2025年中考数学总复习《勾股定理》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《勾股定理》专项测试卷（带答案）

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知识点复习

一、勾股定理的定义

1.内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

-数学表达式：（a?+Y=/）

（其中a、b为直角边，c为斜边）

2.适用条件：

-仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用。

-斜边（直角对边）必须正确识别。

二、勾股定理的证明方法（初中常见）

1.几何拼图法（赵爽弦图）：

-通过四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积关系证明。

2.面积法：

-构造以直角边和斜边为边的正方形，比较总面积得出（1+b?=（?）

3.相似三角形法：

-利用直角三角形斜边上的高分割出的相似三角形性质推导。

三、勾股定理的常见应用

1.求边长：

-已知任意两边，求第三边（注意区分直角边和斜边）。

-例：直角边a=3、b=4,则斜边c=5

'3+4=o

2.判断三角形形状：

-若a?+b?,则为锐角三角形；

-若a2+b2<c2,则为钝角三角形。

3.实际应用题：

-测量问题（如梯子靠墙高度、两点间最短距离）。

-几何图形中的线段计算（如矩形对角线、圆锥的高）。

四、勾股定理的逆定理

1.内容：

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-若三角形三边满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形c为斜边。

2.应用：

-验证三角形是否为直角三角形(如边长6、8、10满足62+82=102,是直角三角形)。

五、常见勾股数(毕达哥拉斯三元组)

1.定义：满足a2+b2=c，的正整数组合。

2.例子：

-基本组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)„

-倍数扩展组：(6,8,10)、(9,12,15)等。

六、注意事项

1.分清斜边：最长边不一定是斜边，需确认直角位置。

2.单位统一：计算前确保所有边长单位一致。

3.代数变形：

-若求直角边：a=Vc2-b2

4.无解情况：若灌＜0,说明题目数据错误或非直角三角形。

提升练习：

一、选择题

1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是()

A.234B.345C.112D.467

2.如图DE是AABC的边4B的垂直平分线D为垂足DE交AC于点E且AB=8BC=6ZABC=

90°则ABEC的周长是()

A.13.5B.16C.10D.9.6

3.在RtAABCZBAC=90°,AB=8,AC=6DE是48边的垂直平分线垂足为D交边BC于点E

连接力E则AACE的周长是（）

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A

A.8B.10C.14D.16

4.如图在△ABC中4cB=90°以“为底边在△ABC外作等腰三角形“7?过点。作上4DC的平分

线分别交ARZC于点当工若4C=12,BC=5,尸是直线庞上的一个动点则^周长的最小值为

C.19D.20

5.如图所示在中/48C的平分线交AC于点DE为线段8。上一动点F为边上一动点若

AB=5BD=4AD=DC=3贝J/E+EF的最小值为（）

A.4B.—24C.5D.2—3

54

6.如图是屋顶的剖面图屋檐48=AC=5米横梁BC=8米在横梁BC上的一点。处要支一根木头

顶住屋顶/处则这根木头需要长度可能是（）

7.如图在△ABC中4=45。NB=30。CDLAB垂足为DCD=3则48的长为（）

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c

A.V3+1B.3V3+3C.6D.6百

8.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片面积

分别是12345选取其中三块按图中的方式组成图案则选取的三块纸片的不可熊的是（）

A.123B.134C.235D.345

9.如图在AABC和△力BD中AB=AC=ADAC1.ADAE1BC于点EAE的反向延长线与BD交于

点F连接CD则线段BFDFCD三者之间的关系为（）

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CDC.BF2+DF2=CD2D.2BF-2DF=CD

10.如图八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度他们把一根竹竿4B竖直插到水底此时竹竿

AB离岸边点C处的距离CD=0.8米.竹竿高出水面的部分力。长0.2米如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C

处竿顶和岸边的水面刚好相齐则人工湖的深度BD为（）

A.1.5米B.1.7米C.1.8米D.0.6米

二填空题

11.如图长方体的高为8cm底面是边长为4cm的正方形一只蚂蚁从顶点力开始爬向顶点B那么

它爬行的最短路程为cm.

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12.如图等边4DEF的三个顶点分别在等边4ABe的三条边上BD=a,DC=b若4DEF与

AABC的面积分别为5V3和11V3则ab的值为

4D是/B4C的平分线交BC于点D若AC=6,BC=8则

SAAB。：SA4co为.

14.如图在平面直角坐标系中点4(-3,0)点B(0,4)点C是。B上一点将4ABC沿2c折叠点B恰好

落在x轴上的点B,处则点C的坐标为.

4cB=120°点D是△ABC外一点连接4。BDCDZADC=

30°CD=6AD=5V3求BD=

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D

16.如图在AABC中4=90°分别以点A点B为圆心大于148的长为半径画弧交于两点过

这两点的直线交BC于点D连接AD.若力B=5cmAC=3cm则4ACD的周长为cm.

17.如图四边形纸片力BCDAB1BC.经测得力B=9cmBC=12cmCD=8cmAD=17cm.

(1)求AC两点之间的距离.

(2)求这张纸片的面积.

18.如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性工人师傅欲减小传送带与地面的

夹角使其由45。为30°.已知原传送带长为4鱼机.

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(1)求新传送带ac的长度

(2)若需要在货物着地点C的左侧留出2m的通道试判断和点B相距5m(即PB=5)的货物MNQP是否

需要挪走并说明理由.(参考数据：V2~1.4V3«1.7)

19.如图在中4=90°AB=12BC=20.

(1)求AC的长

(2)若点P为线段AC上一点连接BP且BP=CP求4P的长.

20.如图数学兴趣小组要测量旗杆的高度同学们发现系在旗杆顶端4的绳子垂到地面多出一段的长

度为3米小明同学将绳子拉直绳子末端落在点C处到旗杆底部8的距离为9米.

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（1）求旗杆4B的高度

（2）小明在C处用手拉住绳子的末端后退至观赛台的台阶上此时绳子刚好拉直绳子末端落在点E

处DE=2米问小明需要后退几米（即CD的长）？（㈢=2.24结果保留一位小数）

21.图1是某品牌婴儿车图2为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC1CD现测得4B=CD=

6dmBC=3dmAD=9dm其中4B与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即/48。=90。）通过

计算说明该车是否符合安全标准.

A

图1图2

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22.在春天来临之际八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜如图点C是自

来水管的位置点/和点3分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置AC两处相距6米8、C两

处相距8米4、8两处相距10米为了更好的使用自来水灌溉八（1）班和八（2）班在图纸上设计了

两种水管铺设方案：

八（1）班方案：沿线段AC、铺设2段水管

A（2）班方案：过点C作于点。沿线段CD,4）,8。铺设3段水管

（1）求证：AC1BC

（2）从节约水管的角度考虑你会选择哪个班的铺设方案？为什么？

答案

1.B

2.B

3.D

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.C

10.A

11.8V2

12.8

13.5:3

14.（0,|）

15.V93

16.7

17.（1）解：连接力C如图所示

第9页共12页

A

D

BC

在Rt△ABC中

"."AB=9cmBC=12cm

由勾股定理得92+122=AC2

解得2C=15(负值舍去)

即AC两点之间的距离为15cm。

(2)解：VCD=8cmAC=15cmAD=17cm

CD2=64cm2,AC2=225cm2/AD2=289cm2

：.CD2+AC2=AD2

；•ZACD=90°

,S四边形4BCD=SAABC+SfCD

11

=-AB■BC+-AC-CD

22

11

=-x9xl2+-xl5x8

=54+60

=114(cm2).

即该纸片的面积为114cm2.

18.(1)解：在RtZkABD中ZABD=45°

.\AD=BD

2

/.2AD=45=(4必2

解得：AD=4

在RtZ\ACD中ZACD=30°

.\AC=2AD=8(米)

即新传送带AC的长度约为8米.

(2)解：货物MNQP不需要挪走.

理由：在RtZkABD中BD=AD=4(米)

在RtAACD中CD-y/AC2-AD2=4值(m)

/.CB=CD-BD=4V3-4«2.8(m)

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VPC=PB-CB«5-2.8=2,2>2

货物MNQP不需要挪走.

19.(1)解：在RtAABC中AB=12BC=20

•••AB2+AC2=BC2

：.AC=\lBC2-AB2=V202-122=16

(2)解：设4P=x贝l|BP=CP=16—x.

在Rt△ABP中

AB2+AP2=BP2

122+x2=(16—x)2

解得x=3.5

AP=3.5.

20.(1)解：设旗杆AB的高度为x米则AC为(x+3)米

在RtZiMBC中由勾股定理得：/+92=(x+3)2

解得：X=12

答：旗杆4B的高度为12米

(2)解：如图过E作EG14B于点G

则四边形BDEG是矩形

BG=DE=2米EG=BD,

：.AG=AB-BG=12-2=10(米).

由(1)可知4E=4C=12+3=15(米).

在RtAAGE中由勾股定理得：EG=y/