2025年中考数学复习：与三角形、四边形有关的计算（含答案）

板块二十与三角形、四边形有关的计算

方法突破1全等构造

典例精讲

技巧一"一线两直角"T构"一线三直角"全等

[例1]（2022武汉中考）如图，在RfABC中，ZACB=90。,AC>BC,,分别以△ABC的三边为边向外作三

个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH于点I,K.若Q=5,CJ=4,则四

边形AJKL的面积是.

技巧二张角相等（蝶形）一构"手拉手”全等

【例2]如图，在△ABC中,AB=AC.D为△ABC外一点,且NBDC=NBAC=120。..若BD=4CD,AD

=2遍，则AC的长为.

技巧三"SA"一构"SAS”全等

【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OBQA上的一点.若.AE=BF.AB

=5,AF=1,BE=3,则BF的长为.

典题精练

技巧四隐"一线两等角“一构"一线三等角“全等

1.（2024青山区）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,zBAD=NBCD=60°,AE1BCJ_BC于点E.若BC=11,C

D=3,则BE的长为.

技巧五隐夹半角-构旋转全等

2.（2024汉南区）如图，在△ABC中,.NB=30°„D是BC边上一点，且ZDAC=60。“若BD=2,CD=2次,，则A

B的长为.

技巧六"长短手"（等腰+逆等线）一构"X"型全等

3.（2024武汉模拟）如图，等边三角形ABC的边AB上有一点P,过点P作PE回AC于点E,Q为BC延长线上一

点且AP=CQ,连接PQ交AC于点D.若DE=2,则BC的长为

技巧七共端点等线段一构旋转全等

4.（2023武汉二调）如图,D是△4BC内一点，z/BDC=90。,BD=CD,AB=20,AC=21,AD=受，则BC

的长是

A

方法突破2相似构造

典例精讲

技巧一隐垂直T构"垂十字"型相似

[例1]（2020武汉中考）如图折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边上的点M处EF为折痕,AB=1,AD=

2.设AM的长为t,用含t的式子表示四边形CDEF的面积是.

技巧二共顶点等角-构旋转型相似

【例2】（2023汉阳区）如图，在AABC中,AB=AC/BAC=120°,点D在CB的延长线上，点E在BC上，目N

DAE=120°.若AB=2V3,DB=3,则CE的长为.

A

DBEC

典题精练

技巧三分点件点）+平行一构"A（X）”型相似

1.（2024武汉中考改）如图，在四边形ABCD中,ADllBC,E是AB的中点,F是BC上一点EF与BD相交于点G,

△BEG/BFG的面积分别记为SiS.若.4D=kBF,,则用含k的式子表示苦勺值是

32

B-C

技巧四"一线两等角“一构"一线三等角"型相似

2.（2024武昌区）如图，在AABC中,AB<BC,BD为△28C的角平分线，G为A4BC的内心，过点G作EF_LB

D分别交AB,BC于点E,F.若AE=3,FC=6“则EF的长为.

方法突破3图形变换

典例精讲

技巧一平移变换一拼接线段

［例1］如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF在边AB上，且EF=1,G是AD的中点，连接GE,CF.若NAEG

=NBFC,GE+CF=3鱼则矩形ABCD的面积为.

技巧二旋转变换一构"手拉手"型

【例2】如图，在RfABC中/ABC=9（T,AB=3,BC=5,E是平面内一点，且AE=2而，连接CE以CE为斜边

作等腰直角三角形CDE.F是AE上的一点，连接BD,BF,且NFBD=45。,贝!JAF的长为.

典题精练

技巧三平移变换一构特殊图形

1.（2024重庆改）如图,D是等边AABC的边BC上的一动点（（BD<CD）,,点D关于直线AB的对称点为E,

F是AD上的一动点，且NEFD=60。,,延长EF交AC于点G,则黑Ilk的值为--------

A

BD

技巧四翻折变换一构二倍角

2.（2024汉阳区）如图，在四边形ABCD中,BD_1.CD.若.AB=7,CD=12,zABD=2/BCD,2zBAC+zACB=

90。,,则AC的长为.

类型突破1中点的运用

典例精讲

技巧一中点+"中点”一构中位线

【例1】如图,D为AABC内的一点,E为AC的中点连接DE,=90。,,且NABD=NEDC.若DE=3,BC=1

0,则AB的长为.

技巧二中点+直角-构中位线+斜边上的中线

【例2】（2024武汉中考改）如图，在四边形ABCD中，AD\\BC,^BCD=是AB的中点点F在BC上,

EF与BD交于点G,△ABDACBD的面积分别记为SQ?.若BG=GF,S1=g厕点勺值为.（结果用含

Dr

k的式子表示）

技巧三等腰+直角T（隐中点）构斜边上的中线

【例3】如图，在四边形ABCD中,AD=3,CD=4/ABC=NADC=9（T,BD=BC,则AB的长为.

技巧四中点+平行一构"X"型全等

[例4]（2024宜昌）如图,E是菱形ABCD的边AB的中点,F是边AD上一点，连接EC,EF若AE=3,EF=

2AF=4“则CE的长为.

典题精练

1.（2024山东四市）如图,E为口ABCD的对角线人（：上的一^^<=5（£=1,连接口£并延长至点F,使EF=DE,

连接BF,则BF的长为.

技巧五中点十等腰一构"三线合一"

2.（2023东西湖区）如图,F为MBC的边BC上一点,D为AC的中点,BA=BC=6,CA=CF=4,连接DF,则DF的

长为.

A

D

BFC

技巧六中线倍长（中心对称）一构"X"型全等

3.（2024洪山区）如图，在AABC中/C=45°,D是AB的中点，点E,F分别在边BC,AC上，且NEDF=90°,连接EF.

若AF=3VXEF=5,则BE的长为.

技巧七中点+限直角一构斜边上的中线

4.（2023重庆）如图在正方形ABCD中,0为对角线AC的中点,E为正方形内一点连接BE,且BE=BA,连接CE

并延长，与NABE的平分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF的长为.

类型突破2角平分线的运用

典例精讲

技巧一隐角平分线+"双垂"一构双全等

【例1］如图，在四边形ABCD中,AC=AD/ADB=NACB=30。,若.BD=5,BC=3,3，则AB的长为

技巧二角平分线+垂直一构"三线合一"（等腰）

【例2】（2023武昌区）如图在SBC中,AB<BC,BD平分团BD于点D,连接CD.若tanzBAC=2,

AB-AC=15,!J1I|ABCD的面积为.

典题精练

技巧三角平分线为轴一构翻折型全等

1.（2024包头）如图,在菱形ABCD中,，NABC=60°,AB=6,,E是对角线AC上的一点，FF0AB于点F,连

接DE.若CE=AF厕DE的长为,

技巧四角平分线十"平行"一构等腰三角形

2.如图，在RfABC中,NBAC=901D是BC边上的一点，连接AD,将△2CD沿AD所在直线折叠，点C恰好

落在边AB上的点E处.若DB=2V5,D£=逐，则BE的长为.

典例精讲

技巧一知特殊角一等角代换构直角

【例1】如图，在AABC中,AB=AC=4/BAC=120°,点D,E在边BC上，且NDAE=60°.若tan4ME=|,则B

D的长为.

技巧二发现特殊角T构直角三角形

【例2】（2023贵州改）如图,在矩形ABCD中，AB=1,力。=百,E为矩形内一点，且NBAE=75°/BCE=60°,

则CE的长为.

典题精练

技巧三共边二倍角一延长构等腰三角形

1.如图，在四边形ABCD中,NBCD=9（T,AB=AC=5,BC=6,且.N4DB=2/CBD贝UAD的长为.

技巧四轴对称（翻折）一构二倍角

2.（2023武汉外校）如图，在RfABC中/ABC=90°,D是AB上一点，且4CD=2/BCD.若AD=26,BD=1L则

BC的长为.

类型突破4列函数式

典例精讲

技巧一共线共端点线段之比一构"X（A）”型相似

[例1]（2024武汉中考）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵应是由四

个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方的两边于

点E,F,记正方形ABCD的面积为A正方形MNPQ的面积为Sz.若BE=kAE（k>l）,则用含k粮子表小鄙值是

$2一

技巧二翻折的对应角相等T导全等或相似

【例2】（2023武汉中考）如图,DE平分等边MBC的面积，折叠.△BDE得到hFDE,AG分别与DF,EF相交于

点G,H.若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是

典题精练

技巧三轴对称（翻折）一线段相等列方程

1.（武汉中考）如图，折叠矩形纸片ABCD,使点D落在边AB上的点M处，EF为折痕，AB=1,AD=2.设A

M的长为t,用含t的式子表示四边形CDEF的面积是.

技巧四"三垂直"一构"一线三直角"相似

2.（2024研口区）如图，在正方形ABCD中,E,F分别在AB,BC边（不含端点）上运动，满足AE=2BF,正方形EFG

H的边HG所在直线交AD于点I,交BC于点J,记四边形AEHI的面积为SJFGJ的面积为S2,zBEF为a,用

含a的三角函数的式子表示金的值是

32

实践操作1动态图形与分类讨论

典例精讲

类型一图形状态变化的分类讨论

【例】（2024河南改）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.如图，在RbABC

中，4=90。,48=3,8。=4,，分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补

四边形仅有一组邻边相等时，BN的长为.

典题精练

类型二旋转方向不明的分类讨论

1.（2023绥化）在等腰三角形ABC中，4=120。,48=2.将AABC绕点B旋转45。得到△不BC,（点A与

不对应），延长。不交直线BC于点D,则力力D的长为.

类型三动点位置不明的分类讨论

2.（2024上海）在。4BCD中，/4BC是锐角，将CD沿直线I翻折，使得点C,D的对应点（C；D都恰好落

在直线AB上.若4。':力&8。=1:3:7,则cosN4BCC的值为.

实践操作2图形拼接

典例精讲

【例】（2024东湖高新区）如图L在RfABC中，/4CB=90。缶。<BC）,四边形ACDE,四边形CBFG都是正

方形，过C,B两点将正方形CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形AC

DE,AABC一起拼成图2,点H在BP上.若翳=涧tanzBAC的值为.

典题精练

类型一方案选择+相似

1.（2024青山区）如图，将一个边长为8的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等

的矩形.若裁切线AG的长为10,则裁切线MN的长是.

类型二面积关系+方程

2.（2024研口区）如图1,四边形ABCD纸片满足.AB\\CD,CD<AB,AD1AB,AD=8,BC=10把该纸片折叠，

折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的正方形EFGH（如图2），则CD的长是.

板块二十与三角形、四边形有关的计算

方法突破1全等构造

典例精讲

技巧一“一线两直角”一构“一线三直角”全等

【例1】（2022武汉中考）如图，在RtAABC中,/ACB=9（F,AC>BC,分别以△ABC的三边为边向外作三个正方

形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH于点I,K.若CI=5,CJ=4厕四边形

AJKL的面积的80.

解:过点D作DMLCI,交CI的延长线于点M,过点F作FN±CI于点N.

AACJ^ACDM,ABCJ^ACFN,AJ=CM,DM=CJ=NF=4,

ADMI^AFNI,DI=FI,MI=NI,VZDCF=90°,

；.DI=FI=CI=5,在RtADMI中，MI=<D12-DM2=V52-42=3,

NI=MI=3,AJ=CM=CI+MI=5+3=8,BJ=CN=CI-Nl=5-3=2,

；.AB=AJ+BJ=8+2=10,：四边形ABHL为正方形,AL=AB=10,

四边形AJKL为矩形，，四边形AJKL的面积为ALAJ=10x8=80.

技巧二张角相等（蝶形）一构“手拉手”全等

【例2]如图，在△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且.乙BDC=Z.BAC=120。.若BD=4CD,AD=2V3则

AC的长为NV7,

解:在BD上取点E,使BE=CD,连接AE.VZBDC=ZBAC,

ZABE=ZACD.VAB=AC,/.AABE^AACD(SAS),

AE=AD,ZBAE=ZCAD,ZEAD=ZBAC=120°,.\ZADE=

NAED=30°,.,.可求DE=y[3AD=6.设BE=CD=a,贝!]BD=a+6,

...a+6=4a,；.a=2,即BD=8,CD=2过点A作AH_LCD于点H,则

AH=V3,DW=3,CH=5,AC=y/AH2+CH2=(V3)2+52=2V7

技巧三“SA”一构“SAS”全等

【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OB,OA上的一点.若AE=BF,AB=5,

AF=1,BE=3,贝!]BF的长为_V22.

解在OA上取一点M,使AM=BE=3过点B作BHLOA于点H.

四边形ABCD是矩形,，ZOAB=ZOBA.VAB=BA,

/.△ABE^ABAM(SAS),.，.BM=AE=BF.VBHXFM,

1-1

•••FH=HM=~FM.-：AF=1,AM=3,;FH=：Q4M-4F)=1,AH=2,

..BH2=AB2-AH2=52—22=21,BF=y/BH2+FH2=V22.

典题精练

技巧四隐“一线两等角”T构“一线三等角”全等

1.（2024青山区）如图，在四边形ABCD+.AB=AD,ZBAD=ZBCD=60°,AE±BC于点E.若BC=11,CD=3,则BE的

长为|.it.

解:在CB的延长线上取一点F,连接AF,使/F=60。,连接BD.[[\

卜BE

VAB=AD,ZBAD=ZBCD=60°,.,.AABD是等边三角形，

/.AB=BD,ZABD=ZF=ZBCD=60°,

可证△ABF^ABDC(AAS),AF=BC=11,BF=CD=3.

1115

AE1BC,・•・EF=AF-coszF=X-=BE=EF-BF=-

222

技巧五隐夹半角T构旋转全等

2.(2024汉南区)如图,在4ABC中,/B=3(F,D是BC边上一点，且/-DAC=60。“若BD=2,CD=2遍，则AB的

长为—2旧+2.

解:延长BC至点E,使AE=AB.：/B=30o,；./AEB=/B=30o,，/BAE=12(r；|^AABD绕点A逆时针旋转120。

得到△AEF,连接CF,过点F作FG_LCE于点G由旋转知/DAF=12(T,AD=AF,：NDAC=60。,；./DAC=NFAC,；.

△ACD^△ACF,/.CF=CD=2V3.•?EF=BD=2,ZAEF=ZB=30°,AZFEG=60°,EG=1,FG=WCG=

VCF2-FG2=3,BE=6+2百，，可求AB=~BE=2V3+2.

技巧六“长短手”(等腰+逆等线)-构“X”型全等

3.(2024武汉模拟)如图.等边三角形ABC的边AB上有一点P,过点P作PE_LAC于点E,Q为BC延长线上一

点，且AP=CQ,连接PQ交AC于点D.若DE=2,则BC的长为4.

解作PF〃:BC交AC于点F.VAABC是等边三角形,PF〃:BC,

ZAPF=ZAFP=ZB=ZACB=60°,AAAPF是等边三角形,.,.AP=PF,；AP=CQ,，PF=CQ.：ZFPD=ZQ,ZPD

F=ZQDC,/.APFD^AQCD(AAS),FD=CD.•/PE±AC,AP=PF,/.AE=EF,Z.AE+DC=EF+FD,泮D=1AC=2,：.

BC=AC=4.

技巧七共端点等线段一构旋转全等

4.（2023武汉二调）如图,D是小ABC内一点/lBDC=90°,BD=CD,AB=20,AC=21,AD=竽，则BC的

长是—V337.

解符△DAC绕点D顺时针旋转90。得到△DEB,BE交AC于点F,连接AE,则乙4DE=90°,BE1AC,DE=

AD=竽,BE=4C=21,.-.AE=<AD2+DE2=13B.vAB2-BF2=AF2=AE2-EF2,：.202-BF2=132-

(21-BF)2,

解得BF=16,.-.AF=yjAB7--BF2=V202-162=12,

.CF=AC-AF21-12=9,BC=VBF2+CF2=V162+92=V337.

方法突破2相似构造

典例精讲

技巧一隐垂直一构“垂十字”型相似

【例1】（2020武汉中考）如图折叠矩形纸片ABCD,使点D落在AB边上的点M处,EF为折痕,AB=1,AD=2.

设AM的长为t,用含t的式子表示四边形CDEF的面积是二-%+1.

44

解:连接DM,过点E作EGXBC于点G股DE=x=EM厕EA=2-x,(2-x)2+t2=x2,%+1,

DE^~+1,由折叠得EFXDM,VEG±AD,.-.AADMAGEF,：.黑=||,vEG=AB=1,FG=/,•••CG=DE=

t2«「2i14-2i

1+L；.•.CF=---t+l,.：S^cDEF=-^F+DEyCD=---t+l.

技巧二共顶点等角-构旋转型相似

[例2]（2023汉阳区）如图，在△ABC中,AB=AC,NBAC=120。,点D在CB的延长线上，点E在BC上，且/D

AE=120。若AB=2遍,DB=3,则CE的长为.

解:在AC上取一点F,使EF=EC,贝！］NEFC=/C=/ABC=30o,/ABD=/AFE=15(r,CF=V3EF.VZDAE=ZBA

C=120°,ZDAB=NEAF,；.AABD^AAFE,AB=BDF.设EF=EC=a，贝！1等=：,.•.4尸=穿户CF=WEF=

yj3a,2?。+>j3a=2V3,a-g即CE—

典题精练

技巧三分点(中点)+平行->构“A(0型相似

1.（2024武汉中考改）如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,E是AB的中点,F是BC上一点,EF与BD相交于点G,

△BEG，ABFG的面积分别记为S1,S2若AD=kBF,则用含k的式子表示的值是（

解:过点E作EM〃AD,交BD于点M,则ABEM△BAD,=士设BF=a，则AD=kBF=ka,EM=-

ADBA22

iFGFM-kaiq」FG1

4D=-ka,：-ADWBC,.：EM||BC，.必EMGAFBG,.：-=-=^=-k..：=-=-k.

技巧四“一线两等角”一构“一线三等角”型相似

2.（2024武昌区）如图，在△ABC中,AB<BC,BD为&ABC的角平分线,G为△ABC的内心，过点G作EFXBD

分别交AB,BC于点E,F.若AE=3,FC=6厕EF的长为_6VL.A

解:连接AG,CG.：BD平分/ABC,；.可设NEBG=NFBG=a.

VEFXBD,/.ZEGB=ZFGB=90°,.\ZBEG=ZBFG=90°-a,B匕~~'

.*.BE=BF,.*.EG=FG,VG是△ABC的内心,；.NAGC=/AEG=/CFG=90°+a,.-.AAEG=KGFC,

GFFC

EG-GF^AE-FC=3x6=18,；.EG=GF=3V2,/.EF=EG+FG=6V2

方法突破3图形变换

典例精讲

技巧一平移变换一拼接线段

［例1］如图在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF在边AB上，且EF=1,G是AD的中点，连接GE,CF.若/AEG

=NBFC,GE+CF=3或贝U矩形ABCD的面积为8.

解：在CD上截取CH=EF=1,连接HE并延长交DA的延长线于点G1则可证四边形EFCH是平行四边形,

HE//CF,HE=CF,ZBFC=ZBEH=ZAEG'=ZAEG,A可证△AEG之△AEG',AG'=AG,G'E=GE,GE+CF=G'E+

HE=G'H=3/.设AD=2x,则AB=DC=4x,DG'=3x,DH=4x-1,..在RtAG'DH中，（3x）2+（4x_i）2=（3

V2）,，即225x2-8%-17=0,.-.x=1（负值已舍）,...AD=2,AB=4,.•.矩形ABCD的面积为8.

技巧二旋转变换一构“手拉手”型

【例2】如图，在RtAABC中,NABC=9（T,AB=3,BC=5,E是平面内一点，且AE=2低连接CE以CE为斜边作

等腰直角三角形CDE.F是AE上的一点，连接BD,BF,且/FBD=45。,则AF的长为斗.

解将△BDC绕点D顺时针旋转90。得到△HDE延长HE交BC于点G,连接BH.

,/AHDE^ABDC,；.ZEHD=ZCBD,EH=BC=5,HD=BD.

ZBDH=90°,.\ABDH是等腰直角三角形,NBGH=NBDH=90。，

乙HBD=45°=NFB。,...点F在BH上NABC=90°,；.AB〃EH,

典题精练

技巧三平移变换一构特殊图形

1.(2024重庆改)如图,D是等边△ABC的边BC上的一动点(BD<CD),点D关于直线AB的对称点为E,F是A

D上的一动点，且/EFD=60。,延长EF交AC于点G,则等勺值为一等

DE3

解:过点B作BQ〃EG,分别交AD,AC于点P,Q,则/BPD=/EFD=60。,连接BE.

AABC是等边三角形,二ZABD=ZC=60°,AB=BC.VZBPD=ZBAD+ZABQ=ZABQ+ZCBQ=60°,.\ZBA

D=ZCBQ,AABD^ABCQ,.".BD=CQ=BE.：ZEBD+ZC=120°+60°=180°,ABE〃AC,/.四边形EBQG是平彳亍四

边形,GQ=BE=CQ,即CG=2BE.A

技巧四翻折变换一构二倍角------\

DUC

2.（2024汉阳区）如图,在四边形ABCD中,BD_LCD.若AB=7,CD=12,NABD=2/BCD,2NBAC+/ACB=90。,则AC

的长为20.

解:将△BCD沿BC翻折得至[BCF,；.CF=CD=12,NBCF=/BCD,/CBF=

ZCBD.VZABD=2ZBCD,/.ZABD=ZDCF.VZBDC=ZF=90°,

AZDCF+ZDBF=180°,.\ZABD+ZDBF=180°,.\A,B,F三点共线，n

：.ZBAC+ZACF=90°.2ZBAC+ZACB=90°,ZBAC=ZBCF,

.^.△FCBs△FAC,.^.CF2=FB•FA.设FB=x,贝!]FA=x+7,.\x（x+7）=122,\

y

：.x=9或x=-16（舍去）AF=16,.-.AC=y/AF2+CF2=20.

类型突破1中点的运用

典例精讲

技巧一中点+“中点”一构中位线

【例1】如图,D为AABC内的一点,E为AC的中点，连接DE,NBDC=90。,且NABD=/EDC.若DE=3,BC=10,

则AB的长为8.

解:取BC的中点O,连接EO,DO,延长ED交AB于点F.VE是AC的中点,.，.€«〃人8,0£=jAB.VZBDC=90°,

ZEDC+ZBDF=90°,XVZABD=ZEDC,.\ZABD+ZBDF=90°,.\ZAFE=90°,AZOED=ZAFE=90°.VZBDC=9

0°,BC=10,0是BC的中点，OD==5,.-.OE=<OD2-DE2=V52-32=4,二AB=2OE=8

BO

技巧二中点+直角-构中位线+斜边上的中线

【例2】（2024武汉中考改）如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,NBCD=9（）o,E是AB的中点点F在BC上,EF

与BD交于点G,AABD,ACBD的面积分别记为St,S2.若BG=GF,S1=g,则事勺值为一三;一.（结果用含k的

Dr

式子表示）

解:取BD的中点H,连接EH,CH.VZBCD=90°,.,.CH=BH,.\ZHBC=ZHCB.,ZBG=FG,ZGBF=ZGFB=ZHC

B,；.EF〃CH.：E是AB的中点,AD〃BC,；.EH〃AD〃BC,EH=^AD,...四边形EFCH是平行四边形,CF=EH=|

AD.BC=m.S]=kS2,-CD=k-mBC•CD,AD=km.t.CF=|km,BF=BC-CF=（1—，）m,

AD_km_2k

BF7n2-k.

技巧三等腰+直角一（隐中点）构斜边上的中线

【例3】如图，在四边形ABCD中,AD=3,CD=4,NABC=NADC=9（r,BD=BC,则AB的长为V5.

解:延长DA交CB的延长线于点AC.VBD=BC,AZBDC=ZBCD.VZADC=90o,.\ZBDC+ZADB=

ZBCD+ZE=90°,ZADB=ZE,/.BD=BE=BC.ZABC=90°,；.AE=AC=^AD2+CD2=5,/.DE=AD+AE=

8,CE=^DE2+CD2=4V5BC=^CE=20.AB=<AC2-BC2=V5.

技巧四中点+平行一构“X”型全等

［例4］（2024宜昌）如图,E是菱形ABCD的边AB的中点,F是边AD上一点.连接EC,EF.若AE=3,EF=2AF

=4,贝［|CE的长为工

解：延长FE交CB的延长线于点M.：四边形ABCD是菱形，

AB=BC,AD〃BC.：E是AB的中点,AAEF^ABEM,

/.ME=EF=4,MB=AF=2,/.MC=MB+BC=8,

MB2ME41A,,人CEME

•••—=一=—=一=一，・••△MnBDCE△MEC,・•・一=—=2Q,

ME4MC82EBMB

；.CE=2EB=6.

典题精练

1.（2024山东四市）如图,E为口ABCD的对角线AC上的一点，AC=5,CE=1,,连接DE并延长至点F,使EF=

DE,连接BF厕BF的长为3.

解:连接BD交AC于点0.：四边形ABCD是平行四边形,

0D=OB,OA=0C=^AC=j,.-.OE=OC-CE=|.

•••EF=DE,OE=|BF,BPBF=2OE=3.AB

技巧五中点十等腰一构“三线合一”

2.（2023东西湖区）如图,F为AABC的边BC上一点,D为AC的中点,BA=BC=6,CA^CF==4,连接DF,则

DF的长为等.

解:连接BD,过点D作DEXBC于点E.：BA=BC,AD=CD=2,；.BD_1_人（2.由4DECs^BDCl^、CD2=CE-CB

,=I，=CF-C£=4-1=与由DF2-EF2=CD2-CE?得DF=第.

3.（2024洪山区）如图,在仆ABC中,/C=45*D是AB的中点，点E,F分别在边BC,AC上，且/EDF=90。,连接EF.

若4F=3也,EF=5,则BE的长为1.

解:延长FD至点M,使DM=DF,连接ME,MB,则EM=EF=5,易证△BDM之△ADF,；.BM_LAF,

=3VX过点M作MN_LBC于点N,则NMBN=/C=45。，,,人

,MN=BN=—BM=3,.-.NE=VM£2-MN2=4,BE=NE—BN=.

技巧七中点+隐直角-构斜边上的中线

4.（2023重庆）如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE,且BE=BA,

连接CE并延长，与/ABE的平分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF的长为V2.

解:连接AF.：四边形ABCD是正方形,.•.AB=BE=BC,/ABC=90c>,AC=V2AB=2VI，NBEC=/BCE,设/CB

E=a,贝!］乙BEC=|（180°-a）=90°-|cr,ZABE=90°-a,VBF平分/^ABE,：.乙EBF=2（90。-a）=45。一|a,；.

乙BFE=ZBEC-ZEBF=45°.VAABF^AEBF（SAS）,AZBFA=ZBFE=45°,

ZAFC=90°.VO是AC的中点，OF=j/lC=V2.

类型突破2角平分线的运用

典例精讲

技巧一隐角平分线+“双垂”T构双全等

【例1］如图，在四边形ABCD中,AC=AD,/ADB=/ACB=30。,若BD=5,BC=3,则AB的长为亨.

解:过点A分别作直线BC,BD的垂线，垂足分别为M,N,AAAMC^AAND,AM=AN,MC=ND,AAABM^A

ABN,BM=BN,设BM=BN=x，则ND=5-x,MC=3+x,5-x=3+x,二x=1,MC=4,

•••^ACB=30°,AM=^-MC=AB=<AM2+MB2="冬二

技巧二角平分线+垂直一构“三线合一”（等腰）

［例2］（2023武昌区）如图，在△ABC中,AB<BC,BD平分/ABC,ADJ_BD于点D,连接CD.若tanZBAC=2,A

B.AC=15，!0I|ABCD的面积为哈

解:延长AD交BC于点E,过点C作CHXAB于点H.tanzBXC=罪=2,...可设CH=2a,则AH=a,AC=

V5a,•••CH=^-AC,.-.S&ABC=\AB-CH=£x卓•4B•AC=x手x15=30：4ABD=乙EBD,乙ADB=

乙EDB=90°,BD=BD,AAABD^AEBD,AD=ED,SAmE=SAmA,SAcmx=SAOA,.\SAND=|SAANC=3V5

典题精练

技巧三角平分线为轴一构翻折型全等

1.（2024包头）如图在菱形ABCD中,/ABC=6（F,AB=6,E是对角线AC上的一点EFLAB于点F,连接DE.若C

E=AF,则DE的长为NV7.

解:连接BE.1.'四边形ABCD是菱形,AB=AD=BC,AC平分/BAD,△ABE△ADE（SAS）,BE=DE.VZAB

C=60°,.\AABC是等边三角形,NEAF=60°,AC=AB=6.设CE=AF=a，则.AE=2a,EF=V3a,AC=AE+CE=2a+a=6,

a=2,，AF=2,EF=2V3,BF=AB-AF=4,DE=BE=VFF2+BF2=（2V3）2+42=2A/7.

技巧四角平分线十“平行”一构等腰三角形

2.如图在RtAABC中,NBAC=9（r,D是BC边上的一点，连接ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好

落在边AB上的点E处.若DB=2®DE=低则BE的长为口_.

解:过点C作CF〃AB,交AD的延长线于点F,则NF=NDAE.由折叠知,DE=CD=V5,ZDAE=ZCAF,.\ZF=ZC

CF

AF,CF=CA.*.*CF〃AB,L：：：：…；/

CDFFD4.耳=黑=卷=；.可设CF=CA=a，则AB=2a,1

ADDL）zvbZ；/\

AEB

2

.•.在RtAABC中，a2+(2a)2=(3A/5)a=3(负值已舍),，AC=AE=3,AB=6,，BE=AB-AE=3.

类型突破3角度问题

典例精讲

技巧一知特殊角一等角代换构直角

【例1】如图,在小ABC中,AB=AC=4,NBAC=120。,点D,E在边BC上，且/DAE=60。.若tan"4E=*则BD

的长为2遍-|.

解:过点A作AG_LBC于点G.：AB=AC=4,NBAC=12(r,；.AG=|AB=,BG=与AB=2W/CAG=^BAC=

oooo

60°=Z,DAE,Z-DAO-/-CAE,tanZ-DAG=tanZ,CAE=:.DG=-A,G=BD—BG—DG=2

2

技巧二发现特殊角-构直角三角形

[例2]（2023贵州改）如图,在矩形ABCD中，AB=1,AD=V3,E为矩形内一点，且/BAE=75o,/BCE=60。,

则CE的长为_V3-1_.

解:过点A作AGUE,交CE的延长线于点G,连接AC」.•四边形ABCD是矩形,

__Df

BC=AD=V3,zB=90°,tan^BAC=丝=信♦.zBXC=60°,Z.ACB=30"

AB

・•・AC=2AB=2「・,ZBAE=75°,ZBCE=60°,AZCAE=15°,ZACE=30°,

AAEG=45°,AG=EG=|/1C=1,CG=V3XG=V3,•­.CE=CG-EG=43

典题精练

技巧三共边二倍角一延长构等腰三角形

1.如图，在四边形ABCD中,NBCD=9(T,AB=AC=5,BC=6,且.UDB=2NCBD,贝!]AD的长为早.

解:延长AD,BC交于点Q,过点A作AE±BC于点E.VAB=AC=5,BC=6,.\BE=EC=^BC=3,.-.AE=

y/AB2-BE2=4.v4ADB=4CBD+BZQ=2ZCBD,.\ZCBD=ZQ,ADB=DQ.VZBCD=90°,.\BC=CQ=6,•1•EQ

=9,AQ=yjAE2+EQ2=V97.CD〃幅.嚼=窘=1,AD==季

技巧四轴对称（翻折）一构二倍角

2.(2023武汉外校)如图，在RtAABC中,NABC=9(T,D是AB上一点，且/ACD=2/BCD.若AD=26,BD=11厕B

C的长为工

解:将△BCD沿CD翻?折得至以ECD,延长DE交AC于点F.由翻折知DE=BD=1l,NDEC=NFEC=/B=90。，

ZDCE=ZBCD.VZACD=2ZBCD,.\ZDCE=ZFCE,.*.ADCE^AFCE,.,.EF=DE=11,DF=22.

ACAD7

ZADF+ZBDE=ZBDE+ZBCE=180°,ZADF=ZBCE=2ZBCD=^ACD,ADF△ACD,：.—=—=—=