2025年上海高考数学二轮复习大题模拟卷06（学生版+解析）

大题仿真卷06（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

♦>-------A组.巩固提升----------O

一、解答题

1.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且耳=2csinA.

⑴求sinC的值；

⑵若c=3,求AABC面积S的最大值.

2.在如图所示的圆锥中底面半径为2,尸是顶点，。是底面的圆心，4、8是圆周上两点，且OALOB.

⑴若圆锥的侧面积为6兀，求圆锥的体积；

⑵设圆锥的高为2,M是线段AB上一点，且满足PMLAB,求直线PM与平面POB所成角的大小.

3.某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到

成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：

是否喜欢篮球

性别合计

喜欢不喜欢

男生350250600

女生250150400

合计6004001000

⑴依据a=0.05的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

⑵用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做

进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数,

求X的分布列和数学期望.

附：参考数据

2n(ad-bc^

Z/+加+4…地+而其中n-a+b+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

4.已知圆。:一+/=1,双曲线r：尤2一与=1,直线/：y=H+〃,其中1eR,b>0.

b

(1)当6=2时，求双曲线r的离心率；

(2)若/与圆o相切，证明：/与双曲线r的左右两支各有一个公共点；

⑶设/与y轴交于点p,与圆。交于点A、B,与双曲线r的左右两支分别交于点c、D,四个点从左至右

依次为C、A、B、D.当％=变时，是否存在实数6,使得西.定=丽.丽成立？若存在，求出6的值；

2

若不存在，说明理由.

5.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的

加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知〃x)=lnx+J,

g(x)=/(x)-x.

⑴求函数“X)的单调区间

(2)若数列”“=e”(e为自然底数)，bn=f(an),Sn=b｝+b3+b5+--+b2n_l,北=£⑥，5eN*,求使得不

Z=1

等式：e〃2+S,>e7；成立的正整数〃的取值范围

⑶数列｛1｝满足。<4<1，，向=/(%)，〃©^^证明：对任意的〃©^^8卜［丁］<0.

O---------------B组•能力强化----------♦>

一、解答题

1.在直四棱柱A5CD—ABIG，中，AB//CD,ABA.AD,AB=2,AZ>=3,DC=4

⑴求证：48〃平面。CGQ；

⑵若四棱柱ABCD-A4GQ体积为36,求二面角\-BD-A大小.

2.已知函数/（r）=-2sin（x+2（p）,网<々.

（1）若函数f（x）的图象关于y轴对称，求。的值，并求函数/■（%）的单调减区间;

7Tjr

（2）当。=-工时，若存在xeo.-,使等式r（x）-〃x）+机=0成立，求实数优的取值范围.

O

3.某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对"三项体育活动中要有篮球”

这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）

男生女生合计

同意7050120

不同意305080

合计100100200

⑴能否有95%的把握认为学生对"三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？

⑵假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择.

①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影

响.记事件A为“学生甲选择足球"，事件B为"甲、乙两名学生都没有选择篮球"，求并判断事件A,

B是否独立，请说明理由.

②若该校所有学生每分钟跳绳个数X〜N085,169）.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有

明显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预

估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）.

参考公式和数据：/2=7―"匕尻）其中〃=a+b+c+d,P（z2>3,841）^0.05.若

X〜N（MQ2）,p（|x-4<o'卜0.6827,尸（国-“<2o■卜0.9545,P（|X-“<3」卜0,9973.

22

4.已知椭圆C:土+2=1（0＜8＜2）,设过点AQ,。）的直线/交椭圆C于跖N两点，交直线x=4于点P,点

4b

E为直线尤=1上不同于点A的任意一点.

⑴椭圆C的离心率为求6的值；

（2）若IAMIZ1,求6的取值范围；

⑶若6=1,记直线EM,EN,砂的斜率分别为尤，K，耳，问是否存在尢，k2,%的某种排列牖，%,

期（其中用中间={L2,3},使得的，ki2,如成等差数列或等比数列？若存在,写出结论，并加以证明;

若不存在，说明理由.

5.设函数y=〃x）的定义域为。，若存在实数左，使得对于任意xe。，都有左，则称函数y=

有上界，实数％的最小值为函数y=/（x）的上确界；记集合叫={/（引丫=与在区间（。,+8）上是严格增

函数};

2

（1）求函数＞=—；（2〈尤＜6）的上确界；

⑵若/（X）=d-欣+2xlnxeM,求〃的最大值；

⑶设函数y=一定义域为（。,+“）；若〃耳€河2,且'=〃”有上界，求证：〃“＜。，且存在函数

y=f（x）,它的上确界为o；

0----------------C组•高分突破-----------♦＞

一、解答题

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是

尸8的中点.

⑴求证：平面P2C；

（2）求侧面PCD与底面ABCD所成二面角的正切值.

hA-9hx

2.已知函数/（%）=空&-—4（。＞0/wl）是定义在R上的奇函数.

b+2b

⑴求〃x）的解析式；

⑵存在尤e[2,3],使得“（X）22'-2成立，求实数t的取值范围.

3.网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的

网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和2组，

这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图:

4组8组

9805

87531124

9621478

03359

假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.

⑴从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大

于20的户数为X,估计X的数学期望同X］：

⑵从A组和2组中分别随机抽取2户家庭，记《为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20

的户数，2为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20户数，比较方差。［均与。底］的大

小.

2

4.已知抛物线n：y2=4x,r2:y=2x,直线/交抛物线「I于点A、D,交抛物线一于点3、C,其中点A、

B位于第一象限.

⑴若点A到抛物线口焦点的距离为2,求点A的坐标；

(2)若点A的坐标为(4,4),且线段AC的中点在x轴上，求原点。到直线/的距离；

(3)若羽=2丽，求△AOD与ABOC的面积之比.

5.设f>l,n>l,«eN,若正项数列｛〃“｝满足;a.<%+i<。"，则称数列｛外｝具有性质"?⑺".

⑴设根21,〃zeN,若数列10,7,m,4,3具有性质"⑵"，求满足条件的机的值；

⑵设数列｛〃”｝的通项公式为4问是否存在♦使得数列｛〃”｝具有性质"尸⑺"？若存在，求出满

足条件的/的取值范围，若不存在，请说明理由；

⑶设函数y=〃尤)的表达式为=ln(e*-l)-lnx,数列｛%｝的前〃项和为S”,且满足生=|,

«,1+1=/(«„)，证明：数列｛叫具有性质"尸⑶"，并比较S“与1-5的大小.

大题仿真卷06（A组+B组+C组）

（模式：5道解答题满分：78分限时：70分钟）

就----------A组.巩固提升------------♦>

一、解答题

1.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且&a=2csinA.

⑴求sinC的值;

⑵若c=3,求面积S的最大值.

【答案】（1）乎

⑵唯

4

【分析】（1）由正弦定理即可得sinC=E；

2

（2）由余弦定理结合重要不等式可得仍取值范围，再由三角形的面积公式S/c=；MsinC可求出面积的

最大值.

【解析】（1）由题意可知，y/3a=2csinA,

由正弦定理得百sinA=2sinCsinA,

因为ACG（0,TC）,所以sinAwO,

BPsinC=.

2

（2）由（1）可知sinC=走，

2

所以c=m或c=g.

在VABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

TT

当C=§时，c=3,

9=b2+a2-lab--=b2+a2-ab>2ab-ab=ab,

2

当且仅当〃=b=3时取等号，即而49,

故VASC的面积SAABC=；〃bsinC=^-ab<^^--

当。=?时，c=3,

9=/+/+lab--=b2+a2+ab>lab+ab=3ab,

2

当且仅当4=。=有时取等号，即而43,

故VASC的面积S=—absinC=^-ab<^^--

△ABC244

综上所述，VA5C的面积最大值为冬叵.

4

2.在如图所示的圆锥中底面半径为2,尸是顶点，。是底面的圆心，A、B是圆周上两点，且OALOB.

⑴若圆锥的侧面积为6兀，求圆锥的体积；

⑵设圆锥的高为2,M是线段AB上一点，且满足PMLAB,求直线PM与平面尸08所成角的大小.

【答案】⑴手兀

(2)arctan

【分析】(1)由圆锥侧面积公式求得母线长，可得圆锥的高，进而由圆锥的体积公式计算即可；

(2)由条件得点”是线段43中点，取。8中点N,则又PO1MN,所以平面尸03,

从而/MPN是直线与平面尸03所成的角，计算即可.

【解析】(1)设圆锥底面半径为「，母线长为/,r=2,

则侧面积3=兀〃=2兀/=6兀，解得/=3,

于是圆锥的高po=《s=芯,

圆锥的体积V」兀X2?x^=述兀.

33

(2)中，PA=PB,PMLAB,则点Af是线段A3中点,

取08中点N,连接MN,PN,则MN〃Q4,

又Q4_LO3,则M7V_LO3,

由直线尸O_L平面AOB,肱Vu平面A0B,得尸O_LACV,

结合M2V_LO3,且POnO8=O,P0,0Bu平面POB,

所以的V_L平面POB,

因此直线PN是PM在平面POB内的射影，

从而NMPN是直线PM与平面POB所成的角，

■：ON=^OB=1,PO=2,:.PN7Po'ON?=亚，

又MN=goA=l,^tanZMPN=—=J^,

2PN5

所以Z.MPN=arctan-

5

即直线PM与平面尸08所成的角为arctan

5

3.某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到

成对样本数据的分类统计结果，如下表所示:

是否喜欢篮球

性别合计

喜欢不喜欢

男生350250600

女生250150400

合计6004001000

(1)依据夕=0.05的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做

进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X表示随机抽取的3人中女生的人数,

求X的分布列和数学期望.

附：参考数据

2n(ad-bc^

Z/+加+4…地+而其中n-a+b+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴不能

(2)分布列见解析，：

【分析】(1)计算/,与。=0.05比较，根据独立性检验的原理即可得结论；

(2)求出男生人数，根据超几何分布的概率计算可得分布列，进而求得数学期望.

【解析】(1)零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关，

1000(350xl50-250x250)2(35x15-25x25)2

则/«1.736<3.84b

600x400x600x40060x4x6x4

依据a=0.05的独立性检验，没有理由认为假设不成立,

即不能认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联；

(2)由题意按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取的12名学生中男生有7名，女生有5名,

则X的取值可能为：0,1,2,3,

则尸(x=o)=/=£,P(X=1)=/21

^12^^1244,

C2cl7cjc°_1

尸(x=°)=^=至，P(X=1)

C^2-22

故X的分布列为

X0123

72171

P

44石2222

791715

数学期望双对小石+卜石+2x至+3x"i

2

4.已知圆。:/+丫2=1,双曲线「：尤2直线/：丫=6+6,其中％eR,6>0.

(1)当6=2时，求双曲线「的离心率；

(2)若/与圆。相切，证明：/与双曲线「的左右两支各有一个公共点；

(3)设/与>轴交于点P,与圆。交于点A、B,与双曲线「的左右两支分别交于点C、D,四个点从左至右

依次为C、A、8、D.当％=交时，是否存在实数6,使得西•定=丽.而成立？若存在，求出6的值；

2

若不存在，说明理由.

【答案】（1）百

（2）证明见解析

2

【分析】（1）根据离心率公式即可；

（2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明；

（3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别

式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可.

【解析】（1）由题意，a2=l,b2=4,所以，°2=/+〃=5,

因此，双曲线「的离心率e=$=6

a

⑵由直线,与圆。相切‘得焉=［，即6=由＞。,

联立

即d—2附x-26'O,

该一元二次方程的判别式△=4k乎+8b2=4b2卜2+2）＞0,

因此有两个不相等的实数根,

且两根之积为-2。2＜0,因此两根一正一负,

即/与双曲线r的左右两支各有一个公共点.

（3）设A（玉,%）,3（%2，%）,0（电，为＞。（尤4，%），

-2kb

X+X=---y

x+y=l,得（1+左2）*2+2左6无+匕2_1=0,勺2?1+k2

联立得

y=kx+b、'b2-l

由4＞。可得＜1.

2kb

_/_

X2一炉j得仅2_左2卜2_2如_2〃=0,

联立得

-2b2

y=kx+b

lb--k2>0,

4＞0且分别交于左右两支可得

b2-k2>0.

又丽•京=丽・丽，又c、A、B、。四个点在同一直线上,

困困=1网附=募=胃

二五=&,还可得三=巴

x2x3玉x4

-2kb\2kb丫

"人b~~k2)…临…EHTB俎._2b~_b--1

b2-l-2b2F+lk2-b2

]+k2b2-k2

%=正代入后化简可得：4/+62一3=0,解得6=±3，由匕>0,得b=®

222

经检验，止匕时/与r两支分别有交点,

b=立为唯一满足条件的实数6.

2

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是多次联立，得到韦达定理，再将向量式化简得五=①，即

x2x3

U+尤2)=(W+Z),再代入韦达定理式计算即可.

xxx2x3x4

5.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼，加上数列知识的

加持，犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知/(x)=lnx+',

g(x)=/(x)-x.

⑴求函数〃x)的单调区间

(2)若数歹S"=e"(e为自然底数)，2=/(%)，Sn=bl+b3+b5+-+b2n_l,T“=£b»,i,n«N*,求使得不

i=l

等式：e〃2+s“>e7；成立的正整数鼠的取值范围

(3)数歹£%}满足O<G<1,c„+1=/(c„),“eN*.证明：对任意的〃eN*,g2ko.

ICn+2—Cn+3)

【答案】(1)答案见解析

(2){weN"|>e}

(3)证明见解析

【分析】(1)求导，利用导数求原函数的单调区间；

(2)利用分组求和法求S“Z，代入不等式运算求解即可;

(3)利用导数可求得当x>l时，g(x)<g⑴=0,结合根据函数/(x),g(x)的单调性分析证明.

【解析】(1)因为"r)=lnx+L定义域为(0,+s),且r(x)=L-』=4，

XXXX

令r(x)<0,解得0<x<l；令/'(x)>0,解得x><

所以函数/Xx)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+9).

(2)因为%=e",贝=/(a“)=lne“+4r="+ef,

e

可得=4+&+々---Hi=(l+e)+(3+e------1-[2〃—1+e仁〃。]

=(l+3+---+2n-l)+[e-1+e-3+---+e_(2M_1)J

〃(1+2”叫叫1-")[

2l-e-2

T*=£*=%+4+%+…+瓯=(2+e-2)+(4+L)+…+(2〃+e-2”)

i=l

=(2+4+---+2n)+(e-2+e-4•••+e-2n)

n(2+2n)।叫“)[

21-e-2

即e/+/+二1一小

〃〃

对于不等式:加+Sn>eT“,>e(+l)+

整理得〃〉e,

所以使得不等式：en2+S„>e7；成立的正整数n的取值范围卜£N*|〃〉e}.

(3)因为g(x)=F(x)-％=lnx+L-%,的定义域为(0,+8),

x

且，，、11,-x2+x-lx2-x+lj+4c恒成立,

g(x)=------2-1=-----2—=-------2—=------f——<0

XXXXX

且g⑴=0,所以当X>1时，g(尤)<g⑴=0,

由(1)可知数"X)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

因为C]C（O,1）,所以°?=/（。）>1,c3=f（c2）>l,:"+i=/（g）＞l，

又因为g(x)<g(l)=O,则%+2-C"+1=/(C.+1)-C"+1<O,所以呢+2<c.+i，

又因为g(x)在(1,+C0)单调递减，所以g(c“+2)>g(c„+l),

1,1,

cln

即+Inc„+2-„+2>+c”+i-c“+i,即0>cn+3-cn+2>cn+2-cn+l,

Cn+2Cn+\

所以CM-g+2>C.+2-C“+3>0,则g户>1,所以j—「+2]<0.

Cn+2Cn+3\Cn+2~Cn+3J

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或)(x)<g(x))转化为证明/(x)-g(x)>0(或

“X)-g(X)<0),进而构造辅助函数Mx)=/'(X)-g⑺；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

g----------------B组•能力强化------------O

一、解答题

1.在直四棱柱ABCD-ABCQi中，ABHCD,ABLAD,AB=2,AD=3,OC=4

⑴求证：4瓦/平面。CCQ；

⑵若四棱柱ABCD-A瓦G2体积为36,求二面角A-BD-A大小.

【答案】⑴证明见解析

6,2而

(2)arctan-----

3

【分析】(1)利用直四棱柱的性质及线面平行的判定定理，可证平面A3片A〃平面DCG2,再由面面平

行的性质定理，即可得证；

(2)先根据棱柱的体积公式求得AA，再利用二面角的定义，求解即可.

【解析】(1)由题意知，AAJIDD,,

因为AA之平面DCCQ,平面。CCQ,

所以A41//平面。CCQ,

因为AB//OC,且ABC平面DCCQ,DCu平面。CCQ,

所以AB〃平面DCCQ,

又A41nAs=A,AA、ABu平面A阳A，

所以平面ABBiA//平面。CCQ,

因为ABu平面AB与4，

所以AB〃平面。CCQ.

(2)由题意知，底面A2CD为直角梯形，

所以梯形ABCD的面积S=(2+；＞3=9,

因为四棱柱ABC。-A瓦的体积为36,

所以招=m=4,

过A作AE上或)于E,连接4足，

因为例_L平面ABC。，且B£»u平面45cD,

所以

又A41nM=A,、AEu平面也再，

所以平面相E,

因为AEu平面AA]E,所以

所以Z^EA即为二面角A.-BD-A的平面角，

在RtZkABD中，AEBD=ABAD,

e、…ABAD2x36713

所以钻=口八=r~7=不"，

BDV22+3213

F-C|..tanZAiEA=^-=^==^^-日口,“〉.2屈

所以AE6^/1^3,即Z^EA=arctan-------，

133

故二面角A.-BD-A的大小为arctan冬叵.

3

2.已知函数/(x)=-2sin(x+2(p),|^|<^.

⑴若函数〃尤)的图象关于y轴对称，求。的值，并求函数〃尤)的单调减区间;

兀TT7T

(2)当。=一自时，若存在xe0,-,使等式r(x)-/(x)+加=0成立，求实数机的取值范围.

6o2

【答案】(1)答案见解析

C1

⑵一t

【分析】(1)根据函数的对称性求出9,再根据余弦函数的性质求出其单调递减区间.

(2)先求出抬］,再换元,令尤)，而,等价为〃2=_/+/在我上成立，求出

二次函数的最值即得解.

【解析】(1)因为函数〃x)=-2sin(x+2叫的图象关于y轴对称,

所以功J+EhZ'解得

又|夕|<］，所以展:或9=_

当。弋时，/(x)=-2sinfx+j=-2cosx,

所以"%)的单调减区间为［-兀+2E,2E］,林Z；

当夕=_:时,/(x)=-2sin2cosx,

所以/(X)的单调减区间为［2E,71+2E］,keZ；

综上可得：当。弋时“对的单调减区间为［-兀+2E,2E］,左eZ；

当9=一：时〃x)的单调减区间为［2杭兀+2E］,keZ.

71

(2)当/=-/时/(x)=-2sinX~~

6

因为无e，所以-gwx-gvg,

_2J336

/.~~~-sin［--1--2sin^x-y^<A/3

所以〃x)e［T,括］,令/=〃x),

则等式fW-/(x)+m=0成立等价为机=_/+/在，已［-1,道］上成立,

2/1丫1

m=—t+t=—\t—H—，

I2j4

当，=一1时，机取得最小值-2；当/时，加取得最大值;,

24

故机的取值范围是-4

3.某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”

这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人）

男生女生合计

同意7050120

不同意305080

合计100100200

（1）能否有95%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？

（2）假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择.

①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影

响.记事件A为“学生甲选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求P（3|A）,并判断事件

A,8是否独立，请说明理由.

②若该校所有学生每分钟跳绳个数X〜N（185,169）.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有

明显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预

估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）.

参考公式和数据：犬~"叱尸）其中〃=4+b+c+d,P（2>3.841）^0.05.若

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）'Z'

X〜N（",吟,P（|X-//|<cr）~0.6827,尸2cr）。0.9545,尸<3cr）=0,9973.

【答案】（1）有关

2

⑵①尸（例㈤=§,不独立，理由见解析；②977

【分析】（1）计算出卡方，即可判断；

（2）①求出尸（A）,尸⑻，P（BA）,再由条件概率公式求出尸（8|A）,由相互独立事件的定义即可判断；

②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数XLN（195,169）,根据正态分布的性质求出尸（%>182）,从而

估计出人数.

【解析】（1）提出假设凡,：学生对该问题的态度与性别无关.

根据列联表中的数据可求得，K2=200x（70*50-50x30）2=25«8.333>3.841.

120x80x100x1003

因为当”0成立时，K2之3.841的概率约为0.05,

所以有95%的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关.

（2）①因为事件A为“学生甲选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”,

所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”，

17?419?

所以尸（A）="P（B）=-x-=-,P（AB）=-x-=-,

2

P（AB）9..2

所以尸（叫A）=

P（A）=J=3

3

因为尸（AB）WP（A）P（B）,所以事件A、B不独立.

②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为X-

由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数及〜N（195,169）.

因为169=195-26,所以尸（%>169）=P（X|>〃一2b）=；+；xO.9545=0.97725.

所以0.97725x1000=977.257977（人）.

所以经过训练后该校每分钟跳169个以上人数约为977.

22

4.已知椭圆C:土+2=1（0<6<2）,设过点A（l,0）的直线/交椭圆C于M,N两点，交直线尤=4于点P,点

4b1

E为直线％=1上不同于点A的任意一点.

（1）椭圆C的离心率为《，求6的值；

⑵若求6的取值范围；

（3）若6=1,记直线EM,EN,EP的斜率分别为匕,网,问是否存在k2,网的某种排列的,ki2,

如（其中&%%}={1，2,3},使得如，ki2,&3成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；

若不存在，说明理由.

【答案】⑴/

⑵诋2）

（3）左，%，心或勺，《成等差数列

c1

【分析】（1）根据题意可得。=2,结合e=£=求得c,进而求得8；

a2

（2）设点加（%,%）,表示出|AM|,结合可得玉4^^,结合-W2可得不等式，即可求得答

4—Z?

案；

（3）设点EQJ）,办0,①若直线/斜率为0,直接验证；②直线/斜率不为0,设直线/：尤=盛+1（切片。），

3

/\/\7Vi—,%一/——t

N（w，%）,贝岫=trr，^=TT7,k3-mt,与椭圆方程联立，结合韦达定理求

%]1%21鼠3m__

33m

解.

【解析】(1)由题意知，/=4,故。=2,

「1_____

又离心率e="=5，故c=l,于是bNa2-c2=行

22

(2)设点加国M),其中血+与=1,一2V为V2且无产1,

4b

2bZ2b2

，只需24

4-b24-b2

又0<6<2,故应。<2,

所以6的取值范围是[五,2).

(3)人,月，心或履，匕，K成等差数列,证明如下:

若6=1,则C：H+y2=i,设点口1/）,”0.

4

①若直线/斜率为0,则点尸(4,0),不妨令点M(2,0),N(-2,0),

则％1=—，，k[=q,k3=——,止匕时后1,k2,%的任意排列勺1，勺2,%13均不成等比数列，k[,/，&或左2,

%，K成等差数列.

3

②直线/斜率不为0,设直线/：x=7"y+l(〃zw0),N(X2M,则点尸|4,

m

x=my+1

由2得（机之+4）/+2冲_3=0,A=16（m2+3）＞0,

14'

-2m

故M+%=

%%=版+4'

3

,y,—t,%—t——t

因为网=一，3-mt

%k=31_3f

3m

,,y.-ty-ty,-ty-t

所以…=岸+Q什R版9

二%(%-，)+。(%-。=2%%一心+必)

町为my^2

-62mt

=疗+4+/+4=6-2制=2k,

-3m3m3,

m2+4

所以K，3h或与,所凡成等差数列.

综合上述,%,%，92或右,月，匕成等差数列.

【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线/斜率为o

时，直接验证尢，%,右或右,k3,左成等差数列；直线/斜率不为。时，结合直线方程联立椭圆方程，利

用根与系数的关系结合进行化简验证.

5.设函数y=f(x)的定义域为。，若存在实数3使得对于任意xeD,都有则称函数y=/(x)

有上界，实数上的最小值为函数y=〃x)的上确界；记集合以={〃x)>=与在区间(0,+8)上是严格增

函数};

2

(1)求函数y=——-(2<%<6)的上确界；

无一1

(2)若/(x)=x3一版2+2xlnxeM],求〃的最大值；

⑶设函数y=一定义域为(。,+巧；若〃x)e“2,且y=f("有上界，求证：/(%)<0,且存在函数

y=〃"，它的上确界为o；

【答案】(1)2

(2)4

(3)证明见解析

【分析】(1)由函数的单调性求出值域再根据题意可得；

(2)求出的表达式，求导，再利用y=©在(0,+“)上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，

XX

然后利用基本不等式求出最小值即可；

(3)假设存在，由单调性可得J〉](I〉0，再取兀2>玉，且%2〉\可得I。)>"2J’推出

①②互相矛盾，然后令/(%)=-工,%>0,根据题意求出值域最后确定上确界即可.

X

o

【解析】(1)因为函数>=「在区间(2,6)上严格递减，

所以函数>=27(2<%<6)的值域为仔,21，

X-115)

2

所以函数y=--(2<x<6)的上确界为2.

x-1

(2)y==x2-to+21nx,y'=2无一/z+2,x>0,

xx

因为记集合Mn={f(x)y=坐在区间(0,+8)上是严格增函数},

所以yN0恒成立，

因为2x-〃+2w2j2xx2-/z=4-/z,当且仅当x=l时取等号，所以Y4,

xVx

所以分的最大值为4.

(3)证明：因为函数y=〃x)有上界，设〃力《人,

假设存在不«。,+°°),使得/(尤o)上。，

设%＞为,

因为y=/(x)eM2,所以y=驾在(0,+8)上严格递增，进而工里＞上出＞0,

X玉豌)

得/(现)>0水>0,

取…，且。扁，

由于工2＞玉，得至!J/y＞/(J，①

x2%

1

由。忌，得与＞9号'②

显然①②两式矛盾，所以假设不成立,

即对任意x«0,+oo),均有〃x)＜0,

令"一%＞。，则—T

3

因为当%＞o时，y=—＞o,

%

所以y=4在(0,+8)上严格递增，y=/(x)eM2,

x

因为/(%)=-L%＞。的值域为(-°°,o)，

x

所以函数〃尤)=-工的上确界为零.

X

【点睛】关键点点睛:

(1)第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解;

Ikx；再得到与与当马>%,得

(2)第三问关键是根据不等式的结构能够想到取马>

yfM玉x2x2

到等〉等矛盾.

o-----------c组•高分突破-----------<>

一、解答题

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为正方形，侧面