2025年中考数学复习：解答题之实际问题与一元二次方程（含解析）

2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程

1.综合实践一用矩形硬纸片制作无盖纸盒.

如图1,有一张长30cm,宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图

2所示的无盖纸盒.(硬纸片厚度忽略不计)

(1)若纸盒的底面积为240cm?，请计算剪去的正方形的边长;

(2)如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他

发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的

表面积为412cm2,请计算剪去的正方形的边长.

2.某蔬菜种植基地计划将其中100n?的土地全部种植甲、乙两种有机蔬菜.经调查发现，甲种蔬菜

的种植成本y(元/n?)与其种植面积x(m2)的函数关系如图所示，其中甲种蔬菜种植面积为

20<x<70,乙种蔬菜的种植成本为50元/n?.

(1)当甲种蔬菜的种植成本为32元/m2,求它的种植面积；

(2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲、乙两种蔬菜的总种植成本为4250元.

3.其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成

本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量X（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示.每吨原材

料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为50%,蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一

年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）.

表2

X（吨）50100150200

y（万万元元//吨吨））11..991.81.71.6

（1）求y与x的函数解析式（不写定义域）；

⑵求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价；

（3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要

采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由.

（备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算

原始重量-最终重量

公式:减重率=xlOO%）

原始重量

4.如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长

方形花圃.为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门.若花

圃的面积恰好为40n?.

墙长1Im

AD

B'■-H।____।'C

ImIm

⑴求此时花圃A3边的长；

⑵花圃的面积能达到50m°吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由.

5.在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗.某食品加工厂拥有A,8两条不同的粽子

生产线，A生产线每小时加工粽子400个，3生产线每小时加工粽子500个.

(1)若生产线A,B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则8生产线至少加工多少小

时？

(2)原计划A,B生产线每天均工作8小时.由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小

时比原计划多生产100〃个(a>0),3生产线每小时比原计划多生产100个.若A生产线每天比原

计划少工作2a小时，8生产线每天比原计划少工作。小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求。的

值.

6.(1)如图1,分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁开，得到4个小三角形，然后拼

成一个大正方形，则大正方形的边长为_cm.

(2)如图2,元旦手抄报展览即将开始.为制作出精美的主题展览作品，小华想用一张面积为400cm2

的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为300cm2的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景.若

设计长方形卡纸的长宽之比为5:3,小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮

助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由.

7.如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量丁(单位：mg)和时间x(单位：乃之间的函数图象,

41

其中在服用后前9/7,图象是抛物线y=的一部分，9h后图象为直线了=-于+6的一部分.

(1)若某个成年人在服药后浓度最高可达到4mg.

①求a,b的值；

②求药物在服用期间浓度不低于2mg持续的时间；

(2)若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12h,且不得超过16h,求。的取值范围.

8.阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积

的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形是矩形ABC。的“减半”矩形.

请你解决下列问题：

D\宽：4C]

⑴当矩形的长和宽分别为1,7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，

若不存在，请说明理由.

(2)边长为。的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说

明理由.

9.小张从家具厂家购进了4、2两种型号的木地板，已知每平米A型木地板的进价比每平米2型木

地板的进价多30元，用7500元购进A型木地板和用6000元购进8型木地板的面积相同.

(1)求每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价各是多少元？

(2)在销售过程中，A型木地板因为质量更好高，更受消费者的欢迎.为了增大8型木地板的销量，该

销售商决定对B型木地板进行降价销售.经调查，当2型木地板的售价为每平方米180元时，平均每

天可卖出木地板的总面积为4平方米，在此基础上，售价每降低5元，平均每天将多售出1平方米.要

使平均每天销售B型木地板的利润为320元，请问该销售商应将B型木地板的售价降低多少元.

10.如图，在VA3C中，ZA=90°,AS=10cm,AC=16cm,点M从点8出发，以lcm/s的速度沿

着班运动；点N从点A出发，以2cm/s的速度沿着AC运动.已知两点同时出发，当点N运动到点

C时，点”和点N的运动停止.

(1)经过多长时间，MN的长为4&cm?

⑵经过多长时间，AAMN的面积为24cm2?

(3)AAAW的面积会等于VABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由.

11.为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场(平面图形如图所示)，其中四边形ABCD

是矩形，分别以AB,BC,CD,D4边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628m,矩形的边长

AB=ym,BC=xm.(注：取万=3.14)

(1)试用含x的代数式表示y；

(2)现计划在矩形A5CD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆

的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；

①设该工程的总造价为W元，求卬关于x的函数关系式；

2

②该工程要求矩形的边BC的长不超过长的w，政府计划投入1064.82万元，问能否完成该工程的

建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？

12.某商业体内矩形停车场（平面图如图所示）规划A、8、C三个矩形区域（东西方向宽度相同，

南北方向宽度分别为。米，2a米，。米）作为停车区域和南北方向、东西方向各两条行车道（车道宽

度相同），所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米.在停车区域内划完全相同的矩形

车位（不留间隙），车位南北方向边长为。米，东西方向边长为2.5米.

北

OU不A

A区t

行

行

行车道芽

车

车米

道

道B区30

行车道

C区V

南

⑴①求行车道的宽度；

②直接写出。的值是;车位数量为个；

（2）在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现：按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位

全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个.设停车费上涨x元（x为正整数），

停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值.

（3）通过对试营业期获取的数据进行研究后，停车场确定（从1月1日起）收费标准为：每个车位每

天收费16元，同时将未出租的车位中的。个普通车位改装为充电车位（充电车位必定能出租）.已

知充电车位改装费为：5000元/车位.若停车场改装。个车位后，要使得停车场的全年（按365天计）

总收入（全年停车收费扣除充电车位改装费用）高于未改装之前的全年（按365天计）停车场停车收

费总金额最大值，直接写出。的最小值是.

《2025年中考数学解答题系列：实际问题与一元二次方程》参考答案

1.(l)3cm

(2)2cm

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键.

(1)设减去的正方形的边长为xcm,则纸盒底面长方形的长为(3O-2x)cm,宽为(16-2x)cm,根

据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

(2)设剪去的正方形的边长为acm,根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案.

【详解】(1)解：设减去的正方形的边长为xcm,则纸盒底面长方形的长为(30-2x)cm,宽为

(16—2x)cm,

由题意得：(30-2x)06-2x)=240,

解得：％=3或犬=20(舍去)，

剪去正方形的边长为3cm；

(2)解：设剪去的正方形的边长为“cm,

由题意得：a(16-2a)x2+a^30~2a^x2+(16-2a)x^30~2a^x2=412,

解得：a=2或。=-17(不符合题意，舍去)，

剪去的正方形的边长为2cm.

2.(1)它的种植面积44m>

(2)当甲种蔬菜种植30m2,乙种蔬菜种植70m2或甲种蔬菜种植50m2,乙种蔬菜种植50m2总种植成本

为4250元.

【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，一元一次方程的应用等知识，掌握知识点的应用是解

题的关键

11

(1)当20WXV60时，求出y与无之间的关系式为y=]X+10,当v=32元时，-x+10=32,求出

x=44即可；

(2)由题意得甲种蔬菜的种植面积为%n?,乙种蔬菜的种植面积为(100-x)m2,然后分①当

20W尤460时和②当60〈尤470时，然后解方程即可.

【详解】(1)解：当20VxW60时，设J7与x之间的关系式为>=履+6,

把(20,20),(60,40)代入y=得,

20左+6=20k=-

，解得：＜2,

60k+Z?=40

。=10

•*.y与尤之间的关系式为y=Jx+10,

当y=32元时，-x+10=32,解得：x=44,

2

，它的种植面积44m°;

(2)解：•••甲种蔬菜的种植面积为xn?,

.•.乙种蔬菜的种植面积为(100-x)m2,

①当204x460时，

根据题意，xQx+10^|+50(100-x)=4250,

解得再=30,巧=50,

当光=30时，100—九=70；当％=50时，100—％=50；

②当60Vx<70,

根据题意，得40x+50(100—x)=4250,

解得，=75,不符合题意，舍去，

答：当甲种蔬菜种植30m2,乙种蔬菜种植70m2或甲种蔬菜种植50m2,乙种蔬菜种植50m2总种植成本

为4250元.

3.(1)y=—0.002A*+2

(2)10万元/吨

(3)需要采购蓝莓的重量为300吨

【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键；

(1)设y与x的函数解析式为>=丘+可左HO),待定系数法求解析式，即可求解；

(2)根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解.

(3)根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【详解】(1)解：设y与x的函数解析式为丁=米+6代工0)

代入(100,1.8),(200,1.6),

.J1.8=100^+&

,•[1.6=200%+匕

k=-0.002

解得:

6=2

y=-0.002%+2

15x8+25x10+5x12+5x14

(2)解：依题意，平均销售价为=10(万元/吨)

15+25+5+5

(3)解：依题意，10x|-(-0.002x+2)x-lxx=780

原方程组整理得，尤2+1000x-390000=0

解得：为=300,%=-1300(舍去)

答：需要采购蓝莓的重量为300吨

4.(1)花圃A3边的长为4米.

(2)花圃的面积不能达到50n?,理由见解析

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知

识解决实际问题成为解题的关键.

(1)设花圃A3边的长为x,则花圃的边的长为(22-3x)米，由墙的最大可用长度为11m,可知

x4,再根据题意列一元二次方程求解即可；

(2)令x(22-3x)=50,再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答.

【详解】(1)解：设花圃A3边的长为x,则花圃的边8C的长为(22-3力米，

墙的最大可用长度为11m,

22—3x<11,解得：x>—

由题意可得：x(22-3x)=40,

整理得：3x2-22x+40=0,解得：x=4或(舍弃).

答：花圃AB边的长为4米.

(2)解：花圃的面积不能达到50n?,理由如下：

令x(22-3x)=50,

整理得：3/-22x+50=0,

因为A=(-22)2-4*3*40=-116<0,

所以方程3炉_22彳+50=0无解，即花圃的面积不能达到50m，

5.(1)8生产线至少加工6小时

(2)a的值为2

【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用.解决本题的关键是根据题目

中所给的数量关系列出不等式和方程求解.

⑴设3生产线加工工小时，则A生产线加工(11-尤)小时，根据生产线A,3一共加工11小时，且生

产粽子总数量不少于5000个，列不等式求解即可；

(2)根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于。的一元二次方程，解方程即可求出。的值.

【详解】(1)解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11-x)小时，

根据题意可得：500尤+400(11-©25000,

解得：x>6

答：B生产线至少加工6小时；

(2)解：由题意可得：(400+1。0。)(8-24)+(500+100)(8-。)=6000,

整理得：a2+3a-10=0,

解得q=2,%=-5(不符合题意，舍去)，

答：。的值为2.

6.(1)0；(2)小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析

【分析】本题主要考查了正方形的性质、一元二次方程的应用、算术平方根等知识点，掌握数形结合

思想成为解题的关键.

(1)先求出大正方形的面积，然后求其算术平方根即可；

(2)设长方形纸片的长为5xcm,则宽为3xcm,再根据面积列一元二次方程求解，然后进行比较即

可解答.

【详解】解：(1)由题意得：大正方形的面积=1+I=2cm2,

大正方形的边长为&cm.

故答案为:&-

⑵..•长方形纸片的长宽之比为5:3,

•••设长方形纸片的长为5xcm,则宽为3尤cm,

5x-3x=300,

.,.15X2=300,解得：X=±V20=±2A/5,

又：x>0,

x=26，

/.长方形纸片的长为10辰m，

又：（10向2=500>2。2,即：10有>20,

•••小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片.

7.⑴①a=J,b=6；②6+30(h)

1129

⑵一UWaW—二

81243

【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质及应用、方程求解及不等式的应用.

(1)①根据抛物线顶点纵坐标公式求出。的值，再将x=9代入抛物线求出此时的y值，把该点代入

直线方程求出b的值；

②分别在抛物线和直线部分求出>=2时对应的无值，进而求出浓度不低于2mg持续的时间；

(2)先求出抛物线与尤轴正半轴交点，再根据直线与尤轴交点的取值范围列出关于。的不等式组求

解.

【详解】(1)解：①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4,

.,1

i3J，解得°-•

=49

4a

1、4

此时抛物线解析式为：y=-^x2+^x.

1041o4

当x=9时，代入抛物线解析式>=一72+§%=一192+§*9=3.

把(9,3)代入>=-++8,解得6=6.

._1-

••CL—,b—O.

9

②将y=2代入y=—gf+§了，解得X]=-3^5+6,x2=3^2+6(舍去)；

将y=2代入y=-gx+6,解得x=12,

故持续时间为：12-卜3忘+6)=(6+30)(h).

(2)由题意可知，当x=12时，y>0,

代入y=+6中，即一；xl2+6Z0,解得624；

当x=16时，”0.

代入y=-g尤+人中，即一;X16+6W0,解得

综上，得4W6W^,

当x=9时，81a+12=b—3,此时》=81。+15,

；.4W81a+15w£

3

解得——WQW--"-

81243

8・⑴存在，"减半'’矩形长和宽分别为2+日与2-%

(2)不存在，理由见解析。

【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系.

(1)假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为无、y,根据如果存在另一个矩形，它的周长和面

积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解.

(2)正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是;2,面积比就应该是:，所以不存在“减半”正方

形.

【详解】(1)解：存在，“减半”矩形长和宽分别为2+3与2-正.

22

x+y=4①

假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为心儿则7…，

孙=]②

由①，得：y=4-x,③

7

把③代入②，得/一4xH—=0,

2

解得再=2+，X=2-.

12222

所以，，减半，，矩形长和宽分别为2+t与2-走.

22

(2)解:不存在，理由如下：

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为;时，面积比必定是。，

所以正方形不存在“减半”正方形.

9.(1)每平米A型木地板和每平米8型木地板的进价分别为150元和120元

⑵将B型木地板的售价降低20元

【分析】本题涉及分式方程的应用和一元二次方程的实际应用，重点考查学生建立方程模型解决实际

问题的能力.

(1)通过设定未知数，利用单价、总价、数量的关系建立分式方程，解方程求出两种木地板的进价；

(2)根据利润公式，结合售价与销量的动态关系，建立一元二次方程并求解，注意验证解的合理性.

【详解】(1)解：设每平方米B型木地板的进价为尤元，则A型木地板的进价为(x+30)元,

75006000

由题意得:

x+30x

解得：x=120,

经检验：％=120是原方程的根，且符合题意,

那么A型木地板的进价为120+30=150(元)，

答：每平米A型木地板和每平米B型木地板的进价分别为150元和120元；

(2)解:将8型木地板的售价降低加元，

由题意得：(180-m-120)^4+^=320,

解得：叫=加2=20,

答：将3型木地板的售价降低20元.

10.(l)2s

(2)4s或6s

⑶不会，理由见解析

【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用.

(1)设运动时间为左，贝AM=AB-BM=(10-rjcrn,AN=2tcm,利用勾股定理得出

关于/的方程，解方程即可；

(2)根据题意得;(10-。？2r24,解方程即可；

(3)当AAMN的面积会等于VA3C面积的一半时，则g(10T)?2f：?80,再根据△的值可得结论.

【详解】(1)解：设运动时间为/S,则技0=/cm,AM=AB-BM=(10-^cm,AN=2tcm,

VZA=90°,脑V的长为4瓜m,

・••在Rt、4AW中，AM2+AN2=MN2，即(10-『+(2/『=(4百？，

解得，=2,

即经过2s,A/N的长为4J5cm；

(2)解：由(1)^AM=AB-BM=(^10-^cm,AN=2tcm,

^AMN的面积为24cm之，

/.S^NAMIAN24,即:(10-r)?2t24,

解得r=4或，=6,

•・•当点N运动到点。时，点〃和点N的运动停止，

t£—,艮＜8,

2

・•・经过4s或6s,&4AW的面积为24cm2；

(3)解：不会，理由如下：

由⑵知山“'=；(10-夕2/,

s=-AB?AC1创016=80cm2,

△AzR>Cc22

当AAMN的面积会等于VABC面积的一半时，则

1(10-r)?2rJ?80，

整理得产-10t+40=0,

此时D=(-10/-4创40=-60<0,

...AAMN的面积不会等于VABC面积的一半.

11.(l)y=200-x

2

(2)0w=200x-40000^+12560000;②能，设计的方案是：长为121m,长为79m,再分别

以各边为直径向外作半圆

【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正

确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键.

(1)整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可；

(2)①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出尤的取值范围，

再根据①所求令费用为1064.82万元建立方程，解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意得，乃无+不丫=628,

：1=3.14,

x+y=200,

y=200-x；

W=428孙+400万15+400万值