2025年中考数学专项集训：二次函数含参问题

中考数学自主专题集训

专题六二次函数含参问题

一、选择题

1.已知二次函数的图象与x轴交于点A(xi,0),3(x2,0)(xi<X2).若图象上

另有一点P(m,n),则()

A.当〃>0时，m<xi

B.当〃>0时，m>X2

C.当〃<0时，m<Q

D.当“<0时，

2.已知点尸(2—m,n),Q(m+2,ri),且加W0,在抛物线L：y=ax1—(5—a)x+l+a上，

则抛物线L与坐标轴的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

3.已知直线AC：y=x+3,将抛物线y=—(x+1—机产+4中y随x增大而增大的部分记

为图象G,若图象G与直线AC只有一个交点，则机的取值范围为()

9,9

A.B.mV2或机

,9、9

c.m<2或机=区D.mW2或机

4.已知点A(xi,yi)和3(x2,/)均在二次函数yuax2—6ax+9a—4的图象上，且出一3|

<|%2-3|,则下列说法错误的是()

A.直线x=3是该二次函数图象的对称轴

B.当。<0时，该二次函数有最大值一4

C.该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点

D.当。>0时，y\<yi

二、填空题

5.已知关于x的函数y=(/n—1)/+2%+机的图象与坐标轴只有2个交点，则机=

6.我们约定：(a,Ac)为函数的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的

横纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(加，-m-2,2)的函数图象与x轴

有两个整交点(加为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为.

7.对于二次函数y="一(3左一l)x+2左一2.有下列说法：

①若左>0,则当时，y随X的增大而增大.

②无论左为何值，该函数图象与x轴必有两个交点.

③无论上为何值，该函数图象一定经过点(2,0)和(1,—1)两点.

④若左为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则攵=1.

其中正确的是.(只需填写序号)

三、解答题

8.在平面直角坐标系中，已知抛物线、=三+桁+。过点(2,4),与y轴交于点A.

(1)求c的值(用含b的代数式表示).

(2)若点3(x1,yi)是抛物线yuf+bx+c上任意一点(不与点A重合)，直线”经

过A,3两点，当xi>2时，总有机>0,求人的最小值.

9.在直角坐标系中，设函数yuaf+Ox+cQ,b,c是常数，。20).

(1)已知。=1.

①若函数的图象经过(0,3)和(一1,0)两点，求函数的表达式.

②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值.

(2)若函数图象经过(一2,m),(一3,〃)和(必，c),且c<〃(加求xo的取值范围.

10.二次函数yi=2(x—xi)(x—X2)(xi,X2是常数)的图象与x轴交于A,3两点.

(1)若A,3两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数刀的表达式及其图象的对称轴.

(2)若函数yi的图象经过点(2,m),且XI+X2=2,求机的最大值.

(3)若一次函数(左,6是常数，4W0),它的图象与”的图象都经过x轴上同一点,

且XI—X2=2.当函数丁=”+>2的图象与x轴仅有一个交点时，求k的值.

11.在直角坐标系中，点A(l,附和点3(3,〃)在二次函数丁=加+桁+1他力0)的图象上.

(1)若m=1,附=4,求二次函数的表达式及图象的对称轴.

⑵若加一附=3，试说明二次函数的图象与x轴必有交点.

(3)若点C(xo,yo)是二次函数图象上的任意一点，且满足yoW机，求相〃的取值范围.

12.在平面直角坐标系中，设二次函数y=—3(%—2机y+3—砥机是实数).

(1)当机=2时，判断函数图象与x轴有几个交点.

(2)小明说二次函数图象的顶点在直线y=—3x+3上，你认为他的说法对吗？为什么？

13

(3)已知点P(Q+1,c),Q^m—5+a,c)都在该二次函数图象上，求证：O.

【参考答案】

一'选择题

1.已知二次函数y=%2+2x+c的图象与x轴交于点A（xi,0）,B（X2,0）（xiVx2）.若图象上

另有一点P（机，n）,则（D）

A.当〃>0时，m<xi

B.当〃>0时，m>X2

C.当"<0时，m<0

D.当“<0时，xi<m<X2

2.已知点P（2一m，n）,Q（/w+2,n）,且mWO,在抛物线L：y=ax2—（5—a）x+l+t?Jl,

则抛物线L与坐标轴的交点个数为（D）

A.0B.1C.2D.3

3.已知直线AC：y=x+3,将抛物线y=—（x+1—my+4中y随x增大而增大的部分记

为图象G,若图象G与直线AC只有一个交点，则机的取值范围为（C）

9,9

A.B.机<2或机

,9、9

c.m<2或机D.机W2或m

4.已知点A（xi,yi）和3（x2,丁2）均在二次函数y=ax2—6ax+9a—4的图象上，且|一叫一3|

<|%2-3|,则下列说法错误的是（C）

A.直线x=3是该二次函数图象的对称轴

B.当。<0时，该二次函数有最大值一4

C.该二次函数图象与坐标轴一定有一个或三个交点

D.当。>0时，y\<-yi

二、填空题

5.已知关于x的函数y=（/n—l）x2+2x+机的图象与坐标轴只有2个交点，则m=1或

【解析】①当加一1=0时，m=l,函数为一次函数，解析式为y=2x+l,与x轴的交点

坐标为（一3，0）,与y轴的交点坐标为（0,1）.符合题意；②当机一1W0时，机W1,函数为二

次函数，函数图象与坐标轴有两个交点，则函数图象过原点，且与x轴有两个不同的交点,

1—\l~51+、万

于是反一4QC=4—4皿加一1)〉0,解得2<m<.将(0,0)代入解析式得，m=0,

・・・符合题意；③函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于另

一点，则廿一4ac=4—4(机-1)机=0,解得机=今后.综上所述，加的值为1或0或年后.

6.我们约定：(a,b,c)为函数7=以2+法+。的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的

横纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(冽，-m-2,2)的函数图象与x轴

有两个整交点(加为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为(1,0)或(2,0)或(0,2).

【解析】将关联数(如一机一2,2)代入函数得到7nx2+(一加—2)%+2,

•••关联数为(加，-m-2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(加为正整数)，令y=0,即g2

,2

+(—m—2)x+2=0,得(如:一2)(%—1)=0,.*.xi=~,X2=1.:关联数为(wi,—m—2,2)的函

数图象与x轴有两个整交点，机=1,・..y=x2—3x+2,与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0),

与y轴的交点坐标为(0,2),...这个函数图象上整交点的坐标为(1,0)或(2,0)或(0,2).

7.对于二次函数丁="一(3左一1)尤+2左一2.有下列说法：

①若左>0,则当x>2时，y随x的增大而增大.

②无论左为何值，该函数图象与x轴必有两个交点.

③无论上为何值，该函数图象一定经过点(2,0)和(1,—1)两点.

④若左为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则攵=1.

其中正确的是①③④.(只需填写序号)

三、解答题

8.在平面直角坐标系中，已知抛物线、=三+桁+。过点(2,4),与y轴交于点A.

(1)求c的值(用含b的代数式表示).

解：,抛物线过点(2,4),

.•.将(2,4)代入得4=4+20+c,

整理得c=-20.

(2)若点3(x1,yi)是抛物线yuf+bx+c上任意一点(不与点A重合)，直线经

过A,3两点，当xi>2时，总有机>0,求6的最小值.

解：由⑴得丁=》2+法-2。与y轴交于点A,

当x=0时，y=~2b,

.•.点A的坐标为(0,—2b).

''直线y=mx+n经过点A,

/.n=12b,.".y=nvc-2b.

令x2-\-bx—2b=mx-2b.

整理得x1-\-(b—m)x=x(x-\-b—m)=O,

解得=—b,X2=0(舍去)，

Vxi>2,

:.m-6>2,

.,.加>2+0.

•总有机>0,

••.2+后0,

解得b^~2,

：.b的最小值为一2.

9.在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a,b,。是常数，aWO).

(1)5知tz=1.

①若函数的图象经过(0,3)和(一1,0)两点，求函数的表达式.

②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求6+c的最小值.

解：①把(0,3)和(一1,0)和a=1代入丫=加+。+。,

\—b+c=Q,\b=4,

得1C解得1c

c=3,[c=3,

•••函数的表达式为y=x2+4x+3.

②由题意得，平移后的抛物线解析式为十法+。一2,

•••平移后的抛物线与x轴恰好有一个交点，

.,.^-4(c-2)=0,

:.c=；/+2,

：.b+c=^。2+人+2=；3+2/+1.

1

4->0

・••当b=—2时，匕+c的值最小，最小值为1.

(2)若函数图象经过(一2,m),(一3,九)和(xo,c),且c<〃(如求xo的取值范围.

解:在yuar+Ox+c中，当x=O时，y=c,

...抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).

:抛物线经过点(xo,c),

・•.抛物线的对称轴为直线x=t言=f.

当a>0,即抛物线开口向上时，

..•函数图象经过(一2,m),(—3,ri),且〃〈加，

・・・直线x=—3比直线x=—2离抛物线对称轴更近，

・..抛物线对称轴在直线X=—I的左侧，

/.此时c>m,这与已知条件c<n<m矛盾，

/.a<0,

・••离对称轴越远，函数值越小.

•:c<n<m,

・111c11c

・・xo-2X0>/。十3>/xo十2,

・g%o*+3xo+9>^XQ+2XO+4,

解得一5<xo<—3.

10.二次函数yi=2(x—%。(%—%2是常数)的图象与无轴交于A,5两点.

(1)若A,3两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数v的表达式及其图象的对称轴.

解：・・,二次函数p=2(%—»)(%—%2)的图象经过点(1,0),(2,0),

/•yi=2(x—l)(x-2)=2x2—6x+4,

函数yi的表达式为yi=2x2~6x+4.

3

・•・函数yi的图象的对称轴为直线.

(2)若函数yi的图象经过点(2,m),且％I+%2=2,求加的最大值.

解：二次函数yi=2(%—xi)(x-%2)=2A2—2(xi+%2)x+2XIX2,

•・•函数p的图象经过点(2,m),

.*.m=2X22-4(xi+%2)+2x\xi=8-4(xi+及)+2x\xi.

".*X1+X2=2,

・\X2=2—XI,

Am=8-4X2+2xi-(2—»)

=-2%i+4xi

=-2(xi-1)2+2,

V-2<0,

.•.当xi=1时，加有最大值2.

Am的最大值为2.

(3)若一次函数第=日十双女"是常数，左W0),它的图象与刀的图象都经过x轴上同一点,

且XI—X2=2.当函数丁=>1+>2的图象与X轴仅有一个交点时，求k的值.

解：由题意得，二次函数yi=2(x—X1)(X—X2)(X1,X2是常数)的图象与X轴交于(XI,0),(X2,

0)两点，

①若两函数的图象都经过X轴上同一点(XI,0),

则Q=kxi+b,

:・b=~kx\,

•\y2=kx-kx\.

・「y=yi+y2,

y=2f—2(xi+%2)x+2XIX2-\~kx—kxi=2X1—(2xi+2x2—左)％+2XIX2—kxi.

•・•函数y=p+y2的图象与x轴仅有一个交点，

[—(2xi-\-2x2~k)]~—4X2X(2xiX2~kxi)=0,

整理，得(2xi—2%2+左)2=0,

:・k=-2(xi—%2).

Vxi—%2=2,

・・・左=—2义2=—4；

②若两函数的图象都经过X轴上同一点(%2,0),

则0=丘2+4

:・b=~kx29

:.yz=kx—kx2.

・「y=yi+y2,

y=2A2—2(xi+%2)x+2XIX2-\~kx~kxi=2f—(2xi+2x2-k)x-\-2x\xi—kx2.

•/函数y=yi+y2的图象与x轴仅有一个交点，

/.[—(2xi+2x2一左)]2—4X2(2%I%2—kx2)=0,

整理，得(211-212-左)2=0,

・•・左=2(九1一九2).

Vxi—%2=2,

...左=2X2=4.

综上所述，当函数y=yi+＞2的图象与x轴仅有一个交点时，左的值为4或一4.

11.在直角坐标系中，点A(l,m)和点3(3,⑶在二次函数+乐+1他70)的图象上.

(1)若m=1,n=4,求二次函数的表达式及图象的对称轴.

解：把点A(l,1)和点3(3,4)代入丁=。/+桁+1中，

。+匕+1=1,

得V.

9a+30+1=4,

解得彳]

b=-T

.,.二次函数的表达式为%2—x+1.

h1

・,.二次函数图象的对称轴为直线x=—或=；.

(2)若加一附=3，试说明二次函数的图象与x轴必有交点.

解：把点A(l,机)和点5(3,〃)代入丁=加+6%+1中，

〃+》+1=m,

得《

[9。+36+1=〃，

:・m—〃=(〃+6+1)—(9〃+3~+1)=—8〃-26=3，即匕=-4〃一(，

/./=(—4〃一；＞―4〃=(4〃一()220,

・•・二次函数的图象与X轴必有交点.

(3)若点C(xo,冲)是二次函数图象上的任意一点，且满足yoW机，求相〃的取值范围.

解：•・•点。(期，州)是二次函数图象上的任意一点，且满足yoW机，

・•・二次函数图象开口向下，即。＜0,顶点坐标为(1,m),

b

・••对称轴为直线％=