2025年苏科版中考数学三轮冲刺复习：数学思维及能力（含答案）

苏科版2025年中考数学三轮冲刺专题-数学思维及能力

一'单选题

1.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图，解法是：画R3ABC,使NACB=

90°,BC=3，AC=b,再在斜边AB上截取BD='则该方程的一个正根是（）

B.AD的长C.BC的长D.CD的长

2.以4B=2cm,BC=3cm,CD=2cm,DA=4cm为边画出四边形ABCD,可以画出的四边

形个数为（）

A.0B.1C.2D.无限多

3.已知二次函数y=—%2+mx+m（m为常数），当—2〈％44时,y的最大值是15,则m

的值是（）

A.-10和6B.-19和C.6和,D.-19和6

4.按照如图所示的流程，若输出的M=-6,则输入的m为（

A.3B.1C.0D.-1

5.《庄子》一书里有：“一尺之梗（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）”这句话可以用数学符号

1111

表示：1=*+9+3+…+击+...;也可以用图形表示.上述研究问题的过程中体现的主要数学

222

思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想

C.公理化思想D.分类讨论思想

6.我们解一元二次方程3N-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（六2）=0,从而得到

两个一元一次方程：3x=0或/2=0,进而得到原方程的解为%1=0,%2=2,这种解法体现的数学思想

是（）

A.转化思想B.函数思想

C.数形结合思想D.公理化思想

7.如图，平面直角坐标系中，OP与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3,-

1）,AB=2g.将。P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时OP与x轴相切（）

A.1B.2C.3D.1或3

8.以坐标原点。为圆心，作半径为1的圆，若直线y^-x+b与。O相交，则b的取值范围是

（）

A.0<b<1B.0<b<42C.-1<b<1D.-V2<b<42

9.探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数y=2%2与一次函数>=.计2的图象，求一元二次方程

2/=尤+2的近似根”小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根xi和尤2

满足-1<初<2.小华的上述方法体现的数学思想是（）

A.公理化B.分类讨论

C.数形结合D.由特殊到一般

10.”已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断a+b+c与0的大小.”一同学是这样回答

的：“由图象可知：当x=l时y<0,所以a+b+c<0.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫

做（）

B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法

11.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计

数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天

数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

B.336C.510D.1326

12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2

（t>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，贝"的取值范围是

（）

11

A.<t<2B.<t<1

C.1<t<2D.且tAl

二'填空题

13.当时，反比例函数y=-（k>—3且k^O）的最大值与最小值之差是1,贝U

JX

k的值是.

14.已知一个三角形的三边都是方程%2-8%+12=0的根，则此三角形的周长

为.

15.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边CD的三等分点，BE与AC交于点F,

贝UCF=.

16.如图，在等边△ABC中，AB=4cm,点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与

点A,B重合）.若点B关于直线MN的对称点B，恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为

cm.

B~C

17.已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-lWx/2时，函数值y的最小值为-2,则m的值

是.

18.甲乙两运动员乒乓球比赛正在进行中，甲必须再胜2局才能最后获胜；乙必须再胜3局才能最

后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都是1,则甲最后获胜的概率是.

19.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数4..20072009,从A

中截出能被5整除的五位数，则所有的这种五位数中，最小数是,最大数是。

20.如图，O是等边△A3C外接圆的圆心，连结04、OB、OC,以点A为圆心，以。。的直径为半

径画弧分别交A3、AC的延长线于点。、E.若04=2,则图中阴影部分图形的面积和为

（结果保留根号和n）.

21.P为。。内一点，OP=3cm,。。的半径为5c加，则经过尸点的最短弦长为cm,最长

弦长为cm.

22.数轴上0,A两点的距离为4,一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到A0

的中点41处，第2次从41点跳动到41。的中点A2处，第3次从人2点跳动到A20的中点

心处.按照这样的规律继续跳动到点44,人5,人6，…，An（n>3,n是整数）处，那么线

段AnA的长度为（n>3,n是整数）.

O出幺24/

23.已知△A3C是等腰直角三角形，AB=AC,。为平面内的任意一点，且满足CQ=AG若△

是以4。为腰的等腰三角形，则NCDB的度数为

24.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图.将数字1~9分

别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15,则m

的值为.

25.已知关于x的一元二次方程/+办+泌=0(19W3,“为整数)，其中a是从2、4、6三个数中任

取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件4"=1,2,

3),当4的概率最小时，”的所有可能值为.

26.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫

三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为s=

1[也产产//_02)]•已知△ABC的三边长分别为V5,2,2,则△ABC的面积为________,

q42

27.四边形ABCD两对角线的交点为0，用四种颜色给AAOB、ABOC、ACOD、ADOA

染色，使得有公共边的三角形不同色，那么有种染色方法.

28.已知y=|x—1|X+|X—2|(X—1),则不等式y<0的解集为.

29.如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1,半圆02,…，半圆On与直线1相切.设半圆O1,半

圆。2,…，半圆On的半径分别是ri,r2,rn,则当直线1与x轴所成锐角为30。，且n=l时，

30.小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数如下表所示:

时刻12：0013：0016：00

里程碑上是一个两十位数字和个位数字与12：00时所看比12：00时看到的两位数

的数位数到的正好颠倒了中间多了个0

12：00时看到的两位数是

31.著名的斐波那契数列1、2、3、5、8、13、21、…，其中的第9个数是.

32.如图，将一个8cmxl6cm智屏手机抽象成一个矩形A3CD,其中AB=8cm,AD=16cm,现将正

在竖屏看视频的这个手机围绕它的中心R顺时针旋转90。后改为横屏看视频，其中，〃是CD的中

点，则图中等于45。的角有个.（按图中所标字母写出符合条件的角）

三'解答题

33.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例

如：解方程%-依=0,就可以利用该思维方式，设近=y,将原方程转化为：/一丫=o这

个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y,再求x,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和

’5比2y2+2久+2y=133

换元法解决下面的问题.已知实数X,y满足y。22「，求/+y2的值.

x+=51

34.m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0有两个不相等的正整数根.

35.如图

（1）如图，矩形A8CD的对角线长为a,对角线与一边的夹角为a（a*5。），则8=

（用a的三角函数和a来表示），5ABCD=（用a的三角函数和a来表示）=_

（用2a的三角函数和。来表示）；

（2）猜想并直接写出sin2a,sina,cosa之间的数量关系.

36.我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史

上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具—

三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半

圆的半径相等；DB与AC重直F点B,DB足够长.

使用方法如图2所示，若要把乙MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过乙MEN的

顶点E,点4落在边EM上，半圆。与另一边EN恰好相切，切点为F,则EB,E0就把

乙MEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完

图1

已知：如图2,点在A,B,0,C同一直线上，EB1AC,垂足为点B,A

求证：

37.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km,图书馆离

宿舍1km.周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀

速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了lOmin返回宿舍，给出的图象

反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题:

(1)填表:

离开宿舍的时间/min25202330

离宿舍的距离/km0.20.7

(2)填空:

①食堂到图书馆的距离为km.

②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min.

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min.

④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min.

(3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式.

38.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度

移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出

发，经几秒钟APBQ与△ABC相似？试说明理由.

39.如图，△ABC的边BC在直线1上，AD是AABC的高，ZABC=45°,BC=6cm,AB=2遮

cm.点P从点B出发沿BC方向以lcm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运

动.PQXBC,PQ交AB或AC于点Q,以PQ为一边向右侧作矩形PQRS,PS=2PQ.矩形PQRS

与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2),点P的运动时间为t(s).回答下列问题：

oAA

力

DS

(备用图)

(1)AD=cm；

(2)当点R在边AC上时，求t的值；

(3)求S与t之间的函数关系式.

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】C

11.【答案】C

12.【答案】D

13.【答案】±2

14.【答案】6或14或18

15.【答案】4或|

16.【答案】1或2

17.【答案】-1.5或直

18.【答案】||

19.【答案】10110；99920

20.【答案】|TT-2V3

21.【答案】8；10

1

22.【答案】4—*

23.【答案】45。或135°

24.【答案】9

25.【答案】2或3

26.【答案】孽

4

27.【答案】84

28.【答案】x<l

29.【答案】320"

30.【答案】27

31.【答案】55

32.【答案】30

33.【答案】解：令xy=a,x+y-b，则原方程组可化为:

[5a2+2b=133

I*+2a2=5]，整理得:5a2+2b=133①

16a2+2b=408②'

②-①得：Ila2=275,

解得：a?=25,代入②可得：b=4,

...方程组的解为：£=?或二5,

3=4(b=4

%2+y2=(%+y)2_2xy=ft2—2tt，

当a=5时，x2+y2=6,

当a=-5时,x2+y2=26,

因此x2+y2的值为6或26.

34.【答案】解：-屏0,

*/△=36(m-3)2>0,

/.n#3，

612

用求根公式可得：xiX2=

m—1m+1

Vxi,X2是正整数

Am-1=1,2,3,6,m+l=l,2,3,4,6,12,

解得m=2.这时xi=6,X2=4.

11

35.【答案】(1)asincr；2a2sinacosa；^a4sin2a

(2)sin2a=2sinacosa

36.【答案】解：已知：如图2,点在A,B,0,C同一直线上，EB1AC,垂足为点B,E在

BD上,ME过点A,AB=OB=OC,EN为半圆。的切线，切点为凡

求证：EB,EO为/MEN的三等分线.

证明：如图，连接OF.贝！JNOFE=90。，

VEBXAC,EB与半圆相切于点B,

.\ZABE=ZOBE=90°,

VBA=BO.EB=EB,

・•.△EAB=△EOB

.\ZAEB=ZBEO,

VEO=EO.OB=OF,ZOBE=ZOFE=90°,

△OBE=△OFE,

.\ZOEB=ZOEF,

JZAEB=ZBEO=ZOEF,

AEB,EO为NMEN的三等分线.

故答案为：E在BD上，ME过点4AB=OB=OC,EN为半圆。的切线，切点为F.

EB,EO为/MEN的三等分线.

37.【答案】(1)0.5；0.7；1

(2)0.3；0.06；0.1；6或62

(3)解：当。〈久〈7时，y=0.1%；

当7＜xW23时，y=0.7

当23＜久＜28时，设y=/cc