2025年中考数学总复习《四边形解答题》专项测试卷（含答案）

2025年中考数学总复习《四边形解答题》专项测试卷(含答案)

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1.如图1,两个正方形ABCD和CEFG共一个直角顶点C,连接BG、交于点H,连接BE、

DG、BD、GE.

⑴当AB=4,跳'=3时

①作图：请在图1中分别取m、DG、BE的中点“、N、P(不要求尺规作图)，并直接

写出跖V和M尸的关系：;

②若席=6,求此时DG的长；

(2)当3G=5,求DG+旗的最小值.

2.阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，

如图1,在四边形小。中，E,F,G,"分别是边AR3C,CD,ZM的中点，依次连接各边中

点得到中点四边形EFGH.

⑴菱形的中点四边形的形状是；

(2汝口图2,在四边形中，点”在上且AWD和AMCB为等边三角形，E,F,G,"分

别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明.

(3)若四边形"CD的中点四边形为正方形，AB+CD的最小值为4,则网＞=.

3.如图，E,F,G,H分别是四边形A5CD各边的中点，顺次连接跖，FG,GH,HE.

(1)求证：四边形"GH是平行四边形.

⑵当四边形相。的对角线8D,AC满足_____时，四边形MG〃是正方形.

4.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形

对角线AC,加交于点。.

⑴若AO=2,30=3,CO=4,00=5,请求出AB?,BC2,CD2,Z)T的值.

⑵若AB=6,CD=10,求BP+AD。的值.

(3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=6cm,点尸从点A出发，以lcm/s的速度沿4。向

终点。运动，同时，点。从点。出发，以Icm/s的速度沿CB向终点5运动，设运动时间

为r(s).

(1)当0</<6时，判断四边形时蛇的形状，并说明理由;

(2)当。</<6时，求四边形BQDP的面积S(cn?)与运动时间《s)的函数关系;

⑶四边形时。尸可能为菱形吗？若可能，请求出彳的值；若不可能，请说明理由.

6.如图，在梯形A2CD中，AD//BC,ZC=ZD=90°,BC=16,CD=12,AD=21.动点尸从

点。出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点。从点。出发，在

线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点5运动.点P,。分别从点Z),。同时出发,

当点尸运动到点A时，点。随之停止运动.设运动时间为Ms),当才为何值时，以B,

P,。三点为顶点的三角形为等腰三角形？

7.(1)如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接3E,若BE=BC,过C作CFL族

交BE于点F,求证：△ABE空△FCB.

(2)如图2,在菱形ASCD中，cosA=g,过C作CE1AB交A3的延长线于点E,过E作印上AD

交于点/，若S菱硼BCD=12时，则EFBC=.

(3)如图3,在平行四边形中，ZA=60°,AB=12,AD=10,点E在CD上，且CE=4,

点F为BC上一点,连接用，过E作EGLE尸交平行四边形ABCZ)的边AD于点G,若

EDEG=28百时，请直接写出AG的长.

8.如图，在△AED中，AD=10cm,ZAED=90°,延长AE到点5,使DE=EB=8cm,过点5

作CBLM,CB=2cm,连接CD；点N从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为Icm/s；

过点N作以桃和跖为邻边作矩形DEFG,点M与点N同时出发，点M从点5

沿胡方向匀速运动，速度为lcm/s,连接MN、MD、MC,设运动时间为电)(0</<8).解答

下列问题:

(2)设四边形MVG。的面积为S(cm2),求S与彳的函数关系式(0</<8)；

⑶当点"在NDN尸的角平分线上时，求才的值；

(4)连接AC,在运动过程中，是否存在某一时刻工使直线"N过线段AC的中点。？若存

在，求出力的值；若不存在，请说明理由.

9.已知正方形钻8边长为1,对角线AG3。相交于点0,过点。作射线0E,5,分别

交AD,AB于点E,F,且

(1)如图1,当OELAD时，求证：四边形钻0尸是正方形;

⑵如图2,将射线0E，5绕着点。进行旋转.

①在旋转过程中，判断线段OE与。尸的数量关系，并给出证明;

②四边形函F的面积为二

(3)如图3,在四边形PQMN中，PQ=PN，NQPN=NQMN=9U。，连接PM.若PM=9,请直接

写出四边形PQMN的面积.

10.如图，在四边形ABCZ）中，AD//BC,1B90?,AD=22cm,AB=8cm,3C=24cm,动

点尸从A点开始沿AQ边以lcm/s的速度向点。运动，动点。从点。开始沿CB边以3cm/s

的速度向点5运动，P,。分别从A,。同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一

个动点也随之停止运动.设运动的时间为小).

⑴当才为何值时，四边形ABQP是矩形；

⑵当彳为何值时，四边形尸是平行四边形；

(3)问：四边形尸是否可以为菱形？若能，求出此时的才值；若不能，请说明理由.

11.如图，在VABC中，ZACB=90°,AB=i5,BC=9,。为VABC的中线.点P从点A出发，

沿线段秒以每秒12个单位长度的速度向点B运动，过点尸作尸交折线AC-CB于点

Q.当点尸不与点。重合时，作点尸关于点。的对称点“，连结加，以P。、为邻边构

造PQMN,设点尸的运动时间为/秒("0).

⑴用含/的代数式表示线段P2的长；

(2)连结NQ,则线段NQ长度的最小值是；

(3)作直线DN,当直线DV平行于VABC的一条边时，求f的值；

(4)当P3W的一个内角和-A相等时，直接写出/的值.

12.如图，在A3CD中，CD=8cm,BC=16cm,ZA=60°,BD±AB.过点。作DEJ.3C,垂

足为E,动点尸从点。出发沿。A方向以2cm/s的速度向点A运动，动点。同时从点5出

发，以4cm/s的速度沿射线BC运动，当点尸到达点A时，点。也随之停止运动，设点P,

。运动的时间为热(。＜，＜8).

⑴当PQ//CA时，求才的值;

⑵连接的，设四边形BPDE的面积为S(cm)求S与l之间的函数关系式;

⑶当点尸关于直线的对称点恰好在直线。上时，请直接写出才的值.

13.在238中，M,N分别是AD,8C的中点，连接AN,CM.

(1)如图①，求证：四边形⑷VCM是平行四边形；

(2汝口图②，连接MN,DV,若Z/WD=90。，求证：MN=NC；

(3)如图③，在(2)的条件下，过点。作CELMN于点E,交DN于点P,EP=1,且Nl=/2,

求AN的长.

14.如图，在VASC中，AB=5,3c=11,VABC的面积为22,AEL5c于点E,动点尸从点A

出发，沿折线MYC向终点C运动，在村上的速度为每秒5个单位长度，在BC上的速

度为每秒2个单位长度，当点尸出发后，且不与点E重合时，将点E绕尸A的中点旋转180。

得到点尸，连结w、PF、PE.设点尸的运动时间为f(秒)(r>0).

⑵用含/的代数式表示四边形AFPE的面积s.

⑶当四边形AFPE被直线AC分得的两部分面积之比为1：3时，求/的值.

(4)当直线CF垂直于VA5C的一边所在的直线时，直接写出/的值.

15.在四边形ABC。中，AD//BC,AB=12cm,AD=8cm,BC=24cm,ZABC=90°,P,。同时

沿着四边形的边逆时针运动，点尸从点D出发，以ls/s的速度运动，点。从点B出发，

以2cm/s的速度运动，设运动时间为/秒.

(l)CD=cm.

(2)若点。运动到点。时就停止,点尸也随之停止运动，用含方的代数式表示四边形尸

的面积S(cn?)；

(3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当年时，以

点尸、。与点A、B、。、Z)中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形.

参考答案

1.(1)①作图见解析，MN=MP,MNLMP.(2)714

(2)5立

【分析】(I)①MN=MP,MNLMP,先证明跖V是BDG的中位线，M尸是_5即的中位线，

MN=^BG,MP=^DE,MNBG,MPDE；再证明3CG-OCE(SAS),得至ljBG=OE,

NCGB=NCED,即可推出肱V=MP,再证明DE_L3G,即可得到肱V_LMP；②②由①知：BGLDE,

利用勾股定理得到Ba?+KF+£)712+HG2=BE。+DG2=BD2+GE2,求出BD2=32,EG2=18,BE2=36,

即可求解；

(2)如图，分别取3D、DG、GE、DE的中点M、N、。、K,连接MN,NQ,MQ,MK,KQ同

理(1)①可得MN=；2G,NQ=；。及MK=gBE,KQ=；DG,MNBG,NQDE;当M&Q三点共线时，

KQ+MK有最小值，最小值为的长，即。G+班有最小值，最小值为2MQ的长，同理(1)

①得8G=DE=5,BGLDE,MN=；BG=：NQ=；DE=：,MNLNQ,利用勾股定理求出加0=孚，

即可解答.

【详解】(1)解：MN=MP,MN±MP,理由如下:

•点M、N、P分别是3D、DG、况的中点

.MN是:BDG的中位线，是一①办的中位线

,MN=-BG,MP=-DE,MNBG,MPDE•

22'

•四边形"CD和四边形CEFG都是正方形

.BC=CD.CE=CG,/BCD=/ECG=90°

・ZBCD+/DCG=/ECG+/DCG,艮|JZBCG=ZDCE

•BCG空OC石(SAS)

・BG=DE,ZCGB=ZCED

・MN=MP

*ZCGB=ZCED

.ZCGB+ZGHE=ZCED+ZGCE

.ZGHE=ZGCE

・NGCE=90。

・ZGHE=ZGCE=90°

・DE1BG

*MNBG,MP\DE

・MNIMP；

②由①知：BG1DE

/.ZBHD=ZDHG=ZBHE=ZEHG=90°

BH2+EH2=BE2,DH2+HG-=DG2,BH2+DH2=BD2,HE2+HG2=GE2

BH2+EH2+DH2+HG2=BE2+DG2=BD2+GE2

丁四边形ABCO和四边形CEFG都是正方形，AB=4,EF=3

BD-=AB2+AD2=2AB2=32,EG2=EF2+GF2=2EF2=18

*.*BE=6

BE2=36

J36+DG2=32+18

/.£>G2=14,即OG=V17(负值舍去)；

(2)解：如图，分别取此、DG、GE、的中点V、N、。、K,连接MN,NQ,MQ,MK,KQ

同理(1)①可得"N是即G的中位线，NQ是,GED的中位线，是一BED的中位线，KQ

是OEG的中位线

:.MN=gBG,NQ=；DE,MK=；BE,KQ=；DG,MNBG,NQDE；

DG+BE=2KQ+2MK=2{KQ+MK)

,/MK+KQ>MQ

.♦.当M,K,Q三点共线时，KQ+MK有最小值，最小值为的长，即。G+仍有最小值，最

小值为2MQ的长

同理(1)①得BG=DE=5,BG1DE

/.MN=-BG=-,NQ=-DE=-

2222

,/MNBG,NQDE

/.MN±NQ

MQ=y/MN2+NQ2=平

2M2=5A/2,即DG+BE的最小值为50.

【点睛】本题考查了四边形中点问题的综合，全等三角形的判定与性质，勾股定理，

三角形中位线的判定与性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运

用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

2.⑴矩形

(2)四边形区七〃为菱形；证明见解析

⑶2后

【分析】(1)由菱形的性质及矩形的判定可得出答案；

(2)连接AC、DB,由等边三角形的性质得出3=ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM,证

\^ZAMC=ADMB,由SAS证明△AMC丝ADMB,得出AC=r>3,由三角形中位线定理得出,

EF=^AC,GH//AC,GH=；AC,HE=^DB,得出E尸〃G〃，EF=GH,证出四边形瓦<汨是

平行四边形；再得出EF=HE,即可得出结论；

(3)连接加交AC于0,连接ON,当点。在跖V上(即M、0、N共线)时，OM+ON

最小，最小值为皿的长，再证明=即可求得答案.

【详解】(1)解：如图

四边形ABC。是菱形时，连接各边中点，得到四边形成飒

根据中位线性质得到防〃。氏MN//DB

：.EF//MN

同理可得用/〃FN

，EWVM为平行四边形

又•:小。是菱形

ACJ.BD,贝|£M_LMV

•*.即VM为矩形.

故答案为：矩形；

(2)解：四边形为菱形.理由如下:

连接AC与8D,如图2所示：

,//1MD和AWCB为等边三角形

AM=DM,ZAMD=ZCMB=60°,CM=BM

:.ZAMC=ZDMB

在AMC和DMB中

AM=DM

<ZAMC=ZDMB

CM=BM

AMC^..DMB（SAS）

:.AC=DB

E,F,G,"分别是边AB,BC,CD,DA的中点

是VABC的中位线，GH是ACD的中位线，是△AB。的中位线

.'.EF//AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,HE=-DB

'2'22

:.EF//GH9EF=GH

.•.四边形EFGH是平行四边形；

AC=DB

.\EF=HE

二四边形所为菱形；

（3）解：如图3,连接8。交AC于。，连接加、ON

当点0在跖V上（即"、0、N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长

I.2（QM+0N）的最/卜值=2MV

由性质探究知：AC上BD

又.：M,N分别是筋，⑦的中点

AB=2OM,CD=2.ON

2（OM+ON）=AB+CD

9+CD的最小值=2W

,/四边形EMM是正方形

：.FM=FN,NMFN=90°

.*•MN=y/FM2+FN2=y/2FN

■:N,尸分别是DC,3c的中点

FN=-BD

2

MN=—BD

2

—B£）x2=4

2

BD=2y/2

故答案为：20.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、

菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解

决新问题是解题的关键.

3.⑴见解析

(2)BD±AC,BD=AC

【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题

的关键是掌握以上知识点.

(1)连接犯首先根据三角形中位线的性质得到田〃孙且=GF〃BD,且

GF=；BD,进而得到硝〃GF,且团=GF,即可证明出四边形EFGH是平行四边形；

(2)连接即，AC,同理可得，HG=^AC,HG//AC,进而得到当应＞=4C时，EH=HG,

证明出平行四边形EFGH是菱形，然后由即，AC推理得到EH1HG,进而证明出菱形EFGH

是正方形.

【详解】(1)解：如图所示，连接的

丁点E是的中点，点H是A0的中点

/.EH//BD,^EH=-1BD

丁点尸是BC的中点，点G是。的中点

:.GF〃BD,^,,GF=-1BD

：.EH//GF,且E"=GF

•••四边形EFGH是平行四边形；

(2)解：当BDLAC,且3D=AC时，四边形的也是正方形.

理由如下：

如图所示，连接切>,AC

;由⑴得，EH=；BD

同理可得，HG=|AC,HG//AC

.•.当3£>=AC时，EH=HG

J平行四边形EFG〃是菱形

当3DLAC时

*/EH//BD

/.EHLAC

HG//AC

/.EH1HG

J菱形是正方形.

4.(l)AB2=13,8c2=25,CD2=41,AD。=29

(2)136

(3)“垂美"四边形对边的平方和相等

【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键.

(1)根据“垂美”四边形的定义可得AC再根据勾股定理即可求解；

(2)根据“垂美”四边形的定义可得AC人3D,进而得到A0、80?=36,CO2+DO2=100,根

^BC2+AD2=BO-+CO-+DO2+AO2BR

(3)由(1)(2)得到AB2+a>2=8C2+AD2,即可求解.

【详解】(1)解：四边形铀。是“垂美”四边形，对角线AC,加交于点。

AAC±BD

AO=2,80=3,CO=4,DO=5

.，.AB2=AO2+BO2=22+32=13,BC2=BO2+OC2=32+42=25,CD2=CO2+DO~=42+52=41,

DA2=AO2+DO2=22+52=29

AB2=13,BC2=25,CD2=41,3=29；

(2)四边形ABCD是“垂美”四边形，对角线AC,BD交于点。

ACJ.BD

AB=69CD=10

AO2+BO2=AB2=62=36,CO2+DO2=CD2=102=100

BC2+AD2=BO2+CO2+DO2+AO2=36+100=136;

2

(3)由(1)(2)可得：AB^+CD=BC^+AD\即“垂美”四边形对边的平方和相等.

5.(1)四边形88P是平行四边形，见解析；

(2)24-4r

⑶可能，

【分析】(1)由矩形的性质可得出仞〃3C,再得出尸〃=时，即可得出四边形38尸是平

行四边形.

(2)得出阳=6-，再根据四边形的面积代入求解即可.

(3)由菱形的性质得出毋=PD,利用勾股定理求出招，再根据BP=P。代入求出力值即

可.

【详解】(1)解：四边形是矩形

AD//BC

丁点尸从点A出发，以Icm/s的速度沿AD向终点。运动，同时，点。从点。出发，以Icm/s

的速度沿CB向终点5运动

，AP=CQ

Z.PD=BQ

，四边形BQDP是平行四边形.

（2）解:VBQ=6-t

SBQDP=B0AB=（6-?）x4=24-4r；

（3）解：四边形8QDP可能为菱形.

•••一组邻边相等的平行四边形是菱形

BP=PD

AP=t,AB=4

•*-BP=y/AP2+AB2=J：+42

/./+16=(6-y

解得：f=1.

【点睛】本题主要考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定，矩形的性质和菱形

的性质，勾股定理等知识，利用/值表示出各边是解题的关键

6=午或（时，以5,P,。三点为顶点的三角形为等腰三角形

【分析】以5P，。为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当尸8=尸。时，当PQ=BQ

时，当=时，由等腰三角形的性质就可以得出结论.

【详解】解：如图1,当m=尸。时，作PE,3c于E

P

AD

BEQC

图1

EQ=^BQ

'：CQ=f

/.BQ=16-t

：.EQ=S-^t

EC=8——Z+^=8+—Z.

22

••2%=8+5%.

解得：f=g.

如图2,当尸Q=8Q时，作QESAD于E

ZPEQ=ZDEQ=90°

ZC=ZD=90°

NC=ND=ZDEQ=90°

四边形DEQC是矩形

DE=QC=t

：.PE=t,QE=CD=U,

在RtAPEQ中，由勾股定理，得

PQ=〃+144.

16-t=&2+144

解得：料；

如图3,当=时，作PEL8C于E

/.BP=BQ=BC-CQ=16-t

*/PD=2t

：.CE=2t

/.BE=16-2t

在Rt3EP中

(16-2/)2+122=(16-Z)2

3〃—321+144=0

A=(-32)2一4*3*144=_7Q4<0

故方程无解.

综上所述，或+时，以'P,。三点为顶点的三角形为等腰三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，

一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键.

7.(1)证明见解析；(2)16；(3)6或8

【分析】(1)根据矩形的性质得出4BE+NCB尸=90。,/。用=ZA=90。，进而证明NFCB=ZABE

结合已知条件,即可证明AABE必FCB；

(2)根据菱形的性质得出AD//BC,AB=BC,根据已知条件得出==证明

△AFE3EC,根据相似三角形的性质即可求解；

(3)分三种情况讨论,①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点

连接G尸，过点£作研，£＞加于点H,证明EDM^ECF,解HDEH,进而得出MG=7,根

据tanZMEH=tanZWGE,得出HE=HM-HG,建立方程解方程即可求解；②当G点在边上

时，如图所示，连接G尸，延长GE交3C的延长线于点过点G作GN〃AD,则GN〃BC,

四边形ADVG是平行四边形，同理证明EN3£€加，根据1311/五£//=1311功得出硝2=".以,

建立方程，解方程即可求解；③当G点在BC边上时，如图所示，过点B作取，DC于点T,

求得SvBrc=m，TC=gx5括X5=¥，而川%=14有，得出矛盾，则此情况不存在；当G点

在C。边上时，过G点作G"_LAD交AD的延长线于点H,再由勾股定理求AG的长即可.

【详解】(1)证明：•••四边形A2CD是矩形，则ZA=ZABC=90。

:.ZABE+/CBF=90。

又CFLBC

ZFCB+ZCBF=90°,ZCFB=ZA=90°

:.ZFCB=ZABE

又BC=BE

ABE^,FCB(AAS)；

(2)解：:在菱形ABC。中，cosA=g

:.AD//BC,AB=BC

.\ZCBE=ZA

QCE±AB,ZCEB=90°

BE

cosZCBE=----

CB

BE=BC-cosZCBE=BC-cosA=—BC

3

114

:.AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-AB=-AB

333

QEFLAD,CELAB

:.ZAFE=ZBEC=90°

又ZCBE=ZA

:.Z\AFE^Z\BEC

,AEEFAF

"BC~CE~BE

444

：.EFBC=AECE=-ABxCE==-xl2=16

故答案为：16；

(3)解：当点6在/10边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M,连接G尸，过

点E作瓦于点a

,-.CD=AB=n

:.DE=DC—EC=12—4=8

QDM//FC

:NEDM^NECF

.EMED_8G

,EF-£C-4-

.S^MGE_EM_2

SvFEGEF

・二SYMGE=2SVEFG~EF-EG=28A/3

在心OEH中，ZHDE=ZA=60°

贝UEH=*DE=J^x8=45DH=^DE=4

《MG.HE=286

:.MG=14

QG£_LEF,EH_LMG,NMEH=90°-ZHEG=ZHGE

/.tanZMEH=tanZHGE

八HEHM

Q----=------

HGHE

HE2=HM-HG

设AG=a,贝|GD=AZ)-AG=10-a

.•.G"=GO+/TO=10-。+4=14-a,=GM-=14-(14一a)=a

(4舟=a(14-a)

解得：a=6或a=8

即AG=6或AG—8

综上所述，AG的长为6或8.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性

质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解

题的关键.

8.(1)当E在线段“尸的垂直平分线上时，1的值为5

(2)5与1的函数关系式为5=||〃-//+80

(3"的值为:

(4"=匕叵或*i时，直线MN过线段AC的中点O

【分析】(1)点E在板的垂直平分线上，推出斯=加，由此构建方程求解即可；

(2)利用分割法，S=S梯形OGFM-S",可得结论；

(3)过点M作MTLAD于点T.由角平分线的性质得MT=MF,由此构建方程求解即可;

(4)过。作于Q,贝ljOQ〃8c〃加，由相似三角形的性质构建方程求解即可.

【详解】(1)在血A£)E中，ZAED^9Q°,AD=10cm,DE=8cm

:.AE=飞AD。-DE?=7102-82=6(cm)

四边形DMG是矩形

GFDE

.ANAF

"AD~AE

tAF

R即n一二二

1106

解得：”=十

点E在MF的垂直平分线上

:.EF=EM

5

解得：”5

即当E在线段陆的垂直平分线上时，，的值为5;

(2)由(1)可知，AE=6cm,AF=-tcm

3

/.EF=AE-AF=(6-—，)(cm)

EM=EB-BM=(8-r)(cm)

Q

:.FM=EF+EM=(14--r)(cm)

四边形QEFG是矩形

3

:.ZDEF=90°,GF=DE=8cm,DG=EF=(6--t)cm,DG〃EF

.FN_AN

,^GF~AD

即空」

1810

解得：FN=：t

S=S梯形DGFM_SMNF=g(6_，+14_，］x8_；x(14_+Jxgf=1|/_g+80

即S与/的函数关系式为S=H»-g+8。；

(3)过点/作MT,AD于点兀

MTIND,MFINF

-(14-?)=14--f

55

解得：料

即存在某一时刻f,使点M在NON尸的角平分线上，f的值为g；

(4)存在，理由如下：

如图2,过。作0。，BE于。

则OQ//BC//NF

由(1)可知，AE=6cm

AB=AE+EB=14(cm)

。是AC的中点

,-.OA=OC=-AC

2

OQ//BC

.,.二AOQsAC5

.OQAQOA

**BC-AB-AC-2

,OQ=^BC=l(cm),AQ=^AB=7(cm)

QM=BQ-BM=(J-Z)(cm)

OQ//NF

:.MOQsMNF

.OQ=QM

,NF~FM

1_1-t

即

55

解得："失叵

即仁巴普或，五时，直线MN过线段AC的中点0.

【点睛】本题属于二次函数与四边形综合题，考查了考查了矩形的性质、相似三角形

的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、梯形

面积公式以及三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构

建方程解决问题，属于中考常考题型.

9.(1)见解析

⑵①=证明见解析；②;

⑶3

【分析】(1)根据正方形的性质证明四边形AE。9是矩形，再得比=即可解决问题；

(2)①证明AEOMBF(XASA),可得OE=O尸即可；

②先根据正方形的性质得以=08=。。，ZAOB=ZBOC=90°,则NOBE==45。，

Z.OCF=ZOBF=45°,所以ZOBE=ZOCF,由OE_LOb得Z.EOF=90°,贝ljZBOE=ZCOF=90°-NBOF,

即可证明ABOE四△COP,于是得3E=b,根据四边形OE4F的面积=入4。3的面积=：正方

形"CD的面积，即可解决问题；

(3)延长至点G,使GQ=MN,连接尸G,证明"GQWPMN(SAS),可得PG=PM,

ZGPQ=ZMPN,所以△PGM为等腰直角三角形，所以四边形PQ"N的面积=等腰直角三角

形尸GM的面积，进而可以解决问题.

【详解】(1)证明：二•四边形"CD是正方形

ZZMB=90°,NZMC=45°

VOELOF,OELAD

：.Z.DAB=ZOEA=ZEOF=90°

；•四边形AEOF是矩形

,/ZZMC=45°

/.OE=AE

二•四边形AEOb是正方形;

(2)解:①。石=。尸

证明：:四边形锚8是正方形

/.OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°

ZEOF=ZAOB=90°

ZEOA^ZFOB

：.AEO^BFOCASA)

・\OE=OF-

②;四边形ABCD是正方形

AC=BD,AC±BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD

22

OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=90°

：./OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°

ZOBE=ZOCF

「OELOF

/.ZEOF=90。

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF

...BOEASA)

的面积=COP的面积

・•・四边形OE4F的面积的面积=：正方形A5CD的面积=：xl=；；

(3)解：如图，延长至点G,使GQ=MN,连接PG

,/ZQPN=ZQMN=90°

/.NPQM+NN=180。

,/ZPQM+ZPQG=180°

/.ZPQG=ZN

•/PQ=PN

/.PGQWPMNQSAS)

/.PG=PM,ZGPQ=ZMPN

/.ZGPM=ZGPQ+ZQPM=/MPN+ZQPM=90°

•••△PGM为等腰直角三角形

PM=9

四边形PQMN的面积=等腰直角三角形尸GM的面积:㈤=黑

【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋

转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键.

10.(1"=6s

(2)告

(3)不能，见解析

【分析】此题考查了菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及矩形的判

定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键.

(1)在四边形AB。中，AD//BC,1B90?,可得当"=8Q时，四边形ABQP是矩形，即

可得到方程”24-解此方程即可得到最后答案；

(2)在四边形神8中，AD//BC,当PD=CQ时，四边形加8是平行四边形，列方程解

方程即可；

(3)由四边形尸QC。是菱形，则四边形尸是平行四边形，根据(2)中求解的答案,

分析看此时能否为菱形，求出⑦工即，即可得到尸QCD不可能为菱形.

【详解】(1)解：根据题意得：AP=tcm,CQ=3rcm

.•AB=8cm,AD=22cm,BC=24cm

DP=(22-Z)cm,5Q=(24-34cm

二•在四边形ABC。中，AD//BC,IB90?

.•.当AP=8Q时，四边形ABQP是矩形

.♦./■=24-3/解得t=6

.•.当/=6s时，四边形A3。尸是矩形；

(2)当PD=CQ时，四边形尸QC。是平行四边形

...22T=3r解得：

，当，=?s时，四边形尸QCO是平行四边形；

(3)若四边形尸是菱形，则四边形尸是平行四边形，根据(2)得，”与

/.PD=22—t=——33.

2

过点。作DRSC于点R

•*.四边形是矩形

BR=AD=22

CR=2,DR=AB=8,CD=JcN+DR?=2而*PD

•••四边形尸尸Qcn不可能是菱形.

11.⑴当ovrwg时，PQ=9t,当g<W时,PQ=20-16t

(2)9

(3)|■秒或2秒

(4)1秒或微秒

【分析】(I)根据勾股定理得4。=/仙2-比2=12,根据锐角三角函数的定义得tanA=1

tanB=|,cosA=1,cosB=|,过点C作CK,AB于点K,得%=；A"CK=；AC8C,求得

"=空子专，AIACJK-T，根据题意得AP=12t，BP=AB-AP=15-12t,然后分两

种情况：①当owg时，点。在AC上；②当时，点。在2C上，分别解答即可；

(2)根据对称的性质及平行四边形的性质得出点。为悭的中点，NQ=2DQ,当OQUC时,

线段小的长度为最小值，此时线段陷的长度取得最小值，证明一得

^e=|BC=P即可得解；

(3)分两种情况：①当四〃3(7时；②当DN〃AC时，分别求解即可；

(4)分三种情况：①当点尸在线段AD上时；②当点尸在线段DK上时；③当点P在线段2

上时，分别求解即可；

【详解】（1）解：'•在VABC中，ZACB=90°,AB=15,BC=9

•*.AC=VAB2-BC2=V152-92=12

•BC93八AC124AC124BC93

・.tanA4=--=一=一,tanB=--=一=一,cosAA=--=一=一,cosBn==——=—

AC124BC93AB155AB155

过点C作CKLAB于点K

,/S..„=-ABCK=-ACBC

ZAA£>rC22

•〜ACBC12x936

・•GA=---------=------=——

AB155

/.AK=Y/AC2-CK2=

丁点尸从点A出发，沿线段AB以每秒12个单位长度的速度向点3运动，点P的运动时间

为/秒"。)

/.AP=12t,BP=AB-AP=15-l2t

当点尸与点K重合时，，=?12=g(秒)

当点尸与点8重合时，y15+12=；(秒)

•/PQJ.AB

①当0wg时，点。在AC上，则PQ=APtanA=12tx^=9t

B

0c

②当g<tv，时，点。在BC上，贝ljPQ=2PtanB=(15-⑵)xg=20-⑹

B

AN----------------达C

综上所述，当时，PQ=9t,当时，PQ=2O-I6t;

(2):CD为VABC的中线，45=15

•••点。为A8的中点

.，.AD=BD=-AB=—

22

丁点尸和点M关于点。对称

•••点。为9的中点

,/四边形「。蛇为平行四边形

.•.NQ与加互相平分，且交点为NQ与w的中点

•••点。为NQ的中点

NQ=2DQ

当OQLAC时，线段DQ的长度为最小值，此时线段陷的长度取得最小值

由Z)Q_LAC,ZACB=90°

DQ//BC

；.ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB

_ADQsABC

•DQAD\

BC_AB-2

119

DQ=-BC=-x9=-

222

9

NQ=2DQ=2x-=9

线段NQ长度的最小值是9

(3)①当ON〃蛇时

/.ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB

，ADQsABC

•DQAD_1

**BC-AB-2

•119

•・DQ=-BC=-x9=-

222

VPQ-LAB,IPZQPD=90°

.9Q3?7

..PD=DQ,cos/PDQ=—cosB=2x—=」

22510

z=y^12=|（秒）;

②当DN〃AC时

NBDQ=NBAC,ZBDQ=ZBCA

；.△BDQs^BAC

•DQBD\

•*AC-AB-2

•，・O0=；AC=；xl2=6

•424

・•PD=DQ-cosZ.PDQ=6cosA=6x—=一

1524123

AP=AD+PD=—+—=

25lo-

•12341/工/、\

一=而+12,（秒）；

综上所述，当f为，秒或1秒时，直线。N平行于VABC的一条边;

（4）①当点P在线段AD上时

二•四边形PQMN为平行四边形，PQ±AB

/.PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

ZPQM<90°,即ZPQM为锐角

当ZPQM=NA时

327

贝I]PM=tanZPQM=PQtanA=9tx^==~t

丁点。为P”的中点

PD=-PM=-x—t=—t

2248

15?7

/.—=AD=AP+PD=12t+—t

28

解得：'=方；

②当点P在线段DK上时

;四边形尸QMN为平行四边形，PQLAB

/.PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

ZPQM<90°,即NPQM为锐角

当ZPQM=NA时

327

则PM=PQtanZPQM=PQtanA=9tx-=—t

丁点。为9的中点

112727

/.PD=-PM—t=

2248

1527

.\-=AD=AP-PD=12t——t

28

解得一

此时点尸不在线段DK上，不符合题意;

③当点尸在线段仍上时

丁四边形PQMN为平行四边形，PQ±AB

PN//QM,ZQPM=90°

/.ZQPN+ZPQM=180°,ZQPN=ZQPM+ZNPM=90°+ZNPM>90°

AZPQM<90°,即NPQM为锐角

当ZPQM=NA时

327

则PM=PQtanZPQM=PQtanA=9tx-=—t

丁点。为9的中点

112727

/.PD=-PM—t=

2248

1527

.\-=AD=AP-PD=12t——t

28

解得：f=;

综上所述，当/为/秒或II秒时，PQMN的一个内角和/A相等.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，对称的性质，勾股定理，锐

角三角函数，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，运用了分类讨论的思

想.解题关键是掌握锐角三角函数的定义及相似三角形的判定与性质.

12.(1)|

(2)S=4gf+246(O</<8)

(3)2或6

【分析】(1)根据平行四边形的性质和判定可知：PD=CQ,列方程可解答；

(2)根据梯形面积公式可解答；

(3)分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解.

【详解】(1)解：四边形"8是平行四边形

.-.AD//BC

当PQ〃。时，四边形加耍是平行四边形

PD=CQ

2t—16—4/

8

..t=­•

3，

(2)解：•四边形”8是平行四边形

.\ZBCD=ZA=60°

DE1BC

:./DEC=90。

.../CDE=30。

CE=—CD=—x8=4

22

:.DE=M-U=4指

PD//BC

.•.S=；・D^・(OP+5E)=gx4A^x(2%+16—4)=4®+24g(0</<8)；

(3)解：四边形ABC。是平行四边形

:.AB//CD

.-.ZA+ZAr)C=180°

,\ZADC=120°

如图2,当点尸的对称点在线段CD上时

.\ZADQ=ZQDC=60°

是等边三角形

,.CD=CQ=8

「.8=16—4，

.•/=2；

如图3,当点尸的对称点在线段。的延长线上时

图3

:.NPDP=60°

点P的对称点在线段。的延长线上

/.ZCDQ=|ZPDPf=30°

/BCD=ZCDQ+ZCQD

:.ZCDQ=ZCQD=30°

.\CD=CQ=8

80=16+8=24

.•4=24

.'.t=6

综上，/的值是2或6.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边

三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

13.（1）详见解析

⑵详见解析

⑶AN=26

【分析】（1）根据平行四边形的性质结合"，N分别是AD,BC的中点，即可证明；

（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合N分别是的中点即

可证明；

（3）先判定四边形CDW是平行四边形，再判断其为菱形，利用菱形的性质，判断一MNC

为等边三角形，从而求得Nl=N2=/A〃VD=30。，在RtAPEN中，利用特殊角，求出EN,进

而求出线段期的长.

【详解】（1）证明：•••四边形好。是平行四边形

/.AD=BC,AD//BC

,.'M,N分别是AO,3C的中点

AM=CN,AM〃CN

.•・四边形ANCM是平行四边形；

（2）证明：•.•ZAA©=90。，M,N分别是的中点

/.MN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

MD=CN

：.MN=NC；

(3)解：VMD=^AD=^BC=CN,MD//CN

，四边形肱VC。是平行四边形

由(2)知MN=NC

•••四边形MNCD是菱形

/.ZNMC=ZDMC,DN±MC,ZDNM=ZDNC

"：Zl+ZDMC=Zl+ZNMC=Z2+ZENC=90°

/.ZNMC=NMNC

：.MN=CN=MC

•0•AMCN是等边三角形

ZMND=N2=/l=30。

在RtNEP中

EP=1

NP=2EP=2

•*.NE£NP-EP=6

MN=MC=2拒

...四边形，CN是平行四边形

AN=MC=2\/3.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定与性

质、直角三角形的斜边中线与斜边的关系、等边三角形的性质和判定，利用直角三角

形中30。的角所对的直角边等于斜边的一半是求解的关键.

14.(1)4

⑵(0</<1)

-8r+20(l<r<-)

Q”二

513

8r-20(-<r<—)

22

(3"=:或f=|

/八(

(4)f=不8_或p,"不23或―Xr=w13

【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理的应用；解题关键

是正确画出图形，分不同情况解三角形.

（1）利用面积法即可求出VABC的高AE

（2）根据点尸在不同线段的运动的图形，分三种不同情况求解即可

（3）由AC与四边形相交分割的图形分类讨论进行求解即可；

（4）根据点尸的位置不同以及可能成直角的图形分别求解.

【详解】（1）解：•••区=11,VABC的面积为22,AELBC,SNABC^BC-AE

AE=（22x2）-ll=4

故答案为4；

(2)VAE±BC,AB=5,AE=4

/.BE=3

：.CE=BC—BE=ll-3=8

AC=y]AE2+EC2=A/42+82=4亚

SAABE=；BE.AE=：X3X4=6

•••点尸到达5点时间=g=l（秒）

点尸到达E点时间=i+/T（秒）

点尸到达C点时间=1+（=]（秒）

①当尸在上（不含点A、B）运动时，此时如图1-1

F

:将点石绕PA的中点旋转180。得到点尸

/.OA=OP,OF=OE

，四边形AS平是平行四边形

FP=AE=4,FP//AE

ZJFPA=ZBAE

BF3

/.sinZFPA=sinZBAE=——=—

AB5

3

・&•AG=APsinZFPA=5tx-=3t

:・SAEPF=FPAG=1Z

②当尸在的上(含点