2025年中考数学一模试题分类汇编：中考压轴题（解析版）

专题10中考压轴题

|题型概览

题型01几何压轴——平移

题型02几何压轴一对称

题型03几何压轴一旋转

题型04二次函数综合—线段问题

题型05二次函数综合—面积问题

题型06二次函数综合—角度问题

题型07二次函数综合—三角形问题

题型08二次函数综合—四边形问题

题型09二次函数综合—其他问题

几何压轴一一平移

1.(2025・天津西青•一模)将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点0(0,0),点网6,0),

图①图②

(1)填空：如图①，点C的坐标为一，点A的坐标为」

⑵连接AC,将直角三角形纸片QAB沿AC剪开，把AOLC水平向右平移得到ADEF,点。，A,C的对应

点分别是E,F,设0。=/.

①如图②，当ADE户与VA5c重叠部分为五边形时，即分别与AB,AC相交于点G,H,所与A5相

交于点试用含有/的式子表示GM的长，并直接写出/的取值范围；

②当时，求AD即与VABC重叠部分的面积S的取值范围.(直接写出结果即可)

【答案】(1)30),

(2)@GM=—t(0<r<3)；.

282

【分析】(1)由点3(6,0),得到03=6,根据点C是边OB的中点，得到OC=BC=goB=3,从而得出点

C坐标，连接OC,过点A作ANLOC于点N,证明A01C为等边三角形，求出ON,AN,即可得出点A坐

标；

(2)①由平移可知，“DEFJOAC,DE〃。8CF=OD=t,有DF=EF=3,NE=NEFC=60。,得到

FB=FM=3T,再得到90。，根据解直角三角形可得答案；

②分两种情况：当1白<3时，重叠部分为五边形，当34区5时，重叠部分为直角三角形DG8,分别求解

即可得出答案.

【详解】(1)解：•・•点3(6,0)，

OB=6,

•.•点C是边OB的中点，

/.OC=BC=-OB=3,

2

.••点C（3,0）,

如图，连接AC,过点A作4V_L0C于点N,

图①

VZOAB=90°,OC=BC,

AC=OC

,：ZAOB=60°,

AOAC为等边三角形，

...OA=OC=3,

;AN±OC,

13

:.ON=-OC=-

22

AN=y/o^-ON2=

.•点A

故答案为：（3,0）,

（2）解：①由（1）可知，△Q4C为等边三角形,

由平移可知，»EF"QAC,DE//OA,CF=OD=t,有DF=EF=3,/E=NEFC=60：

：.FB=CB-CF=3-tf

・.・ZOAB=90°,ZAOB=60°,

・・・ZABO=30°,

・•・ZFMB=ZEFC-ZABO=30°,

・•・NFMB=ZABO,

：.FB=FM=3—t,

：.EM=EF-FM=t,

■:DE//OA,

：.NDGM=ZOAB=90°,

：.ZEGM=90°,

在RSEGM中，ZE=60°,

・•・GM=EMsinE=争(0</<3)；

②当1W，<3时，重叠部分为五边形,

••S=SAEDF~S&DHC-S&EGM，

由平移可得，DH\\OAf

：・AHDCS^AOC,

•••△HDC为等边三角形,

S.DHC=之=乎口一/丁,

同理，s△四=¥*32=:百，

在Rt/iEGM中,

V1<Z<3,

••"=1时，，"=弓后/=2时，5_=173,

oZ

.•.-A/3<S<-^,

82

当3WY5时，重叠部分为直角三角形DGS,

在RtADGB中，

,//ABO=30。，

Gr)=r>B-sin30°=1r>B=1(OB-OD)=|(6-/),

：S=S-0GB=；DGGB=；.DG.6DG=§DG2=与1(6-r)=》6—r)2,

'：3<t<5,

f=5时，Smin=J=3时，Smax=-6，

o3

二旦s4?岔

88

综上所述，s取值范围为：旦4s4空.

82

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，

勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键.

2.(2025・山东日照•一模)综合与实践

［问题背景］:

如图1,在四边形ABC。中，AB=5,BC=4,AD±CD,连接AC,AC±BC,过点C作CE1AB于点

E,且CE=CD.

(1)求证：AD=AE.

［操作探究］:

如图2,将AACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A,C,。的对应点分别为点H,C,Di,且点A

与点E重合.

(2)①连接DD,试判断四边形血＞7)的形状，并说明理由；

②求出AACD平移的距离.

［拓展创新］:

如图3,在(2)的条件下，将△AC77绕点£按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线C力’分

别与边AB,BC交于点、N,M.

(3)当C'E〃切W时，请求出RV的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)①四边形血)7)为菱形，理由见解析；②£；(3)花

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平移、旋转的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判

定等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)利用"HL"证明R3ACZ汪R3ACE,即可得到结论；

(2)①根据平移的性质和菱形的判定即可求解；

AT

②先证明AACES44BC,由相似三角形的性质得到=再由勾股定理求出AC长度，即可求解；

ACAB

12

(3)先证明£N=C'N,再通过三角形的面积求出CE的长，设CN=EN=x,则。'N=《-x,再利用勾股

定理求解即可.

【详解】(1)证明：•.•ADLCUCELAB,

ZADC=ZAEC=90°.

又：CD=CE,AC=AC,

：.RtAACD^RtAACE.

/.AD^AE-,

(2)①四边形AED'D是菱形.

理由：由平移的性质，得A'O〃AE),AD=AD-

.四边形AEDZ)是平行四边形.

由(1),得AD=A£.

••・四边形WD是菱形;

(2)ZAEC=ZACB=90°,ZCAE=ABAC,

AACE^AABC.

.AEAC

**AC-

在Rt^ABC中，AC7AB2-BC。=3.

.•.A羊F=：3,解得AE=,9.

Q

/.AACD平移的距离为:；

(3)解：,：CE//BM,

：.ZB=ZNEC,ZBMN=ZEC'N.

,：AACES^ABC,

：.ZACE=NB,,

由旋转得ZACE=Z.ECN,

Z.B=ZEC'N,

：.ZEC'N=ZNEC.

：.EN=C'N.

SZ/,A./IKDLr=2-ACBC=2-ABCE,

：.CE=—.

5

12

・•・C'D'=CD=CE=—.

5

9

由旋转的性质，得。E=AO=A£=g,NCDE=ND=90。.

12

设CN=EN=x,贝iJDN=《-x.

在RtZkEZXV中，根据勾股定理,

53

BN=AB-AE-EN=—

40

3.（2025・河南周口•一模）综合与实践

学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究.

【模型感知】

（1）她把边长为3的正方形纸片ABC。沿着对角线AC剪开，如图1.然后固定纸片VA3C,把纸片AlDC

沿剪痕AC的方向平移得到△A'D'C',如图2.连接A2,D'B,D'C,在平移过程中：

①四边形A8CD的形状始终是（点A与点C重合时除外）；

②求A3+D3的最小值.

【拓展探究】

（2）如图3,她把正方形改为边长为1的菱形ABC。，DAB=60°,将△ADC沿射线AC的方向平移得

到△ADC',连接A3,D'B,D'C,请直接写出+的最小值.

【答案】（1）①平行四边形；②3石；（2）不

【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论；

②作点C关于切'的对称点C”，连接3C",DC",当反。,C"共线时，AB+D'B=D'C+D'BD'C"+D'B

有最小值，再证明AOCC"是等腰直角三角形，且ARC"共线，在直角AABC〃中，利用勾股定理即可求解.

（2）同理可得ADCC"是等边三角形，且ARC"共线，进而利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）①1•纸片△ADC沿剪痕AC的方向平移得到△ADC',

...ND=BC,AD//BC,

二.四边形ABCD'是平行四边形，

故答案是：平行四边形；

②•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.AB=D'C,

：.AB+D'B=D'C+D'B,

作点C关于DD的对称点C",连接BC",DC",

当B,D',C"共线时，AB+DB=DfC+D'B=DC+D'B有最小值,

此时AB+D'B的最小值=BC",

VDA//DC,DC=D'C,

四边形OCDC'是平行四边形,

...ZD'DC=ZC=45°,

；c关于。。的对称点C",

...NDDC"=ZD'DC=45°,DC"=DC,

...△DCC"是等腰直角三角形，且A,2C"共线,

二在直角AABC"中，BC"=AB1+AC"2=732+(3+3)2=375,

，A3+D5的最小值=36.

(2)如图所示，，

•四边形A3CD'是菱形,

AB=D'C,

：.AB+D'B=D'C+D'B,

作点C关于。D的对称点C",连接3C",DC：

当B,D',C"共线时，AB+D'B=DC+D'B=DC"+UB有最小值,

此时AB+D'B的最小值=BC",

VDA//D'C,DC=D'C,

二四边形nene是平行四边形,

：.ZD'DC=ZC=30°,

,.^c关于£>zy的对称点c",

...ZC/DC"=ZD'DC=30°,DC"=DC,

；.ADCC”是等边三角形,且ARC"共线，

二在直角^ABC"中,BC"=^AC--AB1=722+12=，

/.A'3+ZZB的最小值=百.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称

的性质，作出点C关于。。的对称点，是解题的关键.

几何压轴对称

1.(2025•辽宁抚顺•一模)如图，在VABC中，AB=AC,N54C=9O。，点D是边AC上的一动点，CELBD,

垂足为点E,将VBEC沿3c翻折得到△3FC,连接AF.

②求证：CF+BF=^AF;

(2)如图2,^AB=AC=2sf5,当点。是AC中点时，求的面积.

【答案】⑴①见解析，②见解析

(2)A4B尸的面积为12

【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、

折叠性质等知识点，灵活运用相关知识成为结题的关键.

(1)①由垂线的定义以及翻折的定义可得NBFC=NB£C=90。，然后根据四边形的内角和定理即可解答;

②如图，延长阳至点打，使BH=CF,结合①的结论可得ZABH=ZACF,再证明△/断丝△ACF可得

AH=AF,ZHAB=/FAC,进而证明厂是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可解

答；

（2）如图：过点A作47,3尸于点G,先说明NABO=NECD,再根据正切的定义可得

tan/A8D=¥=^=］，进而得到我,，设£D=x,则CE=2x,根据勾股定理列方程可得x=l,

AB2,52CE2

进而得到AF=4夜，再解直角三角形可得AG=4,最后根据三角形的面积公式即可解答.

【详解】（1）证明：①；BELCE,

:.ZBEC=90°,

:ABCF由ABCE翻折得到的，

:.NBFC=ZBEC=90。,

vZS4C=90°,四边形MFC的内角和是360。，

ZABF+ZACF=360°-90°-90°=180°.

②如图，延长阳至点使BH=CF,

由^ABF+^ABH=180°,

ZABH=ZACF,

■：AB=AC,

:△ABH^\ACF(SAS),

:.AH=AF,ZHAB=ZFAC,

ZHAB+NBAF=ZFAC+ZBAF=NBAC=90°,即NH4尸=90°,

.•.△/MF是等腰直角三角形，

HF=42AF，HF=HB+BF=CF+BF,

:.CF+BF=y[2AF.

(2)解：如图：过点A作AGXBF于点G,

A

E

ABAC=2j^,点。是AC中点,

AD1

:.AD=CD=45

~AB~2^/5~2

ZADB=ZEDC,ZBAC=ZDEC=90°,

:.ZABD=AECD,

在RtAABD中，="=

AB2旧2

由勾股定理得BD=yjAB2+AD2=，（勾『+（2君J=5,

DF1

/.tan^DCE=——=-,

CE2

QCD=5

设石D=x,贝IJC石=2%,

在Rt/XCDE中，由勾股定理得一+（2x）2=（有『，

:.x=l,

:.CE=CF=2,

BE=BD+DE=5+1=6,BPBF=BE=6,

由C尸+BF=>/£4尸，

.•.2+6=A/2AF,

A/=4&，

由（2）得，△〃4尸是等腰直角三角形，

.,.在Rtz^AFG中，/AFG=45°,

AG=4应xsin45o=4,

S=—BF-AG=—x6x4=12.

AKF22

答：AAB尸的面积为12.

2.（2025•江苏泰州•一模）在“纸片中的数学”主题综合实践活动中，某数学小组利用纸片裁剪或者折叠操作

后，发现了很多有趣的数学问题.

【观察证明】

问题1:一张长方形纸片最多可以剪出多少个大小一样的等腰直角三角形？

如图1,长方形纸片A38中，AB=4,BC=5.5,小组成员小明在长方形纸片ABC。中，已经剪出8个腰

长为2的等腰直角三角形（如图1所示）.小组成员小刚探究发现，在剪剩下的长方形CDEE中还能再剪出

1个腰长为2的等腰直角三角形.请你在图1长方形CD砂中画出该三角形的示意图，并通过计算说明小刚

的说法是正确的.

图1

【操作实践】

问题2：一张正方形纸片是否可以折出正六边形?

如图2,小组成员小东按图2步骤折叠正方形.最后从线段一处剪开，并展开纸片，得到了正六边形.若原

正方形边长为6,则折出的正六边形的边长为

---------------------------►

从下向上对折一次左右对折两次展开

【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定和性质，理解题意，综合运用

这些知识点是解题关键.

观察证明：根据题意作出图形，根据题意得出CM=7^万=2应，过点N作垂足为H,

NH=；CM3,结合线段长度记录得出结果；

操作实践：根据题意得出8C〃AG,£F=m,再由直角三角形的性质及平行线的性质确定

ZGHA=ZFHA=ZFHA=60°,根据折叠问题确定=60。,AE=ME,结合图形即可求解.

【详解】解：观察证明：如图，AMNC为符合条件的示意图，其中M0=NC=2,ZMNC=90°,

CM=A/22+22=2A/2，

过点N作NHLCM,垂足为H,NH=；CM=形,

VED=1.5,CD=4,

：.NH<ED,CM<CD,

能再剪1个腰长为2的等腰直角三角形；

操作实践：根据折叠过程，如图所示标注字母：

二点F为线段EH的中点，ZFAH=ZAHG

，AF=EF=HF,

:•/FAH=/FHA!,

：.ZGHA=ZFHA1,

•.•折叠，

/.ZGHA=NFHA'=Z.FHA,

/.ZGHA=ZFHA=ZFHA=60°,

ZA'EA=2ZHEA=2x(90°-60°)=60°,

根据题中折叠，得出NAEW=60o,A£=ME,

.••△"Af为等边三角形，

最后从线段AM处剪开，并展开纸片，得到了正六边形;

•.■正方形边长为6,

AE=—x6=3,

2

.••折出的正六边形的边长为3,

故答案为：AM,3.

3.(2025•辽宁葫芦岛•一模)如图，VA2C中，ZACB=45°.将VABC沿AC翻折，点B落到点。处，过点

D昨DH//BC,交54的延长线于点H,CFLAD,垂足为点下，点M在线段CP上，CM=FD=10,连

⑴如图1,求证：=90°；

(2)如图2,连接AAf,若ZMAF=NHAF.

①求证：AB=AM^

②求A8的长度.

【答案】⑴见解析

(2)①见解析；②25

【分析】(1)结合翻折的性质证明VBCM可如，利用全等三角形性质求解，即可解题；

(2)①根据题意证明AD〃mf,进而得到/曲F=尸=有/，再进行等量代换，并结合等

腰三角形性质，即可证明=

②过点A作于点N,结合叠的性质推出==利用等腰三角形性质得到

BN=MN=-BM,再证明四边形㈤尸为矩形，得到AF=M0,AN=脑"T§：AB=AM=AD=m,得到

2

NM=AF=m-W,结合勾股定理得到-7=51⑼一，据此建立方程求解，即可解题.

2

【详解】(1)证明：・・,/ACB=45。，VABC沿AC翻折，点8落到点。处，

BC=CD,ZDCA=ZACB=45°,

:.ZBCD=90。,

ZBCM+ZDCF=90°,

vCF±AZ),即NCRD=90。，

/.ZDCF+ZCDF=90°,

.\ZBCM=ZCDF,

・・・CM=FD=10,

/.△BCM^ACDF(SAS),

.\ZBMC=ZCFD=90°；

(2)①证明：•・•CFLAD,

.•.ZAFC=90。，

\-ZBMC=90°,

/.ZAFC=/BMC=90°,

:.AD//BM,

...ZHAF=ZABM,ZMAF=ZAMB,

ZMAF=ZHAF,

:.ZABM=ZAMB,

•.AB=AM；

②过点A作AN,5M于点N,

由折叠的性质可知，AD=AB,

・・•AB=AM,

AB=AM=AD,BN=MN=-BM,

2

•・•/BMC=90。,

/.ZBMF=90°=ZAFC=ZANM,

••・四边形4vMp为矩形，

AF=NM,AN=MF,

^AB=AM=AD=m,

■：CM=FD=10,

:.NM=AF=AD-FD=m-lO,

AN=MF=y/AM2-AF2=^2-(m-10)2,

■：VBCM^VCDF,

BM=CF=CM+MF=10+,苏-(吁101

Jm2(丑10)-

:.NM=-BM=5+

22

,5+押一(,—Of“TO,

2

整理得病-35%+250=0,

解得机=25或m=10（不合题意，舍去）,

AB=25.

【点睛】本题考查了翻折的性质，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质，矩形性

质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用.

4.（2025・广东东莞•一模）综合与实践课上，同学们以"折纸”为主题开展数学活动.

【动手操作】

如图1.将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点。与点B重合，得到折痕AC.打开后，再将正方形ABCZ）

折叠，使得点。落在边上的点尸处，得到折痕G〃，折痕G”与折痕AC交于点Q,打开铺平，连接P。、

QD、PD.

图1

【探究提炼】

(1)如图1,点尸是上任意一点；线段。。和线段PQ存在什么关系？并说明理由;

(2)如图2,连接尸当恰好垂直于AC时，求线段C。的长度;

【类比迁移】

（3）如图3,某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABC。，其中N3CE>=60。.现打算在草坪中修建步

HAC^MN-ND-DM,使得点Af在2c上，点N在AC上，且MN=ND.

图3

①求NAMD的度数；

②请问步道MV-ND-ZW所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请度

毯写出最小值：若不存在，说明理由.

【答案】（1）QD=PQ,理由见解析；（2）8cm；（3）①120。；②存在、lOOgn?

【分析】（1）根据折叠的性质可知G8垂直平分PO,再结合垂直平分线性质求解，即可解题；

（2）结合折叠的性质烟汨丝NQ/TO,理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到

ZQHD=ZQHP=ZQDH=ZQPH,结合正方形性质得到=67.5。，再利用三角形内角和定理推出

ZDQC^ZQDH,最后根据等腰三角形性质求解，即可解题.

（3）①过点N作3c于点R,过点N作NSLDC于点S,利用四边形内角和得到NRVS,结合菱形

性质证明昭ANRM"&ANSD,结合全等的性质进行等量代换，即可解题；

②过点"作八夕_£加0于点T,结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到NT=@M£>,

6

进而得到SVMND=正加22,当最小时，AMND面积最小，即A/D_LBC时，zJWM）面积最小，利用直角

12

三角形性质和勾股定理求出版，即可解题.

【详解】解：（1）QD=PQ,理由如下：

由折叠的性质可知GH垂直平分尸。，

QD=PQ；

（2）由（1）知，Q8垂直平分尸O,

:.DH=PH,

-：QD=QP,

由折叠的性质同理可得QP=QH,

：.QD=QH,ZQHP=ZQPH,

QQH=QH,

..△QHP0NQHD(SSS),ZQHD=ZQDH,

z.ZQHD=ZQHP=ZQDH=ZQPH,

PH恰好垂直于AC,

,・,四边形ABCD为正方形，

二.AC平分ZPCH,ZPCH=90°,

:,PC=CH,

ZPHC=Z.HPC=45°,

/./PHD=180。—45°=135°,

135°

ZQDH=ZQPH=ZQHD=ZQHP==67.5°,

/.ZDQC=180。—ZACD-ZQDH=67.5°,

:.ZDQC=ZQDHf

•・,正方形ABCD边长为8cm,

QC=DC=8cm；

(3)①解：过点N作于点R,过点N作NSLOC于点S,

V/BCD=60°,

ZRNS=360°-2x90°-60°=120°,

・・•草坪ABC。为菱形，AC为菱形ABC。的对角线,

；.NR=NS,

•••MN=ND,

Rt^NRM^Rt^NSD[HL),

ZRNM=ZSND,

:.ZMND=ZSND+ZSNM=/RNM+/SNM=ZRNS=120°；

②解：存在，

过点N作NTLMD于点T,

AD

2

•・•/NMD=120。,

ZNDM=ZNMD=30°,

:,NT=-MN,

2

•・,NT2+MT2=MN\

NT2+-MD2=4NT?,

4

整理得NT=—MD,

6

S=-MDNT=-MD-—MD=—MD2,

VMNmD22612

，当MD最小时，AMAZD面积最小，

即MD_LBC时，AMND面积最小，

菱形草坪ABCD的边长为40m,

:.MC=-DC=20m,

2

DM=y)DC2-MC2=20V3m，

22

•••SVMND=—MZ)=—x1200=100^(m).

"MNDl212

【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，正

方形性质，三角形内角和定理，菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键作辅助

线构造全等三角形.

5.(2025•福建泉州•一模)综合与实践：

在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角

形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1）,已知

准ZSAC=ZACD=90°,AC=4cm,AB=CD=3cm.

备

AE

图1

如图2,小明同学把VABC沿直线区4平移，当点B与点A重合时，点C与

点。重合，点A的对应点为点AL

C

平

移

A'

图2

结论1：四边形A4'DC是矩形；

实

践如图3,小红同学把VABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点C恰好落

探在边AD上时，点B的对应点为点8',B'C'与边AC交于点E.

究B'C

弋»

旋

转

A

图3

结论2：可求出图中任意一条线段的长，如CE；

对如图4,若点分别是BC,AO的中点，小军同学将△曲沿着直线AM

折对折，点B的对应点为4.

式%__小_

AN

图4

结论3：①点C,4,N在同一条直线上；

②可求出线段的长.

验

证根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算.结论3

计中①②可任选一个，②比①多得2分.

算

【答案】结论1：见解析；结论2：C£=|cm;结论3：①见解析；②NB］弋cm

【分析】(1)根据平移的性质得到AC=AD,AC//AD,再利用矩形的判定即可证明；

(2)先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据旋转的性质得到=NB'AC'=NR4C=90。，

B'C'=BC,利用直角三角形的性质和等角对等边推出AE=B'E=C'E,得出AE的长度，再利用

CE=AC—AE即可求解；

(3)①连接耳C、NC,先证明四边形40CN是平行四边形，得出NC〃40,再由翻折的性质得到

B}M=BM,ZBtMA=ZBMA,进而得出,推出用C〃AM,即可得证；②作AF13C于

点F,作与C于点G,利用等面积法求出AF的长，再利用勾股定理求出M尸的长，再证明

△MCG名AAMF,得到CG=MF\再利用等腰三角形的性质得出BQ的长，即可求出线段入蜴的长.

【详解】解：结论L

由平移的性质得，AC=AD,AC//AD,

二四边形A4'OC是平行四边形，

XvZACr>=90°,

・•・平行四边形A4'DC是矩形.

结论2：

ZBAC=ZACD=90°,

.■.AB//CD,BC=VAB2+AC2=^32+42=5cm>

又<AB=CD,

四边形A5C。是平行四边形，

/.BC//AD,

:.ABCA=^CAD,

由旋转的性质得，ZB'C'A=ZBCA,ZB'AC'=ZBAC=90°,B'C'=BC=5cm,

:.ZB'C'A=ZCAD,

:.AE=C'E,

■：ZAB'C+ZB'C'A=AB'AE+ACAD=90°,

:.ZAB'C'=ZB'AE,

:.AE=B'E,

AE=B'E=C'E=~B'C'=-cm,

22

53

:.CE=AC-AE=4--=-cm.

22

结论3：

①如图，连接AC、NC,

图4

由结论2可得，四边形ABC。是平行四边形,

/.AD=BC=5cm,BC//AD,

,・•点M,N分别是BC,AD的中点，ZBAC=ZACD=90°,

:.AM=BM=CM=-BC=-cmNC=AN=-AD=-cm

22f22f

:.CM=AN,

又〈CM〃⑷V,

.•・四边形AMCN是平行四边形,

.'.NC//AM,

由翻折的性质得，B,M=BM,ZB{MA=ZBMAf

/.BXM=CM,ZB.MC=180°-ZB.MA-ZBMA=1800-2ZBMA,

"‘CM=18°。"C=18。。-(-MA)=.A,

122

:.BtC//AM,

直线NC和直线B|C重合，

点C,Bi，N在同一条直线上；

②如图，作APIBC于点F,作MG,2c于点G,

C

SVAB=-ABAC=-BCAF,

22

由①中的结论得，^BXCM=ZBMA,即NGCM=NFM4,

又・・・NMGC=NA™=90。，CM=AM,

「.△MCG也△AMF（AAS）,

7

,\CG=MF=—cm,

10

vB}M=CM,MGLB.C,

7

二.B.G=CG——cm,

110

7

B,C=B1G+CG——cm,

115

5711

:.NB\=NC—B、C=-------=—cm.

112510

【点睛】本题主要考查了图形变换（平移、旋转、翻折）的性质、矩形的判定、直角三角形的性质、等腰

三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握图形变换（平移、旋转、翻折）的性质是解题的关键.本题属

于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生.

几何压轴旋转

1.(2025・四川成都•一模)如图，四边形ABCD和EFGB均为正方形，将EFGB绕点3旋转;

(1)如图①，连接CE、AG,判断直线AG、CE的位置关系并说明理由；

(2)如图②，连接BF,若/DFC=135。，探索并证明线段BRCF、。尸的数量关系；

(3)如图③，若正方形ABC。、边长分别为4、2,EFGB绕点B旋转一周,直线AG与CE相交于点H,

直接写线段D"的最小值及点H运动轨迹的长度.

【答案】(1)AG，CE,理由见解析

(2)2CF2+DF2=BF2,证明见解析

⑶的最小值为2#,点H的运动轨迹的长度为旧互

3

【分析】(1)延长交CE的延长线于点延长AG交CE于点N,证明AABG/ACBE(SAS),进而可

证明/AW=90°,即可得结论；

(2)将OF绕点。顺时针旋转90。至连接A£，W，证明AC"/"IT岑(SAS),得CF=A£,

FF；=2DF,,Z4=Z5,将8尸绕点B逆时针旋转90。至愿，连接A0万鸟，同理可得C尸=A8,Z6=Z7,

BF=BF2,FF；=2BF?,进而可得GA玛三点共线，FXF2=2CF,用勾股定理即可得结论；

(3)作应于L,得sin/2=半，在正方形EFGB绕点B旋转过程中，BG>BL,当3G=3乙时，BL

最大，此时/2最大，得N2=30。，AG741-展=2也，由(1)可知，AH±CE,得点”在以AC为直

径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论.

【详解】(1)解：AG±CE,理由如下，延长48交CE的延长线于点延长AG交CE于点N,

ZABC^ZGBE=90°,

/.ZABG+NGBC=/CBE+/GBC,

,\ZABG=ZCBE,

•・・AB=BC,BG=BE,

/.△ABG^ACBE(SAS),

♦:/BAG=/BCE,

•/ZCBM=90°,

/BCE+/BMC=90°,

/.ZBAG+ZAMN=90°,

:.ZANM=90°,

:.ANICE,即AG_LCE；

(2)解：BF2=2CF2+DF2,理由如下，

•・•四边形ABC。是正方形，

，AB=BC=CD=AD,ABAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,

如图，将。尸绕点。顺时针旋转90。至。片，连接人耳,以；,

DF=DR,

图②

Z1+ZADF=ZADF+Z3=90°,

：.Z\=Z3,

:.ACDF咨AADF{(SAS),

2

CF=AFl,FF^=2DF,Z4=Z5,ZDFXA=ZDFC=135°,

如图，将跳■绕点B逆时针旋转90。至B6,连接A8,缶，

同理可证^CBF^^ABF2(SAS),

2

CF=AF2,/6=N7,BF=BF2,FF;=2BF,

­.•Z5+Z6=9O°,

Z4+Z7+ABAD=180°,

.•・K，A,月三点共线,

FlF2=2CF,

•;DF=DR,AFDFX=90°,

N£>£B=45°,

ZF^F=90°,

在RtAWK中，尸4=片琢+尸耳，

BP2BF2=(2CF)2+2£>F2,

BF2=2CF2+OF2；

(3)解：•.•正方形EFG3绕点8旋转一周，BG=BE,

:.B、E在以8为圆心，2为半径圆上，如图所示：

图③

BL

作或_LAH于L,RtAABL中，sinZ2=—,

AB

在正方形EFGB绕点8旋转过程中，BG>BL,

当BG=班时，BL最大,

此时/2最大，sinZ2=-,

2

.-.Z2=30o,

47=，不-22=26,

由（1）可知，AHYCE,

.-.ZAHC=90°,

连接AC,取AC中点连接

在以AC为直径的。M上，

QABAC=；ABAD=45°,Z8=45°-3O°=15°,

■:AM=MH，

.•.Z8=Z9=15°,

.-.Z1O=Z8+Z9=3O°,

此时尸、H重合，。归最小，如图所示:

：.ZN=90°,NH//BC,

ZCHN=ZBCE,

由（1）知，△ABG四△CBE,

ZBCE=Z2=30°,CE=AG=273,

ZCHN=30°,CH=CE-EH=243-2,

:.CN=-CH=y/3-l,HN=———=gCN=3-G

2tanZCHN

DF=^DN'+HN2=J（4+A/3-1）2+（3-A/3）2=276,

当点G在AB左侧时，如图所示：

一一图③

同理可得N2=30°,40=30°,

点G从A8左侧运动到右侧，点H在。M上转过的角度为180。-30。-30。=120。，

点G从右侧运动到左侧，点H在。M上转过的角度为180。-30。-30。=120。，

1.•正方形的边长为4,

FM=CM=272，

7r

•••点H的运动轨迹为120x2.*2=殳&.

1803

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质及判定，求动点

的运动轨迹等动态几何问题，综合性强，难度较大，能正确作出辅助线并结合图形分类讨论是正确解答此

题的关键.

2.（2025・陕西咸阳•一模）【问题探究】

（1）如图①，在VABC中，AB=AC,ZB=40°,点。是8C上的一动点，连接A£）,将少绕点A逆

时针旋转得到“虑，当AE的值最小时，求/。山的度数；

【问题解决】

（2）如图②，四边形A2CZ）是一个工厂的平面示意图，A£>=1000m,AD//BC,CD1BC,连接80,

=1600m,8。平分/ABC,点E是8。的中点，点厂是BC上一动点，在P处修建一个员工休息处，连

接跖，将所绕点E逆时针旋转90。得到线段EG,按规划在G处修建一个废品处理站，MN是一条产品加

工线，其中点M在A3上，点N是四边形"CD内一动点，MB=MN=\AB,为方便回收废品，现要沿NG

安装一条自动运输带.为节约成本，要使自动运输带NG的长尽可能的小，自动运输带NG的长是否存在最

小值，若存在，请求出NG的最小值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）50°；（2）自动运输带NG的长存在最小值，NG的最小值为800m

【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得NACB=NB=40。，ZBAC=100°,由旋转的性质得

AE=AD,ZCAE=ZBAD,当AE最小时，此时4。也最小，即当13C时，最小（如图），由等腰

三角形三线合一得4MZ）=；N8AC=50。，可得结论；

（2）连接AE并延长交BC于点。，连接DQ,证明AADE之AQBE（ASA）,可得四边形ABQ。是平行四边

形，进一步证明四边形AB。。是菱形，得AQL8。，AB=BQ=AD=1000,QE=AE=^AB1-BE1=600.

以M为圆心MB为半径作弧，该弧交AB于点R,连接助，推出点N在以河为圆心MB为半径的四边形

A3CD内的弧上运动，继而推出鹿是AAB。的中位线，得RE=；BQ=500,RE//BQ,过点石作石？，3。

于点尸，过点G作/，3c于点S,过点E作瓦7，/于点H,可得/尸硝=90。，根据旋转的性质得跖=EG,

NFEG=90°,证明AFEP丝AGEH（AAS）,得到£?=即，推出随着点尸的运动，点G在直线/上运动，过

点M作MO，/于点0,交BD于点J,交EP于点、K,证明四边形EKOH是矩形，得KO=EH=EP,则NG

的最小值为MO-MN,再推出MO〃3c〃鹿，根据平行线分线段成比例定理得隹=空=丝-l,即点

KEJEMR

J是超的中点，点K是尸£的中点，可得M/=2H石=250,JK=\BP,贝lj

22

1BE-OE

MO=MJ+JK+KO=250+-BP+EP,在RtA^E。中，由EP=——*=480,在Rt△班尸中，

2BQ

BP=NBE2-EP。=640,可得结论.

【详解】解：（1）'：AB=AC,4=40。，

ZACB=ZB=40°,

：.ABAC=180。-ZACB-ZB=180°-40°-40°=100°,

•.・将△版）绕点A逆时针旋转得到AACE,

/.AE=AD,NCAE=NBAD,

当AE最小时，此时AD也最小，

即当AD人3C时，AZ）最小（如图），此时N3A£）=』/BAC=LX100O=50。，

22

ZC4E=ZBAD=50°,

（2）连接AE并延长交2C于点Q,连接。Q,

AD//B