2025年中考数学二轮复习：三角形证明与计算 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学二轮复习：三角形证明与计算提分刷题练习题

1.在RtZXABC中，NC=9(r,E,尸分别是边AB,AC的中点，延长8C到点使BC=2CD,

连结所,CE,£＞尸.

⑴求证：四边形CD?花是平行四边形.

(2)连结DE,交AC于点。，若AB=BD=9,求。E的长.

2.如图，VA3C中，AB=AC=4,D、E分别为A3、AC的中点，连接C。，过E作斯||OC

交BC的延长线于足

⑴求证：四边形DCEE为平行四边形；

⑵若/3=60。，求斯的长.

3.如图，在DABCD中，AB±AC,AB=1,AC=2,对角线AC、8。相交于点0,将直线AC

绕点。按顺时针方向旋转，分别交BC、AD于点E、F.

(1)试证明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等.

(2)在旋转过程中，就图中四边形的形状而言，你有哪些发现？对其中的一个结论加以证明.

4.如图，在平行四边形ABCD中，点E,尸分别在AB,CD±,BE=DF,连接跖与对

角线AC相交于点。.

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⑵连接CE,G为CE的中点，连接OG.若OG=2,求AE的长.

5.如图，点。是等边VA3C内一点，。是VABC外的一点，已知NAOB=110。，ZBOC=a,

△BOg^ADC,ZOCD=60°,连接OO.

(1)求证：AOCD是等边三角形;

(2)当魂=150。时，求/。4D的度数;

(3)探究：当。为多少度时，△AOD是等腰三角形.

6.如图1,在矩形ABC£＞中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点厂是对角线上

一点，连接砥，AF交于点O,S.ZABE^ZDAF.

图2

(2)若AB=4,AD=6,DF=BF,求DE的长;

1AF

(3)如图2,若矩形ABC。是正方形，DF=-BF,求际的值.

7.如图，在ZXACB中，ZACB=90°,AD是ZkACB的外接圆。。的切线，AD交BC的

延长线于点。，歹为AC的中点，连接OF并延长，分别交AC,AD于点E,G,连接OC.

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(1)写出图中一对相等的角：

(2)求证：AG=GD；

(3)若A3=6,AG=4,求的值.

8.如图，在四边形ABCD中，点分别在边C£>,3C上.连接AM,⑷V.

图1图2

(1)如图1,当四边形ABC。为正方形时，连接MN,且/M4N=45。.

①求证：MN=DM+BN■,

②已知AB=5,CM=2,求3N的长；

⑵如图2,若四边形ABCD为矩形，/AAQ=2/R4N,点N为2C的中点，AN=6,AM=8,

求AD的长.

9.如图，正方形ABCD中，AB=4,点E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作£F_L即,

交于点孔以DE、族为邻边作矩形DEFG,连接AG.

(2)求AG+AE的值.

(3)当线段OE与正方形ABCD的某条边的夹角是40。时，直接写出BEE4的度数.

10.如图，在VABC中，BA=BC,3D平分/ABC交AC于点。，点E在线段5。上，点尸

在80的延长线上，且DE=DF,连接AE,CE,AF,CF.

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A

(1)求证：四边形AEC尸是菱形；

(2)若BA_LAF,AB=3,sinZABF=1,求3。和AE的长.

11.在VABC中，AB=AC=5,BC=6.将VABC绕点A逆时针旋转，得到VADE(点

分别是点氏C的对应点)，旋转角为a(O°<a<NBAC),线段AD与BC相交于点M,线段

OE分别交BCAC于点尸,N.

图1图2图3

(1)如图1,连接MN,在VA3C绕点A逆时针旋转的过程中，AAMN始终为等腰三角形，请

你证明这一结论；

(2汝口图2,当AD2BC时，求EC的长；

⑶如图3,当AE〃3C时，求CN的长.

12.己知VABC是等边三角形.

图1图2图3

⑴如图1,若AS=4,点。在线段BC上，且9>=1,连接AD,求AD的长；

(2)如图2,点E是3C延长线上一点，ZAEF=60°,所交VABC的外角平分线于点尸，求

证：CF=AC+CE；

(3)如图3,若AB=4,动点M从点8出发，沿射线3C方向移动，以40为边在右侧作等边

三角形取AC中点//,连接请直接写出NH的最小值及此时浏f的长.

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13.已知正方形ABCD,点〃为AB的中点.

(1)如图①，点G为线段CM上的一点，且NAG3=90。，延长AG,BG分别与BC,CD交

于点E,F.

①求证：AABE/LBCF；

②若4?=2,求线段CE的长.

(2)如图②，在边2C上取一点E,满足8石2=3。笺，连接AE交CM于点G,连接3G并

延长交8于点/，求tan/CBF的值.

14.如图，在正方形ABCD中，E是边A3上一动点(不与点AB重合)，点尸在8C的延长

线上，且B=AE,连接族，交AC于点P,交CD于点。，连接DE、Z/.

⑴求证

①ADAEgADCF；

②匕CPF=&DE；

(2)若4?=3,b=l,求”的长；

(3)连接3尸，在点E的运动过程中，思的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请

DF

说明理由.

15.如图1,菱形ABCD中，ND=60。，AB=4,点E,尸分别在边AB,A。上，AE=DF.

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图1图2

⑴求证：ABEC*AFC；

⑵求斯的最小值；

(3)如图2,线段跳'的中点是点0,连接OB,OD,求四边形03co的面积.

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参考答案

1.(1)见解析

⑵工

2

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角

形中位线的性质和平行四边形的性质是解题的关键.

(1)利用三角形中位线的性质得EF||2C,所=：3C,进而可得C£)||斯，CD=EF,即

可求证；

112

(2)由C£>=QBC可得。=§8。=3,BC^-BD=6,利用勾股定理得AC=3石，再根

据平行四边形的性质得OC=LCP='AC=25,DE=2OD,利用勾股定理求出OD即可

244

求解；

【详解】(1)证明：•.•瓦尸分别为AB,AC的中点，

:.EF\\BC,EF=^BC,

:.CD\\EF,

・.•BC=2CD,

:.CD=-BC,

2

:.CD=EF,

.1四边形。CE尸是平行四边形；

(2)解：-：CD=-BC,BD=AB=9,

2

:.CD=~BD=3,BC=-BD=6,

33

在Rt^ABC中，AC=\lAB2-BC2=375-

在平行四边形。CER中，OC=-CF=-AC=—,

244

在Rt^OCD中，OD=Jcr>2+0c2=空I,

4

DE=WD=.

2

2.(1)见解析

(2)2A/3

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，等边

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三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解

题的关键.

(1)由已知条件得出DE为VA3C的中位线，由三角形中位线的性质得出DE〃Cb,结合

已知条件可得出四边形DCEF为平行四边形.

(2)先证明VA3C为等边三角形，再由三线合一的性质得出/8DC=90。，进而可得出

ZBCD=90°-ZB=30°,再由含30度的直角三角形的性质得出3D,再利用勾股定理得出

CD,最后根据平行四边形的性质求解即可.

【详解】(1)证明：：£)、£分别为AB、AC的中点

OE为VABC的中位线，

:.DE//BC,即£>E〃CV

又斯||DC,

二四边形DCEF为平行四边形.

(2)解：AB^AC=4,ZB=6Q°,

.•.△AfiC为等边三角形，

：.BC=AB=AC^4

为A3中点，

:.CD±AB,

:.ZBDC=90°.

在RtABCD中，NBCD=90。—/3=30。，

:.BD=-BC=2,

2

:.CD=NBC，-BD1=273，

四边形。CER为平行四边形，

EF=CD=2A/3.

3.⑴见解析

(2)发现的结论不唯一，证明见解析

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与

性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键.

(1)由平行四边形的性质得AO=CO,AD〃3C,所以ZFAO=NECO,又ZAOF=ZCOE,

所以证明出AAOF/4OE,即可得解；

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(2)对“当旋转角ZAOF=90。，四边形ABEF是平行四边形”加以证明：当ZAOB=90。时，

AB//EF,再结合AF〃跖，即可得证.

【详解】(1)证明：•••四边形是平行四边形，

AO=CO,AD//BC,

:.ZFAO=ZECO,

又ZAOF=NCOE,

:.^AOF=^,COE,

AF=ECi

(2)就图中四边形的形状而言，发现的结论不唯一，例如：当旋转角ZAOF=90。时，四边

形ABEF是平行四边形；

对“当旋转角ZAOF=9Q°,四边形是平行四边形”加以证明如下：

当N4O尸=90。时，AB//EF,

又•.•AF〃3E,

二四边形ABEF是平行四边形.

4.(1)见解析

(2)4

【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形中位线，全等三角形的判定和性质，熟

练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键；

(1)根据四边形ABCD是平行四边形，得到N朋C=NACD,从而证明“OE至△COE,

进而得证；

(2)根据三角形的中位线，即可求解；

【详解】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，

:.AB^CD,AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

■.BE=DF,

■.AE=CF,

在ZVIOE和ACOF中，

ABAC=ZACD,AE=CF,ZAOE=ZCOF,

.•.△AOE^ACOF(AAS),

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:.OE=OF；

(2)解：・・•点G为CE的中点，OE=OF,

」.OG是△石FC的中位线，

•：OG=2,

:.CF=2OG=4

AE=4,.

5.(1)证明见解析；

(2)NQ4T>=50。；

⑶a=110。或125。或140。，△40。是等腰三角形.

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到OC=DC,根据等边三角形的判定定理证明即可；

(2)根据全等三角形的性质得到ZADC=ZBOC=Nc,根据题意求出ZAZXXZAOD,根据

三角形内角和定理计算；

(3)分NAOD=ZADO、ZAOD^ZOAD.NADO=N6MD三种情况，根据等腰三角形的判

定定理计算即可.

【详解】(1)证明：：ABOC丝AADC,

：.OC=DC,

,/NOCD=60。，

AOCD是等边三角形；

(2)解：•；^BOC^ADC,

：.ZADC=ZBOC=Za.

•••△OCD是等边三角形，

ZODC=60°,

：.ZADO=a-60°,ZAOZ)=360°-110°—a—60°=190°-e,

ZOAD=180°-ZADO-ZAOD=180°-(a-60°)-(190°-a)=50°；

(3)解：①当NAOD=/ADO时，190°-a=a-60°,

，a=125。，

②当ZAOD=N04D时，190。一0=50。，

，a=140。，

③当NADO=NQ4D时，a—60°=50°,

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/.a=110°,

综上所述，当(z=110。或125。或140。时，△AC®是等腰三角形.

【点睛】本题考查了是全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与

性质，三角形内角和定理，掌握相关的判定定理是解题的关键.

6.(1)见解析

【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关

键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形.

(1)利用矩形的性质和三角形内角和定理，求出NABE+NAEB=90。，通过等量代换即可

求出NAOE的度数，从而证明

(2)延长AF交。于点G,根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个

三角形相似证明AABFsAG。尸，得到手=变=2,求出DG长度，再证明AABE^ADAG,

ABBF2

即可求出AE的长；

(3)设正方形ABCD的边长为。，延长AF交CO于点G,根据正方的性质和平行线的性质

定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明尸，得到空===空=1,

ABAFBF2

AF

用，表示DG长度，再根据勾股定理求出AG长度，即可求出AF的长，从而求出F的值.

AD

【详解】(1)证明：•.・矩形ABCD,

:.ZBAD=90°,

:.ZABE+ZAEB=90°,

•・・NABE=NDAF,

ZDAF-^-ZAEB=90°,

..ZAOE=90°,

.\AF±BE；

（2）解：如图，延长AF交8于点G,

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AED

:.AB//CD,ZBAD=ZADG=90°,

:.△AFBS&FD,

-：DF=\BF,AB=4,

2

.DG_DF_1

DG=-AB=2,

2

-.­ZBAD=ZADG=9009ZABE=ZDAF,

.,.^,ABE^/JDAG,

AB_AE_4_2

,AD~DG~6~3f

24

「.AE=—DG=—,

33

414

:.DE=AD-AE=6——=——；

33

(3)解：设正方形ABCD的边长为明则=AD=a，

如图，延长AF交CD于点G,

:.ZBAD=ZADG=90°,AB//CD,

:△AFBSAFD,

DGFGDF_1

*AB-AF-BF-2?

DG=-AB=-a,FG=-AF

222f

二.AG=y/AD2+DG2=-a,

2

•：FG=-AF,

2

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...AF=-AG=—a,

33

小a_

,竺=工=好.

ADa3

7.(1)ZAOF=NCOF(答案不唯一)

(2)见解析

⑶变

25

【分析】(1)根据等弧对等角直接求解即可；

(2)根据切线性质求出A3为圆的直径，根据等弧对等角，垂径定理可得到

ZAEO=90°=ZACB,推出OG〃瓦)进而得出结论；

OFAF

(3)根据切线性质，勾股定理求出AE的长，再证明AQ4ESAA£>C,得到笔=等，从

而求出结果.

【详解】⑴解：为AC的中点,

/.AF=CF

:.ZAOF=ZCOF；

(2)vZACB=90°,

AB是。。的直径，

「.AB经过圆心O.

•・•尸为AC的中点，

AF=CF，

.\ZAOF=ZCOF.

又・.・Q4=OC,

:.AE=CE,OELAC,

：.ZAEO=90°=ZACBf

:.OG//BD,

/.AG=GD；

(3)解：VAB=6,

OA=—AB=3,

2

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・.・AD是。。的切线,

.\ZGAO=90°.

又・.・AG=4,

,-.OG=VOA2+AG2=5-

•.--OGA£=-AOAG,

22

AOAG12

二.AE=

OG5

vZOAE+ZZMC=90°,ZADC+ZDAC=90°f

:.ZOAE=ZADC.

又ZAEO=ZDC4=90°,

.,.△OAE^AADC,

.OEAE

\AC~CD'

由（1）知AE=CE,

OECD=2AE2=2x(同=券•

【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定

理，切线性质，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键.

8.(1)①见解析；②BN]

⑵3救

【分析】本题主要考查正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，

掌握正方形，矩形的性质证明三角形全等，合理作出辅助线是关键.

(1)①如图，延长CB至点E,使BE=DM,连接AE,根据正方形的性质可证

^ABE^AADM(SAS),得至iJAEnAMZBAEuZDAM,再证AAEN丝AAVW(SAS),则有

MN=EN=EB+BN=DM+BN,即可求解；

②设BN=x,由题意和①得，AB=BC=5,CN=5-x,DM=5-2=3,

MN=DM+BN=3+x,在RsC耀V中运用勾股定理得到CN^+C”=加解，由此列式求

解即可；

(2)如图，延长⑷V,DC交于点E，可证ACEN'BAN(AAS)，得至lj£7V=4V,则NE=ZMAE,

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EN=AN=6,EM=AM=S,^,DM=x,则由勾股定理得到AD2=AM2-DM2=AE--DE2，

列式求解即可.

【详解】（1）解：①如图，延长CB至点E,使BE=DM,连接AE,

在正方形ABCD中，ZABC=ZD=ZBAD=90°,AB^AD,

在AABE和中,

AB=AD

<NABE=ZD,

BE=DM

.•.△ABE^AADM（SAS）,

AE=AM,ZBAE=ADAM,

-,-ZMAN=45°,

:.ZBAN+ZDAM=45°,

:.ZEAN=ZBAE+ZBAN=45°,BPZEAN=AMAN,

在和AAAW中，

AE=AM

<NEAN=ZMAN,

AN=AN

:.AAEN'AMN妗网,

:.MN=EN=EB+BN=DM+BN.

②设BN=x,

由题意和①得，AB=BC=5,CN=5-x,DM=5-2=3,MN=DM+BN=3+x,

在RtACMV中，CN2+CM2=MN-,

.■.（5-X）2+22=（3+X）2,

解得尤=：,

4

BN=-

4

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(2)解：如图，延长⑷VQC交于点E,

:.ZE=ZBAN,

在ACEN和AB4N中,

ZE=NBAN

<NCNE=NBNA,

CN=BN

:.ACEN^BAN(AAS),

:.EN=AN,

ZAMD=2ZBAN=2ZE,ZAMD=NE+ZMAE,

:.ZE=ZMAE,

:.AM=EM,

■.■AN=6,AM=8,

：.EN=AN=6,EM=AM=8,

DM=x,则山=⑷^-乃犷二盘一出，

82-%2=122-(X+8)\

解得x=l,

AD=4AM2-DM-=J'-F=3。-

9.(1)见解析

(2)472

⑶ZEFA=130°或NEFA=40°.

【分析】(1)作初/，4。于"，ENLAB于N.只要证明AEMZ泾AENF即可解决问题;

(2)只要证明AADG丝ACDE,可得AG=CE,即可解决问题；

(3)根据题意，分两种情况分析：当线段DE与DC夹角为40。时，即/CDE=40。，当线

段DE与AD夹角为40。时，即/ADE=40。，断交54的延长线于点E结合图形分别求

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解即可.

【详解】（1）证明：如图，作石7欣，4。于M,ENYAB于N.

：./FAD=/FAB,ZDAB=90°,

・.・EM工AD,EN工AB,

：.EM=EN,

丁ZEMA=ZENA=ZDAB=90°,

・・・四边形4VEM是矩形，

ZMEN=90°,

:./FEN+ZMEF=90°,

\-EF.LED,

/DEM+ZMEF=ZDEF=90°,

・•・ZDEM=ZFEN,

在△石MD和4ENF中,

，/EMD=NENF=90。

<EM=EN,

/DEM=ZFEN

：.A£MD^A£NF(ASA),

ED=EF,

又:四边形OEFG是矩形，

・••四边形。£FG是正方形.

(2)解：,・•四边形OEFG是正方形，四边形是正方形，

，DG=DE,DA=DC=AB=4,AC=飞DN+DC?=4"NGDE=ZADC=90。，

ZADG-^-ZADE=/CDE+ZADE=90°,

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ZADG=NCDE,

在AADG和△<»£中,

DG=DE

<ZADG=ZCDE,

DA=DC

.•.△ADG、CDE（SAS）,

：.AG=CE,

AG+AE=CE+AE=AC=442-

（3）解：如图，当线段。石与OC夹角为40。时，即/CD石=40。,

：.^MDE=50°,

如图所示：

由（1）得△£%/汪△£7VF（ASA）,

JNMDE=NEFN=50。,

A^EK4=130°；

当线段。石与AD夹角为40。时，即/AP£=40。，石尸交K4的延长线于点R

：.ZDIE=5G0,

如图所示：

：・NFIA=NDIE=50°,

・・・/EE4=90。一50。=40。；

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综上可得：/£7么=130。或/£7弘=40。.

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、

勾股定理、角平分线的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形

解决问题.

10.(1)见解析

⑵BD=2五,4石=述

4

【分析】本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解决本题的关键是掌握

菱形的性质.

(1)根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；

(2)解Rt^ADB,得出3。=20，解RtAAEB,得出A歹=述，然后菱形的性质即可解

4

决问题.

【详解】(1)证明：•.,B4=3C,平分/ABC,

:.AD=DC,BDLAC.

-.DE=DF,

二四边形AEC尸是平行四边形.

•/EF1AC,

四边形是菱形.

(2)解：-.-ZADB=90°,BA=3,sinZABF=-,

3

.,.在RtA4£>3中，AD=1,

BD=yjB^-AD2=25/2•

1.•sinZABF=-,BA=3

3

AF1

在R3AFB中，sinNABF=----=—,BF2—AF2=AB2=9,

BF3

.A口3叵

4

,•・四边形AEC尸是菱形，

AE=AF=—.

4

IL(1)见解析

⑵而

第13页共31页

【分析】(1)根据题意证明AABM丝AAEN,得到AM=4V,即可求解；

(2)根据题意得到NC4M=/EW,可证AC_L£»E,EN=-DE,NE=-DE=-BC=3,

一,222

则AN=4,贝！］CN=AC-AN=5—4=1,在Rt/XCNE中由勾股定理即可求解；

(3)根据题意可证四边形ABFE是平行四边形，得到MnAEuS,CF=1,再证

AANESMNF,得到空=笑，即，=与建，由此即可求解.

CFCN1CN

【详解】(1)证明：：AB=AC,将VABC绕点A逆时针旋转，得到VADE(点RE分别

是点民C的对应点)，

AZS=ZC,AB=AD=AC=AE,

：.NB=NC=ND=NE,

;/BAC=NDAE,

ZBAM=ZEAN,

在△ASM和中，

ZBAM=ZEAN

<AB=AE,

NB=NE

.•.AABM^AAEA^(ASA),

:.AM=AN,

.1△AAW是等腰三角形.

(2)解：■.■AB=AC,AD1BC,

:./BAM=/CAM,

由(1)知=

ZCAM=ZEAN,

又=

:.AC±DE,EN=-DE,

2

在A/UVE中，AE=5,NE=-DE=-BC=3,

22

:.AN=4,贝l|OV=AC-yW=5—4=l,

EC=\lNE2+NC2=732+l2=y/lQ；

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(3)解：\-AE//BC,

/.ZB+ZfiAE=180°,

又ZB=ZE,

.-.ZE+ZBAE=180°,

:.EF//AB,

••・四边形AB正是平行四边形，

：.BF=AE=5,

:.CF=lf

又AE||CF,

.•△ANEsACNF,

AEAN口口55-CN

/.——=——,即一=------,

CFCN1CN

CN=~.

6

【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四

边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，相似

三角形的判定和性质是关键.

12.(1)AD=V13

(2)见解析

⑶NH的最小值为百，此时BM的长为1

【分析】(1)过点。作于点E,由题意易得々=60。，然后根据含30度直角三角

形的性质及勾股定理可进行求解；

(2)在线段C/上截取一点G,使得CG=CE,连接EG,由题意易得ACEG是等边三角形，

则有CE=GE,ZCEG=ZCGE=60°,然后可证AACE丝AFGE(ASA),进而问题可求证；

⑶连接CN,由题意易证AAW丝AAOVISAS),则有NAC7V=N8=60。，然后可得点N

在VABC的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得N”的最小值，及此时3M的

长.

【详解】(1)解:过点。作DEIAB于点E,如图所示：

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A

TVABC是等边三角形，

・•・ZB=60°,

・•・NBDE=30。,

BD=1,

：.BE=-BD=~,DE=^BD2-BE2=—,

222

AB=4,

7

・・・AE=AB—BE=—,

2

・••在中，由勾股定理得：AD=/AE2+DE2=岳.

(2)证明：在线段CT上截取一点G,使得CG=CE,连接EG,如图所示:

TVABC是等边三角形，

・•・ZAC5=60。，

・•・ZACE=180°-ZACB=120°,

〈CT平分/ACE,

ZACF=ZECF=60°,

・・・△CEG是等边三角形，

:・CE=GE,ZCEG=ZCGE=60°,

：.ZFGE=ZACE=120°,ZCEA+ZAEG=ZGEFZAEG=60°,

：.ZCEA=ZGEF,

：.△ACE也△/G石(ASA),

:.AC=FG,

：.CF=CG+GF=CE+AC.

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(3)解：连接CN,如图所示:

VNABC,△AAW是等边三角形，

,AB=AC=^AM=AN,ZB=ZBAC=ZACB=ZMAN=60°,

：.ZBAM+ZMAC=ZMAC-^-ZCAN=60°,ZACP=120°,

・•・ZBAM=ZCAN,

：.△ABM^AAGV(SAS),

・•・ZAGV=N5=60。，BM=CN,

：.ZACN=-ZACP,

2

・••点N在VABC的外角的角平分线上运动,

由垂线段最短可知当NHLCN时，最短，

,・,点”是AC的中点，

：.CH=2,

・.・ZACN=60°,ZHNC=90°,

4CHN=30。,

：.CN=-CH=1=BM,NH=yJcH2-CN2=.

2

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定

理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.

13.⑴①证明见解析；②3-百

⑵2^11

2

【分析】(1)①根据正方形的性质得NABC=/B(7=90。，AB=BC,继而得到

ZABG+ZBAE=90°=ZABG+ZCBF,推出NBAE=NCB尸，利用ASA即可得证；

②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=MG=MB,由等边对等角得

ZAGM=ZGAM,NBGM=/GBM,然后证明△CEGs^CGB得色”=空即

CGBC

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CG2=BCCE,再推出CG=CF,继而得到3c-CE=CG2=BE2=(2C-CE)2,代入数据

求解即可;

(2)设正方形ABCD的边长为。，BE=X，可得f=。g-X),求解后可得到此=心尸,

2

MNNG

如图所示：过点G作GN〃3c交A5于点N,证明△W8AMBC,得工=二厂，推出

MBBC

^^=噜=工设初^=丁，则NG=2y,求出GM=dMN?+NG?=小丫，证明&ANGs^ABE

NGBC2

y+@

得空=空即7^^二=2，得出>=医，求得GM=g推出AM=3M=W=GM，

BEAB1022

2

继而得到NAG3=90。，则a=8E=(逐一I'，再代入tan/CBb=/计算即可.

2BC

【详解】(1)①证明：四边形ABCD为正方形，

/.ZABC=ZBCF=90°,AB=BC,

又•・,ZAGB=90°,

・•・ZABG+NBAE=90°=ZABG+ZCBF,

NBAE=NCBF,

在AABE和VBCF中,

/ABE=NBCF

<AB=BC

/BAE=ZCBF

：.△ABE均BCF(ASA)；

②解：・・・加为A3的中点，ZAGB=90°f

：.AM=MG=MB,MB=-AB,

2

AZAGM=ZGAM,/BGM=NGBM,

•：ZAGM=/CGE,ZBAE=ZCBF,

：.ZCGE=ZCBF,BPZCGE=ZCBG,

又•：/ECG=/GCB,

・•・/\CEGs/\CGB,

第18页共31页

.CECG目口

―,^CG19=BCCE,

CGnC

•・•在正方形ABCD中，AB//CD,AB=2,

：.ZGFC=ZGBM,BC=AB=2,

■:/BGM=/FGC,

：.ZGFC=ZFGC,

:.CG=CF,

由①知：XABE丝&BCF,

：.BE=CF,

：.BCCE=CG2=BE1=(BC-CE)2,

・・・2CE=(2-CE)2,

解得：CE=3-括或CE=3+非（不符合题意，舍去）,

线段CE的长为3-石；

（2）解：设正方形ABCD的边长为。，BE=x,

:点M为AB的中点，

AM^BM=-AB^-a,

22

'/BE2=BCCE,

无2=a（a-x）,

解得：」&一山或"J君+1，（负值不符合题意，舍去）,

22

即BE=（乖T"，

2

如图所示：过点G作GN〃BC交于点N,

AMNB

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:.ZMGN=ZMCB,ZMNG=/MBC=9U0,

：.^MNG^^MBC,

.MN_NG

**MF-BC?

1.0

AMNMB2D_1,

NG~BC~AB-2

设脑V=>,贝|JNG=2y,

GM=^MN2+NG2=什+(2»二岛,

■:GN〃BC,

：.ZAGN=ZAEB.ZANG=ZABE,

：.AANSAABE,

.GN_AN

*BE-AB

ay[5a

y=xr记

由aa

GM=岛=石x------=一

102

AM=BM=-=GM,

2

・•・ZMAG=ZMGA,ZMBG=ZMGB,

180°=ZMAG+ZAGB+ZMBG=ZMGA+ZAGB+ZMGB=2ZAGB,

・•・ZAGB=90°,

由①知：ABC&/XABE,

FC石-1>

tanZCBF=—

BC2

tanZCBF的值为苴二1.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，锐

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角三角函数的定义等知识点，通过作适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键.

14.(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)272

(3)乎，理由见解析

【分析】(1)①根据SAS证明即可.②由全等三角形的性质可得上尸，ZADE=NCDF,

证明"EF=ZDFE=45。，结合/。。4=45。=/。尸£,ZCQP=ZDQF,可得

ZCPF=ZCDF,从而可得结论；

(2)作FH〃AB交AC的延长线于“，可证△APE丝△印牙，可得PE=PF,

PA=PH=；AH=g(AC+CH),即可求解"；

(3)由(2)可得PE=PF,即可得到BPM'EFMI",得到空=也为定值.

22DF2

【详解】(1)证明：①：正方形ABCD,

:.DA=DC=AB=BC,Z.DAE=ZBCD=ZDCF=ZADC=90°,

•；CF=AE

：.ADAE^DCF(SAS).

②,:ADAE^ADCF,

：.DE=DF,ZADE=ZCDF,

：.NCDF+ZCDE=ZADE+ZCDF=ZADC=90°,

NDEF=NDFE=45。,

:正方形ABCD,

ZDCA=45°=ZDFE,

•：ZCQP=ZDQF,

：.ZCPF=ZCDF,

：.ZCPF=ZADE；

(2)解：作交AC的延长线于X,

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:四边形ABCD是正方形，