2025年上海高考数学二轮复习：热点题型08 空间向量与立体几何（十大题型）原卷版+解析

热点题型•选填题攻略

专题08空间向量与立体几何（十大题型）

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

题型012021-2024年高考+春考真题..............................................................1

题型02空间向量的运算.......................................................................3

题型03求几何体的表面积与体积...............................................................3

题型04空间的位置关系........................................................................4

题型05空间向量基本定理......................................................................5

题型06立体几何、导数结合的实际应用........................................................5

题型07空间向量数量积的应用（含难点）......................................................8

题型08个数、种类等问题......................................................................8

题型09轨迹、围成面积等问题.................................................................9

题型10空间向量与立体几何选择题综合辨析....................................................9

舱-----------题型探析・明规律------------*>

【解题规律•提分快招】

1、由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|,|b|和〈a,b〉，a与b的夹角与方向有关，一

定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.

2、利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐

标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

3、向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

4、多面体的表面积是各个面的面积之和.

5、旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

6、组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

7、题源注明：立体几何与导数结合的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题

题型012021-2024年高考+春考真题

【典例1-1】.（2024•上海）定义一个集合。，集合元素是空间内的点集，任取P,尸2,P3GQ,存在不全

为0的实数九2,使得人1而7+入95K+人二砥=）.已知（1，0,0）eo,则（0,0,1）

任。的充分条件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）eQ

C.（0,1,0）EQD.（0,0,-1）EQ

【典例1-2].（2024•上海）已知四棱柱ABC£）-Ai8iCiOi底面ABC。为平行四边形，441=3,8。=4且

ABj-BC-ADj•DC=5,求异面直线441与8。的夹角.

【典例1-3].（2023•上海）空间中有三个点A、B、C,且AB=BC=CA=1,在空间中任取2个不同的点

D,E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、3、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取

法有种.

【典例1-4].（2023•上海）如图所示，在正方体ABC。-A181C1D1中，点P为边4cl上的动点，则下列

直线中，始终与直线3尸异面的是（）

【典例1-5].（2022•上海）如图正方体A8CD-AiBiGDi中，P、Q、R、S分别为棱A3、BC、BBi、CD

的中点，连接AiS,B1D.空间任意两点M、N,若线段上不存在点在线段AiS、B1D±.,贝U称

两点可视，则下列选项中与点。1可视的为（）

【典例1-6].（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的

四个侧面，则每天。点至12点（包含。点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【典例1-7].（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,A8为上底面圆的一条直径，C是下底面

圆周上的一个动点，则AABC的面积的取值范围为.

【典例1-81.（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为.

题型02空间向量的运算

【典例2-1].（2024.上海徐汇.一模）已知向量。=（2,5,1）力=（4,切,5）,若°%=3,则实数加的值为.

【变式2-1】.（24-25高三上•上海宝山•期中）已知向量4=（-2,1,1）,。=（1,1,0）,贝几在。方向上的填影网

羊为.

【变式2-2].（2025•上海高考复习•专题练习）已知空间单位向量”，b，c两两垂直，则,-6+c卜（）

A.73B.76C.3D.6

题型03求几何体的表面积与体积

【典例3-1].（2024.上海虹口.一模）若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为.（结

果保留兀）

【典例3-2】•（24-25高三上•上海松江•期末）已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15兀，则该圆锥的

高为,

【变式3-1].（24-25高三上•上海•期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为6半7r且半径为5的扇形，则它

的体积为.

【变式3-2].（2024・上海宝山.一模）将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体

积为.

【变式3-3】.（2024.上海青浦.一模）已知圆柱”的底面半径为3,高为石，圆锥N的底面直径和母线长

相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为.

【变式3-4].（2024.上海徐汇.一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广

大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的

上、下底面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展

开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

【变式3-51.（2024.上海.三模）如图，矩形ABCD中，E为的中点，AB=1,BC=2,连接防，EC,

若V3EC绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为.

【变式3-6].（24-25高三上•上海松江•开学考试）正方体的棱长为2,尸为棱CQ的中点,

△BPP以82为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是.

【变式3-71.（2024・上海奉贤•三模）如图，已知三角形Q4B为直角三角形（。为直角），分别连接点8与

线段的”等分点A，4,…，4-得到〃个三角形依次为t，»2,…，△"，将绕看所在直线旋

转一周，记」，题，…，△“旋转得到的几何体的体积依次为匕，匕，…，匕，若匕=1,匕=49,则三角形

Q4S旋转得到的几何体的体积V=.

题型04空间的位置关系

【典例4-1].（24-25高三上•上海杨浦•开学考试）已知a,夕，/是不同的平面，/，S，〃是不同的直线,

下列命题中：

（1）若a_L/?,a（3=1,mLl,则机_L/?；

（2）若all。,mua,nuB,贝!]〃“/〃；

（3）若/_La,P~y=m,l//m,则a_L£且a_Ly；

（4）若C-L分，Y,a=l,贝！

所有真命题的序号是.

【典例4-2].（24-25高三上•上海金山・期末）己知某圆锥的侧面展开图是圆心角为0兀，半径为2的扇形，

则该圆锥的母线与底面所成角的大小为.

【变式4-1].（2024•上海虹口.一模）如图，已知正三角形A8C和正方形BCDE的边长均为2,且二面角

4—3C—Z）的大小为7，则AC8£>=_____.

6

------7E

CD

【变式4-2].（15-16高三下•上海•阶段练习）设J为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条,

当两条棱相交时，4=。；当两条棱异面时，4=1；当两条棱平行时，4的值为两条棱之间的距离，则数学

期望/=.

题型05空间向量基本定理

【典例5-1].（24-25高二上•上海•期中）已知空间非零向量°、b、c，则下列命题中正确的是（）

A.若a、b、c共面,则a、b、c＞中至少存在一■对向量平行；

B.若a=小+eR）,那么0与匕、工共面；

C.若°、b、c，不共面，那么a、b、c所在直线中至少存在两条直线异面；

D.若.、b、c，不共面，那么a、b、c所在直线中不可能存在两条直线异面.

【变式5-1】.（24-25高二上•上海宝山•阶段练习）在正四面体中，上4=PF=3,点M满足

PM=xPA+yPB+（2-;c-y）PC,则AM的最小值为（）

A.延B.屈C.还D.2A/6

55

题型06立体几何、导数结合的实际应用

【典例6-1].（23-24高三上•上海宝山・期末）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边A8长为6分米，

另一边足够长.现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），其中OEMF是以。为圆心，ZEOF^120的扇形，且

弧分别与边3GAD相切于点M,N.剪去图中的阴影部分，剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓

形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计）.

（1）当8E长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当8E的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

【典例6-2】.（2025•上海高考复习•专题练习）某市一特色酒店由一些完全相同的帐篷构成.每座帐篷的体积

为54万米3,且分上、下两层，其中上层是半径为21）米的半球体，下层是底面半径为r米，高为/z米的圆

柱体（如图）.经测算，上层半球体部分每平方米的建造费用为2千元，下层圆柱体的侧面、隔层和地面三个

部分每平方米的建造费用均为3千元，设每座账篷的建造费用为y千元.

（图。（图2）

（1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）当半径，为何值时，每座帐篷的建造费用最小？并求出最小值.

【变式6-1】.（23-24高三上•上海浦东新•期中）图①是高桥中学的校门，它由上部屋顶，和下部两根立柱

组成，如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面AB庄和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋

面和EBC是全等的三角形.点F在平面ABCD^W上的射影分别为H、M,已知HM=2m,BC=2m,

梯形ABFE的面积是°FBC面积的4倍，设NFMH=《0<e<；j.

①②

⑴求屋顶面积S关于6的函数关系式；

（2）己知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为％（左为正的常数），下部两根立柱的总造价与其单根

的高度成正比，比例系数为〃，假设校门的总高度为3m,试问，当。为何值时，校门的总造价（上部屋顶

和下部两根立柱）最低？

【变式6-2】.（2025•上海高考复习•专题练习）如图所示的某种容器的体积为90万a;?,它是由圆锥和圆柱

两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为「a”.圆锥的高为九cm,母线与底面所成的角为45。；圆

柱的高为为。72.已知圆柱底面造价为2a元/cW,圆柱侧面造价为。元/c»?,圆锥侧面造价为元/cv”2.

（1）将圆柱的高外表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域;

（2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径「为多少？

【变式6-3].（2025•上海高考复习•专题练习）设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱A由

上部的形状是正四棱锥尸-ABiGR,且该帐篷外接于球。（如图所示）.

P

⑴若正四棱柱44GR-ABC。是棱长为2m的正方体，求该帐篷的顶点P到底面ABCD中心。2的距离;

7T

⑵若该帐篷外接球0的半径3m,设ZPOG=a。€（0,万），该帐篷的体积为V,则当cos。为何值时，体积V

取得最大值.

【变式6-4】.（20-21高二上•上海宝山・期末）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专

著，书本记载了一种名为“刍金'的五面体（如图1）.其中四边形ABCD为矩形，EF//AB,_£AD和二FBC是

三角形，“刍薨”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部主

体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍蔓”，其中前后两坡屋面ABEF和CD所是全等的等腰梯形，左右

两坡屋面和FBC是全等的三角形，点尸在平面A3CD和BC上射影分别为H,M,已知=5米，

3C=10米，梯形4狙F的面积是。fBC面积的2.2倍.设

（1）（2）（3）

（1）求屋顶面积S关于。的函数关系式；

（2）已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度确定，造价为9600元

/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当。为何值时，总造价最低？

题型07空间向量数量积的应用（含难点）

【典例7-1].（24-25高三上•上海杨浦•期中）已知空间单位向量q,%,%,

卜+«?2|=p3+e4|=2,+e2+e3+e4|=l,则q《的最大值是.

【变式7-1].（2024・上海嘉定.一模）已知空间向量。综0鸟,0鸟两两垂直，若空间点A满足

闻=|A四]=i,记8=04+082+053,且从尸上1，则|。$的取值范围为.

【变式7-2].（23-24高三上•上海宝山•期中）已知0A、08、OC为空间中三个单位向量，且。41OB^OA±OC.

08与OC夹角为120,点P为空间一点，满足尸|=1且牛|OP•。张|。"倒，则口2困最大值

为

题型08个数、种类等问题

【典例8-1].（2024•上海闵行•二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接

成尽可能多的等边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成

4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.

【典例8-2].（24-25高三上•上海浦东新•期末）己知空间中三个单位向量OA、。&、

（Mj04,=6^-04,=0404=0,P为空间中一点，且满足10Po4卜1，|。~。闻=2,尸•。闻=3,

则点尸个数的最大值为.

【变式8-11.（2025・上海高考复习•专题练习）如图，设点尸为正四面体A-38表面（含棱）上与顶点不

重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M,如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条

件的点尸有个.

【变式8-2].（2021•上海杨浦•三模）设正四面体42月月在空间直角坐标系中点C的坐标为

（x,.,y,.,z,.）（z=l,2,3,4）,集合A={y|存在ie{l,2,3,4},使得y=%},则集合A的元素个数可能为种.

（写出所有可能的值）

【变式8-3].（23-24高三上•上海浦东新•期末）已知棱长均为1的正〃棱柱有2〃个顶点，从中任取两个顶

点作为向量a的起点与终点，设底面的一条棱为AB.若集合4=卜|尤=〃2耳，则当4中的元素个数最

少时，〃的值为（）

A.3B.4C.6D.8

【变式8-4】.（23-24高二上•上海•阶段练习）设。，4侬是空间中给定的2023个不同的点，则使得

MA.+MA,++M&o23=O成立的点河的个数为（）

A.。个B.1个C.2023个D.4046个

题型09轨迹、围成面积等问题

【典例9-1].（2025•上海高考复习•专题练习）在正四棱柱ABCD-ABCR中，A8=1,A4,=4,E为。2

中点，尸为正四棱柱表面上一点，且则点尸的轨迹的长为—.

【变式9-1】.（2023•上海•模拟预测）正方体A3C。-44GA的边长为1,点和N分别为。21C边的中

点，尸是侧面ADAA上动点，若直线与面C/N的交点位于C/N内（包括边界），则所有满足要求的

点P构成的图形面积为.

【变式9-21.（2024・上海虹口.一模）已知边长为2的正四面体A-BCD的内切球（球面与四面体四个面都

相切的球）的球心为。，若空间中的动点P满足0P=x0C+y03+z0D,x、y>ze[0,1],则点尸的轨迹所形

成的几何体的体积为（）.

A.72B.正C..2月D.B

33

题型10空间向量与立体几何选择题综合辨析

【典例10-1].（24-25高二上•上海•阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点〃、N

分别在线段AQ和耳£上，给出下列命题：①有且仅有一条直线"N与A?垂直；②存在点M、N,使LMBN

为等边三角形，则（）

A.①、②均为真命题B.①、②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【典例10-2].（24-25高三上•上海•期中）在正方体ABCD-ABG2中，点P,。分别是线段A4，AG上的

点（不为端点），给出如下两个命题：

①对任意点P,均存在点。，使得PQLC。；

②存在点P,对任意的。，均有与，则（）

A.①②均正确B.①②均不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

【变式10-1].（23-24高二下•上海杨浦・期末）如图，已知正方体48。-4262的棱长为1，点〃为棱45

的中点，点尸在正方形2CG与内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：

①存在点尸满足尸2,M耳；

②存在点尸满足PD、与平面AtD,M所成角的大小为60°；

12

③存在点尸满足MDi+MP=^-；

其中正确的个数是（）.

【变式10-21•（23-24高二上•上海•期末）在直三棱柱A8C-A4G中，底面VABC为等腰直角三角形，且

满足ABuBCnA4,=1.点P满足BP=2BC+"BB「其中彳©[0,1],〃€[0』],则下列说法不正确的是（）

A.当4=1时，ABP的面积S的最大值为立

2

B.当"=1时，三棱锥尸-A3。的体积为定值

C.当2=:时，有且仅有一个点P,使得APLBP

D.当〃=g时，存在点P,使得平面A男尸

【变式10-3].（23-24高二上•上海•期末）如图，在正方体A8CO-A4GQ中，E为棱的中点.动点P

沿着棱DC从点。向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（）

（1）存在点尸，使得PA=PE；

（2）存在点P,使得80，平面班号

（3）△尸4石的面积越来越小；

（4）四面体4尸耳£的体积不变.

A.0B.1C.2D.3

0---------------题型通关•冲高考-----------♦>

一、填空题

1.（2024・上海崇明•一模）在空间直角坐标系中，点（L2,3）关于xOy平面的对称点的坐标是.

2.（2024・上海・三模）底面半径长为1cm,母线长为0cm的圆柱，体积为

3.（2024•上海徐汇・一模）已知机，”为空间中两条不同的直线，a,尸为两个不同的平面，若加ue,a6=〃，

则机//〃是机//6的条件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一

个）

4.（2024•上海奉贤•一模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风吹

铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃

的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一

些合理的假设：

假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）,其中。。3=2。51,O03=18cm,AB=16cm,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少

需要千克铜.（铜的密度为8.9g/cn?）（结果精确到个位）

5.（2024.上海奉贤.三模）已知正方体的棱长为3,&,E2,心为正方形ABCD边上

的七个两两不同的点.若对任意的点用,存在点与（i,je{l,2,肉使得直线AA与平面4瓦号以及平

面G耳与所成角大小均为玄，则正整数k的最大值为.

二、单选题

6.（2024・上海长宁•二模）已知直线a,b和平面a,则下列判断中正确的是（）

A.若a//a,b〃a,则a//bB.若a//6,6//a,则a//a

C.若a"a,bLa,则UD.若a1b,bIla,贝

7.（2024・上海.模拟预测）已知正方体ABCD-A耳G2和点P,有两个命题：

命题甲：存在加条过点P的直线/,满足/与正方体的每条棱所成角都相等；

命题乙：存在“个过点尸的平面a,满足a与正方体的每个面所成锐二面角都相等；

则下列判断正确的是（）

A.m>nB.m=n

C.m<nD.小〃的大小关系与点P的位置有关

热点题型•选填题攻略

专题08空间向量与立体几何（十大题型）

♦>-----------题型归纳•定方向----------O

题型012021-2024年高考+春考真题.............................................................1

题型02空间向量的运算.......................................................................6

题型03求几何体的表面积与体积...............................................................7

题型04空间的位置关系.......................................................................11

题型05空间向量基本定理.....................................................................14

题型06立体几何、导数结合的实际应用........................................................15

题型07空间向量数量积的应用（含难点）.....................................................24

题型08个数、种类等问题....................................................................26

题型09轨迹、围成面积等问题................................................................31

题型10空间向量与立体几何选择题综合辨析...................................................36

♦>-----------题型探析,明规律-----------♦>

【解题规律•提分快招】

7、由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|,|b|和〈a,b〉，a与b的夹角与方向有关，一

定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确.

8、利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐

标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

9、向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

10、多面体的表面积是各个面的面积之和.

11、旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

12、组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

7、题源注明：立体几何与导数结合的实际应用中，选用适量解答题来练习填选题

题型012021-2024年高考+春考真题

【典例1-1].（2024•上海）定义一个集合Q,集合元素是空间内的点集，任取尸1,尸2,P3GQ,存在不全

为0的实数人，心，使得人।而7+入。配+入？砥=}.己知（1，。，0）GQ,则（0,0,1）

的充分条件是（）

A.（0,0,0）e。B.（-1,0,0）eQ

C.（0,1,0）eQD.（0,0,-1）eQ

【分析】利用空间向量的基本定理，结合充要条件，判断选项即可.

【解析】解：不全为。的实数Q，Q,使得人［Op；+入o0p；+入QOP；=}.

所以3个向量无法构成三维空间坐标系的一组基，

又因为（1,0,0）ec,所以对于A三者不能构成一组基，

故不能推出（0,0,1）故A错误；

对于8,（1,0,0）eQ,（-1,0,1）eQ,且（1,0,0）,（-1,0,0）共线，

所以（0,0,1）可以属于。，此时三者不共面，故3错误；

对于C,显然三者可以构成一组基，与条件不符合，故可以推出（0,0,1）CC,故C正确；

对于。，三者无法构成一组基，故不能推出（0,0,1）故3错误.

故选：C.

【典例1-2】.（2024•上海）已知四棱柱A8C。-A181C1O1底面ABCZ）为平行四边形，AAi=3,80=4且

,BC-ADj,DC=5,求异面直线A4I与BO的夹角arccos^-一.

【分析】由题将AB；•沃-AD丁宜=5转化为=5即可求解.

【解析】解：如图，

因为，又画•沃-西•技=5，

..*....

,•(AB+AA]),AD-(AD+AAp,DC=5,

化简得=5,

AA]"BD=3X4Xcos8=5,

异面直线AAi与BD的夹角为arccos-^-.

12

【点评】本题考查向量法求立体几何中的线线角，属于中档题.

【典例1-3】.（2023•上海）空间中有三个点A、B、C,且AB=BC=CA=1,在空间中任取2个不同的点

D,E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取

法有种.

【分析】根据正四棱锥的性质，分类讨论，即可求解.

【解析】解：如图所示，设任取2个不同的点为。、E,

当AABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做4BDE作为圆锥的底面，有2种情况,

同理以BCE。、ACEO为底面各有2种情况，所以共有6种情况；

当AABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，AD2E为圆锥的底面，只有一种情况，

同理以BDCE、AOCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；

综上，共有6+3=9种情况.

故答案为：9.

【点评】本题考查正四棱锥的性质，分类讨论思想，属中档题.

【典例1-4].（2023•上海）如图所示，在正方体48a）-4为GD1中，点P为边4。上的动点，则下列

直线中，始终与直线8尸异面的是（）

A.DDiB.ACC.ADiD.B\C

【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可.

【解析】解：对于A,当P是4C1的中点时，2尸与。D是相交直线；

对于8,根据异面直线的定义知，8尸与AC是异面直线；

对于C,当点尸与。重合时，8P与AD是平行直线；

对于。，当点尸与C1重合时，8尸与B1C是相交直线.

故选：B.

【点评】本题考查了两条直线间的位置关系应用问题，是基础题.

【典例1-5】.（2022•上海）如图正方体ABC。-A181C1D1中，P、°、R、S分别为棱A3、BC、BBi、CD

的中点，连接4S,B1D.空间任意两点/、N,若线段MN上不存在点在线段4S、B1D±.,则称

两点可视，则下列选项中与点。1可视的为（）

A.点PB.点8C.点RD.点。

【分析】线段上不存在点在线段AiS、B1D±,即直线与线段4S、81。不相交，因此所求与

。可视的点，即求哪条线段不与线段4S、81。相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断.

【解析】解：线段MN上不存在点在线段45、BLD上，即直线与线段4S、81。不相交,

因此所求与口可视的点，即求哪条线段不与线段4S、为。相交，

对A选项，如图，连接A1P、PS、DiS,因为P、S分别为AB、C。的中点，

，易证A1Q1〃尸S,故4、£)1、P、S四点共面，尸与4S相交，错误；

对B、C选项，如图，连接QiB、DB,易证。1、81、B、。四点共面,

对。选项，连接D。，由A选项分析知A1、。1、P、S四点共面记为平面A1O1PS,

：。1w平面4£)1尸5,。金平面4D1PS,且4Su平面AiDPS,点。摩4S,

...D1Q与4S为异面直线，

同理由B,C选项的分析知Di、Bi、B、。四点共面记为平面。止12£),

平面。181BD,℃平面。且BiDu平面点、D\eBiD,

与30为异面直线，

故。1。与4S,81。都没有公共点，二。选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.

【典例1-6】.（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的

四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.

【解析】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，

每天0点至12点（包含0点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选：B.

【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证

能力，是中档题.

【典例1-7].（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1,高为2,为上底面圆的一条直径，C是下底面

圆周上的一个动点，则AABC的面积的取值范围为一[2,V5]_.

【分析】上顶面圆心记为O,下底面圆心记为O',连接OC,过点C作垂足为点由于

为定值，则S^ABC的大小随着CM的长短变化而变化，

分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案.

【解析】解：如图1,上底面圆心记为。，下底面圆心记为O',

图1图2图3

连接OC,过点C作垂足为点

则，

根据题意，AB为定值2,所以SAABC的大小随着CM的长短变化而变化，

22

如图2所示，当点M与点。重合时，CM=OC=<^|+2>

此时SLABC取得最大值为JX2X泥=V5；

如图3所示，当点M与点8重合，CM取最小值2,

此时SAABC取得最小值为2X2=2-

综上所述，SAABC的取值范围为[2,V5].

故答案为：[2,V5].

【点评】本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM的最值问题进行求

解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题.

【典例1-8].（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为4TI.

【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.

【解析】解：圆柱的底面半径为，=1,高为〃=2,

所以圆柱的侧面积为S恻=2无泌=23卜2=4%.

故答案为：4兀.

【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题.

题型02空间向量的运算

【典例2-1].（2024•上海徐汇・一模）已知向量£=（2,5,1）,〃=（4,加,5）,若°2=3，则实数机的值为.

【答案】-2

【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.

【解析】因为。=（2,5,1）力=（4,办5）,所以a.6=2x4+5〃7+lx5=5m+13=3，

所以a二一2.

故答案为：-2

【变式2・1].（24-25高三上•上海宝山•期中）已知向量，=（-2,1,1）,6=（1,1,0）,则Q在人方向上的填影画

罩为•

【答案】&别

a-b

【分析】根据商在b方向上的投影向量为汴为计算可得.

\b\

【解析】因为。=(-2,1,1),6=(1,1,0),

所以4力=-2*1+以1+k0=-1,忖=血,

所以°在。方向上的投影向量为疗功=，/6=_；6=_；（1,1,0）=[-；,一；,0]

故答案为：W，。）

【变式2-2].（2025•上海高考复习•专题练习）已知空间单位向量0,b，c两两垂直，则（）

A.布B.y/6C.3D.6

【答案】A

【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可.

【解析】因为空间单位向量风九。两两垂直，

所以同=Q„=1,卜|=。，ffb=cd0=be—,

所以卜―/7+4==yja1+b2+c2—2cib—bc+ac

^^1+1+1-0-0+0=73.

故选：A.

题型03求几何体的表面积与体积

【典例3-1】.（2024.上海虹口.一模）若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为.（结

果保留兀）

【答案】母兀

【分析】首先求出母线，再由侧面积公式计算可得.

【解析】因为圆锥的底面半径r=1,高/i=l,设母线为/>0）,则/=户7=夜，

所以该圆锥的侧面积为url=A/2TI.

故答案为：也无

【典例3-2].（24-25高三上•上海松江・期末）已知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15%，则该圆锥的

高为•

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高.

【解析】圆锥的底面半径r=3,设其母线长为/,则兀力=15兀，解得/=5,

所以该圆锥的高/z==752-32=4.

故答案为：4

【变式3-1].（24-25高三上•上海•期中）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为67个r且半径为5的扇形，则它

的体积为.

【答案】12兀

【分析】根据题干信息和圆锥的体积公式求解即可.

【解析】因为锥的侧面展开图是圆心角为号67r且半径为5的扇形，

6兀

所以圆锥的底面半径为

-D

2兀

所以圆锥的体积为：$x32x&2-3?=12兀.

故答案为：12兀.

【变式3-2].（2024•上海宝山.一模）将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体

积为.

【答案】271

【分析】先求出四面体其中一个面的高，确定正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，利用圆锥体积公式求

解即可.

如图为棱长为2的正四面体，作8。，AC,3DCAC于点。，

在VABC中，|AB|=2,ZBAC=6O°,|B£>|=|AB|-sin60o=73,

根据题意，正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，

底面半径等于忸。|=括，高等于5=1,

所以旋转后几何体的体积为：V=2x1.7f（V3）2=27t.

故答案为：2K

【变式3-3].（2024•上海青浦・一模）已知圆柱M的底面半径为3,高为6，圆锥N的底面直径和母线长

相等.若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为一.

【答案】3

【分析】求出圆柱M的体积，设圆锥N的底面半径为「，求出圆锥的高为gr,从而得到圆锥的体积，得

到方程，求出答案.

【解析】圆柱”的体积为无了乂出二乡6兀，

设圆锥N的底面半径为「，则母线长为2r,故圆锥的高为“2了二^二石厂，

则,兀・，・6厂=^^兀厂3,故心~#=9411,解得r=3,

333

故圆锥N的底面半径为3.

故答案为：3

【变式3-4].（2024•上海徐汇•一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广

大市民前往观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的

上、下底面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展

开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

【答案】5yfU

【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式/=J及+缶-々J结合条件即得.

【解析】设上面圆台的母线长为4,上面半径为八=15cm,下半圆半径为13cm,高为“=8cm,

根据圆台的母线长公式/=业+化_篁,带入数值计算得到4=苫+（15一13『=而=2717cm；

设下面圆台的母线长为k,上面半径为g=12cm,下半圆半径为〃=9cm,

由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到^^二21产，带入数值计算得到

"1’2

(4-6_(12-9)x2折

=3VT7cm；

'2

zj—丫215—13

所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2折+3a=5717cm.

故答案为：5V17

【变式3-5].（2024.上海.三模）如图，矩形A3CE（中，E为的中点，AB=1,BC=2,连接EB,EC,

若V3EC绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为.

【答案】4兀+2夜兀

【分析】V3EC绕直