2025年上海市青浦区高考数学二模试卷+答案解析

2025年上海市青浦区高考数学二模试卷

一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

7T

1.“函数沙=sinQ+s）为偶函数”是“8=5”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若正数加、n、。均不为1,则下列不等式中与“m〉n”等价的是（）

aamn

A.logam>loganB.logma>lognaC.m>nD.a>a

3.一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1,2,3,4.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触

面上的数字，得到样本空间Q={1,2,3,4},记事件4={1,2},事件3={1,3},事件。={1,4},则（）

A.事件B,C两两独立，事件B,C相互独立

B.事件/,B,C两两独立，事件/,B,C不相互独立

C.事件B,C不两两独立，事件/,B,C相互独立

D.事件N,B,C不两两独立，事件N,B,。不相互独立

n

4.数学上用符号［［出表示〃个实数⑸，a2,厮的积.设3,x2,…，x2oo,%,纱，…，"2oo为互

2=1

200200

不相同的实数，已知［［（◎+鲂）=2025（4=1,2,…，200）,则［［（0+防）=（）

j=li=l

A.-2025B,2025C,-2026D,2026

二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知集合4={剑22<1},B={-l,0,l,2}；则4aB=.

6.函数）=2sina;一3cosc的值域是.

7.若（1—3）6的展开式中的砂项的系数为20,则实数a=.

8.如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果树植株挂果个数的中位数

168

3I

9.向量才=（310,118）在向量了=（0,2025）方向上的数量投影是.

10.已知△ABC的角/、B、。对应边长分别为a=4,b=5,c=6,则4=.

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+oo

11.已知数列｛厮｝满足向=1,an=2ara+i,则£出=.

i=i

12.已知随机变量（~N（3,曲。>0）,若P（g）l）=0.9,则P（3<E<5）=.

13.已知复数z、w满足⑶=2,2=（1+〃）《;0是虚数单位），则|3+2|的最大值是.

14.已知点尸是抛物线/=82上一动点，点。在圆g—5）2+/=1上运动，则p与。两点间最短距离为

15.道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指

标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设:

假设1：车身长度均为4.8米；

假设2：所有车辆以相同的速度。（单位：千米/小时）匀速行驶；

假设3：安全距离d（单位：米）与车辆速度v近似满足d=3.2+0.65220+0.0hA

该城市道路通行能力的最大值为.（结果保留整数）

三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题14分）

对于函数g=f（x）,其中/（工）=loga2：（a>0,a刈.

（1）若函数4=/⑶的图像过点（4,2）,求f（2x-2）<f（x）的解集;

⑵求证：当&=四时，存在x使得/@+1）、〃3）、〃2+2）成等差数列.

18.（本小题14分）

7T

如图，已知四棱锥S—430。的底面为菱形，^BAD=~,4S=CS.

o

（1）求证：4。1平面ADS；

（2）若=2,BS=通，DS=1，求四棱锥S—的体积.

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19.(本小题18分)

222

如图，椭圆G：W+1=1(0＜匕＜2，5)与双曲线。2："02=1在第一象限的公共点为

＞0).曲线「由两段曲线组成：当/(24时，曲线「与椭圆G重合，当/＞热4时，曲线「与

双曲线。2重合.

(1)当力4=2时，求6的值；

(2)已知6=四，直线/过点。⑵0)与曲线T交于E、尸两点，若:或=2,求直线/的方程；

(3)已知4(2,1),斜率为网上21)的直线加过点P(0,1)与曲线T交于M、N两点，若S^AMN=AtanAMAN,

求实数人的最大值.

20.(本小题18分)

函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数沙=c(实数c为常数)的导函数为？/=0；反之，若函数4=奴乃

的导函数为"3)=0,则以乃=c(实数c为常数).

已知函数9=f⑺与n=g(c)定义域都是R,导函数分别为沙=/'(①)和9=或叫若尸⑺=/(,),则称

沙=/(乃是“自导函数"；若/'⑺=9(幻且，3)=-/(，)，则称沙=/(0与9=g(c)是“共飘互导函

数”.

(1)请判断函数g=e©+b(a,be凡a/))是否是“自导函数”，并说明理由；

(2)若函数4=/(乃是“自导函数”，且满足/(0)=1,求证：/(0/(—数=1；

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⑶若函数y=/(功与?/=g(句是''共辗互导函数"，满足"0)=0,5(0)=1,求证：产⑵+/(,)=1

进而证明f(x)=sin/且g(%)=cosx.

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答案和解析

1.【答案】B

,,7T,，

【解析】解：若8=5时，4=sinQ+9)=cos，为偶函数；

7T

若g=sin(工+8)为偶函数，则8=2+k?r,keZ;

7T

“函数沙=sin(z+s)为偶函数”是“8=5”的必要不充分条件，

故选R

根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大.

2.【答案】C

【解析】解：对与/：当ae(0,1)时，由loga?n〉loga^,可得m<n,故/错误；

对于8：由logma〉log.a,则可能有1<<n或1〉m〉n〉0,故8错误；

对于C：因为a为正数且不为1,所以函数9=/在(0,+oo)上单调递增，

所以当加。〉?!。时，有m〉n,故C正确；

对于。：当ae(0,1)时，由小〉暧，可得故。错误.

故选：C.

结合指数函数、对数函数与幕函数的单调性逐项判断即可得.

本题考查指数函数、对数函数与幕函数的单调性的应用，属于基础题.

3.【答案】B

21919111

【解析】解：由题意可知，F(A)=-=P(B)=|=-,P(C)=4=2，P{AB)=P(AC)=

P(BC)=；,P(ABC)=：,

因为P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P⑷P(C),P(BC)=P(B)P(C),

所以事件/,B,C两两独立，

但是PG4BC)rP(4)P(B)P(C)=：,所以事件N,B,C不相互独立.

o

故选：B.

根据独立事件的定义判断.

本题主要考查了独立事件的定义，属于基础题.

4.【答案】A

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200

【解析】解：定义多项式p⑴=[[«+缈），

j=l

当力=⑻时，P（Q）=2025,

即每个◎都是方程尸（t）-2025=0的根，

多项式。⑴―2025有200个根的，/2,…，No,

200

因此可分解为F（t）-2025=k-HU-©），

i=l

由于p⑴的最高次项系数为1,

比较两边最高次项系数可得k=l,

200

故P⑴—2025=-◎卜

i=l

200

当力=一伤时，左边为P（—伤）—2025=[[（—统+伤）—2025,

j=l

当=j时，一伤+伤=。，

200

因此n（一以+伤）=°，

j=i

代入得左边值为-2025,

200200200

右边此时为[[（—纺—谒=（一1）2°°[[（0+5）=[[（Q+防），

i=l£=12=1

200

联立左右两边得+伤）=—2025.

i=l

故选：A.

200

定义多项式P«）=[[（力+伤），每个0都是方程P⑴—2025=0的根，可分解为

j=i

200

。（力）一2025=k.[[（1—电），求出左联立即可求解.

2=1

本题考查了数列的求和，属于难题.

5.【答案】{-1,0}.

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【解析】解：集合4={引2①Wl}={a^W]，B={-l,0,l,2},

则4nB={-1,0}.

故答案为：{—1,0}.

结合交集的定义，即可求解.

本题主要考查交接及其运算，属于基础题.

6.【答案】[―■，可]

【解析】解：y=2sinx—3cosx—\/13sin(2：-0),其中tang=],

因为sin(z—6)E[-1,1],所以W^sinQ—6)G[-\/13,\/13].

即函数)=2sinz-3cosx的值域为[-\/13,>/13].

故答案为：[―\/13,\/13].

利用辅助角公式化简函数解析式，进而可得函数的值域.

本题主要考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】—1

【解析】解：(1—3)6的展开式的通项公式为4+1=&•(—&)「•,『，令r=3,

33

可得展开式中的*项的系数为(-a)盘=-20a=20,

故。=—1,

故答案为：—1.

在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于3,求出r的值，即可求得小项的系数，再根据小项的系

数等于20,求得实数a的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.

8.【答案】21.5

【解析】解：由题意，6株果树植株挂果个数从小到大排列为：16,18,21,22,22,31,

则中位数为y21+2=221.5.

故答案为：21.5.

根据中位数的定义求解.

本题考查中位数的应用，属于基础题.

9【答案】118

第7页，共16页

【解析】解：向量过=(310,118)在向量了=(0,2025)，

方.了_0+118x2025

则数量投影是118.

itl2025

故答案为：118.

根据已知条件，结合数量投影的公式，即可求解.

本题主要考查平面向量的数量投影，属于基础题.

3

10.【答案】arccos-

4

25+36-16_3

【解析】解：由余弦定理得COS4=

"+S=

2bc2x5x64

3

结合Ae(0,7r),可得4=arccos

3

故答案为：arccos

4

根据题意，运用余弦定理算出cosA的值，进而用反三角函数表示出角4的大小，可得答案.

本题主要考查余弦定理、反三角函数的应用等知识，考属于基础题.

11.【答案】2

【解析】解：Qi=l,an=2<zn+i,即&-=；,

。九+1N

则｛Q,J是以;为公比的等比数列，

52f=2.

2=11---

2

故答案为：2.

由无穷递缩等比数列的求和公式计算.

本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题.

12.【答案】0.4

【解析】解：因为随机变量S~N(3«2)g>0),且P(£】l)=0.9,

所以P(3<《<5)=P(1/(<3)=21)一0.5=0.4.

故答案为：04

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利用正态分布曲线的对称性求解.

本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.

13.【答案】2+血

【解析】解：由2=。+，)〃，得⑶=|1+讣①|=四|刨，结合⑶=2,可得⑼=四.

设a=，^(cos。+Esin。)，其中。e[0,2TF),

则u;+2=(v^cos>+2)+(\/2sin。)。，，

所以+2|=J(\/2cos。+2)2+2sin20—2(cos20+sin29)+4Vcos6+4=y6+4-\/2cos0,

当cos。=1时，即。=0时，心+2|有最大值，6+4及=2+

综上所述，当2=通时，|方+2|取得最大值2+，^

故答案为：2+四.

由复数的模的性质，算出|M=v^，从而设s=，^(cose+说in。)，结合同角三角函数的基本关系化简得

|w+2|=y6+4^2cos然后根据余弦函数的最值算出答案•

本题主要考查复数的模及其性质、同角三角函数的基本关系、余弦函数的最值等知识，属于中档题.

14.【答案】2四一1

【解析】解：设抛物线/=%上的点P坐标为((，沙)，

圆(，一5)2+/=1的圆心为。(5,0),半径『=1,

点P到圆心C的距离d=小弓_5)2+期2=j看_*/2+25+“2=,看_%2+25,

令力=y2(t20),

则4=3+25=右”8)2+24，

对其求最小值，根据二次函数性质，当力=8时，”最小为2方，

则尸与0两点间最短距离为dmin—r=276-1.

故答案为：2述—1.

因为点尸在圆外，尸与0两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点P坐标，写出

距离，再根据二次函数性质即可求解.

本题考查圆以及抛物线方程的应用，属于中档题.

15.【答案】821

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【解析】解：根据题意可得单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数为:

_10001；1000。

Nr-------=-------------------

4.8+d8+0.6522。+O.Olv2

1000,10001000ccc巾

=----------------------------W——1--------x-------------x820.87

0Q1V+-5+065222708+0.65220.566+0.6522，

V

当且仅当0.01”=9，即0丽出28.28米/秒时，等号成立，

V

所以该城市道路通行能力的最大值约为821.

故答案为：821.

根据题意建立函数模型，再根据基本不等式，即可求解.

本题考查函数的实际应用，属中档题.

2

16.【答案】arccos-

O

7T

【解析】解：根据题意，将4场绕直线。氏旋转a到段场,

则41仍14（或其补角）就是直线AB与直线A'B'的所成角.

在正方体ABCD-AjBiCiDi中，cosAA.B.D=鬻=£

DBi3

7T

设历小、易尚是圆锥810的两条母线，/4。4=可，

O

设4Bi=a,在RtABiCMi中，cos=萼=J，可得为。=1小台=遗&，

>11-01333

所以0小=，小禺—氏。2=乎a，

在△04省中，04=0出，=?所以△出是正三角形，可得小4=理&

3

2,2/V^Q\2

在△4M4中，由余弦定理得C0S/A54=掰石1+4田珞=0+。一（亍）=2

C0S1112用3•AiBi2xaxa3

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22

所以ZA[BrAi=arccos-,即直线ZB与直线A9的所成角等于arccos不.

J3

2

故答案为：arccos

o

7F

将AB平移到4耳，设4耳绕直线DBi旋转可到出3,可得/4氏4（或其补角）就是直线AB与直线

4®的所成角.然后在圆锥马。中，利用锐角三角函数的定义与勾股定理，结合余弦定理算出cos/43A，

进而可得直线AB与直线所成角的大小.

本题主要考查正方体的结构特征、解三角形及其应用、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题.

17.【答案】（1,2）；

证明见解析.

【解析】解：⑴根据题意，/（e）=logM，其图像过点（4,2）,

则有loga4=2,解可得a=2，则/⑶=log2/，

若/（22-2）</⑶，即log42/-2）<log2a?,

则有0<2x—2<x,解可得即不等式的解集为（1,2）；

⑵证明：当.=松时，/（立）=1。8方/，

若/侬+1）、“姐）、"2+2）成等差数列，则/@+1）+/（工+2）=2/（皿），

即log以c+1）+log^2（z+2）=210g能（松2），即（/+1）3+2）=2x2,

解可得，=红色!或

22

（1+1〉0_

又由｛c+2>0,解可得i>0,则有力=3+'17,

[V2x>02

故存在x使得“2+1）、/（姐）、+2）成等差数列.

（1）根据题意，由对数的性质求出。的值，结合对数的运算性质可得0<2c-2<为解可得答案；

（2）当&=株时，/（乃=1。8禽4,由等差中项的定义可得/3+1）+/3+2）=2/（社），结合对数函数的

性质，变形可得侬+1）侬+2）=2/,解可得x的值，即可得结论.

本题考查函数与数列的综合应用，涉及对数函数的性质，属于中档题.

18.【答案】证明见解析；

1.

【解析】解：（1）证明：记ACnBO=O，连结。S,因为4s=cs,

所以4CL0S由于底面/BCD为棱形，则AC1BO，

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因为nos=0,所以471平面5OS.

（2）由（1）知，40_L平面皮）S所以，Vs-ABCD=^VS-ABD=^VA-BDSY

根据题意，得，RD=2又，BS=M，DS=1,

所以_BS-LDS，故VA-BDS=:S/\BDS-AO=:，

所以%.ABCD=1，所以，四棱锥S—AB。。的体积为1.

（1）因为4S=CS,所以ACLLOS由于底面/BCD为棱形，则因为B0COS=O,即得证；

（2）根据第一问结论，可将四棱锥S-48。。的体积，转换为四棱锥A—BOS的体积，再通过四棱锥面积

公式求解.

本题考查棱锥的体积，属于中档题.

19.【答案】5=,\/2；

1=2；

14

入最大值为

5

【解析】解：（1）

222

如图，已知当以=2时，点4（2,94）为椭圆6：[+4=1（0<6<2，1）与双曲线G：刍一娘=1在第一

8bzbz

象限的公共点.

9221%2力2

将2=2代入椭圆方程得土+?4=1，即9+《=1，解得"2=3

8〃2接y2

把z=2,力=匕代入双曲线方程马—艺=1,整理得昌—

y2b22/2

设力=必（力>（））,则士一1=1即8一%2=2%，力2+2/-8=0（t+4）（力-2）=0,解得t=2或力=—4（舍去

）,所以胖=2,即

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222-i--L

当6=四时，椭圆。1：2+外=1，双曲线。2：2-沙2=1.联立《82,

822

L9=i

222

解方程组求交点/的坐标.由2+"=1，得/+4峭=8,由Z—/=1，

822

得/—2/=2两式相减消去/,得6/=6,/=1,

代入双曲线方程得/=4,因为点/在第一象限，所以4(2,1).设矶孙加，“如力)，

刈=(0,-1)屏=5-孙续一以)，由疝.或=2，得一仅2-见)=2,

即为-於=2.故讥〉?/2,当直线/斜率不存在时，直线/方程为立=2，

此时而=(0,—1),则E(2,l),F(2,—1),或=Q—2),标=2成立.

当直线/斜率存在时，由题知交点E,歹必定在直线/=2两侧，即左侧为/与椭圆的交点，

右侧为直/与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段Q4Q(0,x/5)之间时，

以>?M=1或时?/2<—1,故阴—於=2不可能，舍去；因为双曲线。2：；-才=1的渐近线方程为

故直线QO：沙=—彳2+0与双曲线。2：1—/=没有横坐标大于2的交点，

即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；同理：当直线/与椭圆交于X轴下方时，也舍去,

综上：直线/方程为/=2,

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222

如图，已知4(2,1),由⑴知椭圆G：［+4=1,双曲线G：1—/=1.

822

直线.过点P(O,1)且斜率为1),则直线小的方程为?/="+1.设“(与明)，N(x2,y》,

由SAAMN=AtanZMATV,根据三角形面积公式=j|AA?|-|A^|sinAMAN,

则:闷.国sinAMAN=1小翼骑

21111cosAMAN

即'=||AA?|•|A^|cosAMAN=•五万.国?.”=(为一2,加一1)•(电一2,统一1)

=(%1-2)(^2-2)+(阴-1)®2-1)

=(61—2)(62—2)+小N1)2—(『+1)/1①2—2(61+力2)+4,

因为双曲线的渐近线方程为4=±在/，而故直线g=k力+1与双曲线右支无交点,

M2

y=kx+1

故M,N均为直线？/=fcr+l与椭圆的交点，联立29

尹…(2)

贝I](4廿+1)«+—4=0,则/1+62=—.71，6162二一47J1，

4就+14炉+1

—4(9+1)16k—4k2—4+16k+16fc2+412fc2+16A:16fc—3

=2=3+2

AM-AN=4fc2+i+^^+4=^271=4k+14k+1

,o-rrtc1c641064

A.-1ip+3.AM-AN=3H,,-------=3+-^————；=3H--------------

令力=16k—3213,k7=-^则m3+3Q、2「伊+61+7373,

164(--)+1^+(—+6

16t

・-«+%=1>0,在力》13时成立，故力+”单调递增，

tt

3I64

且力+"13>0,所以'十一73”递减，

所以当±=13，比=1时而？取得最大值自，又入=/羽•而，所以人的最大值为上

(1)将2=2,分别代入椭圆及双曲线方程求解即可；

(2)设直线方程为沙=M2-2),联立椭圆或双曲线方程，结合韦达定理，向量数量积的坐标运算即可求解;

⑶由50力.=Atan/上L4N得到A=；:宿•市再判断出直线与双曲线右支无交点，从而转化为直线与

椭圆交于M,N两点，利用韦达定理将A=：了瓦•丽表示为斜率左的函数求最值即可.

本题考查直线与圆锥曲线的综合，属于难题.