2025年中考数学押题预测（重庆卷）（全解全析）

2025年中考押题预测卷（重庆卷）

数学•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.

1.实数。，b,。在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）

abc

_____l.l.lII[1.11A

-3-2-1012345

A.b+c<0B.a—c<0C.|a|>|c|D.—2b<—2c

【答案】B

【详解】解：由数轴可知一3<a<-2</?<-l<3<c<4,

b+c>0,故A选项错误，不符合题意；a-c<0,故B选项正确，符合题意；

时<卜|,故C选项错误，不符合题意；

'：b<c,-2b>-2c,故D选项错误，不符合题意；故选：B.

2.如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成.拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主

视图的形状发生了变化，则拿走的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【详解】解：由图形可知，拿走乙此图形主视图的形状发生了变化，故选B.

3.估计/xJ+g的运算结果应在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

【答案】D

【详解】解：腕xj|+也'=4+2代，

V1.5=VZ25<V3<2,/.3<2A/3<4,.，.7<2括+4<8,

...屈x—+小■的运算结果在7到8之间，故选：D.

4.如图，一条光线经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的

一个焦点K.已知光线的入射角为45。，反射光线3c与折射光线CD的夹角ZBCD=155。，则光线CD与

光线48所夹的锐角为（）

A.65°B.60°C.35°D.25°

【答案】A

【详解】解：如图：延长AB,DC相交于点E,由题意可得：AHBC=ZABH=ZCBG=ZEBG=45°,

,/ZBCD=155°,/.NBCE=180°-NBCD=25°,/.NBGE=NBCE+NCBG=70°,

ZBGE+ZEBG+Z.EBG=180°,/.NBEG=180°—NBGE-NEBG=65°.故选A.

5.如图.在平面直角坐标系中，VABC与ADEF是位似图形,位似中心为点0,若点C（4,l）的对应点F（12,3）,

则VABC的面积与ADEF的面积之比为（）

【答案】C

【详解】解：：点C（4,l）,F（12,3）,：.oc=-/n,OF=A/122+32=3^>

.ACPC717_1

：VA5c与ADEF位似，位似中心为点。，；.AABCsaDEF,.

'~DF^~OF~

.♦.VABC的面积与ADEF积之比=['）=1.故选：C.

6.若点A（”,〃7）,B（a+2,〃）是反比例函数y图象上的两点，下列说法正确的是（）

A.n<mB.当av—2时，n<m<0C.当一2vav0时，m<n<QD.当〃〉0时，0<m<n

【答案】B

【详解】解：反比例函数y=L的左=1>0,反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随X的增

X

大而减小，A、无法确定QM+2的正负，故无法确定几〈根，故说法不符合题意；

B、当av—2时，a<a+2<0,n<m<0,故说法正确，符合题意；

C、当-2vav0时，iz<0,tz+2>0,n>O>m,故说法错误，不符合题意；

D、当〃〉0时，0<〃<〃+2,0<n<m,原说法错误，不符合题意；故选：B.

7.（2024.四川成都.模拟预测）将三项式展开，得到下列等式：

+〃+1）=1

（Q2+Q+l）=Q2+Q+1

（Q?+Q+1）—Q'+2Q3+3Q2+2Q+1

+a+1J—a，+3a5+6Q4+7+6Q2+3d+1

观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第。行为1,以

下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时,缺少的数以0计）之和,第上行共有（2女+1）

个数，则关于x的多项式（〃+以_3）（必+%+1）的展开式中，项的系数为（）

广义杨辉三角形

第

0行

第

1行

第

9行111

-

第

行12321

3

行

第41367631

14101619161041

A.15（〃2+々—1）B.15（〃2+a+l）C.15（/+2〃+3）D.15（〃2+2〃-3）

【答案】D

【详解】解：由题意得，（炉+%+1）=x8+4x7+10x6+16x5+19x4+16x3+10x2+4x+l,

・・・。2+冗+1）5的展开式中18项的系数为1+10+4=15,『项的系数为16+10+4=30,

・・・（々2+以_3乂/+l+1）5的展开式中，工8项的系数为15/+3（）〃_45,即15（/+2Q—3）,故选：D.

8.半圆的直径A5在直尺上所对的刻度如图所示，点。在半圆上，且AC=23C，连接AC,取AC的中点

-65万

D.——

6

【答案】A

•点。为AC中点，・・OD//BC,,•Sgeo—^/\BCD，••S阴影—S扇形院。

,?AC=2BCZAOC=2ZBOC,,：ZAOC+ZBOC=180°,?.ZBOC=60°，

60^x5225%,,.n.,

S扇形BCO——，故选：A.

影一3606

9.如图，矩形OABC中，A（12,0）,点。为BC的中点，点尸为AB上一点，且族=2,将线段OP绕点D顺

时针旋转90。得到线段DQ,若点Q恰好落在线段OP上，则点3的坐标为（）

C.(12,8)D.(12,10)

【详解】过点。作于点

,•,四边形。4BC是矩形，A(12,0),:.OA=BC=12,AB=OC,ZB=ZOAB=90°,

,••点。为2c中点，•-工BC=6.•.・NP£>Q=90。，:.NPDB+NQDH=90°,

2-~

又ZPDB+NDPB=90°,ZDPB=ZQDH.

ZDBP=ZDHQ=90°

在ADBP和A。”。中，\ZDPB=AQDH,ADB—AQHD,

DP=DQ

BP=DH=2,BD=QH=6,BH=BD+DH=6+2=8,

CH=CB-BH=12-8=4,设AB=OC=/z,则。(6,〃)，P(12,h-2),

6-2

设直线O尸的解析式为y=^(L*O),把P(12,〃-2)代入得%―2=12%,y=T尤，

h-2h-2.

点。的横坐标为4,纵坐标为"一6,把。(4M—6)代入y=RX得：h-6=~x4,解得"=8.选：C.

10.数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如卜-司在数轴上表示数4，%对应的点之间的距

离.现定义一种“。运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和.例如：对-2,

1,2进行“。运算”，#|-2-1|+|-2-2|+|1-2|=8.下列说法正确的个数是()

①对"，-2,1进行“。运算”的结果是8,则〃=2；

②对a,6,c,c进行“。运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；

③对4,5,6,7,L,2025,q进行“。运算”，当其结果取最小时对应q的范围是10134“W1014.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】解：①对“-2,1进行“。运算”的结果是8,

贝++=.-.|n+2|+|n-l|=5,

当力＜-2时，-〃-2+(-"+1)=5,解得：〃=-3；

当-2v几vl时，〃+2+(f+1)=5,方程无解;

当时，〃+2+(〃-1)=5,解得：〃=2；故胃=-3或2,则①错误;

—

②对a,b9c,c进行“。运算"，|^+2|tz—c|+2|/?—c|+|c—c|=|fl—Z?|+2|^—c|+2|Z?—c|,

^a-b>0,a-c>0,b-c>0fQ—Z?+2]a—c+2Z?—=a—b+2a—2c+2Z?—2c—3a+b—4c,

一

^a-b>0,a-c>0,b-c<0f+2,—c|+2|/?—c|=a—Z7+2a—2c—2Z7+2c—3a—3b,

^a-b>0,a-c<0,b-c<0f—b|+2|a—c|+2|z7—c|—a—b—2a+2c—2Z?+2c——a—3b+4c,

一〃一

^a-b<Q,a-c<Q,b-c<0f|a4+21a—+2c|——a+Z7—2a+2c—2Z7+2c=_3a—Z?+4c,

^a-b<Q,a-c>0,b-c>0f—Z?|+21tz—c|+2|Z7—=—a+Z7+2a—2c+2b—2c=a+3b—4c,

^a-b<0,a-c<0,b-c>0,a—+—c+2Z7—c——a+Z7—2a+2c+2Z7—2c=-3a+3b,

化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确;

③若对4,5,6,7,L,2025,进行“。运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项,

为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为=[0]4.5,

则当9=1014.5时，运算结果最小，故③错误；故选：B

第n卷(共no分)

二、填空题(本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上)

11.计算：2025°义一3+而一潴-2一=.

【答案】2

［详解］解：2025°x-1+716-^8-2-'=lxl+4-2----+2--=2,故答案为：2.

22222

12.酚麟是一种常用的酸碱指示剂.通常情况下酚醐遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色.实验室有四瓶没

有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca(OH)2溶液、稀盐酸、稀硫酸.小刚随机选了两瓶溶液并各滴

入一滴酚献试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为

【答案】；2

【详解】解：将NaOH溶液、CalOH)?溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作A、B、C、D,列表如下:

ABcD

A（B、A）（C、A）QA）

B（4B）（C、B）。B）

（B、）QC）

C(4。)C

D（A0（B、D）（C、0

由表可知，共有12种等可能结果，其中滴入一滴酚醐试剂后只有一瓶呈现红色的有8种结果,

QOO

所以滴入一滴酚醐试剂后只有一瓶呈现红色的概率为==§;故答案为：y.

13.如图，已知AB=AC,/BCD=90°,ZADB=2ZDBC,若AD=2,则80的长度为—

【答案】4

【详解】解：如图，延长54、C£＞交于点N,延长。C至点使得CM=CD,连接8河,

N

\AB=AC,:.ZABC=ZACB,vZBC£>=90°,ZACB+ZACD=90°,ZABC+ZAND=9。。，

vZABC=ZACB,,\ZACD=ZAND,:.AC=AN,:.AB=AN,

•:BN=AB+AN=2AN,-.-ZBCD=90°,:.BC±DM,

BN2

又QCM=CD,，水:是。”的垂直平分线，=

XvBClDM,:.ZDBC^ZMBC,:.NDBM=NDBC+ZMBC=2/DBC,

又,：ZADB=2NDBC,:.ZADB=ZDBM,:.AD//BM,.^NAD^NBM,

AZ)AN1

——=——=一，:.BM=2AD=2x2=4,:.BD=BM=4,即：8。的长度为4.故答案为：4.

BMBN2

\-211

-----<x+1y—aI

14.若关于x的一元一次不等式组3至少有2个整数解，且关于y的分式方程—=-1的

,八y-22-y

x+a<3

解是正整数，则所有满足条件的整数。的值之和是.

【答案】2

【详解】解：—<%+,解不等式①得：%>-(解不等式②得：x<3-a,

x+a<3②"

则根据题意可知，不等式组的解集为：-|<x43-a,

x+i>£zl

•.•关于x的一元一次不等式组3至少有2个整数解，

x+a<3

则该不等式的整数解至少包含：-2,-1,解得：a44,

分式方程—+心=-1去分母得：y-a-l=2-y,解得：y=胃，

Va<4,；.>=审《(，:y是正整数，且y-2,y=l或y=3,「.“=T或。=3,

满足条件的整数。的和为-1+3=2,故答案为：2.

15.如图，AB是。0的直径，点C在。。上，过点C作CDLAB于点。，点E为。。上一点，连接CE交A3

于点尸，CE=CB,延长与过点A的切线交于点H,若。4=3,BC=2«,则4/=;DF=

【详解】解：是。。的直径，OA=3.-.^ACB=90°,AB=2OA=6,

AC=YJAB2-BC2=j62-(2y/6)2=2^,tanZABC=—==—,

VV>BC2A/62

•.•A/f是G)0的切线，:.ZHAB=90°,在RtAHAB中，AH=ABtanZABH=6x—=372,

2

连接EO,CO,设CO交EB于点G,1.,BC-CE,CO-CO,OE=OB,

:.ACEO^^CBO,:.ZECO=ZBCO,:.CG1EB,在Rt^ACB中，ZCAB+ZABC=90°,

CD±AB,ZADC=90°,ZCAB+ZACD=90°,:.ZACD=ZABC,

4BAC/.2

,/CAB=Z.DAC,/.AASC^AACZ),---=-----,/.AC2=AD-AB,即(2A/3)=ADx6,

ACAD\)

AD=2,DO=AO-AD=3-2=i,

在RtACDO和RUBGO中，NCDO=ZBGO=90°,/COD=/BOG,CO=BO,

.•.RtACE>(9^RtABG(9,AOG=OD=1,CG=CO+OG=4,:.BG=,BC?_CG?=厨—4?=20,

•;OG工BE,;.BE=2BG=4®，ZACE=NABE,NCAB=NCEB,：.AAFC^EFB

AF=CF=^C=2A^=,-.AFFB=EFCF,设AB=向，所=43则5F=6-向,C歹=2斯一4左，

EFBFBE4V24

.•.巫卜（6-历=4虫娓-4k）,解得，k泻,AF=V6X^=|,

64I—4

:.FD=AO-AF-DO=3---1=~,故答案为：372,

16.定义：如果一个正整数能表示成两个正整数如〃的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如

16=5032,16就是一个“智慧数”，可以利用加一/=（”,+〃）（〃-〃）进行研究.下列结论：

①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数

都不是“智慧数”.其中正确的结论是.（填序号）

【答案】①②③

【详解】解：设正奇数为2左+1（%为非负整数），nr-n2=（m+n）（m-n）,令1,

Im—n=l

将两式相加可得：—附）=2k+1+1,即2〃?=2%+2,解得：m—k+1,

将〃=7k+1代入加一〃=1,解得：“=为非负整数，二机、〃为正整数，

...所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”，故①正确；

z/z+YI——2k

{m—n-2

将两式相力口可得：（〃1+〃）+（〃?一"）=2k+2,即2〃z=2左+2,解得：m—k+1,

将〃7=k+1代入m—〃=2,解得〃=4—1.为正整数且4W1,.,.，〃、〃为正整数，

•••除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整

数都是“智慧数”，故②正确；

假设存在正整数m、〃，使得苏-/2=（加+”）（掰-九）是被4除余2的正整数，即疗-“2=4左+2（%为整数）.

1.1（"2+〃）与（"7-〃）的奇偶性相同，若（加+”）与（加-九）都是奇数，则（根+力0-"）都是奇数，不可能是4k+2

这种偶数；若（％+〃）与（利-"）都是偶数，贝鼠加+”）（"…〃）能被4整除，也不可能是以+2；

•••被4除余2的正整数都不是“智慧数故③正确；

综上所述，正确的结论是①②③.故答案为：①②③.

三、解答题（本大题共8小题，其中17题16分，其余每题各10分，共86分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.）

17.先化简，再求值：

⑴+2+其中x是满足条件x42的合适的非负整数.

Ix-2Jx--4x+4

⑵［（x+2y）（x-2y）-（x-2y）1+（-2y）,其中％=一1,=--|.

【答案】⑴―，-1⑵-2x+4y,-4

x3

【详解】(1)解：x+2+

X2-4X+4

（尤+2）（龙一2）+4（彳-2）2=f（尤―2）=..2（4分）

x—2x3x—2x3x

・・・%是满足条件2的合适的非负整数，xwO,xw2,・,・%=1,

此时原式=—=-1.（8分）

（2）原式=（%-2y）［（x+2y）-（x-2y）］+（-2y）

=(x-2y)-4y4-(-2y)=(4xy-8y2)4-(-2y)=-2x+4y,(12分)

3

当x=-L,>=—5时，

原式二-2x(—l)+4x1—=2-6=-4.(16^)

18.在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究.她发现在平行四边形中，连接一条对角线，

分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形.可以利用平

行四边形的判定方法得到此结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

A____________kn

Kt

BC

⑴用直尺和圆规，过点A作对角线8。的垂线，垂足为点E,连接■、CE.(只保留作图痕迹)

(2)已知：如图，在平行四边形ABC。中，连接8D,AELBD于点E,CFLBD于点F.求证：四边形AEB

是平行四边形.

证明：•.,四边形ABCD为平行四边形，，AB=CD且AB〃CD..•.①.

­：AE±BD,-ZAEB=90°,同理可得，/CFD=90°....②

AABE^ACDF(AAS).③.

同理可得，NCEE=90。.

ZAEF=NCFE.：.④.二四边形AECF是平行四边形.

进一步思考：如果四边形ABCD是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点

作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤.

【答案】(1)见解析(2)①/ABE=/CD/；@ZAEB=ZCFD-,③AE=CF；@AE\\CF.⑤平行四边形

【详解】(1)如图，点E即为所作；

（2分）

（2）证明：■.•四边形ABCD为平行四边形，.•./15=。。且48〃。£），//18£=/。£）e

-,■AE±BD,:.ZAEB=90°,同理可得，/CFD=90°

ZAEB=ZCFD,:.AABE学&CDF（AAS）,AE=CF,

又,••AELBD,:.ZAEF=90°,同理可得，ZCFE=90°,

ZAEF=ZCFE,，AE〃CF,，四边形AEC尸是平行四边形.（6分）

己知：如图，在矩形ABCD中，连接80,AE_LBD于点E,CFLBD于点、F.求证：四边形AECF是平

行四边形.

证明：•四边形A3CD为矩形，.•.48=8且48〃。。，//45£=/（20斤

-,■AE±BD,:.ZAEB=90°,同理可得，ZCFD=90°

ZAEB=ZCFD,.-.AABE^ACDF（AAS）,:.AE=CF,

又•••AELBD,ZAEF=90°,同理可得，ZCFE=90°,

ZAEF=ACFE,AE//CF,.,.四边形AECF是平行四边形.

在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的

四边形是平行四边形.（10分）

19.国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购

买时参考的重要指标.某汽车杂志为了解M,N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行

了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里=1千米）表示，分成4组：A.300<x<350;

B.350Vx<400；C.400<x<450；D.x>450）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

a.10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330,375,435,410,410,470,380,365,365,410

从10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）:

c.10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402,425,410,425.

d.两款纯电动汽车的实际续航里程统计表:

平均数中位数众数方差

M395395a1455

N397b4252070

根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）表格中的。=,b=；

（3）根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即

可）.（4）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进

行了打分（百分制），如下表：

续航里程得分百公里加速得分百公里能耗得分智能化水平得分

甲车829085100

乙车801009090

续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3,你认为小

王选择哪款车更合适？请说明理由.

【答案】（1）见解析（2）410,406；（3）N款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析；

（4）选择甲款车更合适，理由见解析.

【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中。类的数量为10-1-3-4=2,补全条形统计图如下：

（2分）

（2）330375435410410470380365365410中，410出现的次数最多，，众数4=410；

在N款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402,410,

中位数万=402;410=406；故答案为：410,406；（5分）

（3）解：N款的实际续航里程更长，理由如下:

款的平均数较大，款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；（7分）

（4）解：选择甲款车更合适，理由如下:

4213

甲款车综合得分为：82x—+90x—+85x—+100x—=89.3（分）,

4213

乙款车综合得分为：80x而+100x历+90x而+90x历=88（分），

89.3>88,...选择甲款车更合适.（10分）

20.某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元

购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同.

（1）求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元；

（2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元

的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？

【答案】（1）该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元

（2）购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个

【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是x元，则购进敖丙挂件的单价是（x-1）元，

由题意得：竺2=黑，解得：x=10,（4分）

经检验，x=10是原方程的解，且符合题意，，x-l=9,

答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元；（6分）

（2）设购进哪吒挂件m个，则购进敖丙挂件（500-加）个,

由题意得：(14—10»W+(12—9)(500-w?)=1800,解得：x=300,500—772=200,

答：购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个.(10分)

21.景点A的南偏东76。方向有景点2,景点A的正南方向9km有景点C,景点A和景点C有一条笔直的公

路相连，景点8在景点C北偏东38。方向，即线段AC=9km,ABAC=16°,ZACB=38°,

(1)求景点8到公路AC的最短距离(结果取整数)；

(2)景点8的东南方向4.23km有景点。，求景点。到公路AC的最短距离(结果取整数).

参考数据：tan76°取4.0,tan38。取0.8,及取1.41.

【答案】(1)6km(2)9km

【详解】(1)解；如图所示，过点8作于E,设5E=xkm,

BE%]

在RtZkABE中，tanA-,tan76°-,AE——xkm；

AEAE4

BEx

在Rt△石5C中，tanC=—,Atan38°=一,CE=1.25xkm,

VAC=AE+CE=9]an,：.-x+1.25x=9,解得x=6,ABE=6km,

4

答：景点2到公路AC的最短距离为6km；(5分)

（2）解：如图所示，过点B作3"〃AC,过点。作DP_LAC于。，交BH于H,则四边形9iPE是矩形,

PH=BE=6km,在RtaBD"中，sinZDBH=——，

BD

sin45°=迫，«3km,:.DP=PH+DH=9km,

4.23

答：景点。到公路AC的最短距离为9km.（10分）

22.如图1,在矩形A2CZ）中，点E为DC中点，连接BE,AD=4,Z）C=6,点尸沿着。->34后的方向

运动，到点E时停止运动，连接AP,设点尸运动的路程为x,AABP的面积为％.

E

AB

O\1234567895

图1图2

（1）直接写出》的解析式及自变量x的取值范围；（2）在图2中画出X的图象，并写出一条%的性质；（3）反比

Q

例函数%=9如图所示，请直接写出%>当时，自变量x的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过0.2）.

X

—3x+12（0<x<4）

【答案】（1）K=，「X（4<x<9）Q）作图见解析,性质见解析（答案不唯一）

(3)0.8<x<3,2^4.7<x<9.0(答案不唯一)

【详解】（1）解：当点P沿着Cf3的方向运动时，设点尸运动的路程为x,尸。=了,

在矩形ABC。中，BC=AD=4,则3P=3C—PC=4—x,

yx=S4ABp=—AB.BP=—x6x(4—x)=—3x+12(0<x<4)；

当点P沿着石的方向运动时，设点月运动的路程为X,•••族=x-4,

过点P作尸户_LA6,如图所示：/.N尸FB=90。,

在矩形ABCD中，AB=DC=6,ZC=90°,AB//CD,则NCEB=NPBF,ZC=ZPFB=90°,

..APFBS八BCE,即---=---,丁点E为DC中点，EC=—DC=3,

PBBE2

在中，BC=4,EC=3,则由勾股定理可得班=后百岳=5,

pp44114124g

...一=寸解得尸尸=q彳一4),%=以神=542・尸尸=]X6XM(无一4)=《X-M(4<X<9)；

当点尸与点B重合时，AAB尸不存在，没有面积;

-3尤+12(0<x<4)

综上所述，%=[1248小八、；(4分)

—x---(4<x<9)

(2)解：如图所示：

性质：当0cx<4时，％随x增大而减小；当4Vx<9时,%随工增大而增大(答案不唯一)；(7分)

-3x+12(0<x<4)

Q

(3)解：由(2)可知，％=<12482q、%=—的图象如下:

-x---(4<x<9)X

-3x+12(0<x<4)

1248，，、函数图象在必=§函数图象的上方,

当％2%时，%=<

—x-----(4<x<9)x

155I)

过图象交点作冗轴的垂线，如图所示:

y=-3x+12,—厂

联立,8，贝I]—3%+12=—,即—12x+8=0,解得x=——=2±,

y=—%63

I%

.“=2+半”3.2或尤=2一哈0.8；

1248

V——x---

5.512488„„2c邮砥12±A/264〜相

联乂彳0,贝1J=x-----=—,ip3x"—12%—10=0,解华x=-------------=2±-------，

855x63

y=一

Lx

；.x=2+叵。4.7或x=2-巫。一0.7（负值舍去）；当％时，0.8WXW3.2或4.7Wx<9.0.（10分）

33

23.如图1,已知抛物线4："加+法+3与x轴交于点A(—l,0)和点3(3,0),与》轴交于点C.

图1

(1)求抛物线的解析式;(2)点P为第一象限抛物线上的一动点，作PHLBC于点当PH最大时，求点P

的坐标；(3)如图2,将抛物线G向右平移一个单位长度得到抛物线a,点、M,N都在抛物线a上，且分别

在第一象限和第三象限，连接MN,分别交x轴、y轴于点召、/，若ZNOF=NMOE,求证：直线经

过一定点.

【答案】(l)y=-Y+2%+3(2)]1>?]⑶见详解

【详解】(1)解：将点A(—1,O)、点5(3,0)代入抛物线6：，=以2+陵+3,

1Q—b+3=0ftz=—1

可得C。八，解得7C，，抛物线的解析式为>=7+2X+3；(2分)

\ya+3。+3=。[b=2

(2)解：如下图，过点尸作无轴于点交直线BC于点N,

：8(3,0),ZBOC=90°,二O3=OC=3,ZOBC=ZOCB=1x90°-45°,

：PM_L尤轴，/.ZMNB=90°-ZOBC=45°,二ZPNH=ZMNB=45°,

,?PHIBC,：.ANPH=90°-ZPNH=45°=APNH,

:.PH=NH,即△尸NH为等腰直角三角形，/W=PNxcos/NP»=PNxcos45°=4^PN,

2

设直线BC解析式为y=H+4(%*0),将点3(3,0),C(0,3)代入,

[3k+b=0[k=-\

可得八',解得，?，，直线BC解析式为y=-x+3,

[年=3也=3

设尸(x,—X?+2尤+3),贝UN(x,—x+3),PN=—%2+2x+3—+3)=—x2+3x,

.•.当x=；3时，PH取最大值，此时点尸的坐标为<匕31,5了1卜(6分)

(3)如下图，过点M作轴于点T,过点N作NKLy轴于点K,

:抛物线、=——+2苫+3=-（尤-1）2+4,

.••将其向右平移一个单位长度得到抛物线G，则抛物线的解析式为y=-（尤-1-1）2+4=-炉+4》,

•..点M,N都在抛物线Q上，且分别在第一象限和第三象限，

.•.可设点Af的坐标为（占，-靖+4占），点N的坐标为（无2，-W+4%）,

22

MT=-Xj+4x1,OT=xl,NK=-x2,OK=x2-4x2,

设直线MN的解析式为y=〃（mw0）,联立直线MN的解析式和抛物线C2的解析式,

+4%

可得,整理可得12+（加—4）x+〃=0,则有不+工2=4_m，xxx2=n,

y=mx+n

9：ZNOF=ZMOE,ZNKO=ZMTO=90°,：.^ONK^^OMT,

=,EP—--=-----------,1.一七九2=_（石马）2+4芯/（再+/）―16再9，

OTMT玉一犬+例12v12712V12712

二.一〃=一〃2+4〃（4一机）一16几,整理可得几（〃+4加-1）=0,由图像可知〃w0,

1—r71F?

71+4/72—1=0»TTI=-------,二・直线A/N的解析式为y=----%+〃，

44

当x=4时，可有y=1,.•.直线肱V经过一定点（4,1）.（10分）

24.在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,BC绕点C顺时针旋转角度a（0。<a<360。）得到。C.

（1）如图1,若a=30。，连接AD