2025年中考数学压轴题：特殊四边形压轴题1（原卷版+解析）

压轴题06特殊四边形压轴题1

部盘重点•抓核心

四边形这个中考考点在中考数学中包含平行四边形、矩形'菱形、正方形，因为四边形与三角形基础

知识'特殊三角形、相似三角形等的紧密结合性，所以常出对应压轴题，特别是正方形，更容易出选择填

空压轴题。对应压轴题牵涉考点有以下几个方面：

1、平行四边形：①平行四边形因为自带“〃二所以常可以和与“平行”相关的模型结合，如角平分

线、平行线、角平分线组合的“知二得一”；再比如因为“〃”得到的“A字图相似”、“8字图相似”也是

平行四边形结合的重点；②根据平行四边形的性质——对角相等、对角线互相平分，这些角的等量关系、

线段的等量关系因为与三角形全等结论相同，故常将平行四边形的问题转化为全等三角形的问题来思考解

决；③等腰三角形的存在性问题也可以在平行四边形的问题背景下出题。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形有的结合及转化方式，它们也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形还可以转化为直角三角形和等腰三角形解决问题，矩形有直角，所以矩形的

存在性问题也可以转化为直角三角形的存在性问题来思考，同理，菱形存在性问题因为菱形的四条边相等，

也可以转化为等腰三角形的存在性问题。

3、正方形：正方形在压轴题中常考考点包括：①正方形的半角模型；②正方形与勾股定理；③正方形

与三角函数等。另外，正方形的问题常转化为等腰三角形问题思考。最后，平行四边形的考点结合类型，

正方形也有。

压轴题型一：平行四边形选择、填空压轴题

1.（2024•浙江）如图，在回ABC。中，AC,相交于点O,AC=2,BD=2回过点A作AE_LBC的垂

线交于点E,记BE长为无，8C长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

2.（2024•自贡）如图，在固4BCD中，ZB=60°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A出发，以Ic/w/s的

速度沿运动，同时点。从点C出发，以3c"/s的速度沿C-B/C-…往复运动，当点P到达端点

。时，点。随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD出现的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2024•九龙坡区校级模拟）如图，在平行四边形A8CD中，ZC=45°,AB=6428c=12.E为BC边

上一点，且满足CE=AE,作/CEA的平分线EF交AD于点F,则EF的长度为.

4.（2024•永修县校级模拟）如图，在平行四边形A8CZ）中，AB=8,BC=12,ZB=120°,E是BC的中

点，点尸在平行四边形ABC。的边上，若△P8E为等腰三角形，则EP的长为.

5.（2024•香坊区一模）在E1ABC。中，对角线AC和8。相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6,延长8c至

1

点E,连接OE交CD于点F,若NE=^AACD,则线段OF的长为.

压轴题型二：矩形选择、填空压轴题

1.（2024•苏州）如图，矩形ABC。中，AB=V3,BC=1,动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1

个单位长度的速度沿AB,CD向终点8,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为

G,则AG的最大值为（）

DC

V3

A.V3B.一C.2D.1

2

2.（2024•巴中）如图，矩形ABC。的对角线AC与8。交于点。，OE_LAC于点E,延长。E与8C交于点

F.若A8=3,BC=4,则点尸到8。的距离为

3.（2024•历下区一模）如图，已知矩形ABC。，AB=6,4。=8,点E为边8C上一点，连接。E,以DE

为一边在与点C的同侧作正方形DEFG,连接AF.当点E在边BC上运动时，AF的最小值

是

4.（2024•南明区校级二模）如图，在矩形ABC。中，NBCD的角平分线CE与边交于点E,/AEC的

角平分线与边CB的延长线交于点G,与边AB交于点F,如果4B=3&,AF=2BF,那么GB

GBC

5.（2024•雷州市一模）如图，在矩形A8C。中，E,尸分别是边48,上的动点，尸是线段斯的中点,

PGLBC,PHLCD,G,H为垂足,连接G/I.若A2=8,AD=6,EF=6,则G8的最小值是

6.（2024•平顶山一模）在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,若P是射线上一个动点，连接8尸，点A关

于直线BP的对称点为M,连接MP,MC,当P,M,C三点共线时，AP的长为

压轴题型三：菱形选择、填空压轴题

1.（2024•泰安）如图，菱形ABCZ）中，ZB=60°,点E是48边上的点，AE=4,BE=8,点尸是8C上

的一点，△EGF是以点G为直角顶点，NEFG为30。角的直角三角形，连结AG.当点F在直线BC上

运动时，线段AG的最小值是（）

A.2B.4V3-2C.2V3D.4

2.（2024•娄星区二模）如图，已知菱形ABCD的边长为6,点M是对角线AC上的一动点，且/A8C=120°,

A.3V3B.3+3百C.6+V3D.6A/3

3.（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABC。中，对角线AC,相交于点O,点E在2C延长线上,

OF5

与CD相交于点凡若NAC£>=2/OEC,—=一，则菱形ABCD的面积为

FE6--------------

4.（2024•宝安区三模）周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子

才慢慢停了下来.淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了.爸爸说，只要把备胎换上就行了.于

是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意.图（1）是一种利用了四边

形不稳定性设计的千斤顶.如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动

手柄可改变NAOC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A,C之间的距离）.已知42

—40cm,ZADC—60°,当千斤顶升高时，四边形ABCD为正方形.

5.（2025•佛山一模）如图1是王先生家的菜圃，图2是该菜圃的示意图，该菜圃可看作矩形，点E,歹分

别是矩形ABCD的边CD,AB的中点，两条平行线AK,CL分别经过菱形EGFH的顶点H,G和边FG,

EH的中点N.已知菱形EG/7/的面积为6,则阴影部分的面积之和为.

6.（2024•道外区三模）如图，在菱形A8CD中，AC与80交于点。，A8边的垂直平分线交8。于点E,

交A8于点E点G为C。边中点,连接EG,若AC=8,BD=16,则线段EG的长为.

A_____________D

zA/

BC

7.（2024•广陵区校级四模）如图，菱形ABCD中，ZABC=60°，点点N分别是A3、AC边上的点,

且BN、CM交于点E,如果点尸是OE的中点，那么BE+CE=-

压轴题型四：正方形选择，、填空压轴题

1.（2024•泸州）如图，在边长为6的正方形ABC。中，点E,尸分别是边AB,8C上的动点，且满足AE

1

=BF,AF与。E交于点。点M是。F的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则OM+?灯的最小值

是（）

AEGB

D.10

2.（2025•江北区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E为3C边上一点，BE：CE=1：2,连接AE,将线

CF

段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点R连接CRDF,则一的值是（）

DF

V5V15V5V1O

A.—B.-----C.—D.-----

5535

3.（2024•新城区校级二模）如图，已知E,尸分别为正方形A8C。的边AB,BC的中点，AF与DE交于点

M,O为BD的中点，则下列结论：①乙4腔=90°,②NBAF=/EDB,③40=争0/，@ME+MF=

42MB.其中正确结论的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2024•黑龙江）如图，在正方形ABC。中，点"在AZ）边上（不与点4、。重合），/BHF=90：HF

交正方形外角的平分线。F于点E连接AC交8H于点仞，连接8尸交AC于点G,交C。于点N,连

接3D则下列结论：

①/HBF=45。；②点G是8尸的中点；③若点”是AO的中点，贝|sin/A®C=詈；®BN=

111

⑤若AH=加,贝USABND=其中正确的结论是（）

C.①②④⑤D.①②③④⑤

5.（2024•南通）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=5.正方形。所G的边长为迷，它的顶

点D,E,G分别在AABC的边上，则BG的长为

6.（2024•呼和浩特）如图，正方形ABC。的面积为50,以A8为腰作等腰△A2RAB^AF,AE平分/D4P

交。C于点G,交BE的延长线于点E,连接OE.若3斤=2,则。G=

7.（2024•鹿城区校级模拟）如图，在中，ZACB=90°,以AC和8c为边在△ABC的外侧作正

方形ACDE和正方形BCFG,延长ED和GF交于点P,AM±AB交EP于点M,BNLAB交GP于点N,

PC的延长线交A8于点0.若PM=2ME,2。=14,则阴影部分的面积为.

压轴题06特殊四边形压轴题1

3盘重点•抓核心

四边形这个中考考点在中考数学中包含平行四边形、矩形、菱形、正方形，因为四边形与三角形基础

知识、特殊三角形、相似三角形等的紧密结合性，所以常出对应压轴题，特别是正方形，更容易出选择填

空压轴题。对应压轴题牵涉考点有以下几个方面：

1'平行四边形：①平行四边形因为自带“〃二所以常可以和与“平行”相关的模型结合，如角平分

线'平行线、角平分线组合的“知二得一”；再比如因为“〃”得到的“A字图相似”、“8字图相似”也是

平行四边形结合的重点；②根据平行四边形的性质——对角相等、对角线互相平分，这些角的等量关系、

线段的等量关系因为与三角形全等结论相同，故常将平行四边形的问题转化为全等三角形的问题来思考解

决；③等腰三角形的存在性问题也可以在平行四边形的问题背景下出题。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形有的结合及转化方式，它们也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形还可以转化为直角三角形和等腰三角形解决问题，矩形有直角，所以矩形的

存在性问题也可以转化为直角三角形的存在性问题来思考，同理，菱形存在性问题因为菱形的四条边相等，

也可以转化为等腰三角形的存在性问题。

3、正方形：正方形在压轴题中常考考点包括：①正方形的半角模型；②正方形与勾股定理；③正方形

与三角函数等。另外，正方形的问题常转化为等腰三角形问题思考。最后，平行四边形的考点结合类型，

正方形也有。

压轴题型一：平行四边形选择、填空压轴题

1.（2024•浙江）如图，在EL4BC。中，AC,2。相交于点。，AC=2,BD=2底过点A作AE_LBC的垂

线交8C于点E,记BE长为无，BC长为y.当x,y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A.x+yB.x-yC.xyD./+/

【分析】过。作交5C延长线于H,由平行四边形当性质推出ABDC,AD//BC,得至IjAE

=0H,判定RtZXOC”也RtZ\A3E(H£),得至UCH=BE=x,由勾股定理得到22-y-x)2=(2-\/3)2—(y+x)

2,得到孙=2.

【解答】解：过。作。HL8C,交8C延长线于H,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=DC,AD//BC,

VAE±BC,DHLBC,

：.AE=DH,

：.RiADCH^RtAABE(HL),

：.CH=BE=x,

9：BC=y,

EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x,

,・工52=4。2_EC2Dtf=BN-B*

22-(y-x)2=(2A/3)2—(y+x)2,

•2.

故选：C.

【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,关键是由RtZXOC”也Rt

△ABE(HL),得到CH=BE,由勾股定理得到2?-(y-x)2=(2V3)2-(j+\2

2.(2024•自贡)如图，在回ABC。中，NB=60°,AB6cm,BC=12cm.点尸从点A出发，以lcni/s的

速度沿A-。运动，同时点。从点C出发，以3cm/s的速度沿C-B-C-…往复运动，当点P到达端点

。时，点。随之停止运动.在此运动过程中，线段尸Q=C。出现的次数是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由已知可得，P从A到。需12s,。从C到8（或从8到C）需4s,设P,。运动时间为ts,

分三种情况画出图形：①当0W/W4时，过。作QHLA。于H,过C作CGLAQ于G,由四边形CQP。

是等腰梯形，可得什3+3f+3=12,f=L5；当四边形CQPO是平行四边形时，f+3t=12,得t=3；②当4

时，若四边形CQP。是平行四边形，可得3G-4）=t,r=6；而四边形CQPO是等腰梯形，则

PD>6cm,这种情况在4<fW8时不存在；③当8</（12时，若四边形CQPZ）是平行四边形，3（L8）

=127,得r=9,即可得到答案.

【解答】解：由己知可得，P从A到。需12s,。从C到8（或从B到C）需4s,

设P,。运动时间为ts,

①当0W/W4时，过。作。于X,过C作CG_LA。于G,如图：

由题可知，AP=tcm,CQ=3tcm=GH,

'：PD//CQ,PQ=CD,

四边形CQPD是等腰梯形，

；./QPH=/D=/B=60°,

"：PQ=CD=AB=6cm,

11

：.PH=^PQ=3cm,DG=^CD=3cm,

'：AP+PH+GH+DG=AD=BC=12,

Z+3+3^+3—12,

解得）=1.5；

当四边形CQ尸。是平行四边形时，如图:

APfD

BQC

此时尸O=CQ=3/CM,

.*.r+3z=12,

解得f=3,

.•"为1.5s或3s时，PQ=CD-,

②当4〈忘8时，若四边形。。尸。是平行四边形，如图:

此时80=3(/-4)cm,AP=tcm,

'：AD^BC,PD=CQ,

：.BQ^AP,

.'.3(f-4)=3

解得f=6；

由①知，若四边形CQP。是8,PQ为腰的等腰梯形，则尸。>6。相，这种情况在4<fW8时不存在;

.【为6s时,PQ=CD；

③当8<tW12时，若四边形CQPO是平行四边形，如图：

此时CQ=3(f-8),P£>=12-t,

：.3(f-8)=12-t,

解得f=9,

为9s时，PQ=CD；

综上所述，，为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD；

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形，等腰梯形的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用.

3.(2024•九龙坡区校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，ZC=45°,AB=6^28c=12.E为BC边

上一点，且满足CE=AE,作NC£A的平分线所交A。于点尸，则EF的长度为26亍.

【分析】连接AC交E厂于点0,连接CR过点A作交C5的延长线于H,先证四边形AEC尸

为菱形，则EF_LAC,OE=OF,OA=OC,在中分别求出AH=3X=6,则CH=BC+B〃=18,

由此得AC=6同，则0C=O4=3，IU,证△COES2XCHA,利用相似三角形的性质求出。打=由

此即可得出族的长.

【解答】解：连接AC交跖于点0,连接CR过点A作交C8的延长线于H,如图所示：

・・•四边形ABCD为平行四边形，

J.AD//BC,CD//AB,

・・・N2=N3,

,.・£尸平分NCE4,

・・・N1=N2,

・・・N3=N1,

：.AF=AE,

,/CE=AE,

：.AF=CE,

・・・四边形AECF为平行四边形，

■:CE=AE,

・•・平行四边形AEC尸为菱形，

：.EFLAC,OE=OF,OA=OC,

9

：CD//ABfZDCB=45°,

AZABH=ZDCB=45°,

在RtZkABH中，AB=6V2,

/.sinZABH=祟cosZABH=器，

AH=AB•sinZABH=6应Xsin45°=6,BH=AB・cosNABH=6V2Xcos45°=6,

・•・CH=BC+BH=12+6=18,

在RtZkAC”中，由勾股定理得：AC=y/CH2+AH2=6V10,

：.OC=OA=1AC=3V10,

.•.NCOE=NH=90°,NEOC=NACH,

:.XCOEs△CHA,

：.0E：AH=OC：CH,

即OE：6=3V10：18,

OE=V10,

：.EF=2OE=2V10.

故答案为：2同.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三

角形，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角

三角函数，勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键.

4.（2024•永修县校级模拟）如图，在平行四边形ABCZ）中，4B=8,8c=12,ZB=120°,E是BC的中

点，点尸在平行四边形ABC。的边上，若△P3E为等腰三角形，则EP的长为6或6百或后.

【分析】当尸点在上，BP=BE=6,作BHLPE于H,如图1,根据等腰三角形的性质得刊/=£»,

再计算出砂=30。，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出即，从而得到此时

的PE的长；当尸点在上，BP=PE,作BG_LA。于G,PFLBE于F,如图2,所以BF=EF=3,

先求出BG=4H,从而得到PF=4b，然后利用勾股定理计算出此时尸£的长；当点尸在C。上，如图

3,EB=EP=6.

【解答】解：当P点在8A上，BP=BE=6,

作BHLPE于H,如图1,则PH=EH,

VZB=120°，

；・/BPE=/BEP=3b°,

在RtZXBEH中，BH=^BE=3,EH=^BH=3®

:.PE=2EH=65

当尸点在A。上，BP=PE,

作8G_LA。于G,PF_LBE于F,如图2,贝l|BF=EP=3,

V四边形ABCD为平行四边形，

：.AD//BC,

VZABC=120°,

AZA=60°,

1

在RtZXABG中，AG=^AB=4,BG=V3AG=4A/3,

:.PF=4®

在RtAPEF中，PE=32+(4V3)2=V57;

当点尸在C£＞上，如图3,EB=EP=6,

综上所述，尸£的长为6或6百或符.

故答案为6或6W或屈.

【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形

的对角线互相平分.平行线间的距离处处相等.也考查了等腰三角形的性质.

5.（2024•香坊区一模）在EIABCZ）中，对角线AC和8。相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6,延长8c至

112V10

点E,连接。E交8于点R若4=产2小则线段8的长为一下一

AD

【分析】作。尸〃AC,交3C延长线于点尸，因为AZ)〃BC,即AD〃CP,四边形ACPD是平行四边形,

可得。尸=AC,CP=AD,已知AO=5,AC=8,BD=6,可得8。、DP、BP的长，BD?+Dp2=Bp2符合

勾股定理，所以N5。尸=90°,因为。尸〃AC,可得N5OC=90°,可得区43CZ)是菱形，所以NBCO=

1OMBM

ZDCO,因为NE=之乙46,可得/E=/EOC,证△BOMs/\BQC,AFEC^AOEM,所以一=—=

2DCBC

301EFEC

—=一，一=—,可得OM.EM、BM的长，因为BO2-BN1=ON1,OM2-MN2=ON2,可求得ON、

BD2EOEM

EFEC

MN的长，由勾股定理。炉+四解=0£2可得OE的长，因为一=—,可得EF的长，因为OF=OE-

EOEM

EF,可得。尸的长.

【解答】解：BNMC

DMP//AC,交延长线于点P,

VAD//BC,即A0〃CP,

・•・四边形ACPD是平行四边形，

：.DP=AC=S,CP=AD=5,

・・•四边形ABCD是平行四边形，

：.BC=AD=5,AO=CO,BO=DO,

：.BP=BC+CP=10,

9：62+82=1CP,即BD^+DP2=BP2,

：.ZBDP=90°,

'JAC//DM,

：.ZBOC=ZBDP^90°,

・•・团ABC。是菱形,

：.ZBCO=ZDCO,

1

\*AE=^ACD,

：.ZBCO=2ZEf

■:NBCO=NE+/EOC,

：.ZE=ZEOC,

：.CE=CO=4f

过O作OM〃CZ）,交5C于点过0作0NJ_5C,交BC于点、N,

NOMB=/DCB,/OME=/FCE,

ZDBC=ZOBM,ZFEC=ZOEM,

△BOMsABDC,AFECSAOEM,

OMBMBO1EFEC

DC~BC~BD~2EO~EM'

OM=2.5,5M=2.5,EM=MC+CE=6.5.

EFEC8

EO~EM~13'

B*-B吕=O®,OM1-MN1=ON1,

BO2-Bl>fi=OM2-MN1,即32-(2.5-MN)2=2.52-MN2,

解得：MN=Q7,

・・・ON=2.4,EN=L2,

：.OE=yJON2+EN2=

EFEC8

EO~EM~13f

.s96同

・在=飞1，

・人日一八口口口12/10

・・OF=OE-EF=--，

12Vm

故答案为:

13

【点评】本题考查了平行四边形综合题，关键是掌握平行四边形的性质，菱形的判定条件与性质.

压轴题型二：矩形选择、填空压轴题

1.（2024•苏州）如图，矩形ABC。中，AB=®BC=1,动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1

个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线/的垂线，垂足为

G,则AG的最大值为()

【分析】由勾股定理可求AC的长，由“A4S”可证△COF丝△AOE,可得AO=CO=1,由AG_LEF

可得点G在以A。为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1,即可求解.

【解答】解：连接AC,交EF于O,

:四边形ABC。是矩形，

J.AB//CD,/B=90°,

'：AB=V3,BC=\,

.,.AC=7AB2+BC2=V3T1=2,

；动点E,尸分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿48,CD向终点B,。运动，

ACF=AE,

'：AB//CD,

：.ZACD=ZCAB,

又•：/COF=ZAOE,

:.XCOF经△NOE(A4S),

；.AO=CO=1,

'：AG±EF,

...点G在以AO为直径的圆上运动，

，AG为直径时，AG有最大值为1,

故选：D.

DC

B

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运

动轨迹是解题的关键.

2.（2024•巴中）如图，矩形ABC。的对角线AC与8。交于点。，OELAC于点E,延长。E与8C交于点

21

F.若A8=3,BC=4,则点F到8。的距禺为

【分析】过点F作垂足为H,利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出。尸的长,

再利用勾股定理求出尸C,从而得出3E利用三角形面积求出F8即可.

【解答】解：如图，过点尸作/垂足为H,

•.•四边形ABC。为矩形，

：.ZBAD^ZBCD^90°,AC=BD,

'：AB=3,BC=4,

：.AC=BD=7AB2+BC?=V32+42=5,

，S“DC=^AC-DE,即］X4X3=**5XOE,

解得：DE=^-,

12

・/r:v\r—DE_DCHnT___

••COSz_EDC——「一n口，BJ一,

DCDF3DF

解得：DF=^,

：.FC=y/DF2-DC2

97

：.BF=BC-FC=4-=

44

11117

：.S^BDF=^BD・FH=%BF・DC,即一x5XFH=之x，x3,

Zz224

解得：

故答案为：—.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关

键.

3.（2024•历下区一模）如图，已知矩形ABC。，AB=6,AD=8,点E为边8C上一点，连接。E,以DE

为一边在与点C的同侧作正方形DEFG,连接AF.当点E在边BC上运动时,AF的最小值是10V2.

【分析】过点E作EH1AD于点H,过点尸作FKLBE,交BE的延长线于点K,交AB的延长线于点M,

利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF=EH=6,

KE=HD,设则HD=EK=8-x,MH=x,利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可

得出结论.

【解答】解：过点E作于点H,过点/作交8E的延长线于点K,交AB的延长线于

点M,如图，

:四边形A8C。为矩形，

：.AB=CD=6,AD=BC=8,ZC=ZADC=90°,

'：EH±AD,

四边形CDHE为矩形，

：.EH=CD=6,

•..四边形。E/G为正方形，

:.EF=ED,NFED=90°.

：.ZKEF+ZHED=90°.

'JFKLBE,

：.ZKFE+ZKEF^90°,

/KFE=AHED.

在AKFE和AHED中，

NFKE=乙EHD=90°

乙KFE=4HED,

、EF=DE

:.AKFE经LHED(AAS),

：.KF=EH=6,KE=HD.

'：NBAH=NAHE=NMKH=90°,

.,•四边形AHKM为矩形，

:.AH=MK,AM=HK,NM=90°,

设尤，则/TO=EK=8-x,MH=x,

：.AM=HK=HE+EK=14-x,MF=KF+MK=6+x,

在RtAAFM中，

\'AM2+MF2^AF2,

：.AF=7(14-x)2+(6+x)2=j2(x—4)2+200,

V2(x-4)2》o,

当尤=4时，AF取得最小值为&UU=10V2.

：.AF的最小值是10V2.

故答案为：10匹.

AHD

【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角

形的判定与性质，配方法，非负数的应用，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

4.（2024•南明区校级二模）如图，在矩形4BC。中，的角平分线CE与边AO交于点E,/AEC的

角平分线与边CB的延长线交于点G,与边交于点F,如果3a,AF=2BF,那么GB=_2-

【分析】证明得AE=28G,设3G=a,则AE=2a,根据平行线的性质和角平分线的

定义可得CD=DE=AB=3/,CE^CG=y[2CD=V2X3A/2=6,从而得结论.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.△AFEs^BFG,

.AFAE

••二,

BFBG

9

：AF=2BFf

：.AE=2BGf

设8G=〃，则AE=2〃，

TCE平分NOC5,EF平分/AEC,

：.ZDCE=ZECB,ZAEF=ZCEF,

'JAD//CG,

・・・NAEF=NG,NDEC=NECG,

：.ZCEF=ZGfZDEC=ZDCB,

:・CD=DE=AB=3五,CE=CG=V2CD=V2x3V2=6,

.•.Q+2〃+3v5=6,

**•。=2—y/2.9

：.GB=2-42.

故答案为：2—V2.

【点评】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角

形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键.

5.（2024•雷州市一模）如图，在矩形ABC。中，E,尸分别是边AB,上的动点，尸是线段所的中点，

PGLBC,PH1CD,G,X为垂足，连接G8.若42=8,AD=6,EF=6,则G8的最小值是7.

【分析】连接AC、AP、CP,由勾股定理求出AC=10,再由直角三角形斜边上的中线性质得AP=3,然

后证四边形PGC”是矩形，得GH=CP,当A、P、C三点共线时，CP最小=AC-AP=10-3=7,即

可求解.

【解答】解:连接AC、AP、CP,如图所示：

:四边形ABC。是矩形，

；.BC=AD=6,NBAD=/B=NC=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=V82+62=10,

是线段E尸的中点，

1

：.AP=]EF=3,

:PGLBC,PHLCD,

:./PGC=/PHC=90°,

四边形PGC”是矩形，

：.GH=CP,

当A、尸、C三点共线时，C尸最小=AC-AP=10-3=7,

...G//的最小值是7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩

形的判定与性质，求出”的最小值是解题的关键.

6.（2024•平顶山一模）在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,若P是射线上一个动点，连接8P,点A关

于直线8P的对称点为连接MP,MC,当尸，M,C三点共线时，AP的长为1或9.

【分析】分两种情况画图：根据当尸，M,C三点共线时画出图形，利用点A关于直线2尸的对称点为M,

得,BM=AB=3,AP^MP,根据勾股定理列出方程即可解决问题.由轴对称的性质

得AP=MP,ZAPB=ZMPB,由平行线的性质得/CBP,进而可以解决问题.

【解答】解：①当尸，M,C三点共线时，如图1所示：

在矩形A8CZ）中，CD=AB=3,AD=BC=5,ZA=ZD=90°,

:点A关于直线BP的对称点为M,

：.ZA=ZBMP=90°,BM=AB^3,AP=MP,

：.CM=VBC2-BM2=7s2—32=4,

设AP=x,

则PD=AD-AP=5-尤，CP=CM+PM=4+x,

在RtZkPDC中，根据勾股定理得：PC2=PD2+CD2,

(4+x)2=(5-x)2+32,

・・X~~1f

的长为1；

②如图2,由轴对称的性质得ZAPB=ZMPB,

由平行线的性质得ZAPB=ZCBP

:.NCPB=/CBP,

:.CP=CB=5,

在RfABCM中，BM=AB=3,由勾股定理得CM=4,

:.MP=CP+CM=9,

：.AP=9,

综上所述：AP的长为1或9,

故答案为：1或9.

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质.

压轴题型三：菱形选择、填空压轴题

1.（2024•泰安）如图，菱形ABC。中，ZB=60°,点E是A2边上的点，AE=4,3E=8,点尸是上

的一点，△EGF是以点G为直角顶点，NEFG为30°角的直角三角形，连结AG.当点P在直线BC上

运动时，线段AG的最小值是（）

A.2B.4V3-2C.2V3D.4

【分析】则点区M、F、G四点共圆，从而得到因为AGNAP,所以求出

的值即可得解.

【解答】解：如图，过E作EML8C于点作于点H,作APLGM于点尸，

•：NEMF+/EGF=18Q°,

...点£、M,F、G四点共圆，

：.ZEMG=ZEFG=3Q°,

VZB=60°,

：.ZBEM=30°=ZEMG,

J.MG//AB,

.•.四边形AfflAP是矩形，

：.MH=AP,

；BE=8,

；.EM=BE・cos30°=4班,

：.MH=^EM=2V3=AP,

.•.AG\AP=2同

AG最小值是2班.

故选：C.

【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟

练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键.

2.（2024•娄星区二模）如图，已知菱形ABC。的边长为6,点M是对角线AC上的一动点，且120°,

A.3V3B.3+3V3C.6+V3D.6V3

【分析】过点M作MELAB于点E,连接BD交AC于。，点M运动到DE上，且射线AB时，

DE取得最小值，此时QE最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出OE

的长，进而可得结论.

【解答】解：如图，过点M作于点E,连接8。交AC于O,

,菱形ABC。中，ZABC=120°,

：.ZDAB=60°,AD=AB=DC=BC,

是等边三角形，

/.ZMAE=3Q°,

：.AM=2ME,

:MD=MB,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=IDE,

点M运动到。E上，且。E_L射线AB时，取得最小值，此时。E最短，即肱4+M8+M。最小,

:菱形ABC。的边长为6,

：.DE=yjAD2-AE2=V62-32=3百,

：.2DE=6®

.,.MA+MB+MD的最小值是6A/3.

等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边

三角形的判定与性质.

3.（2024•淄博）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC,2。相交于点。，点E在BC延长线上,

OF5

OE与CD相交于点F,若NACD=2/OEC,一=一，则菱形ABC。的面积为96.

FE6

【分析】作OH〃BC交CD于点H,则△Z）OHSZ\DBC,由菱形的性质得OD=OB,OA=OC,AC±BD,

OHOD1iOHOF5A

则一=一=一，求得0H=^BC=5,再证明△(?尸得一=一=一，则=§0H=6,再

BCBD22ECFE6EC5

证明/OEC=/COE,则OC=EC=6,求得OB=yjBC2-OC2=8,则80=16,AC=12,所以S菱形ABCD=

|BD-AC=96,于是得到问题的答案.

【解答】解：作OH〃BC交CD于点H,则△OOXSADBC,

,/四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC,BD相交于点0,

1

.\BC=10,OD=OB=^BD,OA=OCfACLBD,

OHOD1

—=—=一，ZBOC=90°,

BCBD2

1

：.0H=^BC=5f

OF5

OH//EC,—=

FE6

•△OFHsAEFC,

OHOF5

EC~FE~6’

.EC=10H=|x5=6,

*BC=DC,ACLBD,/ACD=2/0EC,

・ZACB=ZACD=2ZOEC=ZCOE+ZOEC,

./OEC=/COE,

.0C=EC=6,

・0B=^JBC2-OC2=V102-62=8,

・30=203=16,AC=2OC=12,

11

・S菱形ABCQ=-^D*AC=2X16X12=96,

【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是

解题的关键.

4.（2024•宝安区三模）周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子

才慢慢停了下来.淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了.爸爸说，只要把备胎换上就行了.于

是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意.图（1）是一种利用了四边

形不稳定性设计的千斤顶.如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动

手柄可改变NAOC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A,C之间的距离）.已知48

=40cm,ZADC=60°,当千斤顶升高（40a