤)=4+2)+。,g(尤)=ln(无+1),若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在点尸处“一线切”,求实数。的值;

(3)定义在R上的函数y=/(x)的图象为连续曲线，函数y=/(x)的导函数为y=/(x),对任意的尤eR,都

1/3<3成立.是否存在点尸使得曲线y=sinX和曲线y=1在点尸处“一线切”？若存在,请求

出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式2-2］.(22-23高三上•上海长宁•期中)已知》=制幻是定义在［p,q］上的函数，如果存在常数M>0,

对区间［PM的任意划分:

p=x0<xl<x2<...<xn_1<xn=q(,n&N,n>,3),<M恒成立，则称函数y=m(x)为区间

i=l

［p,0上的“有界变差函数

⑴试判断函数/(x)=sin尤-cosx是否为区间0彳上的“有界变差函数”，若是，求出M的最小值；若不是,

说明理由；

⑵若y=g(x)与y=h(x)均为区间［p,q］上的“有界变差函数”，证明：尸(X)=g(x)+Mx)是区间［p,q］上的“有

界变差函数”；

71

r,,/\XCOS----0-<X"1不是［0,1］上的“有界变差函数”;

(3)证明：函数9(%)=：2%

0x=0

题型03导数与数列

【典例3-1】.(2023・上海嘉定•一模)已知/(x)=W，g(x)=也.

e尤

⑴求函数y=f(X)、y=g(x)的单调区间和极值；

(2)请严格证明曲线y=f(x)、y=g(x)有唯一交点；

⑶对于常数若直线y=a和曲线y=/(x)、y=g(x)共有三个不同交点(小。)、(々4)、(七,。)，其

中玉<%<W，求证：占、%、当成等比数列.

【典例3-2].(24-25高三上•上海浦东新•期末)过曲线y=/(x)上一点尸作其切线，若恰有两条，则称p为

fM的“A类点”;过曲线y=/(X)外一点Q作其切线，若恰有三条，则称Q为f(x)的“3类点”;若点R为了(X)

的“A类点”或“B类点”，且过R存在两条相互垂直的切线，则称R为/(无)的“C类点”.

⑴设/(x)=J,判断点P(U)是否为了(尤)的“A类点”，并说明理由；

⑵设=若点。(2,0)为/⑺的“B类点”，且过点。的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，

求实数加的值；

⑶设/(%)=W，证明：y轴上不存在八%)的"。类点

e

【变式3-1].(23-24高三下•上海闵行•阶段练习)已知函数/(x)=ln%,取点(4,/(4)),过其作曲线/(x)=lnx

切线交,轴于点(0，初，取点(出,〃4)),过其作曲线/(x)=lnx作切线交,轴于(0,4)，若44。，则停止

操作，以此类推，得到数列%.

⑴若正整数相,2,证明=10^-1

(2)若正整数机22,试比较册与4,1-2大小；

(3)若正整数左23,是否存在太使得^，出，…，4依次成等差数列？若存在，求出左的所有取值，若不存在，

试说明理由.

【变式3-2].(23-24高三上•上海静安•阶段练习)已知函数〃引=尤©-1)-加.

⑴若。=：,求的单调区间；

⑵若xe(0,1]时W0恒成立，求实数a的取值范围.

⑶定义函数y=〃x),对于数列色卜也｝，若凡=/5),"〃)=”,则称｛%｝为函数y=f(x)的“生成数列”,

也｝为函数y=〃尤)的一个，源数列”.

①已知/(x)=e，,｛2｝为函数y=〃x)的“源数列”，求证：对任意正整数〃，均有6”4(〃-1)二

②已知/(力=2'+苍｛叫为函数y=/(x)的“生成数列”，｛2｝为函数y"(x)的“源数列”,｛%｝与也｝的

公共项按从小到大的顺序构成数列｛%｝,试问在数列｛%｝中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.

【变式3-3].（24-25高三上.上海.阶段练习）设。＞0,"x）=4-2ln；,g（x）=依.

⑴求函数y=/O）的单调区间；

⑵求证：/（x）N（（4-G）；

（3）设函数y=M%）与y=q（x）的定义域的交集为。，集合A=若对任意/eA,都存在占,飞©。，使得

升,马,%成等比数列，且（飞），。（々）成等差数列，则称y=MM与＞=4（%）为3关联函数"•求证：若

y=f（X）与y=9（K）为"[1,+8）关联函数”，则«e[l,e4）.

【变式3-4].（2024-2025・上海高三•专题练习）已知函数y=〃x）,其中〃尤）=%?一日2,左^R.若点A在

函数y=/（x）的图像上，且经过点A的切线与函数y=/（x）图像的另一个交点为点B,则称点8为点A的一

个“上位点”，现有函数y=/（x）图像上的点列M，M2,Mn,使得对任意正整数"，点也都是

点川的一个“上位点

⑴若左=0,请判断原点。是否存在“上位点”，并说明理由；

⑵若点给的坐标为（3阮o）,请分别求出点加2、加3的坐标；

⑶若M的坐标为（3,0）,记点Mn到直线y=〃，的距离为4,.问是否存在实数m和正整数T,使得无穷数列dT、

dT+l....办+■…严格减？若存在，求出实数加的所有可能值；若不存在，请说明理由.

【变式3-51.（2024•上海黄浦•二模）若函数y=/（x）的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切

线为函数＞=/（幻的图象的“自公切线”，称这两点为函数＞=/（无）的图象的一对“同切点

⑴分别判断函数X（x）=sinx与力（x）=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

（2）若“eR,求证：函数g（x）=tanxT+a（xe（-若））有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；

（3）设“eN*,〃（x）=tan尤-x+rniaeC-l，]））的零点为，re（-p-|）,求证：“存在$€（2兀,+«）,使得点（s,sins）

与（f,sinf）是函数y=sinx的图象的一对，同切点”，的充要条件是“/是数列｛%｝中的项”.

题型04数列综合

【典例4-1].（22-23高三上•上海浦东新•阶段练习）已知无穷数列｛4｝满足|以1-。"|=1,其中“=1,2,3,…,

对于数列｛4｝中的一项ak,若包含人的连续j（j＞2）项at,aM,W力+八1）满足

q＜@+i/-1）或者4＞%|＞■•■＞生+“，则称4,4+1，・，《+尸1为包含氏的长度为/的“单

调片段”.

⑴若a“=sin啰，写出所有包含的的长度为3的“单调片段”；

(2)若对任意正整数%,包含出的“单调片段”长度的最大值都等于2,并且4=9,求｛%｝的通项公式；

(3)若对任意大于1的正整数%,都存在包含小的长度为人的“单调片段”，求证：存在正整数时,使得〃2乂

时，都有,“-觊|=〃一乂.

【变式4-1】.(2022・上海嘉定・模拟预测)若项数为-左eN*且"3)的有穷数列｛凡｝满足：

\al-a2\^a2-a3\■■■?\ak_,-ak\,则称数列｛%｝具有“性质V

(1)判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

⑵设/=1。“-％/(，〃=1,2,•••,f,若数列｛%｝具有“性质M”，且各项互不相同.求证：“数列｛%｝为

等差数列”的充要条件是“数列也”｝为常数列”；

(3)已知数列&｝具有“性质若存在数列｛4｝,使得数列｛。,｝是连续火个正整数1,2,左的一个排

Hha

列，且Iq-%I+1%-a31----It-i-ak\=k+2,求％的所有可能的值.

【变式4-21.(2023•上海崇明•一模)已知数列｛4｝满足旧一-归脸1——|«=1，2,…,〃-2).

(1)若数列｛%｝的前4项分别为4,2,%，1，求。3的取值范围；

⑵已知数列｛。“｝中各项互不相同.令以=寓-%/(加=1,2,…,〃-1),求证：数列｛%｝是等差数列的充要条件

是数列也｝是常数列；

用一1

(3)已知数列｛%｝是根(机EN且加23)个连续正整数1,2,根的一个排歹!J.若2鼠-。%+1|二m+2,求

k=l

m的所有取值.

题型05导数、数列与常用逻辑用语

【典例5-1].(24-25高三上•上海•阶段练习)对于一个各项非零的等差数列｛4｝,若能从中选出第左，右，…，幻

(左〈心<...<幺)项，能构成一个等比数列电｝,则称｛2｝为｛叫的嘴比子列”.若此“等比子列”具有无穷

项，则称其为“完美等比子列”.

⑴若数列4,=2,,〃>0,〃eN,直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”.

⑵对于数列%=3〃-1,w>0,weN,猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如

果不存在，请说明理由.

(3)证明：各项非零的等差数列｛%｝中存在“等比子歹『'的充要条件是数列｛%｝满足％=5(d为公差，

上eQ,左20).

【变式5-1].(2024・上海青浦.二模)若无穷数列他“｝满足：存在正整数T,使得对一切正整数〃成

立，则称｛七｝是周期为T的周期数列.

⑴若a“=sin[&+M(其中正整数机为常数，“eN,”21),判断数列｛"〃｝是否为周期数列，并说明理由；

Vm3)

(2)若a,M=a“+sin%5eN,"»l),判断数列｛%｝是否为周期数列，并说明理由；

(3)设也』是无穷数列，已知。前=6"+sina"("eN,〃Nl).求证：“存在q,使得｛4｝是周期数列”的充要条件

是“｛a｝是周期数列”.

【变式5-2】.(2023•上海浦东新•模拟预测)设y=〃x)是定义在R上的奇函数.若y=0(x>0)是严格

X

减函数,则称y=〃x)为“。函数”.

⑴分别判断了=-%卜|和丫=$111¥是否为。函数，并说明理由；

(2)若y=是。函数，求正数。的取值范围；

⑶已知奇函数y=*x)及其导函数y=P(x)定义域均为R.判断"y=F'(x)在(0,+向上严格减”是

“丫=/(力为。函数”的什么条件，并说明理由.

【变式5-3].(24-25高三上•上海•期中)若定义在R上的函数y=/(x)和y=g(x)分别存在导函数尸(刀)和

g'(x).且对任意实数X,都存在常数鼠使_f(x)N都〈力成立,则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“”控

制函数”，称左为控制系数.

⑴求证：函数=2x是函数g(x)=sin龙的“2-控制函数”；

⑵若函数/(x)=rJ4/—12/-20x是函数g(x)=e，的""控制函数”，求控制系数4的取值范围；

⑶若0(力=6*+屐-，，函数丁=4(%)为偶函数，函数y=p(x)是函数y=q(x)的“1-控制函数”，求证:“%=1”

的充要条件是“存在常数c,使得p(x)-q(x)=c恒成立”.

o-----------题型通关•冲高考-----------*>

一、解答题

1.(2023•上海嘉定•一模)对于函数y=/(X),把尸⑺称为函数y=/(%)的一阶导，令(⑴=g(x),则将g'(x)

称为函数>=/(尤)的二阶导，以此类推L得到〃阶导.为了方便书写，我们将w阶导用"'(无)]“表示.

⑴己知函数/(x)=e'+〃lnx-尤2,写出其二阶导函数并讨论其二阶导函数单调性.

⑵现定义一个新的数列：在y=/(尤)取4=/⑴作为数列的首项，并将"'(1+")],，〃21作为数列的第〃+1项.

我们称该数列为y=/(x)的，阶导数列”

①若函数g(x)=x"数列｛%｝是、=8。)的，阶导数列”，取Tw为｛%｝的前〃项积，求数列；声|的

通项公式.

②在我们高中阶段学过的初等函数中，是否有函数使得该函数的“阶导数列”为严格减数列且为无穷数列，

请写出它并证明此结论.(写出一个即可)

2.(2024.上海宝山.一模)已知y=/(x),y=g(x)都是定义在实数集上的可导函数.对于正整数左，当相、九分

别是y=/(x)和y=g(x)的驻点时，记Ax=|"7-川，若AxV左，则称/(x)和是X)满足尸(©性质;当占、x2eR,

且g(X)Hg(X2)时，记Ay=,若AyNk,则称f(x)和g(x)满足。(外性质.

8(占)一8(々)

⑴若/(x)=2尤+1,g(x)=x,判断f(x)和g(x)是否满足。(2)性质，并说明理由；

⑵若/(x)=(x-l)2,g(x)=¥，且/(x)和g(x)满足P⑴性质，求实数。的取值范围；

e

(3)若y=/(x)的最小正周期为4,且g(-l)=/(-L),g(l)=y⑴.当xeT3］时,y=/(尤)的驻点与其两侧区间

的部分数据如下表所示：

X-1(-1,1)1(L3)3

/(x)0+0—0

y(x)极小值-1极大值1极小值-1

己知f(x)和g(x)满足。(幻性质，请写出/(x)=g(x)的充要条件，并说明理由.

3.(2024・上海奉贤.一模)若函数y=/(x)的图象上存在七个不同点片、鸟、L、6(左N2,无eN)处的切线

重合，则称该切线为函数y=/(x)的一条左点切线，该函数具有七点切线性质.

⑴判断函数>=/-2忖，xeR的奇偶性并写出它的一条2点切线方程(无需理由)；

⑵设〃句=/-1吟判断函数y=f(力是否具有左点切线性质，并说明理由；

⑶设g(x)=cosx+2x,证明：对任意的meN,函数y=g(x)具有优点切线性质，并求出所有相应

的切线方程.

4.(2024.上海杨浦二模)函数y=〃x)、y=g(x)的定义域均为R,若对任意两个不同的实数。，b,均

有/(a)+g(6)>0或〃6)+g(a)>0成立,则称y=〃x)与y=g(x)为相关函数对.

⑴判断函数/(X)=X+1与g(x)=-x+l是否为相关函数对，并说明理由；

⑵已知〃x)=e，与g(x)=r+左为相关函数对，求实数上的取值范围；

⑶已知函数、=〃尤)与y=g("为相关函数对，且存在正实数对任意实数xeR,均有|〃x)归M.求

证：存在实数〃%使得对任意xe(租,〃)，均有〃x)+g(x)N-+“

2

5.(2024•上海徐汇二模)已知各项均不为0的数列｛4｝满足=an+lan+an+l(〃是正整数)，q=%=1,

n1

定义函数ynZXxXl+Ev;—(xNO),e是自然对数的底数.

(1)求证：数列［乎I是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式；

(2)记函数y=g“(X),其中gn(x)=l-e-工(x).

⑴证明：对任意xNO,0<g3(x)</；(%)-/,(%)；

(ii)数列他,｝满足2=21，设1为数列也｝的前“项和.数列｛瑁的极限的严格定义为:若存在一个常数T,

an

使得对任意给定的正实数M(不论它多么小)，总存在正整数机满足：当心机时，恒有用-4<”成立，则

称T为数列区｝的极限.试根据以上定义求出数列区｝的极限T.

热点题型•解答题攻略

专题06解答压轴题(五大题型)

*>-----------题型归纳•定方向----------<>

题型01新定义导数.............................................................................1

题型02导数在三角函数的应用..................................................................11

题型03导数与数列............................................................................16

题型04数列综合..............................................................................28

题型05导数、数列与常用逻辑用语.............................................................33

-----------题型探析・明规律-----------o

【解题规律•提分快招】

3、同构法的三种基本模式：①乘积型，如ae"61nb可以同构成国y(1113*外进而构造函数於)=xe5②

、"hQah_.x一

比商型，如"〈记7可以同构成百«<而引进而构造函数五功=嬴；③和差型，如e"土。>b±lnb,同构后可以

构造函数fix)=或J(x)—x+lnx.

4、涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻

找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.

3、“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转

换有

(1)VX1，X2^D,_/(Xl)>g(X2)=/(X)min>g(X)max.

(2)VX1G,3X2G。2,/Ul)>g(X2)=/(X)min>g(X)min.

(3)3X1GDl,VX2G。2，/Ul)>g(X2)=/(X)max>g(X)max.

4、数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项

和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

题型01新定义导数

【典例1-1】.(2023.上海黄浦•二模)三个互不相同的函数y=/(x),y=g(x)与y=/7(x)在区间£(上恒有

〃x)N/z(x)Ng(x)或恒有/(%)</?(%)<§(%),则称y=〃(x)为y=〃x)与y=g(x)在区间。上的“分割函

⑴设4(x)=4X,/Z2(X)=X+1,试分别判断y="(x)，＞=4(x)是否是y=+2与y=-*+4尤在区间

(e,母)上的，，分割函数，，，请说明理由；

⑵求所有的二次函数、=加+5+1(«关0)(用。表示c,d),使得该函数是y=2d+2与y=4x在区间

(-co,-K0)上的“分割函数”；

(3)若[m,n]^[-2,2],且存在实数％,6,使得y=履+6为y=/-4/与y=4尤?一16在区间上的“分割函

数，，，求〃一机的最大值.

【答案】(1)y="(X)是y=2必+2与y=-%2+4x在(-℃,+oo)上的“分割函数”；

了="(0不是>=2》2+2与〉=-%2+以在(-8,+8)上的"分割函数”；

(2)y=ax2+(4—2a)x+a(0<a<2)；

(3)273.

【分析】(1)根据题意可得当xe(』+8)时2犬+216*+4恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断,

即可求解；

(2)根据“分割函数”的性质，贝|2/+22依2+小+我4%对一切实数x恒成立，由导数的几何意义和恒成立

可得(2-a)。-1)220且〃。-1)22。对一切实数苫恒成立，结合图形即可求解；

(3)利用导数求出函数>-4尤2的极值，则尢=(4--8,)也=4〃一3八，作出其函数与函数y=41-16的图

象，设直线y=履+6与y=4/-16的图象交于点(%,%),区，％)，利用代数法求出弦长回一马|vJ-+16+b0

V16

=Vi3-7s2+85+16(S=/e[2,4]),结合导数研究函数Ms)=$3-7s?+8s+16的性质即可求解.

【解析】(1)因为2-+2—4》=20—1)220恒成立，且4工一(-尤2+4》)=》220恒成立，

所以当xe(9,+8)时，2^2+2>4X>+4x恒成立，

故y=4(x)是y=2f+2与y=-d+4x在(-℃,+℃)上的“分害U函数”.

又因为彳+1-(-4+4幻=丁-3工+1,当尤=0与1时，其值分别为1与-1,

所以为(乃>-公+4彳与似在(一<»,+8)上都不恒成立，

故>=似用不是y=2/+2与y=-d+4x在(一℃,+8)上的“分割函数”.

(2)设y=a?+ex+d(a片0)是y=2/+2与y=4尤在(-co,+oo)上的“分割函数,

则2/+22«?+cx+424x对一切实数x恒成立，由(2尤2+2)'=4x,

当x=l时，它的值为4,可知y=21+2的图象在x=l处的切线为直线y=4x,

它也是y=a^+cx+"的图象在x=l处的切线，

2a+c=4c=4-2a,

所以可得

a+c+d=4-d—a.

所以2x2+2><2x2+(4-2a)x+«>4x对一切实数x恒成立,

即(2-a)(x—Ip之0且©%—1了之0对一切实数％恒成立，

可得2—々之0且a>0,BP0<a<2,

又a=2时y=依2+(4-2“)x+a与y=2.x2+2为相同函数，不合题意,

故所求的函数为y=ax2+(4-2o)x+a(0<a<2).

(3)关于函数y=/-4Y,令y，=4V一函=0,可得x=O,±0,

当xe(_._&)与xe(。，鱼)时,y'<0；当尤e(-&,。)与xe("+oo)时,y'>0.

可知土及是函数V=d一4f极小值点，0是极大值点，

该函数与y=4f-16的图象如图所示.

由y=履+6为y=/-4/与y=4/-16在区间⑶,上的"分割函数”，

故存在均使得6V%且直线y=辰+%与y=/-4/的图象相切，

并且切点横坐标匹[-2,-拒]U[A/2,2],此时切线方程为y=(4户-8少+4/一夕",

即1=(4户-8。也=4/-3/,

设直线>=依+6与y=4f_i6的图象交于点(占,%),(々，必)，

y=kx+b,

则由.1,可得_点_16_6=0,

y=4x2-16

哈+16+b求+16+%

I2

所以占-%\=y](,xl+x2)-4XYX2=

=7(f3-27)2+16+4z2-3?4=〃一7/+8产+16=G-7s?+8s+16G=/e[2,4]),

令MS)=$3—7S?+8S+16(se[2,4]),

k'(s)=3s2-14s+8=(3i-2)(s-4)V0(仅当s=4时，S⑸=0),

所以％(s)严格减，故％(s)的最大值为左⑵=12，可知皿-三|的最大值为庇=2也,

所以"-"2的最大值为2也.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去

解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概

念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”

不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

【典例1-2】.(2024-2025・上海高三•专题练习)若函数/(X)在区间/上有定义，且Vxe/,则

称/是的一个'封闭区间”.

⑴己知函数/(x)=x+sinx,区间/=[0,r](r>0)且/(x)的一个“封闭区间”,求r的取值集合；

(2)已知函数8(》)=111(天+1)+/3,设集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合P中元素的个数；

(ii)用6-a表示区间[。/](。<切的长度，设机为集合户中的最大元素.证明：存在唯一长度为机的闭区

间。，使得。是g(x)的一个“封闭区间”.

【答案】⑴[(2"1)兀,2E]仕eN*)

⑵(i)2；(ii)证明见解析

【分析】(1)根据“封闭区间”的定义，对函数/(H=x+sinx求导并求出其值域解不等式可得「的取值集合；

3

(2)(i)对〃(尤)=ln(x+l)+ad-元(x>-l)求导得出函数〃(x)的单调性，利用零点存在定理即可求得集合

P中元素的个数为2个；

(ii)根据区间长度的定义，对参数。进行分类讨论得出g(x)的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.

【解析】(1)由题意，Vxe[O,r],/(^)e[O,r],

•••广(x)=1+cosx“恒成立,所以“X)在[0,r]上单调递增,

可得了(x)的值域为[0,r+sinr],

因此只需[0,厂+sinr]c[0,r],

即可得r+sinrVr,BPsinr<0(r>0),

则厂的取值集合为[国一1)兀,2E]ueN*).

3

(2)(i)记函数/2(%)=8(％)-1=111(%+1)+^%3-%(%>-1),

22

IQ4+9x(x+l)-4(x+l)9x(%+1)-4%M3X+4)(3X-1)

贝！Jhf(x)=——+-x2-l=

v7x+144(7+1)4(7+1)4(.x+l)I)

由〃(力>0得一1<彳<0或彳>；由"(x)<0得0<x<g；

所以函数Mx)在(-1,0)和上单调递增，在[。,上单调递减.

其中欠0)=0,因此当xe(TO)U(O,J时，人(#<0,不存在零点；

由M》)在(0,j单调递减，易知〃〃⑼=0,而Ml)=ln2-;>0,

由零点存在定理可知存在唯一的5e]使得〃(毛)=°；

当xe(l,+«O时，”(力>0,不存在零点.

综上所述，函数可力有。和为两个零点，即集合尸中元素的个数为2.

(ii)由⑴得加=/，假设长度为，"的闭区间。=|«,。+即是g(尤)的一个“封闭区间,

则对Vxe[a,a+Xo],g(<x)&[a,a+x0],

当-l<a<0时，由⑴得/z(x)在(TO)单调递增，

.,./z(fl)=g(o)-a</z(0)=0,即g(a)<a,不满足要求;

当°>0时，由⑴得/z(x)在小,—)单调递增，

."./2(tZ+^))=g(tZ+Xo)-(«+Xo)>/2(Xo)=O,

即g(a+Xo)>a+Xo,也不满足要求；

当a=0时，闭区间。=[0,x0],而g(x)显然在单调递增，

.1.g(O)<g(x)<g(xo),

由⑴可得g(0)=〃(0)+0=0,g(Xo)=/z(Xo)+/=%,

.'.g(x)e[O,xo]=D,满足要求.

综上，存在唯一的长度为加的闭区间。=[0,何，使得£>是g(x)的一个“封闭区间”.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单

调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.

【变式1-1].(23-24高三下.上海浦东新•阶段练习)设函数y=〃x)的定义域为开区间/,若存在不",

使得y=〃x)在彳=不处的切线/与y=的图像只有唯一的公共点，则称y=〃x)为“乙函数”，切线/为

一条“L切线”.

⑴判断y=x-l是否是函数y=的一条“切线”，并说明理由；

(2)设g(x)=e2—6x,求证：y=g(x)存在无穷多条“切线”;

⑶设/(x)=^+苏+l(O<x<c)，求证：对任意实数。和正数c，,=/(可都是“乙函数”

【答案】(1)是，理由见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)记/(力=3，设切点为卬山石)，利用导数的几何意义求出玉，再证明直线y=尤-1与/(x)=lnx

的图象只有唯一的公共点，将y=x-l与函数y=lnx联立，得lnx-x+l=0,记〃(x)=lnx-x+l,利用导数

说明函数的单调性，即可得到方程的解.

(2)将点(%送(%2))处的切线/的方程与y=g(x)联立得g(x)-g(无2)=8'(%乂%-%2)，记

/z(x)=g(x)-gfxj)-g'G)"-9),利用导数说明函数方(x)存在唯一零点马，即可得证；

(3)类似第(2)问的思路得到(%-毛)2(犬+2/+4)=0在(O,c)上有且仅有一解4,贝I]/=-2%-。€(。,0或

"e(O,c)再分。20、”0两种情况说明即可.

[一2%0_Qg(0,c)

【解析】(1)记/(x)=lnx,则尸(x)=1,设切点为(％,In玉)，

由切线方程为y=xT知/(玉)=1,则一=1,解得玉=L

玉

所以切点为(1,0),下面证明直线y=x-l与/(x)=lnx的图象只有唯一的公共点，

将y=x-l与函数y=lnx联立，得lnx-x+l=0.

记”(x)=lnx-x+l,则w'(x)=L-l,

当xe(0,1)时〃(龙)>0,当xe(L+0°)时«，(%)<0,

故“(X)在(0,1)上单调递增,在(1,+oo)上单调递减,〃(力厘=项)=0,

故函数"(x)=ln%T+l只有一个零点x=l,故y=x-l是一条“L切线”；

(2)因为g(x)=e2'-6x,所以g'(x)=2e2，-6,

则点色⑼%))处的切线/方程为y-gNAg'C^Xx-Z)，

将点(々送(％))处的切线/的方程与y=g(x)联立得g(x)-g(x2)=g'(x2Xx-X2)，

记/i(x)=g(x)—g®)—g'G)(x-苍),

则直线/为“L切线”O函数Mx)有且仅有一个零点马(此时，一个X?对应一条“切线”)，显然X2是Mx)的

零点，

故只要五(无)没其它零点,此时〃(x)=g'(x)-零(巧六•工一野马,

当％<12时，/7'(X)<O，当X>Z时，〃(X)>O,

则/?(%)在(F,赴)上单调递减，在,W)上单调递增，

故此时苫2为/i(x)唯一的极小值点(也是最小值点)，而/2(々)=0,

故网力无其他零点，故直线/为“L切线”，因为々的任意性，

故函数y=g(尤)存在无穷多条“L切线”，

(3)因为/'(x)=J+依?+1(无w(0,c)),贝l|/(x)=3d+26，

设点。(%,%)在函数y=〃x)的图象上，

则点。的切线为/：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),与y=〃x)联立得：

/(x)-/(x0)=r(x0)(x-x0)

<=>(d+依2-—^2^)=(3年+2ox0)(x—x0)

0(龙一/)(九2+/1+/+ax+ax^=(3XQ+2OX0)(X—X0)

22

^(^X-XQ^X+X0X-2XQ+ax-axo)=O<^>(x-xo)(x+2xo+<7)=O(*),

由题意得直线l为“七切线”，故方程(*)在(0,c)上有且仅有一解与,

则-—阻0©或仁；2(M，

若a»0,则5e(O,c)是方程(*)的唯一解(此时有无数条“刀切线”，切点横坐标为(0©上的任意值).

a

c>——

若。<0,贝43(此时只有一条“刀切线”，切点的横坐标为-£)

卜。=-§a3

0<c<~—.、

或3(此时有无数条“L切线”，切点横坐标为(0,c)上的任意值)，

X。6(0,C)

综上，oeR,即证.

【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.

【变式1-2】.(2024・上海嘉定•一模)设A为非空集合，函数/(x)的定义域为。.若存在不€。使得对任意

的均有则称/(%)为函数/(X)的一个A值，％为相应的A值点.

(1)若4=[-2,0],〃力=豆1«.证明：与=2船+；私丘2是函数〃%)的一个人值点，并写出相应的A值；

⑵若A=[0,+力)J(x)=-x,g⑺=d+x+1.分别判断函数〃x)、g⑺是否存在A值？若存在，求出相应的

A值点；若不存在，说明理由；

(3)若A=(-oo,0],且函数/("=11^+依2(。€2存在人值，求函数〃x)的A值，并指出相应的A值点.

【答案】(1)证明见解析，1为相应的A值；

⑵/(》)不存在A值，理由见解析，g(x)存在A值，毛=-)是相应的A值点；

(3)A值为InJ-----」，A值点为J-；.

2a2V2a

【分析】(1)根据正弦函数的值域和A值的定义即可证明；

(2)计算/(x)-/(尤0)=-5+2)-(-0)=-2e4即可判断〃力，对g(x)取尤o=-g,再利用A值的定义

即可判断；

(3)分析得函数的A值即为最大值，A值点即最大值点，再利用导数求出其最大值和最大值点即可.

【解析】(1)函数〃x)=sinx的定义域为R.对飞=2左；r+；万/eZ,以及任意xeR,

由/(x)-/(%o)=sinx-l及-lWsinxWND/(X)-/(x())e[-2,O],

即/(%)-/(A-0)eA,所以%=2左万+1•万，左eZ是函数