2025年中考数学二轮复习考前预测：命题与证明（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：命题与证明

选择题（共10小题）

1.（2025•安阳模拟）下列命题属于真命题的是（）

A.同旁内角相等，两直线平行

B.相等的角是对顶角

C.同位角相等

D.垂线段最短

2.（2025•山东一模）下列命题中正确的是（）

A.如果a,b,c是一组勾股数，那么4m4b,4c•也是一组勾股数

B.如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3,那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的两边分别是3,4,那么斜边一定是5

D.任何一个定理都有逆定理

3.（2024•天山区校级二模）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命

题的反例是（）

A.a=V§，b=V2B.a=V3>b=2V3

C.a=2,b=3D.a~y/~3，b=2

4.（2024•南山区校级三模）下列命题中，真命题的是（）

A.矩形的对角线互相垂直

B.一个正数的算术平方根一定比这个数小

C.点（-2,-3）关于无轴的对称点坐标是（-2,3）

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

5.（2024•宜兴市模拟）下列选项中可以用来说明命题“若7>1,则x>l”是假命题的反例是（）

A.尤=-1B.尤=1C.尤=3D.x=-3

6.（2024•罗湖区校级模拟）能说明命题“对于任意实数，#=2•"是假命题，其中。可取的值是（）

A.-1B.0C.1D.V2

7.（2024•南山区三模）下列命题中是假命题的是（）

A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

8.（2024•兴隆台区校级三模）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（）

9.（2024•太平区二模）下列各命题的逆命题成立的是（）

A.全等三角形的面积相等

B.如果a=b,那么/=房

C.对顶角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

10.（2024•坪山区校级一模）下列命题正确的是（）

A.方程7-X-1=0没有实数根

B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似

C.平分弦的直径垂直于弦

D.反比例函数的图象不会与坐标轴相交

填空题（共5小题）

11.（2025•佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在无轴上运动，

满足0M+0N=8.点Q为线段的中点，则点Q运动路径的长为.

12.（2024•石景山区一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设

备共四个步骤.某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：

①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三

个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；

②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；

③每个步骤所需时间如表所示：

步骤打扫卫生整理床铺更换客用物品检查设备

所需时间/分钟9764

在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要分钟；若由甲、乙、

丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要分钟.

13.（2024•蚌山区三模）写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命

题：.

14.（2024•乐山模拟）命题"等角的余角相等”的逆命题是,这是一个命

题.（填“真”或“假”）

15.（2024•西安校级模拟）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多

的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著.请写出命题“如果a=b,那么/=必”的逆命

题：•

三.解答题（共5小题）

16.（2025•江北区模拟）如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AO平分/8AC.小智在刚学完”三角形全

等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△A3。和△AC。面积

的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D

作AC的垂线，垂足为点E,再根据三角形全等来证明△A3。和△ACD的高相等，从而得到结论，请根

据小智他们的思路完成以下作图与填空：

（1）尺规作图：过点。作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）证明：平分N8AC,

二①.

'：DE±AC,

：.ZAED=ZB=90°.

又②,

：.AABD^AAED（AAS）.

'/S/xABD——AB,DB,SAACD=^AC*DE,

22

.SAABDAB

••----~--.

^AACDAC

小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请

你依照题意完成下面命题：

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对

应的两边长度的比值④.

17.（2024•沙坪坝区模拟）如图，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分/BAC.小明在刚学完"三角形

全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△A3。和△ACZ）面积的比值与42,AC两边比值的

关系.他的思路是：过点。作AC的垂线，垂足为点再根据三角形全等来证明△42。和的

高相等，进一步得到△A8O和△ACD的面积之比等于NBAC的两邻边边长之比.请根据小明的思路完

成以下作图与填空：

（1）用直尺和圆规，过点。作AC的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）.

（2）证明：-：DH±AC,

:.NAHD=90°=NB.

平分/BAC,

①.

在△AB。和中，

'ZB=ZAHD

，ZBAD=ZHAD

.。②（）

AAABD^AAHD（AAS）.

二③.

..1

SAACD^AODH，

.SAABDAB

••------"•

^AACDAC

小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请你

依照题意完成下面命题：

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④

18.(2024•遂平县一模)电动切割机以其高效、准确和便捷的特点，成为现代工作中不可或缺的工具，图

1是从电动切割机抽象出来的几何模型，ON为固定台，切割片OA与摆臂相切于点P,图2是切

割机完成工作时候的模型图，此时切割片08与ON相切.已知切割片的半径为30cm,转轴0A长是

60cm,ZMON=9Q°(此次切割片在工作时候的磨损忽略不计).

(1)求图2中点2到的距离；

(2)求砂轮工作前后，圆心A运动轨迹长度.

19.(2024•重庆二模)如图，在RtAABC中，/B=90°,AD平分N8AC.小明在刚学完“三角形全等

的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△A3。和△AC。面积的比值与ABAC两边比值的关系.他

的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点”，再根据三角形全等来证明和△AC。的高相等，

进一步得到△A3。和的面积之比等于/8AC的两邻边边长之比.请根据小明的思路完成以下作

图与填空：

(1)尺规作图：过点。作AC的垂线，垂足为点”(保留作图痕迹，不写作法，要下结论).

(2)证明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=NB

平分NBAC,

在△ABO和中，

,ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

.()

二△ABD0AAHD(A4s).

：.BD=DH.

..1

.SAABD^^BD，

SAACD4'AC'DH，

_SAABD_=

SAACD

小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请你

依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那

20.（2024•渝中区校级三模）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边

作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路

是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空：

用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点交BD干点、N.（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形45。是菱形，过A作AEL8C于点E,并交对角线8。于点孔作于

点M,交对角线8。于点N.求证：AF=AN.

证明：：四边形A3。是菱形

：.AB=_________

ZABC=ZADC

ZABD=yZABC=yZADC=ZADB

'：AELBC,AMLCD

：.ZAEB=ZAMD=90°

,：ZAEB+ZABC+ZBAE=180°

ZAJWD+ZA£）C+ZDAM=180°

AABF^___________

:.AF=AN

请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点,

2025年中考数学二轮复习考前预测：命题与证明

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2025•安阳模拟）下列命题属于真命题的是（）

A.同旁内角相等，两直线平行

B.相等的角是对顶角

C.同位角相等

D.垂线段最短

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】根据平行线的判定定理、对顶角相等、垂线段最短判断即可.

【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；

8、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；

C、同位角不一定相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；

。、垂线段最短，是真命题，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理.

2.（2025•山东一模）下列命题中正确的是（）

A.如果a,b,c是一组勾股数，那么4a,4b,4c也是一组勾股数

B.如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3,那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：

2：3

C.如果直角三角形的两边分别是3,4,那么斜边一定是5

D.任何一个定理都有逆定理

【考点】命题与定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】利用勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、如果a,b,c是一组勾股数，那么4m4b,4c也是一组勾股数，正确，符合题意；

B,如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3,那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：

V3：2,故原命题错误，不符合题意；

C、如果直角三角形的两边分别是3,4,那么斜边是5或故原命题错误，不符合题意；

。、任何命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理，故原命题错误，不符合题意，

故选：A.

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识，

属于基础题，比较简单.

3.（2024•天山区校级二模）下列选项中，可以用来证明命题”两个无理数的乘积一定是无理数”是假命

题的反例是（）

A.\>=y/~2B.>b=2>/3

C.a=2,b=3D.a=V3>b=2

【考点】命题与定理；实数的运算.

【专题】实数；运算能力.

【答案】B

【分析】错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作

答.

【解答】解：4V2xV3=V6«无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错

误的；

B、V3x273=2X3=6-说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的；

C、2,3不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；

。、2不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；

故选：B.

【点评】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，掌握错误的命题即为假命题是解题的关键.

4.（2024•南山区校级三模）下列命题中，真命题的是（）

A.矩形的对角线互相垂直

B.一个正数的算术平方根一定比这个数小

C.点（-2,-3）关于x轴的对称点坐标是（-2,3）

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【考点】命题与定理；关于x轴、y轴对称的点的坐标；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；正方形

的判定.

【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】c

【分析】根据矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，进行逐项分析，即可作答.

【解答】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意；

B.1的算术平方根是1,故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题

-zfe.

思；

。、点（-2,-3）关于x轴的对称点坐标是（-2,3）,故该选项是正确的，符合题意；

。、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，关键是矩形性

质的应用.

5.（2024•宜兴市模拟）下列选项中可以用来说明命题“若/>1,则x>l”是假命题的反例是（）

A.x=-1B.x=lC.x=3D.x=-3

【考点】命题与定理.

【专题】推理填空题.

【答案】D

【分析】根据有理数的乘方法则、假命题的概念解答.

【解答】解：A、尤=-1时，不满足/>1,本选项不符合题意；

B、X=1时，不满足尤2>1,本选项不符合题意；

C、x=3时.满足/>1,则x>l.本选项不符合题意；

D、'：（-3）2=9>1,-3<1,

.•.当x=-3时，说明命题“若/>1,则x>l”是假命题，本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要

推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

6.（2024•罗湖区校级模拟）能说明命题“对于任意实数，衣=2•"是假命题，其中。可取的值是（）

A.-1B.0C.1D.我

【考点】命题与定理；二次根式的性质与化简.

【专题】实数；运算能力.

【答案】A

【分析】分别把各选项的值代入即可进行判断.

【解答】解：A.当。=-1时，M（TV珀=责_1，符合题意；

B.当。=0时,V?=Vo^=0,不符合题意；

C.当。=1时，｛a2=yj12=],不符合题意；

D.当&=、历时，叱H5）2=圾,不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个

命题是假命题，只需举出一个反例即可.

7.（2024•南山区三模）下列命题中是假命题的是（）

A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【考点】命题与定理；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质.

【专题】空间观念.

【答案】B

【分析】利用三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判

断后即可

【解答】解：4三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选

项不符合题意；

8、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题，本选项符

合题意；

C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，

是真命题，故此选项不符合题意；

。、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，掌握三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三

角形斜边上的中线的性质是解题的关键.

8.（2024•兴隆台区校级三模）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（）

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】A

【分析】根据对顶角的定义，再结合举反例的方法可得到答案.

【解答】解：选项A中的图形，满足两个角相等，但是不是对顶角，故A符合题意；

选项8中的图形是对顶角，故B不符合题意；

选项C中的图形两个角不相等，故C不符合题意；

选项。中的图形两个角不相等，故。不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查的是真假命题的判定，对顶角的含义，掌握判断命题为真假命题的判定方法是解本题

的关键.

9.（2024•太平区二模）下列各命题的逆命题成立的是（）

A.全等三角形的面积相等

B.如果a=b,那么/二户

C.对顶角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；全等三角形的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，据此解答即可.

【解答】解：A、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故A

不符合题意；

2、“如果a=b,那么/=必”的逆命题是，，如果/=必，那么々=6”是假命题，故8不符合题意；

C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C不符合题意；

。、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故D符合题

-zfe.

思；

故选：D.

【点评】本题主要考查了逆命题，熟悉课本中的性质定理是解题的关键.

10.（2024•坪山区校级一模）下列命题正确的是（）

A.方程*-尤-1=0没有实数根

B.两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似

C.平分弦的直径垂直于弦

D.反比例函数的图象不会与坐标轴相交

【考点】命题与定理；相似三角形的判定；根的判别式；函数的图象；垂径定理.

【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根据一元二次方程根的判别式、相似三角形的判定定理、垂径定理的推论、反比例函数的性质

判断即可.

【解答】解：4方程/-X-1=0的判别式A=62-4ac=（-1）2-4XlX（-1）=5>0,则方程有

两个不相等的实数根，故本选项命题错误，不符合题意；

B、两边成比例及夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项命题错误，不符合题意；

C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项命题错误，不符合题意；

。、反比例函数的图象不会与坐标轴相交，命题正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理.

二.填空题（共5小题）

11.（2025•佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在无轴上运动，

满足0M+0N=8.点Q为线段的中点，则点0运动路径的长为一

【考点】轨迹；坐标与图形性质.

【专题】推理能力.

【答案】8圾.

【分析】根据题意找出点。的运动轨迹是两条线段设点M的坐标为（0,机），点N的坐标为Gi,0）,

则点。的坐标为华，,），根据。M+ON=8,得出同+M=8,然后分两种情况，-8，＜0或0,

W8,得出蚂与4的函数关系式，即可得出。横纵坐标的关系式，找出点。的运动轨迹，根据勾股定理

22

求出运动轨迹的长即可.

【解答】解：•••点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，

设点M的坐标为（0,相），点N的坐标为（小0）,

•・,点。为线段MN的中点，

则点Q的坐标为（£,5）,

•：OM+ON=8,

|n|+|m|=8,（-8W〃W8,0WmW8）,

二•当-8W〃V0时，间+|刑=-n+m=8,

・nm/

••7为=4，

••万而+4,

此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（-4,0）,另一端在y轴

的非负半轴上，坐标为（0,4）,

•••此时点。的运动路径长为4（-4）2+42=蚯；

当0W〃W8时，|川+|加|=〃+机=8,

...此时点。在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4,0）,另一端在y轴的

非负半轴上，坐标为（0,4）,

,此时点Q的运动路径长为V42+（-4）2=4加；

综上分析可知，点。运动路径的长为472+4&=8亚.

故答案为：8V2.

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用，化为最简二次根式，掌握平

面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用是解题的关键.

12.（2024•石景山区一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设

备共四个步骤.某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：

①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三

个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；

②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；

③每个步骤所需时间如表所示：

步骤打扫卫生整理床铺更换客用物品检查设备

所需时间/分钟9764

在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要26分钟;若由甲、乙、

丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要43分钟.

【考点】推理与论证；统计表.

【专题】推理填空题；统计的应用；数据分析观念；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需

时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2

个步骤所需时间的和.

【解答】解：在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为：9+7+6+4

=26（分钟）；

若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房''打扫卫生”需36分钟，甲完成一间

客房“打扫卫生”需9分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品

的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需28分钟，可再完成二间客房检查设备的工作，一人完成四

间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成二间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成

四间客房的清洁工作，则最少需要36+7=43分钟.

故答案为：26,43.

【点评】本题考查了统计的知识，理解题意是解题的关键.

13.（2024•蚌山区三模）写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三

角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.命题''直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边

上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

【解答】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中

线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

【点评】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个

命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命

题称为另一个命题的逆命题.

14.（2024•乐山模拟）命题"等角的余角相等”的逆命题是如果两个角的余角相等，那么这两个角也相

等，这是一个真命题.（填“真”或“假”）

【考点】命题与定理.

【答案】见试题解答内容

【分析】先把等角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题，再

判断其真假.

【解答】解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一

个真命题.

故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真.

【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.

15.（2024•西安校级模拟）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多

的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著.请写出命题“如果a=b,那么/=房”的逆命

题：如果/=必，那么”=b.

【考点】命题与定理.

【专题】实数；数感.

【答案】如果/=后，那么。=从

【分析】将原命题的条件和题设互换即可写出逆命题.

【解答】解：逆命题为：如果/=必，那么

故答案为：如果/=店，那么a=6.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•江北区模拟）如图，在RtaABC中，N8=90°,AD平分NA4c.小智在刚学完“三角形全

等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△A8O和△AC。面积

的比值与边和AC长度的比值之间的关系.经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D

作AC的垂线，垂足为点E,再根据三角形全等来证明△A3。和的高相等，从而得到结论，请根

据小智他们的思路完成以下作图与填空：

（1）尺规作图：过点。作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）.

（2）证明：平分NBAC,

①NCAD=/8Ar>.

'：DE.LAC,

:./AED=/B=90°.

又②,

AAABD^/\AED（A4S）.

.,.③DE=BD.

S^ABD=—AB,DB,S^ACD=—AC'DE,

22

.SAABDAB

^AACDAC

小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请

你依照题意完成下面命题：

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对

应的两边长度的比值④相等.

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图一复杂作图.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力.

【答案】ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【分析】（1）以。为圆心画弧交AC于M、N,作线段的垂直平分线交AC于E；

(2)判定(AAS),推出DE=BD,由三角形面积公式推出也空上J殳，由以上证明

,△ACDAC

即可得到结论.

【解答】(1)解:如图所示：DE1AC；

(2)证明：平分NBAC,

：.ZCAD^ZBAD,

'：DE±AC,

：.ZAED^ZB^9Q°,

又AD^AD,

:.△ABDgLAED(AAS).

:.DE=BD.

SAABD=^-AB-DB,SAACD^^-AC-DE,；.望.

22S^ACDAC

小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论,

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对

应的两边长度的比值相等.

故答案为：ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作图-复制作图，关键是

掌握尺规作图：过直线外一点作已知直线的方法，判定△ABO0ZXAED(AAS),推出。E=BZ).

17.(2024•沙坪坝区模拟)如图，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分/BAC.小明在刚学完”三角形

全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△A3。和△AC。面积的比值与AB,AC两边比值的

关系.他的思路是：过点。作AC的垂线，垂足为点”，再根据三角形全等来证明△ABO和△ACD的

高相等，进一步得到和△ACD的面积之比等于NBAC的两邻边边长之比.请根据小明的思路完

成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规，过点。作AC的垂线，垂足为点H(只保留作图痕迹).

(2)证明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=/B.

平分/BAC,

①NBAD=/HAD.

在△ABO和中，

'ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

()②()

AAABD^AAHD(44S).

.,.③BD=DH.

..1

15&^^研咂，

SAACD^AODH,

.SAABDAB

••.

^AACDAC

小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请你

依照题意完成下面命题：

如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④这两个三角形的面积之比，等

于这个角的两条邻边边长之比..

【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图一基本作图.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)分别以4C点为圆心，/AC长为半径在线段4。两侧画弧，各有两个交点，连接这两个

交点交AC边与H,则直线QH即为AC的垂线；

(2)根据AAS,再找一条公共边，证明△A3。之得到进而将面积之比转化长相应

边的比

【解答】解：（1）如图，直线DH为所作垂段;

(2)解：证明：-：DH±AC,

：.ZAHD=9Q°=/B.

平分/BAC,

：.ZBAD=ZHAD.

在△A3。和中，

'ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

AD=AD

:.△ABDQAHD(AAS).

:.BD=HD.

..1

・S^ABD^MBD，

SAACD^AODH,

S

•.•--A-A--B-D-~-A--B.

^AACDAC

所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比,

等于这个内角的两条邻边边长之比.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键.

18.（2024•遂平县一模）电动切割机以其高效、准确和便捷的特点，成为现代工作中不可或缺的工具，图

1是从电动切割机抽象出来的几何模型，ON为固定台，切割片OA与摆臂相切于点P,图2是切

割机完成工作时候的模型图，此时切割片08与ON相切.已知切割片的半径为30cm转轴0A长是

60cm,/MON=90°（此次切割片在工作时候的磨损忽略不计）.

（1）求图2中点8到OM的距离；

（2）求砂轮工作前后，圆心A运动轨迹长度.

【考点】轨迹；勾股定理的应用；垂径定理；切线的性质.

【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】⑴点B到0M的距离为30如刖；

(2)圆心A运动轨迹长度为IOTTCWI.

【分析】(1)过点B作BQ_LON,BCL0M.则42=8。=30。小OA=OB=60c〃z.由勾股定理得0Q

的长，根据/8(7。=/8。。=/加07=90°,得出四边形8c。。为矩形.则8c=OQ=3(h/5cm；

(2)在RtZXOQB中，sin/BOQ且•小，则/8。。=30°,同理可得/4。尸=/80。=30°.则/

0B2

AOB=90°-60°=30°.所以圆心A运动轨迹众的长迎12s也二1°兀().

【解答】解：(1)过点8作5QL0N,BCLOM,垂足分别为。，C.

由勾股定理得OQ=^Qg2_gQ2=^602-302=30V3cm,

VZBCO=ZBQO=ZMON=90°,

・•・四边形BCOQ为矩形.

BC=OQ=30y[3cm,

・••点B到OM的距离为30V3cm；

⑵在Rt/\OQB中，sinNB0Q=-^_[，

UDN

：.ZBOQ=30°,

同理可得NAOP=N5OO=30°.

ZAOB=90°-60°=30°.

圆心A运动轨迹窟的长为30n*60=]0兀（加＞

180

答：圆心A运动轨迹长度为lOirc/n.

【点评】本题考查轨迹、勾股定理的应用、垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活

运用.

19.(2024•重庆二模)如图，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在刚学完“三角形全等

的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△48。和△AC。面积的比值与ABAC两边比值的关系.他

的思路是：过点。作AC的垂线，垂足为点再根据三角形全等来证明△A3。和△AC。的高相等，

进一步得到△A3。和△AC。的面积之比等于/BAC的两邻边边长之比.请根据小明的思路完成以下作

图与填空：

(1)尺规作图：过点。作AC的垂线，垂足为点“(保留作图痕迹，不写作法，要下结论).

(2)证明：'：DH±AC,

：.ZAHD=9Q°=/B

平分/BAC,

/BAD=NHAD.

在△ABD和△AHD中，

,ZB=ZAHD

<ZBAD=ZHAD

)

AAABD^AAHD(A4s).

:.BD=DH.

..1

.S&iBD而g,BD，

SAACD^AODH，

.SAABDAB

,△ACDAC

小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论.请你

依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分