2025年中考数学总复习《圆的切线的证明及圆中阴影部分面积的计算》专项测试卷（带答案）

2025年中考数学总复习《圆的切线的证明及圆中阴影部分面积的计算》专

项测试卷(带答案)

学校:班级：姓名：考号：

1.如图，点。在VABC的BC边上，CD=2BD,顶点A在以CD为直径的。上，过D作3c

交C4的延长线于点E,交AB于点尸，尸E=".

⑴求证：相是。的切线；

(2)若DE=2,求阴影部分面积.

2.如图，在VA5C中，AB=AC,以AB为直径的。分别与BC,AC交于点。，E,过点。

作。尸交AC于点F.

⑴求证：DF是。的切线；

(2)若)。的半径为8,NCDF=22.5。,求阴影部分的面积.

3.如图，AB是〈。的直径，C是BO的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E.

⑴求证：CE是。的切线；

(2)若AD=2CE,0A=3,求阴影部分的面积.

4.如图，。是VABC的外接圆，为直径，点。是VABC的内心，连接AQ并延长交。于

点E,过点E作跖//3C交的延长线于点尸.

⑵若：，。的半径为3,sinZAEC4，求阴影部分的面积(结果用含万的式子表示).

5.如图，在Rt^ABC中，?B90?,N3AC的平分线交8C于点。，点E在AC上，以AE为

直径的。经过点。.

⑵若点尸是劣弧AD的中点，且CE=5,求阴影部分的面积.

6.如图所示，VABC的顶点A,3在。上，顶点C在。外，边AC与。相交于点D,N3AC=45,

连接08,OD,已知

⑴求证：直线8C是。的切线.

⑵若线段8与线段A8相交于点E，连接8，

①求证：ABD^DBE；

②若回.鸵=18,求弓形阴影部分的面积.

7.在探究圆的性质中，小明在数学探究课上无意中把一个三角板放在圆中，发现它们

有很多联系，于是做了下列研究:如图，在圆中放一个含3。。角的直角三角板W，4=30。,

AB是。。的直径，然是。的切线，点A为切点，BE与。交于点C,点。是AE的中点，

连接

⑴求证：8是。的切线；

(2)若AB=4,求阴影部分的面积.

8.大圆0和小圆。为同心圆，正六边形麻为大圆。的内接正六边形，连接

AC,CE.连接08与AC交于点K,同时小圆0与C4相切于点K.

(1)求证：CE是小圆。的切线.

⑵若0K=g,求阴影部分的面积.(结果用兀表示)

9.如图，VABC内接于。，A8为直径，CD平分NACB交。于点D.

⑴过点。作桃〃AS,求证：DE为。的切线；

(2)若AC=6,BC=8,求阴影部分的面积.

10.如图，。经过Rt^MC的顶点4,B,斜边A8平分/OAC.

⑴求证：BC是。的切线.

(2)延长。A,BC,相交于点。，若3C=CD=12cm.

①求。的直径；

②求图中阴影部分的周长.

H.如图，VA2C内接于。，A5是的直径.直线/与。相切于点4,在/上取一点。

使得ZM=OC,线段DC,A8的延长线交于点£

E

⑴求证：直线DC是：。的切线；

⑵若3c=2,ZG4B=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留%).

12.如图，ABC内接于，:。，AB是：。的直径，。的切线PC交助的延长线于点P,OFBC

交AC于点E,交PC于点尸，连接AA

(1)求证：直线AF是。的切线；

(2)若/AOF=30。，AF=2^,求阴影部分的面积.

13.AB是。的直径，ZABT=45°,AT^AB,BT与。相交于点C.

(2)如图2,连接AC,过点。作前_LAC分别交AT,AC于点D,E,交AC于点，若A3=20,

求图中阴影部分的面积.

(2)如图2,连接BC,延长DA交。于点E,连接E。并延长交BC于点尸，若点尸是8C的

中点，EF=3,求图中阴影部分的面积.

15.如图，VABC内接于O,4=60。，点E在直径池的延长线上，且AE=AE

(2)若AB=3,求阴影部分的面积.

参考答案

1.(1)见解析

⑵秒LL

V742

【分析】(1)连接。A,根据切线的性质得到NE+"6=90。，再根据FE=E4,OA=OC证

ZEAF+ZOAC=90°,即可证明N3AO=90。，即可证明结论；

(2)根据特殊角的三角函数值得到NO4C=NC=30。，求出DC=26,分别求出§啊和S扇开皿

和S®的面积即可得到答案

【详解】(1)证明：连接0A

FE=FA,OA=OC

.\ZE=ZEAF,ZOCA=ZOAC

ZEAF+ZOAC=90°

ZEAF+ZOAC+ZBAO=180°

「.N5Ao=90。，点A在。上

故A8是。的切线;

（2）解：CD=2BD,CD为。的直径

:.BD=DO=OC

.-.sinB=^=l

BO2

.-.ZB=30°

:.ZAOB=60°

ZOAC-^-ZC=ZAOBZOAC=ZC

:.ZOAC=ZC=30°

°DE73

..tan/C=--——

DC3

DE=2

DC=2百

令半径为H

:.R=-DC=y/3

2

S=—DC-DE=—x2^3x2=2^3

KRizDjFcCc22、y

_ruir1_60°%x3—%

扇形。QA-360。-360。一E

过点A作AGJ_DC于点G

3

/.AG=-

2

SAOC=-OC-AG=-xs/3x-=^-

AOC2224

，S=SRIDEC-S扇形0a4-SAOC=■

【点睛】本题主要考查圆的性质，切线的性质，特殊角的三角函数值，以及扇形的面

积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

2.⑴见详解

⑵16万一32

【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分的面积，属于中

考常考题型.

(1)连接。QA。，根据圆周角定理得出“®=90。，再证明OD是VABC的中位线，得出

OD//AC,再证明8，£(下，即可证明£＞尸是，。的切线.

(2)根据S阴影=S扇形AOE-SAOE计算即可；

【详解】(1)证明：连接皿A。.

:AB是。的直径

.\ZADB=90°

QAB=AC,ZADB=90°

:.BD=CD

AO=BO

/.OD是VABC的中位线

:.OD//AC

DF1AC

:,OD1DF

，「是。的切线.

(2)解：连接OE.

DF±AC,ZCDF=22.5°

ZC=67.5°

AB=AC

:.ZC=ZB=67.5°

ABAC=45°

OA=OE

.\ZAOE=90°

史史---X8X8=16TI-32.

S阴影=S扇形40E-S

AOE3602

3.(1)见解析

99

一(2)—4^—2

【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和

性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键.

(1)连接OC,证明㈤C=ZACO,可得笫〃四，再进一步可得结论;

(2)连接。氏8,证明四边形是矩形，可得£(F=EC,再证明可得

ZZMB=ZDBA=45°,可得NOO4=2NDK4=90。，利用S阴影=S扇形皿。人”可得答案.

【详解】(1)证明：连接OC

OA=OC

:.ZCAO^ZACO

TC是80的中点

BC=DC

:.ZBAC=ZEAC

.\ZEAC=ZACO

:.OC//AE

CE±AD

J.CEVOC

•「oc是。的半径

，C£是，。的切线；

(2)解：连接。昆。D,3。,。。交于点方

:.ZADB=90°

二NEDB=90。

QZAEC=ZECO=90°

二・四边形。石C厂是矩形

DF=EC,ZDFC=90°

J.OCYBD

:.DF=FB

:.DB=2DF=2EC

AD=2CE

:.AD=DB

.\ZDAB=ZDBA=45°

/.ZDOA=2ZDBA=90°

2

90^-x31QQ

•••S阴影=S扇i-SQ=F1丁3x3=%_|.

4.(1)见解析

9^/33兀

(2

【分析】(1)连接。E,交BC于点G,根据等腰三角形的性质得到/。/=/困，由。为

VASC的内心，得到NOAE=NG4E,求得比〃AC,根据圆周角定理得到NZACB=90。，求得

ZBGO=90°,根据切线的性质得到NFEO=90。即可；

(2)根据三角函数的定义得到ZA£C=30。，求得N3AC=2NE4c=60。，再求得

欧=OE.tan6(F=3g,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接OE,交于点G

:.ZOAE^ZOEA

又Q为VA3C的内心

:.ZOAE=ZCAE

:.ZOEA=ZCAE

OE//AC

I.ZBGO=ZBCA

又钻为。的直径

.\ZACB=90°

:./BGO=90。

又:BC//EF

:.ZFEO=ZBGO=90°

.•.斯是。的切线；

(2)解：sinZAEC=1

:.ZAEC=30°

...ZABC=ZAEC=30°

又NFEO=NBGO=90。

ZBOE=60°,/EFO=30°

EF=OE-tan60°=3y/3

§阴影部分=^AEFO~S扇形BOE

9733兀

22

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角

定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算.正确引出辅助线解决问题是解题的

关键.

5.(1)见解析

0、25

⑵丁

【分析】(1)连接8,根据角平分线定义，^ZBAD=ZOAD,可得=得,

得NODC=/B=90。，即得;

(2)连接。尸交AD于H,根据垂径定理推论得Of旬，AH=DH,根据ZD5=ZAOb,

NDOF=2NDAF,®ZDOF=Z.OAF=ZAOF=ZOFA=60°,ZCOD=ZOAF=60°,得OD=5,

BOD+52°。

根据FAH^ODH(ASA),得S阴影=S扇形的，即得.

【详解】(1)证明：如图，连接

AD是/BAC的平分线

OA=OD

：.ZOAD=ZODA

/.ZODA=ZBAD

/.OD//AB

:.ZODC=ZB=90°

8为半径

・••BC是。的切线；

(2)解：如图2,连接。尸交AD于”

:.ZOAF=ZOFA

尸是劣弧AD的中点

:.OF±AD,AH=DH,ZDOF=ZAOF

*.*/DOF=2ZDAF,ZOAD=ZDAF

.\ZDOF=ZOAF=ZAOF=ZOFA

ZOAF+ZAOF+ZOFA=180°

:.ZDOF=ZOAF=ZAOF=ZOFA=60°

由(1)知

:.ZCOD=ZOAF=60°

OPOP_1

cos60°=即

OE+CEOD+5~2

解得，8=5；

ZFHA=ZOHD,AH=DH,ZFAH=ZODH

:..FAH吗OZ)H(ASA)

-SAFAH-S/\ODH

2

60x525万

「•S阴影二S扇形。OF=-------------71

3606

二阴影部分的面积为今.

【点睛】本题考查圆与三角形综合.熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，

平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角

定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键.

6.⑴见解析

(2)①见解析;②:兀-：

【分析】(1)根据圆周角定理，可得根据平行线的性质即可求解；

(2)①反㈤是等腰直角三角形，根据相似三角形的判定即可求证；②根据相似三角形

的性质，可得8。=3应，根据一BOD是等腰直角三角形，得04=08=3,根据扇形面积与三

角形面积可得弓形阴影的面积.

【详解】(1)证明：•••44C=45。

I.ZBOD=2ZBAC=9QP

即DOLOB

,/OD//BC

：.OBIBC

直线BC是，。的切线.

(2)解：①证明：

由(1)知，400=90。

,/0B=0D

ZBDE=ZBAD=45°

ZDBE=ZABD

_ABD^_DBE；

②由①知：一AB4_DBE

•ABBD

*•BD~~BE

/.BD2=ABBE

ABBE=1S

BD2=18

/.BD=3A/2

OA=OB=BD=3

2

1199

nBOBOD=

S弓形阴影=S扇形OB°-SOBD=--°^-^-n--.

【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合.熟练掌握圆周角定理，切线的判定，相似

三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，扇形面积公式，三角形面积公式，是解

题的关键.

7.⑴见解析

(2)4/一『

【分析】本题考查切线的性质和判定，扇形的计算；掌握切线的判定和性质是解题的

关键.

(1)连接。C、OD、AC,由直径得，ZACE=90°,由切线得ZBAE=90。，可证DC=：,

利用SSS证明△OM^ZkOCD,所以“CD=NOM>=90。，所以CD是;。的切线；

(2)解RtAABE,ZB=90°-ZE=60°,得ZAOC=2/3=120。，根据S阴影=S四边形*扇形人如求解即可.

【详解】(1)解：证明：连接OC、OD、AC,如图

〈AB是。的直径，AE是।。的切线

ZACE=90°,ZBAE=90°

,点。是AE的中点

DC=-AE=DA

2

又,：OA=OC,OD=OD

aw/AOCD(SSS)

ZOCD=ZOAD=90°

即OC±CD

.•.CO是。的切线；

(2)解：\,在RtAABE中，ZE=30°

/B=60°

ZAOC=120°

/.OA=-AB=2,BE=2AB=8,AD=->jBE2-AB2=273

22

••S四边形0Aoe=2sA。14p=ADxOA=46

120x1x22=464万

阴影四边形

,"S=S0AoeS扇形AOC=，括

3603

8.(1)见解析

(2)12万-18百

【分析】(1)连接。石，OC,OD,设OD,CE交于H,可证明垂直平分CE,则NO"C=90。，

再由切线的性质得到NOKC=90O=NOAC,进而可证明△OHC丝△OKC,得到O"=OK,据此

可证明结论；

(2)证明OC8是等边三角形，则可求出OC、03的长，进而求出CK的长，求出以"B

则可求出，六边形ABCDEF,；^后^艮与居S阴影二S大圆。一S正六边形ABCDEF即可求出答案.

【详解】(1)证明：如图所示，连接OE，g,OD,设ODCE交于H

,「正六边形ABCDE5为大圆O的内接正六边形

DE=DC=BC

ZDOC=ZBOC

又「OE=OC

/.OD垂直平分CE

/.zone=90°

;小圆。与CA相切于点K

ZOKC=90°=ZOHC

又「OC=OC

OHC^_OKC(AAS)

：.OH=OK

，点”在小圆。上

又OH±CE

•••CE是小圆。的切线；

(2)解：•.•正六边形ABC。跖为大圆。的内接正六边形

360°

，ZBOC=——=60°,OB=OC

6

OC3是等边三角形

•.•小圆。与C4相切于点K

/.CKLOK

OC=OB=2OK=2^/3

.*•CK=^OC1-OK1=3

S.nrK=-OBCK=-x2s/3x3=3j3

**S正六边彩4Ba)EF=6SAOCB-18A/3

,"S阴影=S大圆o_S正六边形4BCDEF==12万一184.

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形

的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的

关键.

9.(1)证明见解析

(2)史冗-纪

v742

【分析】(1)连接得ZAOD=NBOD,即可得出AO=B。，而ZA8+/BOD=180。，则

ZAOD=ZBOD=90°,DE//AB,得NODE=NBOD=90°,贝ijOE人OD,即可证明DE是C。的切线；

(2)由A3为。的直径，得ZACB=90。，则4MAe。+g2=10,^\^OD=OA=OB=^AB=5,

根据S阴影-S扇形A。。-SAOD计算即可.

【详解】(1)证明：连接8

BCD平分/ACB

£

:.ZACD=NBCD

••AD=BD

ZAOD=/BOD=-ZAOB=1x180°=90°

22

又DE//AB

:.ZODE=ZBOD=90°

.\DE.LOD

又是半径

「.D石为。的切线.

(2)解：脑为直径

.-.ZACB=90°,而AC=6,3c=8

AB=A/AC2+BC2=V82+62=10

:.OD=OA=-AB=5

2

ZAOD=9Q°

Ce_907rx5212525

S阴影=S扇形=

【点睛】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇

形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

10.（1）见解析

⑵①,。的直径为166cm；②兀+24+8出cm

【分析】（1）连接03,根据三角形的内角和定理得到N3AC+ZABC=90。，根据角平分线

的定义得到=根据等腰三角形的性质得到4^=/。胡，根据切线的判定定

理得到是。的切线；

（2）①根据线段垂直平分线的性质得到旗=仞，求得4AC=/ZMC,得至IJ

ZOAB=ABAC=ADAC=|xl80°=60°,推出VA03是等边三角形，根据等边三角形的性质得到

ZAO3=60。，求得NO=30。，根据直角三角形的性质即可得到结论；

②根据直角三角形的性质得到8=2OB=16、/§cm,求得4£>=0口-04=8、氏111,根据弧长公式

得到AB的长度=然乎="兀（加），于是得到图中阴影部分的周长的长度

ioU3

+2。+4£>=¥兀+12+12+84=手兀+24+8.（cm）.

【详解】（1）证明：连接

ZACB=90°

ZBAC-^-ZABC=90°

9：A3平分/OAC

，ZOAB=ZBAC

OA=OB

，NOAB=NOBA

ZOBA=ZABC

ZOBA+ZABC=90°

:・ZOBC=9Q°

：.OBLBC

〈OB是O的半径

•••5C是)0的切线;

(2)解：(DvACJ.BD,BC=CD

AB=AD

ABAC=ADAC

NOAB=NBAC

ZOAB=ABAC=ADAC=1x180°=60°

3

*/OB=OA

•••VA08是等边三角形

ZAOB=60°

ZOBD=90°

ZD=30。

，08=.tan30。=24x—=8瓜m

3

。的直径为16gcm；

②ZOBD=90°,ZD=30°

.*•OD=2OB=16V§cm

「・AD=OD-OA=8V§cm

..."的长度二黑誉二”兀（加）

loll3

，图中阴影部分的周长的长度+8。+4。=卓无+12+12+8省=空兀+24+8同加）.

【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性

质，直角三角形的性质，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键.

IL（1）详见解析

⑵26T

【分析】（1）连接OC,根据切线的性质得到4M3=90。，根据等腰三角形的性质得到

"CO=ZDAO=90°,于是得到结论；

（2）根据圆周角定理得到NBOC=2ZCAB=60°,根据等边三角形的性质得至OC=OB=BC=2,

根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接”

...直线/与。相切于点A

/.ZZMB=90。

*/DA=DC,OA=OC

/.ZDAC=ZDC4,ZOAC=ZOCA

ZDCA+ZACO=ZDAC+ZCAO

ZDCO=ZDAO=90°

/.OC.LCD

直线。c是，。的切线;

(2)解：*/ZC4B=30°

ZBOC=2ZCAB=60°

,/OC=OB

•*.是等边三角形

OC=OB=BC=2

CE=tan60°OC=2V3

・••图中阴影部分的面积=sOCE~S扇形COB

」x2x2君-亚友巨=2石-2.

23603

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性

质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.

12.(1)证明过程见解答

(2)阴影部分的面积为186-6万

【分析】(1)连接。，证明AOF^COF,由全等三角形的性质得出/O”=/Ob=90。，由

切线的判定可得出结论；

(2)由直角三角形的性质求出/4。「=30。，可得出OA=6,求出NAOC=60。，由三角形面

积公式和扇形的面积公式可得出答案.

【详解】(1)证明：连接oc

,：PC为。的切线

..."CP=90。

•/OFBC

：.NAOF=ZB,NCOF=NOCB

OC=OB

：.NOCB=NB

：.NAOF=NCOF

;在AO尸和CO尸中

OC=OA

<ZAOF=ZCOF

OF=OF

/..AOF^COF(SAS)

NOAF=NOCF=90。

•••04为。的半径

尸为。的切线；

(2)解：在Rt_A"中，/AO尸=30。，A尸=2百

OA=y/3AF=6

ZAOF=ZCOF

：.ZAOC=2ZAOF=60°

在RtOCP中，OC=OA=6

CP=6>Ctan60°=6V3

•••阴影部分的面积『℃尸的面积-扇形A"的面积”-霁々=白6><6有-6兀

=18A/3-6TT.

，阴影部分的面积为186兀.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，

等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，扇形的面积公式，熟练掌握

切线的判定与性质是解本题的关键.

13.⑴见解析

(2)2

【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；

(1)根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出/加?=90。，再根据切线的判定方

法进行解答即可；

(2)根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【详解】(1)证明：AT=AB

:.ZATB^ZABT^45°

:.ZTAB=180°-45°-45°=90°

即ABVAT

初是。的直径

二.AT是(。的切线;

(2)解：如图，连接OC

是。的直径

:.ZACB=90°

即AC±BT

AC-LOD

，OD//BT

:.ZAOD=ZB=45°

AD=AO=—AB=^2

2

BC=TC,AO=BO

，OC//AT

:.ZCOF=90°-45°=45°

S阴影部分二S梯形QA7C-SAOD-S扇形oc尸

1/r广、厂\厂厂457rx（及Y

=—x|V2+2V2lxV2——xV2xV2----------———

21>2360

14.(1)见解析

v723

【分析】本题主要考查切线的判定以及扇形面积的计算：

(1)连接OC,证明AD〃OC,得OCLCD即可得结论；

(2)连接OC,证明四边形A£OC是平行四边形，求出ZACD=30。，EF=3,CD=G再