2025年中考数学总复习《图形的性质》专项测试卷及答案

2025年中考数学总复习《图形的性质》专项测试卷及答案

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1.请将下列证明过程补充完整.

已知：如图尸，8C,垂足分别为。，F,NEGA=NE求证：AD平分4AC.

证明：ADLBC,跖，BC（已知）

:.ZEFC=ZADC=90°（垂直的定义）.

〃（）

--=（两直线平行，内错角相等）

ZEGA=ZE(已知)

.1AT*平分/A4c().

2.四边形ABCD内接于。，对角线AC=3C,尸为OA延长线上一点，连接"ZDAC^ZABF.

图I图2图3

⑴如图1,求证：BF//CD-

（2）如图2,连接加并延长至点E,连接CE,若。平分/ACE,求证：BC=CE；

（3）如图3,在（2）的条件下tanZF=2S^BCD=4,AD=2,延长入。交CE于点T,求CT的

长.

3.如图，在A3CD中，N3AD的平分线交3C于点E,交。C的延长线于尸，以EC、CF为

(1)如图①，证明EbG是菱形.

(2)如图②，若/A3C=120。连接8。CGBG求N3DG的度数

(3)如图③若ZABC=90。AB=6AD=8M是跖的中点DM=(直接写出结果)

4.如图在VABC中点。在边8c上连接AD以AD为直角边向右作RtADE

ZADE=90°/BAC+2/DEA=180°AE与8C交于点厂.

图I图2图3

(1)如图1若NABC=ZACB=45。ZADF=ZAFD求/C4D的度数.

(2汝口图2过点。作DM1AC于点M点N为边AB上一点过点N作NPJ_AB交AE于点尸

连接OP^AM=AN求证：DM+PN=DP

(3)如图3点G为边8C上一点点。为CG的中点连接BEDE若AB=AC求证:

BE=EG.

5.已知矩形MCD和矩形9622是AC上一点4A与边相交于点ECR与边CB

相交于点儿

图1图2图3

(1)如图1若AB=4BC=8则AC=

(2)如图2在(1)的条件下若明，ACBF=DlF求短

(3)如图3若A耳=A2=CGQE=GF求证：CF=AE+AA1,

6.如图在ABCD中过点。作垂足为点E点/在边上AE=CF连接

AFBF.

(1)求证：四边形加DE是矩形

⑵若C尸=4BF=4A/3DF=8求证：A尸平分

7.小明将一个含30。的直角三角板尸加(其中/MO尸=90。^OMP=60°ZOPM=30°)按如

图1所示放置使得直角三角板的一边落在直线钻上过顶点尸作直线砂〃AB

在A/P的左侧作直线CZ)〃MP分别交直线ABE尸于点GH.

D

图1图2备用图

(l)NCGB的度数为

(2)将直角三角板尸断从如图1所示初始位置绕顶点M按图中箭头方向转动且保证点

O在直线相上方.直线钻CD保持初始位置直线所随着点尸的运动位置发生变化

且保持EF〃AB.

①当点尸在直线AB下方时如图2试猜想N。尸厂和的数量关系并说明理由

②在转动过程中当直角三角板尸。加的一边与直线8平行时求/QVffi的度数

⑶在(2)的条件下作跖V平分作MK平分NO肱V当射线M尸平分ZKMV时直

军写出MP与直线跖所夹锐角的度数.

8.如图1。是VA2C的外接圆AC是直径弦AP与BC交于点E。尸与BC交于点。

ZCPH=ZCAP.

⑴求证：PH是。的切线

⑵若BE=1CE=2求劣弧PC的长

(3汝口图2BC=2ABSDLAC于点。交AE于点尸跖绕点E顺时针旋转90。得到EG

点G恰好在线段"上求证：CE=2BE.

9.如图在ABCD中A8=3,A£>=5,tan8=2正点E在边上且A£=2点/是边BC上

的一动点将四边形跖CD沿用翻折得到四边形EFCD连接AZA

备用图

(l)cosB=__________

(2)当点。夕落在直线AB上时求的面积

⑶若.「ADE恰好为等腰三角形请直接写出所的长.

10.如图1在Rt^ABC中ZACB=90°8£)平分/ABCAD=AB延长8c使得CE=AD

连接OE.

H

(2)如图2过人作河，即交8D于点尸点G在加上AG平分1C4B过G作AG_LG”交

社的延长线于点H.

①求证：AFG为等腰直角三角形

②试探究：GRGEG”的数量关系并证明.

H.如图1在平面直角坐标系中有长方形0ABe点C(0,4)将长方形OABC沿AC折叠

使得点5落在点。处。边交工轴于点E4MC=30。.

(1)求点D的坐标

⑵如图2点N为OC的中点在直线AC上是否分别存在点〃使得的周长最小?

如果存在求出£MN周长的最小值如果不存在请说明理由

⑶点尸为y轴上一动点作直线钻交直线8于点。存在点尸使得-CPQ为等腰三角形

请直接写出NO"的度数.

12.如图四边形ABC。是。的内接四边形ACSD于点EAB=AC/为8D延长线上

一点且也》=8连接

(1)求证：ZBAC=2ZCAD

⑵求证：CF为。的切线

(3)若AB=10FC=4亚求tan/D4B的值

13.综合与实践

在四边形A2CZ)中点M是BC边上一点(可与端点重合)点/关于直线AS的对称点

为点N连接AM,MN,AN,BD.

(1)如图1若四边形为正方形点与点重合.

AN与血)的数量关系是一AN与四的位置关系是一

(2)如图2若四边形四8为菱形ZABC=60。,/为3C边的中点请写出AN与血)的数

量关系及位置关系并仅就图2的情形说明理由

⑶在(2)的条件下连接CN将绕点在平面内旋转当的V//9时请直

接写出黑的值.

14.在正方形AB。中点、EF耳分别是边AOCD3C上的动点连接团AF

相交于点G且

⑴如图1若点石与点3重合

①求证：AE=DF

②如图2当点E运动到中点时求证：/DGE=45°.

⑵如图3若点G为线段防的中点连接8。交团于点尸连接尸尸试探究线段所与

E”的数量关系并证明你的结论.

15.如图所示VA5c为等腰三角形AB=AC点。是BC上一点连接AD.

(1)当44C=90。时

①如图1若BD=2DC=4把AD绕A顺时针旋转90。到AE连接BEDE则DE=

②如图2将线段DC绕点。逆时针旋转90。到上点£落在AC上连接班点。为线段

破的中点连接AOAD此时AO与的数量关系为

小明同学提出以下解决问题的思路仅供大家参考：

延长AO到点/使。尸=3连接跖DF通过证明两组三角形全等再进一步分析

研究4的来解决问题：

（2）当NBAC=120。时

①如图3将线段DC绕点。逆时针旋转60。到DE连接破点。为线段班的中点连

接AOAD此时A。与AD有怎样的数量关系并说明理由

②如图4点。为VABC内一点若4。=90。〃⑥=150。请直接写出舞的值.

参考答案

1.EFAD同位角相等两直线平行"GAZGADZEZDXC两直线平行同

位角相等/GADZDAC等量代换角平分线的定义

【分析】本题考查了平行线的判定与性质解题的关键是：掌握平行线的判定定理.首

先根据平行线的判定证明两条直线平行再根据平行线的性质证明有关角相等运用

等量代换的方法证明所分的两个角相等即可证明.

【详解】证明：AD±BC,EF±BC（已知）

:.ZEFC=ZADC=90°（垂直的定义）.

••EF//AD（同位角相等两直线平行）

:.NEGA=NGAD（两直线平行内错角相等）

NE=NDAC（两直线平行同位角相等）

ZEGA=ZE（已知）

ZGAD=ZDAC（等量代换）

，相）平分N3AC（角平分线的定义）.

故答案为：EFAD同位角相等两直线平行“GAZGADZEZDAC两直线

平行同位角相等“ADZDAC等量代换角平分线的定义.

2.⑴见解析

（2）见解析

⑶述

【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知得/用C=NAS再由圆内接四边形的性质得

NFBC+NBCD=180。从而得结论成立

（2）AACD^AECD得AC=EC再结合AC=BC即可求证

（3）过点。作于点"CGLAT于点G证明CHD丝CG。CHB沿CGA则

DH

HD=DG,CH=CGBH=AG证明/尸=/8£>C贝|tanN8£）C=——=2^HD=DG=x贝|

CH

CH=2x从而可表示出3”、即由面积可求得％的值从而求得AC、8C的值过点A

作AQ〃CT交C。延长线于点。可证明ADQsac得羔=半没CT=®,DT=2a

则得GT由勾股定理求得。的值即可求解.

【详解】（1）证明：VAC=BC

ZCBA=ZCAB

*.*ZDAC=ZABF

，ZFBC=ZABF+ZABC=ZDAC+ZCAB=ZBAD

丁四边形ABCD是圆内接四边形

/.ZBAD+ZBCD=1SO°

ZFBC+ZBCD=180°

/.BF//CD

（2）证明：如图设4

*/AC=BC

ZABC=Zl=a

，Z2=180°-2Z1=180°-2a

*.*BC=BC

/.N4=Nl=a

H

*.*AB=AB

/.N3=N2=180。一2。

*/ZADC=N3+N4=180。—2c+c=180。—2NEDC=180。—N4=180。—a

/.ZADC=ZEDC

丁CD平分/AC£

/.Z5=Z6

*/CD=CD

：.AACD^AECD

：.AC=CE

*/AC=BC

/.BC=CE

（3）解：过点。作于点"CGLAT于点G如图

Q

/.NF=ZTDCZF+ZADC=180°

\*ZABC+ZAZ）C=180°

・ZABC=ZGDC=ZF

•//BAC=/BDC

ZBDC=ZTDC=ZF

VZCHD=ZCGD=90°fCD=CD

/.CHD^CGD

:•HD=DG,CH=CG

VZCHB=ZCGA=90°,ZCAG=ZCBH

/.CHB沿CGA

/.BH=AG

tan尸=2

tanZB£>C=—=2

CH

设HD=OG=x贝！jCH=2x

BH=AG=AD+DG=2+x

,

SBCD=^-BDCH=4BD=BH+DH=AG+DG=x+2+x=2x+2

—(2x+2)x2%=4

2

解得：％=1,々=-2(舍去)

，CH=2,BH=3

由勾股定理得：AC^BC=^BH-+CH-=A/13

过点A作A。//CT交。延长线于点Q

：.4Q=4DCT

,：CD平分/ACE

/.NDCT=NDCA

：.ZDCA^ZQ

/.AQ=AC=相

•；ZADQ=NGDC,ZQ=ZDCT

/._ADQ^_TDC

・AQ=AD

'•TC-7D

即巫=2

CTDT

.CT_y/l3

"'~DT~~

CT=71347,DT=2a贝|GT=Z)T—DG=2a—l

在RtGTC中由勾股定理得：CG?+GT2=CT2

即22+(2a-l)2=(713<Z)2

解得:ai=1,%=T(舍去)

：CT

.W9

【点睛】本题是圆的综合考查了圆内接四边形的性质同弧对的圆周角相等全等

三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质勾股定理解一元二次方程三角

函数等知识构造适当辅助线是解题的关键.

3.⑴见解析

(2)60°

(3)5近

【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BCAB//CD结合角平分线的定义可得

ZBAE=ZDFAZDAE=ZCEF从而得出NCFE=/CE尸由等角对等边得出CE=CF即可得

证

(2)证明BEG—DCG(SAS)得出BG=DGZBGE=ZDGC证明CEG是等边三角形得

出/CGE=60。即可得出ZBGD=60。证明BDG是等边三角形即可得解

(3)求出AB=BE=6得出CE=BC-BE=2证明四边形EC尸G为正方形得出CF=CE=2

ZCFE=450由勾股定理可得所=，CE2+C尸=2虫结合题意可得依〈E尸=应作

MNLCF^N则跖由为等腰直角三角形求出MN=NF=与MF=1从而可得

DN=DC+CF-NF=1最后由勾股定理计算即可得解.

【详解】（1）证明：二•四边形如。是平行四边形

/.AD//BCAB//CD

*/AE平分

ZBAE=ZDAE

AZBAE=ZDFAZDAE=ZCEF

，ZCFE=ZCEF

/.CE=CF

,••四边形石CFG为平行四边形

，四边形EBG为菱形

（2）解：:四边形是平行四边形

/.AD//BCAB//CDAB=CD

9：ZABC=120°

/.ZBCD=60°/BCF=120°

由（1）可得四边形EBG为菱形

/.CG=GE=CE/DCG=120。

•/EG//DF

/.ZBEG=ZBCF=120°=ZDCG

*/AE平分

，ZBAE=ZDAE

*.*AD//BC

，ZAEB=ZDAE

ZAEB=ZBAE

AB=BE

BE=CD

/.BEG丝。CG(SAS)

/.BG=DGZBGE=ZDGC

：.ZBGD=ZCGE

•.・CG=GE=CE

*e•CEG是等边三角形

ZCGE=60°

ZBGD=60°

BG=DG

.•一如G是等边三角形

/.NBDG=GO。

(3)解：二•四边形ABC。是平行四边形ZABC=90°

/.AD//BCAB//CDBC=AD=8CD=AB^6

ZDAE=ZAEBZBCF=ZABC=90°

*/A石平分4AD

/.ZBAE=ZDAE

:・ZBAE=ZAEB

AB=BE=6

CE=BC-BE=2

由（1）可得四边形石BG为菱形

/ZBCF=90°

，四边形及TG为正方形

CF=CE=2ZCFE=45°

EF=yJCE2+CF2=20

是跖的中点

MF=-EF=

2

如图：作祢V_Lb于N则MN尸为等腰直角三角形

•*-DM=飞DN?+MN?=572.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质菱形的判定与性质正方形的判定与

性质勾股定理等腰直角三角形的判定与性质角平分线的定义等边三角形的判

定与性质全等三角形的判定与性质等知识点熟练掌握以上知识点并灵活运用是解

此题的关键.

4.(1)22.5°

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)先由三角形内角和定理得到NBAC=90。从而得到4E4=45。在RtADE中

由直角三角形性质和等腰三角形性质求解即可得到答案

(2)延长DM至点〃使得皿=NP连接如图所示由三角形全等的判定与性质

通过.AA%—>WH（SAS）ADP^ADH（SAS）即可得证

（3）延长ED至点R使得£>R=£®连接ARCR如图所示由三角形全等的判定与性

质通过」ADE%ADA（SAS）CDR竺GDE（SAS）和ACR与ABE（SAS）即可得证.

【详解】（1）解：ZABC=ZACB=45°

:.ABAC=180O-ZABC-ZACB=90°

.^BAC+2^DEA=180°

:.ZDEA=45°

在RtAOE中ZADE=90°IJJljZDAE=90°-ZDEA=45°

/.NADF=ZAFD=――"钻=67.5°

2

...ZCAD=ZADF-NACB=22.5°

（2）证明：延长。Af至点“使得M"=NP连接AH如图所示:

在Rt.AZ)石中ZADE=90°贝(jZDAE+NOE4=90。

/BAC+2/DE4=180。

/.ZBAC+2(90°-ZZME)=180°贝l|ZBAC=2ZDAE

DM1ACNP1AB

:.ZAMH=ZANP=9。。

在4Vp和中

AM=AN

<ZAMH=ZANP=90°

MH=NP

ANP^,AMH(SAS)

:,AH=APZPAN=ZHAM

ABAC=2ZDAE=/DAE+(ZDAM+ZBAE)

ZDAE=ZDAM+ZBAE=ZDAM+ZHAM=ADAH

在△4DP和ADH中

AH=AP

<ZDAE=ZDAH

AD=AD

.•.一AD尸"45H(SAS)

:.DP=DH

DH=DM+MHMH=NP

，DM+PN=DP

(3)证明：延长即至点H使得DR=DE连接4?CR如图所示:

在RtADE中ZADE=90°贝(jZDAE+NOEA=90。且/ADR=90。

ZBAC+2ZDEA=1^0

ABAC+2(90°-ZDAE)=180°贝(jZBAC=2ZDAE

在VAD£和一ADH中

AD=AD

<ZADE=NADR=90°

DR=DE

ADE咨ADR(SAS)

:.AR=AEZDAR=ZDAE

点。为CG的中点

:.DC=DG

在ADCR和ADGE中

DR=DE

<ZCDR=ZGDE

CD=GD

.•.CDR空GDE(SAS)

:.CR=GE

ABAC=2ZDAE=ZZME+(NZMC+NBAE)

ZDAR=ADAE=ZDAC+ABAE

ADAR=ZDAC+ZCAR

:.ZBAE=ACAR

在△AC/?和A5石中

AR=AE

<ZBAE=ZCAR

AB=AC

AC跆ABE(SAS)

:.BE=CR

CR=GE

:.BE=EG.

【点睛】本题考查几何综合涉及三角形内角和定理直角三角形两锐角互余等腰

三角形性质全等三角形的判定与性质中点定义等知识熟练掌握三角形全等的判

定与性质是解决问题的关键.

5.(1)475

(2)AE=2

(3)见解析

【分析】本题考查了矩形的性质全等三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判

定勾股定理熟练掌握以上知识是解题的关键

(1)根据勾股定理计算即可求解

(2)证明=皿得出映=防进而证明得出4£=皿即可得出E为

的中点即可求解

(3)过点G作GGLAC于点G交8C于点厂分别证明.叫E="C/(ASA)AD^^HQC

即可得出回=5HC=AA1进而根据"二加+修=人石+必即可得证.

【详解】(1)解：:矩形ABCD

ZABC=90°

在中AJB=4BC=8

••AC=VAB24-BC1=A/42+82=4-\/5

故答案为：46.

(2)解：•.•矩形ABC。和矩形A4GA

/.NA5C=NARG=90。

,/BF=D、F

/.ZFBDi=ZFD.B

ZABC-ZFBD,=ZA^DG—/FD】B艮|JZED.B=ZEBD,

ED,=EB

•/BDX_LAC

/.ZA+/ABD、=90°/ARE+NED1B=90°

/.NA=/ARE

：.AE=EDi

AE=EB=-AB=2

2

(3)解：如图过点G作CGAC于点G交于点尸

图3

;四边形4耳G2是矩形

GA=44幺RC]=90°

又A4=AR=CG

CC,=D£

C\G±AC4RG=90°

/.NFC、H=NCgH=90。一NGD\C[=/ADiE

在四边形EBFDI中NEBF=NED[F=90°

NEBF+ZED,F=180°NREB+ZBFD,=180°

又•/NAEDi+ZDtEB=180°

，ZAED]=ZDtFB=ZHFC]

在ARE,HCtF中

ZFCtH=ZADtE

<D1£=C1F

NAED]=NHFCi

：.AE\E均HCF(ASA)

AE=HFAR=HC\

在AQA，"C|C中

AD,=HC、

■ZCCtH=NARA

AQ=CC

/.AD^iHC,C(SAS')

HC=AAj

/.CF=FH+CH=AE+AAi.

6.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了平行四边形的性质矩形的判定及勾股定理等腰三角形的判定

与性质掌握矩形的判定和性质是解题的关键.

（1）根据平行四边形的性质可得AB”。。的关系根据平行四边形的判定可得BFDE

是平行四边形再根据矩形的判定可得答案

（2）勾股定理求得3c=8进而证明包=加根据等腰三角形的判定与性质可得

ZDAF=ADFA根据平行线的性质可得ZZ加4=根据角平分线的定义可得答案.

【详解】（1）二•四边形是平行四边形

/.ABCD,AB=CD

,/AE=CF

DF=BE

四边形跳7汨是平行四边形.

*/DE.LAB

：.ZDEB=90°

・二四边形母是矩形.

（2）由（1）知四边形9是矩形

/.ZBFC=90°.

在Rt5CF中CF=4BF=46

...BC=y/CF2+BF2-^42+（4A/3）2=8

,/AD=BC=8DF=8

/.AD=DF

/.ZDAF=ZDFA.

*/AB//CD

：.ZDFA=ZBAF

：.ZDAF=ZBAF

/..平分NDW.

7.(1)120

⑵①Z.OPF=90。+Z.OMB理由见解析②30°或120°

(3)40°

【分析】本题主要考查平行线的性质角平分线的定义三角形内角和定理熟练掌

握平行线的性质三角形内角和等知识是解题的关键.

(1)直接利用平行线的性质得到々GD的度数再根据平角的定义即可得到答案

(2)①设与。尸交于点。由印//AB可得NO尸尸=N0Q8再利用补角和三角形内角和得

出ZOQB=ZOMQ+90。即可

②由(1)可知ZBGD=60。然后分情况讨论：当。「8时当O暇〃CD时当时

三种情况分别得出结论即可

(3)先找出满足题中给出条件时的图形利用平分4CVWMN平分ZBMP设

ZNMP=ZKMP=ZBMN=x再禾［J用砂平分NOMV和/应0V=NKWP+Z7VMP列式求出x即可得

到答案.

【详解】(1)W：'.,CD//MP

ZBGD=ZOMP=60°

ZCGB=1800-ZBGD=120°

(2)解：①NO抒'=90。+/0虺？理由如下：

如图所示设A3与。尸交于点。

NOPF=NOQB

,/ZOQB=180°-ZOQM

=180。-(180。-ZMOQ-ZOMQ)

=ZMOQ+ZOMQ

=ZOMQ+90°

/.ZOPF=90°+ZOMB

②由(1)可知ZBGD=60°

当OP。时如图所示设A8与OP交于点。

,/OPCD

/.ZOQM=ZBGD=60°

NMOP=90。

/.ZOMB=180°-ZOQM-/MOP=30°

当OA/〃CD时如图所示

OM//CD

/.ZOMA=ZBGD=60°

ZOMB=180°-ZOMA=120°

当依〃8时ZOMB=1SO°（舍）

综上NOMB的度数为30。或120。

（3）解：当点尸在直线钻下方时如图

co

D

此时MP在ZKMN外部故不存在MP平分ZKMN

当点尸在直线A5上方时如图

:MP平分/KMNMN平分/BMP

,.没ZNMP=/KMP=/BMN=x

/^OMP=6Q°

ZOMN=AOMP+APMN=60。+%

/MK平吩4OMN

ZOMN60。+工

\/KMN=

22

•ZKMN=ZKMP+ZNMP=2x

60°+x个

--------=2x

2

解得：x=20。

ZBMP=NBMN+NMP=2x=40°

,/EF//AB

ZEPM=ZBMP=40°

，MP与直线所所夹锐角的度数为40。

8.⑴见解析

⑵劣弧PC的长为华

(3)见解析

【分析】（1）根据圆周角定理求得/APC=NAPO+NOPC=90。再证明/CP"=NAPO推出

ZOPH=ZCPH+ZOPC=900即可证明P"是,;。的切线

（2）利用垂径定理求得CQ='c=|证明△2仁”耍尸求得3=6利用特殊角的三

角函数值求得/QCP=30。推出CPQ是等边三角形据此求解即可

（3）过点尸G作的垂线垂足分别为"N证明.F£M"EGN（AAS）得到GN=£M

EN=FM根据三角函数的定义求得tan/"M=tanZACB=41=1推出CN=2GN=£M

EN=FM=IBM据止匕求解即可.

【详解】（1）证明：:AC是。的直径

，ZAPC=ZAPO+AOPC=90°

OA=OP

，ZAPO=ZCAP

ZCPH=ZCAP

，ZCPH=ZAPO

/.ZOPH=ZCPH+ZOPC=90°

TOP是。的半径

，PH是。的切线

（2）解：9：BE=1CE=2

：.3c=1+2=3

OPLBC

13

/.BQ=CQ=：BC=：NEPC=NPQC=90。

,/ZPCE=ZQCP

^PCE^/\QCP

•C^=CQ

•・CE-CP

3

CP=y/3

3

•：cosNQCP卫与声

CP62

/.ZQCP=30°

/.ZCPQ=60°

•/OC=OP

•••CPO是等边三角形

ZCOP=60°OC=CP=6

•••劣弧PC的长为竺巴亚=叵

1803

（3）解：过点尸G作BC的垂线垂足分别为MN

由旋转的性质知NFEG=90。EF=EG

/.ZFME=ZFEG=ZENG=90°

/FEM=90。-NGEN=/EGN

/.FEM^石GN(AAS)

:・GN=EMEN=FM

〈AC是。的直径

ZABC=90°

9：BDVAC

ZADB=90°

/.ZABD=900-ZBAD=ZACB

•/FM±BC

：.AB//FM

/.ZBFM=ZABD=ZACB

•/BC=2AB

AR1

/.tanZBFM=tanZACB=—=-

BC2

•GN-1BM_1

**~CN~2FA?"2

，CN=2GN=EMEN二FM=2BM

CE=CN+EN=2EM+2BM=2BE.

【点睛】本题考查了切线的判定圆周角定理解直角三角形相似三角形的判定和

性质全等三角形的判定和性质正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

9.(1)|

(2)2后或竽

(3)班的长为1或5或3+半或3-半.

【分析】(1)作四，3。于点H解直角三角形即可求解

(2)分点。，落在射线山上和点。,落在线段上时解直角三角形即可求解

(3)分当5=钻=2和W=D石=3两种情况讨论解直角三角形即可求解.

【详解】(1)解：如图作加，3c于点//

,**tanB=2y/2

设BH=a贝ljAH=2亿

*.*AB=3

/+（2亿『=32

解得。=1

/.BH=1贝!jA4=2应

.RBH1

••cosB=lF=i

故答案为：!

(2)解：如图点)落在射线班上时作DGLAD于点G

设AG=6贝（JEG=2-6

tanZD'AG=tanZABC=2&

D，G=2®

由折叠的性质知DE=DE=5-2=3

在RtWGE中由勾股定理得（2-6『+（2&b『=32

整理得9/-46-5=0

解得8=1或％=高（舍去）

JD'G=2^/2

：.AAED的面积=：AExZyG=gx2x20=20

如图点以落在线段上时作DGLAD交延长线于点G

tanZD'AG=tanZABC=272

D'G=2s/2c

由折叠的性质知DE=DE=5-2=3

在RtaDGE中由勾股定理得（2+c『+（2岳『=3。

整理得9/+46-5=0

解得6或b=T（舍去）

/.D'G=—y/2

9

/.AAED的面积=gAExZyG=：x2xg友=一应

综上△皿的面积为20或竽

（3）解：当必=隹=2且以在04的上方时如图作AHLBC于点目作。7_1_/1£）交。4延

长线于点T作EG，3c于点G则四边形A”GE是矩形

由折叠的性质知。£=OE=3ZjyEF=ZDEF

/.ZD'EA=2aZD'EF+ZDEF=180°+2a

/.ZUEF=/DEF=900+a

/.ZFEG=ZDEF-900=a

设AT=x

在RtAADT和RtA£DT中DfT2=AD,2-AT2=D'E2-ET2BP22-%2=32-（2+x）2

解得

DrT=^AD,2-AT2=^~

or=-+5=—

・•・*444

377

DfT4_a

••tancc------

DT217

4

在RtAEFG中EG=AH=2A/2tanZFEG=tancr=

7

•FGV7

••---=-----

EG7

:.FG=也

7

/.BF=BH+HG-FG=3-^^-

7

当必=AE=2且次在DA的下方时如图作于点H作交04延长线于点

T作EG，3c于点G则四边形AHGE是矩形

tan/FGF

同理ZFEG=c

77

/.BF=BH+HG+FG=3+^^-

7

当AZ7=DE=3且6在DA的上方时如图作。7，加交DA延长线于点7作EG，3c于点

G

2

r>T=V32-12=2A/2

设ZADD=a同理/FEG=c

DrT_2A/2_V2

tana=

^7-1+3-V

V|

在RtAEFG中EG=2V2tanZFEG=tana=

2

•FGV2

••=

EG2

，FG=2

BF=3-2=1

当W=DE=3且3在ZM的下方时如图作于点了作EGL5C于点G

/.DT=V32-12=2A/2

设ZADD=a同理NFEG=。

・D'T2A/2V2

••tan6/=----=------=—

DT1+32

在RtAEFG中EG=2^2tanZFEG=tana=

.FGV2

••="

EG2

「・FG=2

族=3+2=5

综上郎的长为1或5或3+半或3-半.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用平行四边形的性质等腰三角形的判定和

性质二次根式的混合运算折叠的性质解题的关键是学会用分类讨论的思想思考

问题.

10.（1）四边形ACED是矩形理由见解析

（2）①证明见解析②GH=^（GD-GF）证明见解析

【分析】（1）先证出3成再证出四边形AC即是平行四边形然后根据矩形的判定

即可得

（2）①先根据角平分线的定义可得/A瓦）=ZBAG=^ZCAB从而可得

ZABD+ZR4G=45。再根据三角形的外角性质可得ZAGr=45。由此即可得证

②过点G作GM〃AC交旗延长线于点“连接DM先证出ABF密GMF根据全等三

角形的性质可得跳'=怖再根据等腰三角形的性质可得犷=所=叱根据勾股定理可

得DM=6DF=e（GD-GF）然后证出四边形DHGU是平行四边形根据平行四边形的性

质可得G"=OW由此即可得.

【详解】（1）解：四边形AC即是矩形理由如下：

:平分

，ZABD=ZCBD

*/AD=AB

ZABD=ZADB

，ZCBD=ZADB

/.ADBE

又＜CE=AD

，四边形ACE。是平行四边形

*/ZACS=90°

/.ACE180??ACB90?

•••四边形ACE。是矩形.

(2)证明：①'・'在RtZXABC中ZACB=90°

ZABC+ZCAB=90°

平分/ABC

/.ZABD=ZCBD=-ZABC

2

丁AG平分ZC4B

ZBAG=ZCAG=-ZCAB

2

/.ZABD+ZBAG=-ZABC+-ZCAB=-(ZABC+ZCAB}=45°

222VJ

ZAGF=ZABD+ZBAG=45°

AF±BD

/.ZAFG=90°,ZFAG=90°-ZAGF=45°

/.ZFAG=ZAGF=45°

/.AF=GF

，AFG为等腰直角三角形.

②GH=^GD—GF)证明如下：

如图过点G作G肘〃AC交的延长线于点“连接。M

由上已得：AF=GFZAB尸+NB4G=45。NE4G=45。ZBAG=ZCAG

，ZGMF+ZAGM=ZFAG=45°

/.ZABF+ZBAG=ZGMF+ZAGM

9：GM//AC

：.ZCAG=ZAGM

：.ZBAG=ZAGM

/.ZABF=ZGMF

在AAB尸和/\GMF中

ZAFB=ZGFM=90°

</ABF=ZGMF

AF=GF

；.ABF^GMF（AAS）

BF=MF

VAD=ABAF±BD

/.DF=BF=MFZDFM=90°

DM=VDF2+A/F2=V2DF=y/2（GD-GF）ZFDM=ZFMD=45°

9：ZAG尸=45。AG1GH

：.ZDGH=90°-ZAGF=45°

ZDGH=NFDM=45°

/.DMGH

由（1）已证：四边形ACE。是矩形

/.DHAC

又•:GM//AC

GM//DH

••・四边形是平行四边形

GH=DM

：.GH=^（GD-GF）.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质平行四边形的判定与性质等腰三角形的判

定与性质三角形全等的判定与性质勾股定理等知识较难的是题（2）②通过作

辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键.

11.⑴（2五一）2

⑵存在最小值2仞；后

（3）存在点尸使得CPQ为等腰三角形NOA尸的度数为15。或60。

【分析】（1）过点。作，于点尸利用矩形的性质含30。角的直角三角形的性质

勾股定理求得3利用折叠的性质得到"=胡=4再利用勾股定理含3。。角的直角

三角形的性质求得DFOF即可得出结论

（2）过点E作EGLAC并延长交3C于点"连接交AC于点"利用全等三角形的

判定与性质得到点E与点“关于AC对称由将军饮马模型可知：此时&W的周长最

小.最小值为NH+NE利用直角三角形的边角关系定理勾股定理求得EN即可

得出结论

（3）利用分类讨论的思想方法解答：当点尸在点。的下方时①w=c。时利用等腰

三角形的性质和直角三角形的性质解答即可②CQ=P。时利用等腰三角形的性质和

直角三角形的性质解答即可存在PC=PQ的情形当点尸在点。的上方时此种情况

不存在当点尸在点。的上方时同样也不存在a。为等腰三角形.

【详解】（1）解：过点。作于点尸如图

•••点。(。，4)

/.OC=4

,••四边形0ABe为矩形

，BA=OC=4BC〃OA

，ZBCA=ZOAC=30°.

：.AC=2OC=8

•*.OA=ylAC2-OC2=4A/3.

.••将长方形。MC沿AC折叠使得点5落在点。处

，ZDCA=ZBCA=30°DA=BA=4

/.ZDCA=ZOAC

：.CE=AEZOCE=30°

ZOAD=30°

*/DF±OA

DF=-AD=2

2

•*.AF=YIAD2-DF2=2A/3

OF=OA-AF=2y/3.

•••点。的坐标为R6-2)

(2)解：在直线AC上存在点"使得的周长最小.

过点E作EG_LAC并延长交8C于点"连接NH交AC于点M如图

•••将长方形0MC沿AC折叠使得点5落在点。处

，ZDCA=ABCA

在CGE和CG/7中

ZDCA=ZBCA

<CG=CG

/CGE=/CGH=90。

：.CGEm&CGH（ASA）

：.CE=CHEG=HG

•••点£与点”关于AC对称

ME=MH.

则由将军饮马模型可知：此时的周长最小.最小值为NH+NE.

丁点N为。C的中点

/.ON=CN=-OC=2

2

由（1）知：ZCHZ）=30°

*/N。石C+NOCE=ZAED+NQ4Q=90。ZOEC=ZAED

：.ZOCE=ZOAD=30°

：.CE=2OE

OC2+OE2=CE2

•4A/3

・・OE=---

3

・•CE—2OE=.

3

•INE=^ON2+OE2

3

••「口1口8^3

・CH=CE=----

3

NH=yJcN2+CH2=.

3

，EMN的周长的最小值为巫产

（3）解：当点P在点O的下方时

①CP=CQ时如图

由（1）知：ZOAD=30°

*/CP=CQ

ZCPQ=ZCQP=18。；30。=75。

/.ZOAP=90°-ZOPQ=15°

②CQ=PQ时如图

•/C0=尸。

/.NQPC=NOCO=30°

，ZOAP=90°-ZQPC=60°.

③不存在PC=PQ的情形

当点P在点O的上方时如图

若PC=PQ贝UAPQC=ZOCD=30°

/.ZOPA=ZPCQ+APQC=60°

ZOAP=90°-ZOPA=30°=ZOAC

•••AP与AC重合此种情况不存在.

当点尸在点。的上方时如图

同样也不存在。尸。为等腰三角形

综上存在点尸使得CPQ为等腰三角形NO"的度数为15。或60。.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质折叠的性质直角三角形的性质勾股定理

含30。角的直角三角形的性质直角三角形的边角关系定理点的坐标的特征分类讨

论的思想方法利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

12.⑴见解析

(2)见解析

⑶与

【分析】(1)根据题意得到加=9。。-/班C根据三角形内角和定理得到

/4贸=3(180。一/240)=90。-：/24€?继而得至

ZCAD=ZCBD=/ABC-ZABE=90°-1ABAC-(90°-ABAC)=；ABAC艮口可得至I」ABAC=2ZCAD

(2)作。的直径CG.连接A。BODO证明AOC^AOB(SSS)ZOAC-ZOAB-1ABAC

ZOAC=ZCAD继而证明AG=OC可推出ZACG=NCBD=".继而可证明ZACG+ZACF=90。

即可证明结论

(3)由(2)可得ZF=/CBO推出BC=k=4占.过点。作于点M.设AE=x则

CE=10-x.根据在笈一^^二台百二^^一庭。建立方程可求得他=6CE=4继而求得

BE^^AB2-AE2=V102-62=8.证明得4f=警=皆可求得。旧=3AD=3也

DtLCzinC

ii_33

BD=DE+BE=H.®®S=-AB-DM=-BDAE可得

AM=VAD2-DM2J（375）24|T=|根据三角函数的定义即可求解.

【详解】（1）证明：上于点E

/.ZABE=900-ZBAC.

/AB=AC

:.ZABC=ZACB

：.ZABC=1（180°-ABAC）=90°-1ABAC

.，.ACAD=NCBD=ZABC-ZABE=90°-1ABAC-（900-NBAC）=；ABAC

ZBAC=2ZCAD

（2）证明：如图①作。的直径CG.

FD=CD

ZF=ZDCF

：.ABAC=ZBDC=NF+NDCF=2ZF.

由⑴可得ZSAC=2/C4D=2NCBD

/.NF=NCBD.

连接AOBODO

AC=ABAO=AOCO=BO

AOC^AOB（SSS）

NOAC=ZOAB=-ABAC

2

OA=OC

,\ZOAC=ZOCA