2025年中考数学总复习《图形运动与二次函数》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《图形运动与二次函数》专项测试卷（带答案）

学校:班级：姓名：考号：

1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,3C=8,点£是边A£＞上的动点，连结CE,以CE为边作矩形CEFG（点，

G在CE的同侧），且CE=2EF,连结

⑴如图1,当点E为A£＞边的中点时，点8,E,尸在同一直线上，求防的长.

（2）如图2,若/BCE=3O。，设CE与BF交于点K.求证：BK=FK.

（3）在点E的运动过程中，防的长是否存在最大（小）值？若存在，求出防的最值；若不存在，请说明理由.

2.如图，VA3C中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函数y=：（左r0,尤＞0）的图象与48交

于点。（北4）,与8c交于点E.

⑵点P为反比例函数y=£（%wO,尤＞0）图象上一动点（点尸在。,E之间运动，不与。,E重合），过点P作尸也〃

交y轴于点过点P作PN〃x轴，交BC于点N,连接求APMN面积的最大值，并求出此时点尸的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在无轴上，ZAOC=60°,OC的长是一元二次方程Y-4x-12=0

的根，过点C作x轴的垂线，交对角线08于点。，直线AO分别交x轴和y轴于点尸和点E,动点M从点。以每

秒1个单位长度的速度沿0。向终点。运动，动点N从点B以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点

同时出发，设运动时间为，秒.

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y

(1)求直线AD的解析式.

(2)连接MN,求△〃区的面积S与运动时间f的函数关系式.

⑶点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q.使得以A,C,N,。为项点的四边形是矩形.若存在,

直接写出点0的坐标，若不存在，说明理由.

4.如图1,抛物线y=o?+bx+3("0)与x轴交于A(-1,O),3(3,0)两点，与y轴交于点C.

(2)点P在抛物线上，点。在无轴上，以3C,P,。为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标;

⑶如图2,抛物线顶点为。，对称轴与x轴交于点E,过点K(l,3)的直线(直线K。除外)与抛物线交于G,H两

点，直线。G,分别交x轴于点M,N.试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=6,E是AD上一点，AE=2,尸是43上的动点，连接£F,G是EF

GF

上一点，且三=左(左为常数，左。0)，分别过点尸、G作A3、取的垂线相交于点P,设AF的长为工,尸尸的

EF

长为九

⑴若左=；,工=4,则y的值为

⑵求y与X之间的函数表达式;

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(3)在点/从点A到点8的整个运动过程中，若线段CD上存在点尸，则上的值应满足什么条件？直接写出左的取值

范围.

6.如图1,抛物线y="2+2x+c,交x轴于A、B两点,交V轴于点C,尸为抛物线顶点，直线跖垂直于x轴于

图1图2

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸是线段BE上的动点(除8、E外)，过点尸作x轴的垂线交抛物线于点。.

①当点尸的横坐标为2时，求四边形ACED的面积；

②如图2,直线AD,分别与抛物线对称轴交于"、N两点.试问，+是否为定值？如果是，请求出这

个定值；如果不是，请说明理由.

7.如图，平行四边形ABC。中，DB=2A/3,AB=4,AD=2,动点E,尸同时从A点出发，点E沿着ATD—B的

路线匀速运动，点E沿着的路线匀速运动，当点E,E相遇时停止运动.

9

(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为］秒时，设CE与。/交于

点、P,求线段改与CP长度的比值；

(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒，点尸的速度为班个单位每秒，运动时间为尤秒，44斯的面积为y,求

y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)如图3,H在线段AB上且AH=g/£B,M为。F的中点，当点E、尸分别在线段A。、A8上运动时，探究点E、F

在什么位置能使并说明理由.

8.如图，在RtA4BC中，ZACB=9(r,AB=5cm,BC=3cm,将VABC绕点A按逆时针方向旋转90。得到VM>E,

连接CO.点P从点2出发，沿54方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点。从点A出发，沿AD方向匀速运动，

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速度为lcm/s.PQ交AC于点R连接CP,EQ.设运动时间为心)(0<f<5).解答下列问题:

(1)当EQLA。时，求r的值;

⑵设四边形PC。。的面积为S(cm?),求$与/之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻K使尸。〃。？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

9.如图，在VABC中，NACB=90。，ZA=30°,AB=6cm.动点尸从点A出发，以2cm/s的速度沿边A3向终点B

匀速运动.以以为一边作/板=120。，另一边尸。与折线AC-CB相交于点Q,以尸。为边作菱形PQAW,点N

在线段尸8上.设点P的运动时间为x(s),菱形PQMN与VA3C重叠部分图形的面积为Wen?).

(1)当点。在边AC上时，P。的长为_cm；(用含x的代数式表示)

(2)当点/落在边BC上时，求x的值；

(3)求，关于尤的函数解析式，并写出自变量》的取值范围.

10.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2,ZBCD=120°,对角线AC与3。相交于点。，点E是对角线3。上一动

点，连接CE,将线段CE绕点C顺时针旋转120。得到CF,连接。F，跖，点G是线段跖的中点.

⑴求证：BE=DF；

⑵求AOGE面积的最大值；

(3)当△。bG为等腰三角形时，直接写出线段助的长.

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11.如图，VABC中，AC=BC,ZACB=9Q",其中A（-2,0）,C（6,0）.

(1)直接写出线段A3的中点。的坐标；

k

(2)反比例函数y=—(左K0,x>0)的图象过点£),与BC交于点E,求上的值；

X

⑶点尸为(2)中反比例函数图象上一动点(点尸在。，E之间运动，不与。，E重合)，过点尸作尸加〃AB,交》轴

于点过点P作PN〃尤轴，交BC于点、N,连接MN,求APMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

12.如图，四边形ABCD为平行四边形，AB=3cm,BC=5cm,AC=4cm,对角线AC、3。交于点O.动点、P

从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点。从点。出发，沿0c方向运动，速度为lcm/s.连接

PQ交BD于点、E；过尸作尸延长尸河交3D于点N.设运动时间为(s)(0</<2.5),解答下列问题：

(1)当r为何值时，四边形为矩形？

⑵设四边形PNC。的面积为S(cm?),求$与/的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻，使点N在/AC3的平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

13.如图，VABC是等腰直角三角形，ZA=90°,AB=6,点P沿折线AfC向终点C运动，在AB上的速度

为每秒2个单位长度，在BC上的速度为每秒20个单位长度.过点P作/>£>_!_AC于点，以“为边向右侧作矩

形PDEF,且=设点尸的运动时间为t秒，矩形PDEF和VA3c重叠部分图形的面积为S.

(备用图)

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⑵当矩形尸。砂和VA3c重叠部分的图形为四边形时，求S关于f的函数解析式，并写出f的取值范围.

14.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，△OAB是等腰直角三角形，NO8A=90。，顶点A(4,0),点8在第一

象限，正方形OCDE的顶点后(-2,0),点C在＞轴的正半轴上，点。在第二象限.

(1)填空：点8的坐标为，点。的坐标为;

⑵将正方形OCDE沿x轴向右平移，得到正方形O'C'D'E',点。、C、D、E的对应点分别为。'、C、DkE'.设

OO'=t,正方形O'C'D'E'与△(1钻重叠部分图形的面积为S.

①当点C与点8重合时，求f的值；

②求s关于/的函数关系式，并写出r的取值范围.

15.在平面直角坐标系中，。为原点，点4(6,0),点3在＞轴的正半轴上，ZABO=30°,ABCO是等边三角形，

点C在第二象限.

(1)填空：如图①，点8的坐标为,点C的坐标为；

(2)将ABCO沿x轴向右平移得到VB'C'O',点、B,C,O的对应点分别为B',C',O'.

①如图②，设。O'=f,与ATVO重叠部分的面积为S,当与AABO重叠部分为五边形时，

"O',3'C',C'O'分别与AR3。相交于点E,£G,X,试用含有f的式子表示S,并直接写出f的取值范围;

②连接AB'、OC,当AB'+OC'取得最小值时，求点C'的坐标(直接写出结果即可).

16.在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形。4BC的顶点4(3,4),C(4,0),矩形。EFG的顶点

D（0,l）,E（0,3）,F（-3,3）.

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图①图②

⑴填空：如图①，点8的坐标为，点G的坐标为；

(2)如图②，将矩形DEFG沿水平方向向右平移/个单位长度，得到矩形。E'F'G',点。，E,F,G的对应点分别为

点》,E,F',G',矩形DE尸G'与平行四边形Q4BC重叠部分面积为S.

①若0</<5,且矩形。'E&'G'与平行四边形Q46C重叠部分为五边形时，试用含有r的式子表示S,并直接写出，

的取值范围；

②当2VY6时，求S的取值范围(直接写出结果即可).

参考答案

1.如图，在矩形ABCD中，AB=4,3C=8,点E是边上的动点，连结CE,以CE为边作矩形CEFG(点，

⑴如图1,当点E为AD边的中点时，点8,E,厂在同一直线上，求防的长.

(2)如图2,若/3CE=30。，设CE与BF交于点K.求证：BK=FK.

(3)在点E的运动过程中，防的长是否存在最大(小)值？若存在，求出跖的最值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴6忘

(2)见解析

(3)存在，最小值竺f,最大值2月

【分析】⑴当点E在AD的中点时可得AB=AD=ED=OC=4,则IBE和是等腰直角三角形，分别求出

3E和跖的长，然后根据线段的和差即可解答；

(2)如图：过8作3K_LEC交EC于M■，由ZBCE=30°可得=gBC=4=A8,即可得到RtAABE^Rt△3KE(HL)

得至“ZAEB=NBEM=NCBE,推出BC=CE,再由CE=2砂得到=,最后证明ABHK注AFEK,然后根据

全等三角形的性质即可证明结论；

(3)如图：过点尸作A3的垂线，交A3延长线于点过点E作的平行线交于点N,交于点P.设

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AE^x,BF=y.然后证明△尸可得尸尸=2,PE=4-gx,根据勾股定理可得M2+破2,进而得到

y2=g]x_|j+l|i,然后根据二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：：矩形ABCD中，AB=4,BC=8

：.AB=CD=4,BC=AD=8,ZA=ZADC=90°,AD//BC

:点E在AD的中点

，AB=AE=ED=DC=4

BE=CE=4五,NA£B=45°

・・,点8、E、尸在同一直线上

JZAEB=ZFED=45°

•・•ZF=90°

•**ED=4=y/2EF

EF=2V2

BF=BE+EF=642-

(2)证明：如图：过3作交EC于"

•:AD〃BC

:・/BCE=/CED,ZAEB=ZCBE

9：/BCE=30。

：.BH=-BC=4=ABZBCE=ZCED=30°

2f

•；BE=BE

RtAABE=Rt^BEH(HL)

ZAEB=ZBEH

：.ZAEB=ZBEH=ZCBE

：.BC=CE

;CE=2EF

：.EF=-CE=-BC=BH

22

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・・・ZFEC=ZBHE=90°,ZEKF=ZHKB

:.ABHK^AFEK（AAS）

：.BK=FK.

（3）解：存在，所的最小值呼，最大值2月.

如图：过点尸作的垂线，交延长线于点过点E作的平行线交2C于点N,交MF于点P.则

设人工二乂⑶尸二丁.

,・♦四边形ABCD和四边形跖GC都是矩形

ZFPE=ZENC=ZFEC=90°

ZPEF+ZPFE=90°,ZPEF+ZNEC=90°

:.ZPFE=ZNEC

,//FPE=/ENC=9伊

:APEFS^NCE

FEPFPE0n1_PF_PE

ECENNC248-x

:.PF=2,PE=4--x

2

・••在中，BF2=MB2+MF2

即y2=(4+4_J_j+(2+x)2=—x2-4x+68=-fx——+必^,

I2J44l5)5

当尤=g时，y有最小值为羽叵.

35

-.-0<x<8

...当尤=8时，y有最大值为2后

•••在点E的运动过程中，成的长存在最小值呼，最大值2月.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数

的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

2.如图，VA3C中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函数y=々左*0,尤＞0）的图象与AB交

X

于点。（机4）,与BC交于点、E.

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(1)求加，上的值；

⑵点P为反比例函数y=勺％#0,尤>0)图象上一动点(点P在，E之间运动，不与。,E重合)，过点尸作孙/〃AB,

交y轴于点M,过点P作PN〃彳轴，交BC于点、N,连接MN,求APMN面积的最大值，并求出此时点尸的坐标.

【答案】(1)〃?=2,%=8

(2)53服最大值是g，此时尸

【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

(1)先求出8的坐标，然后利用待定系数法求出直线A3的函数表达式，把。的坐标代入直线A3的函数表达式求

出m,再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；

(2)延长N尸交y轴于点。，交A3于点L.利用等腰三角形的判定与性质可得出QM=。尸，设点P的坐标为，,

(2</<6),则可求出Sw二.(6T)4,然后利用二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解:"(-2,0),C(6,0)

.\AC=8.

又・.・AC=BC

：.BC=8.

・.•ZACB=90°

・••点3(6,8).

设直线A3的函数表达式为y=ax+b

/、/、[—2〃+Z?=0

将A(-2,0),3(6,8)代入+得8+6=8

=1

解得,、

[6=2

直线A3的函数表达式为y=x+2.

将点。(加,4)代入丫=尤+2,得m=2.

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.10(2,4).

将0(2,4)代入y=:,得左=8.

(2)解：延长NP交y轴于点。,交A3于点L

•.•独〃工轴

ZBLN=ABAC=45°,ZNQM=90°.

■：PM//AB

:.ZMPL=ZBLP=45°

:.ZQMP=ZQPM=45°

:.QM=QP.

设点尸的坐标为，，，(2<r<6),则尸Q=r,PN=6-t.

：.MQ=PQ=t.

iii9Q

-''S^PMN=--PN-MQ=-\6~t)-t=--(t-3)+-.

.,.当t=3时，S"MV有最大值g，此时尸卜,。］.

3.如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在无轴上，ZAOC=60P,0c的长是一元二次方程-4尤-12=0

的根，过点C作无轴的垂线，交对角线08于点。，直线AD分别交x轴和y轴于点尸和点E,动点M从点。以每

秒1个单位长度的速度沿向终点。运动，动点N从点厂以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动.两点

同时出发，设运动时间为f秒.

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y

(1)求直线AD的解析式.

(2)连接MN,求△〃区的面积S与运动时间f的函数关系式.

⑶点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q.使得以A,C,N,。为项点的四边形是矩形.若存在,

直接写出点0的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】⑴1-冬+S

争2-9/+12』(0W2@

(2)5=

一等/+%一12追(20<fV4@

(33

(3)存在，点。的坐标是或(6,4月卜

V11)

【分析】(1)过点A作AHLOC于H,解方程可得。。=6,然后解直角三角形求出C。、的和AN的长，得到点

A、。的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；

(2)首先证明AEOD是等边三角形，求出。0=0尸=4若，然后分情况讨论：①当点N在。尸上，即时,

过点N作NP_LO3于P,②当点N在DE上，即2代＜/44代时，过点N作于T,分别解直角三角形求出

NP和行，再利用三角形面积公式列式即可；

(3)分情况讨论：①当⑷V是直角边时，则ov，£F,过点N作NKLCF于K,首先求出CN,然后解直角三角形

求出CK和NK,再利用平移的性质得出点。的坐标；②当AN是对角线时，则NACV=90。，过点N作于

L,证明NNCR=NNFC,可得CL=FL=3,然后解直角三角形求出NL,再利用平移的性质得出点。的坐标.

【详解】(1)解：解方程Y—4x-12=0得：%=6,无2=-2

.-.0C=6

:四边形AOC3是菱形，ZAOC=60°

AOA=OC=6,ZBOC=-ZAOC=30°

2

/.CZ)=OC-tan30°=6x3=26

3

£>(6,2@

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过点A作于H

・・・ZAO"=60。

/.OH=-OA=3,AH=OA-sin60°=6x立=3百

22

A（3,3百）

设直线AD的解析式为V=kx+b（k*0）

3k+b=34

代入4卜,3百），。（6,2道）得：＜

6k+b=2^3

U-V3

解得：＜3

b=46

（2）解：由（1）知在RtACOD中，CD=2拒,"OC=30。

OD=2CD=4A/3,ZEOD=90°-ZDOC=90°-30°=60°

・・,直线y=-且x+48与y轴交于点石

3

。石=48

OE=OD

△EO。是等边三角形

Z.OED=/EDO=Z.BDF=60°,ED=OD=473

NOFE=3V=ZDOF

/.DO=DF=4A/3

①当点N在。/上，即0VfV2g时

由题意得：DM=OD-OM=4y/3-t,DN=4•一2t

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过点N作NP_LOB于尸

则NP=Z)N-sinNPZ)N=Z)N-sin60°=(4^-2，x¥=6—®

；.S=；DM.NP=g(46T)(6一网=当产+12.；

②当点N在。E上，即26</44百时

由题意得：DM=OD-OM=4sj3-t,DN=2t-4用

过点N作于T

则NT=DN•sinNNDT=DN-sin60°=(2f-4若)x=G—6

5=：加.村=3(4百-0(后-6)=一争2+912石；

①如图，当AN是直角边时，则OVLEF,过点N作NKJ.W于K

VZNFC=30°,OE=4A/3

；./NCK=60°,OF=y[iOE=n

：.CF=12-6=6

CN=-CF=3

2

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13NK=CN-sin60°=3x^=匹

CK=CNcos600=3x—=—,

2222

将点N向左平移;个单位长度，再向下平移延个单位长度得到点C

22

将点A向左平移，个单位长度，再向下平移逑个单位长度得到点Q

22

A(3,3码

②如图，当AN是对角线时，则NACV=90。，过点N作NLLCF于L

VOA^OC,ZAOC=60°

△AOC是等边三角形

NACO=60°

ZNCF=180°-60°-90°=30°=/NFC

/.CL=FL=-CF=3

2

，2VL=CL-tan3O0=3x^=V3

3

；•将点C向右平移3个单位长度，再向上平移近个单位长度得到点N

将点A向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点Q

,：A(3,3@

.•.Q(6,4月；

,存在一点。，使得以A,C,N,。为顶点的四边形是矩形，点。的坐标是土乎或(6,46).

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y

【点睛】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，解直角三角形，待定系数法的应用，等边三角形的判定和性质，

含30。直角三角形的性质，二次函数的应用，矩形的判定和性质以及平移的性质等知识，灵活运用各知识点，作出

合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键.

4.如图1,抛物线>=江+弧+3（叱0）与x轴交于A（T,0）,3（3,0）两点，与y轴交于点C.

⑵点P在抛物线上，点。在x轴上，以8,C,P,。为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

⑶如图2,抛物线顶点为。，对称轴与x轴交于点E,过点K（l,3）的直线（直线除外）与抛物线交于G,H两

点，直线DG,。〃分别交无轴于点M,N.试探究£71介硒是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】⑴y=-无2+2x+3

（3）定值，理由见详解

【分析】（1）将4（-1,。），3（3,0）两点代入抛物线的解析式即可求解；

（2）根据P,。的不确定性，进行分类讨论：①过C作CP〃工轴，交抛物线于4,过<作[9〃BC,交x轴于Q-

可得力=3,由-f+2x+3=3,可求解；②在x轴的负半轴上取点。2,过。2作。2鸟〃8。，交抛物线于心，同时

使Q6=8C,连接C&、BP2,过舄作EDLx轴，交x轴于D,%=-3,即可求解；③当8c为平行四边形的对

角线时，在①中，只要点。在点8的左边，且满足=也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；

/、/o、/c\[m+n=2—k

（3）可设直线G/f的解析式为y=Mx—l）+3,G（m,-m2+2/77+3）,H（n,-n2+2n+3）,可求，再求

vnn,=—K

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直线OG的解析式为y=-(机-1卜+根+3,从而可求E〃二1—7|,同理可求硒，即可求解.

【详解】(1)解：:抛物线,=融2+陵+3(〃。0)与兀轴交于人(一1,0),3(3,0)两点

Jq-Z?+3=0

[9«+3Z?+3=0

\a——1

解得/0

[b=2

故抛物线的解析式为y=+2*+3.

(2)解：①如图，过C作CP〃x轴，交抛物线于《，过A作片。〃BC,交x轴于0

二.为=3

一尤2+2x+3=3

解得：占=2,x2=0

4(2,3)；

②如图，在X轴的负半轴上取点。2,过Q?作&鸟〃3C,交抛物线于鸟，同时使Q2=3C,连接C2、BP2,过鸟

作ED_Lx轴，交x轴于。

/CBQ?=

在ACBQ?和A鸟。2^中

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BQ

<ZCBQ2=ZP2Q2B

CB=P2Q2

ACBQ咨A£Q#(SAS)

：.P2D=CO=3

yp2=-3

一x~+2尤+3=—3

解得：%=1-币,x,=1+^7

③当8C为平行四边形的对角线时，由①知，点。在点8的左边，且8。=8。=2时，也满足条件，此时点尸的坐

标仍为（2,3）；

综上所述：尸的坐标为（2,3）或（1-/-3）或（1+近,-3）.

（3）解：是定值

理由：如图，•・・直线GH经过K（l,3）

二可设直线GH的解析式为y=左"-1）+3

第18页共59页

・二G、”在抛物线上

••・可设G（机，—加N+2机+3）,"（七2+2〃+3）

二.左（%—1）+3=—%2+2%+3

整理得：x?+（左一2）x—左二0

/.xx=m,x2=n

m+n=2—k

mn=—k

当犬=1时，）=—12+2x1+3=4

•・D（1,4）

设直线OG的解析式为＞=%科+4,则有

mk[+4=—m2+2m+3

kx+b1=4

k=

解得{

b{=m+3

「•直线。G的解析式为y=-（加一1）1+m+3

当y=0时，一（加一1）%+/+3=0

m+3

解得:x=----

m-1

:.M3,0

m-1

-ym+3

:.EM=1--------

4

m-1

4

同理可求：EN=——

n-1

EM-EN=----------

m—1n—1

16

mn-（m+n）+l

16

-k-（2-k）+l

第19页共59页

=16；

当G与H对调位置后，同理可求£4人加=16；

故的定值为16.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标,

动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二

次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键.

5.如图，在矩形ABC3中，AB=10,BC=6,E是AQ上一点，AE=2,尸是A3上的动点，连接所，G是砂

GF

上一点，且y二%(%为常数，左。0)，分别过点尸、G作A3、跖的垂线相交于点P,设AF的长为x,P厂的

EF

长为y.

⑴若A=x=4,则y的值为；

⑵求y与x之间的函数表达式；

(3)在点/从点A到点8的整个运动过程中，若线段CO上存在点P,则上的值应满足什么条件？直接写出左的取值

范围.

【答案】⑴5

k

(2)y=—x2+2k

3

(3)—<^<1

26

AFFG

【分析】(1)根据ZA£F=NFFG,得cosN尸尸G=cosNAEF,则一=—,代入计算即可；

EFPF

AFFFGF

(2)利用△A£Fs^GEP,得——=——,再由J=左，得GF=kEF,即可证明结论；

GFPFEF

12

(3)根据点尸在CO上，可得左=丁］，再由点G在族上，可得左<1,进而解决问题.

x2+4

【详角军】(1)解：:EFJ.AD

：.ZAFE=90。

・・•四边形A5CD是矩形

・・・ZA=90°

ZA-bZAFP=180°

第20页共59页

：.AD//FP

：.ZAEF=ZPFG

'：AE=2,AF=x=4

-'-EF=V22+42=2A/5

..1

.Kz--

2

FG=-EF=45

2

VcosZPFG=cosZAEF

.AE_FG

••EF~PF

.2一非

**2^5-PF

JPF=5

故答案为：5；

(2)解：ZAFE+ZGFP=90°,ZAFE-^-ZAEF=90°

：.ZAEF=ZGFP

又〈ZA=/PGF=90。

・・・AAEFs^GFP

,AEEF

**GF-PFJ

在Rt^AEF中，AE=2,AF=x

EF=ylAE2+AF2=722+x2=，4+f

*GF

又•不7=/

EF

GF=kEF=ky/4+x2

2v4+x2k(2k2…

—r=-----------BoPny=—(x2+4)=—x2+2k；

y2,/2

(3)解：若点尸在CO上，则y=PP=3C=6

由(2)得左=2)/

x+4

.,_12

••K一~

f+4

.・•点F从点A到点B运动

A0<x<10

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A4<A:2+4<104

3p3

A——<Z:<3

26X2+426

又TG是所上一点

：.k<l

3

26

【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握相似

三角形的判定与性质是解题的关键.

6.如图1,抛物线y=o?+2x+c,交x轴于A、8两点，交》轴于点C,尸为抛物线顶点，直线跖垂直于x轴于

图1图2

⑴求抛物线的表达式；

⑵点尸是线段BE上的动点（除3、E外），过点尸作尤轴的垂线交抛物线于点O.

①当点尸的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；

②如图2,直线AD,8。分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问，矶f+助是否为定值？如果是，请求出这

个定值；如果不是，请说明理由.

【答案】（1）丫=--+2戈+3

⑵①4；②是，定值为8,理由见解析

【分析】（1）由当时，-1WXW3,可知无i=-l,3=3是㈤？+2x+c=0的两根，代入方程可得4C从而得解;

（2）①把x=2代入抛物线解析式可得。点坐标，再x=0代入抛物线解析式可得C点坐标

从而得知线段CD〃x轴，利用配方法可知点尸坐标，从而利用SmACFD=S^FCD+5AAe0=；CD（»-%）求面积；

②设。卜〃,-加+2机+3n1<加<3）,用待定系数法求出直线AD与直线8。的解析式，再令x=l得加，yN,从而得

出ME,AE的长，从而得到NE+ME是定值8.

【详解】（1）解：：当》20时，-1<%<3

第22页共59页

・••再二-1,%=3是/+2%+c=0的两根,A(-1,0),5(3,0)

ftz—2+c=0

\9a+6+c=0

Q=-1

解得:

c=3

••・抛物线的表达式为：y=-f+2x+3；

(2)①把x=2代入y=—f+2x+3得：y=3

「•。(2,3).

又当％=0,y=3

C(0,3)

「•线段CD〃x轴.

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4

「•尸(L4)

S[L|边形c4=S5CD+^/\ACD=3。3f)=4;

第23页共59页

直线AD\y=kxx+bx,BD:y=k2x+b2

因此可得：

fO=—k,+Zzfo=3ko+伪

<2或42

\-m+2m+3=k{m+b{\-m+2m+3=k2m+b2

k1=3-m、k2=-l-m

解得:4=3一〃产

b2=3m+3

・二直线AD：y=(3一根)%+(3-m)

BD:y=—(m+l)x+3(m+1).

令犬=1得坨=6-2根，yN=2m+2

:.ME=6-2m,NE=2m+2

:.NE+ME=8.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积

求法是解题的关键.

7.如图，平行四边形A8C。中，DB=2^/3,AB=4,AD=2,动点E,尸同时从A点出发，点E沿着A—。—8的

路线匀速运动，点尸沿着的路线匀速运动，当点E，尸相遇时停止运动.

第24页共59页

9

(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒，点尸的速度为4个单位每秒，当运动时间为1秒时，设CE与。F交于

点P,求线段EP与CP长度的比值；

(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒，点B的速度为后个单位每秒，运动时间为尤秒，//斯的面积为y,求

y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)如图3,以在线段AB上且M为。尸的中点，当点E、尸分别在线段A。、A2上运动时，探究点E、F

在什么位置能使EM=HM.并说明理由.

FP4

【答案】(1)券=3

|x2（0<x<2）

；当A孚时,y的最大值为2+即

(2)y关于x的函数解析式为y="----x+—x+—x\2Vx«

4---22

\

6+2^^l—x—<x<2^3

7

(3)当所〃时，能使理由见解析

AF1AD2

【分析】(1)延长。尸交Q5的延长线于点G,先证得△诋〜△/G,可得)="三，根据题意可得A斤〜A斤

FBBG3

2

j,可得到CG=3,再证明△PDES/^PGC,即可求解；

(2)分三种情况讨论：当g启2时，E点在上，尸点在AB上；当2WxV延时，E点在8。上，尸点在AB上；

3

当逑＜尤42君时，点E、尸均在8。上，即可求解；

3

(3)当以时，能使理由：连接。H,根据直角三角形的性质，即可求解.

【详解】(1)解：如图，延长。尸交CB的延长线于点G

图1

:四边形ABCD是平行四边形

CG//AD

：.AAFD~ABFG

第25页共59页

.AFAD

**BG

__2

•・,点E的速度为1个单位每秒，点尸的速度为4个单位每秒，运动时间为§秒

•\AF=—,AE=—

33

VAB=4,AD=2

44

:・BF=—,ED=-

33

8

.3=2

**4BG

3

・•・CG=3

'：CG//AD

:APDEs^PGC

.EP_ED

**PC-GC

.EP4

••-=一；

PC9

(2)解：根据题意得：当g烂2时，E点在AO上，尸点在AB上，此时AE=x,AF

*/DB=2A/3,AB=4,AD=2

•*-AD1+BD1=AB1

・・・△ABO是直角三角形

..ADI

•AB~2

：.ZABD=30°

：.ZA=60°

如图，过点工作£耳，互交于〃

EH=AEsin60°=—x

2

y=—xAFxEH=-xy/3xx^-x=—x2;

2224

第26页共59页

・•・当%>0时，y随X的增大而增大

此时当x=2时，y有最大值3；

当2VxV逑时，E点、在BD上,尸点在AB上

3

如图，过点E作上交于N,过点。作m/LW交于则EN〃OW

根据题意得：DE=x-2

BE=2y/3+2-x

在RfAABD中，DM^AD-sinA=y/3,AM=1

,:EN〃DM

：ABENsABDM

,EN_BE

"DM~BD

.EN_2+2y/3-x

,・G-2A/3

EN=l+y/3--x

2

y=—xAFxEN=—x(43x)x(1+^3-—x)=-—x2++x

'22242

此