2025年中考数学考点过关练：图形的对称、平移与旋转

第24关图形的对称、平移与旋转

基础练

考点1图形的对称

1.[2024重庆B卷]下列标点；符号中，是轴对称图形的是（）

•I,✓/?•

ABCD

2.[2024湖南长沙]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

©o®@

ABCD

3.[2024广东广州]下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角

形关于点。对称的是（）

4.[2024内蒙古通辽]剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴

重合，则点A（-4,2）关于对称轴对称的点的坐标为（）

A.(-4,-2)B.(4,-2)

C.(4,2)D.(-2,-4)

5.[2024福建]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB与4ODC都是等

腰三角形且它们关于直线1对称，点E,F分别是底边AB,CD的中点OELOF.下列推断错误的是（）

A.OB±OD

B.ZBOC=ZAOB

C.OE=OF

D.ZBOC+ZAOD=180°

6J2024甘肃］围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方

如果落子于点的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A,B,C,D中的一处即可，A,B,C,D位

于棋盘的格点上)

7.［2024上海］在平行四边形ABCD中,NABC是锐角，将CD沿直线1翻折至AB所在直线，对应点分别为C,

D',若AC':AB:BC=1:3:7,贝(IcosZABC=.

8.［2024河南］如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2,0),点E在边C

D上将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为.

考点2图形的平移

1

9.［2024山东威海］定义新运算：

①在平面直角坐标系中，la,b|表示动点从原点出发，沿着x轴正方向(aK))或负方向(a<

0)平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向(bN

。)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正

方向平移1个单位长度，记作卜2,1}.

②加法运算法则：|a,b}+|c,d}=|a+c,b+d|其中a,b,c,d为实数.

若|3,5|+|m,n|=|-l,2},则下列结论正确的是()

A.m=2,n=7B.m=-4,n=-3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

10J2024江西］在平面直角坐标系中，将点A(l,l)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B,

则点B的坐标为.

”.［2024内蒙古兴安盟］如图，点A(0,-2),B(l,0),将线段AB平移得到线段DC,若/ABC=9(T,BC=2AB,则点D

的坐标是.

第II题图第13题图

考点3图形的旋转

12.［2024山东泰安］下面图形中，中心对称图形的个数为()

A.lB.2C.3D.4

13.［2024湖北］如图.点A的坐标是(-4,6),将线段OA绕点O顺时针旋转90。，点A的对应点的坐标是

()

A.(4,6)B.(6,4)

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

14.［2024天津］如图,△ABC中,/B=30。,将△ABC绕点C顺时针旋转60。得到△DEC点A,B的对应点分别为D,

E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是()

A.ZACB=ZACDB.AC〃DE

C.AB=EFD.BF±CE

15.［2024山东滨州］一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2,即AB〃OD时,

N1的大小为°.

图1图2

16.［2024四川泸州］定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a>0）个单位，再绕原点按逆时针方向

旋转。角度，这样的图形运动叫做图形的p（a,O）变换如:点A（2,0）按照p（1,90。）变换后得到点A的坐标为（-1,2）,则点B

（次,-1）按照p（2,105。）变换后得到点B的坐标为.

17.［2024江苏盐城］如图，在△ABC中,NACB=9（r,AC=BC=2夜，点D是AC的中点，连接BCD绕

点B旋转得到^BEF.连接CF,当CF〃AB时,CF=.

18.［2024黑龙江龙东地区］如图，在RtAABC中，乙4cB=90°,tanz5XC=|,BC=2,AD=1线段AD绕点A

旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是_______.

19.［2024江苏盐城］下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（）

工作中的雨刮褓移动中的黑板

B

折叠中的纸片骑行中的自行车

CD

20J2024四川自贡］我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股

定理“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于，赵爽弦图”说法正确的是（）

A.是轴对称图形

B.是中心对称图形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形

21.[2024辽宁锦州校级模拟]下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（）

ABCD

22.[2024四川眉山]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC

边上的点F处,则cos/CEF的值为（）

A.17/4B.V73C.-D.-

44

23.[2024四川自贡]如图,在矩形ABCD中,AF平分/BAC,将矩形沿直线EF折叠，使点A,B分别落在边A

D,BC上的点A：B处,EF,AF分别交AC于点G,H.若GH=2,HC=8,则BF的长为（）

20V220V3r5V3

D.C.

9--------------9---------------------2

24.[2024山东潍坊二模]如图，等边△ABO的边长为6,以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴建立平面直角

坐标系，点B在第二象限，将4ABO沿x轴正方向平移得到△ABO,AE与BO交于点C,若AC=（4"，则B'

的坐标为.

25.[2024辽宁沈阳校级模拟]如图，两个直角三角尺ABC与CDE按如图所示的方式摆放，其中NB=/D=30。,

ZACB=ZECD=90°,AC=CE=福，且A,C,D共线，将△DCE沿DC方向平移得到△DCE,若点E落在AB上,则平

移的距离为.

26.[2024山东济宁二模]如图,△ABC中,AB=AC,NA=40。,射线CP从CA的位置开始绕点C逆时针旋转(«

(00<a<70。),，与AB相交于点口,将4ACD沿CP所在直线翻折至4A1CD处,CA，与AB相交于点E.若^A'DE

27.[2024江苏连云港]如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF,连接

BF.再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG.若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五

等分点，AB=4,则BC的长为.

28.[2024广东深圳二模]在直角坐标系中，将4ABC进行平移变换，变换前后点的坐标的情况如表：

变换前△ABCA(l,l)B(4,l)C(4,5)

变换后△A'B'C,A'(6,3)B'(9,3)c，

(1)平移后点C的坐标是并在直角坐标系中画出4A'B'C;

(2)若P(nl,n)是△ABC内一点,通过上述平移变换后，点P的对应点P1的坐标可表示为：

(3)连接BB；CC,则四边形BB'C'C的形状是_____________其面积为.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

29.［2024四川南充］如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点NABE=30。,将△ABE沿BE折叠得AFBE,连接C

F,DF若CF平分/BCD,AB=2,则DF的长为.

第29题图第30题图

30.［2024四J11成都］如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线1,P为直线1上一

动点，连接PO,PA,则PO+PA的最小值为.

31.［2024河南］如图，在RtAABC中,/ACB=9(T,CA=CB=3线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的

垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为最小值为

32.［2024山东临沂二模］如图，将边长为1的等边△OAB以B为圆心顺时针旋转120。,同时边长都加1得到△

01AiB,此为第一次变换，再将△OiAiB以Ai为圆心顺时针旋转120。,同时边长都加1得到△O2A】B］，此

为第二次变换，依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后，O点的对应点的坐标为

33.［2024安徽］如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线

的交点)A、B、C、D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).

⑴以点D为旋转中心，将AABC旋转180。得到△AiBig画出△A、BtCx;

(2)直接写出以B,Ci,B1，C为顶点的四边形的面积；

(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分NBAC,写出点E的坐标.

34.[2024黑龙江龙东地区]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标

系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-l,l),B(-2,3),C(-5,2).

⑴画出△ABC关于y轴对称的小AiBiJ,并写出点Bx的坐标；

⑵画出△ABC绕点A逆时针旋转90。后得到的小AB2C2，并写出点B2的坐标；

⑶在⑵的条件下，求点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长(结果保留7T).

35.[2024山东泰安]如图1,在等腰RtAABC中,NABC=9(T,AB=CB点D,E分别在AB,CB上,DB=EB,连接AE,

CD,取AE中点F,连接BF.

(1)求证:CD=2BF,CD±BF.

(2)WADBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出BF与CD的位置关系：;

②求证:CD=2BF.

第24关图形的对称、平移与旋转

1.A2.B3.C

4.C

5.B解析:由题意知OA=OB,OC=OD/AOB=NCOD.

•.E,F分别是AB,CD的中点,

11

ZAOE=NEOB=*。B,NCOF=NFOD=：NCOD,

..NAOE=NEOB=NCOF=NFOD.

•.OE±OF,

.•.zEOB+zBOF=90°,

..NFOD+NBOF=90°,即OB^OD,故

A中推断正确.

•.OB±OD,

NBOC+NCOD=NBOC+NAOB=90°,无法证明NBOC=NAOB,故B中推断错误.

"OAB当ODC,点E,F分别是底边AB,CD的中点

.■QE=OF,故C中推断正确.

•.zBOC+zCOD=zBOC+zAOB=90°,

zBOC+zCOD+ZBOC+ZAOB=180。,即NBOC+NAOD=180。,故D中推断正确.

6.A（或C）

72

解析根据AC':AB:BC=1:3:居不妨设AC=1,AB=3,BC=7,

当C在线段AB上时，如图，设直线I与BC交于点F,

由翻折的性质知NFCD=NFCD,CF=C'F,

•.CD沿直线I翻折至AB所在直线，

NBC,F+NFC'D'=180°=NFCD+NFBA、

..NBC'F=NFBA,

CF=C/F=BF=-7

2f

过F作FE^AB于E,

1'

・・.BE=-BC=1.

2

An「BE12

•••COS^ABC=—=F=一■

BFi7

当C在BA的延长线上时，如图，

同理可得CF=CF=BF=^f

过点F作AB的垂线，垂足为E,

11

・・.BE=-BC=2

2f

4c「BE24

•••cos^ABC=—=—=

BF(7

故答案为:或三

1(3,10)

解析：如图所示，设CD与y轴相交于H点，设BC=x，由折叠可知BF=x，由正方形ABCD可知AB=x,二.OB

22222

=x-2,在Rt^BOF中，OF+OB=OF,BP6+(x-2)=/解得:x=10,..FH=4,OB=8,易证AFHE「ABOF,.•・

界=M="EH=3,「.E(3,1O).

差点突破..

第一个突破是由正方形想到BC=AB，由折叠想到BC=BF,从而想到在直角三角形OBF中，由勾股定理求出

BC的长,第二个突破是由NEFB=90°想至SFHESABOE得至!J器=*=［求出EH的长.

OFOB2

9.B10.(3,4)

ll.(4,-4)

解析：过点D作DE±y轴于点E,如图，

•.点A(0,-2),B(l,0),

.-.OA=2,OB=1.

•.线段AB平移得到线段DC,

.-.ABllCD,AB=CD,

，四边形ABCD是平行四边形，

.NABC=90°,

二四边形ABCD是矩形，

..NBAD=90°,BC=AD,

•.BC=2AB,

.-.AD=2AB,

•.NBAO+NDAE=90°/BAO+NABO=90。，

NABO=NEAD.

•.zAOB=zAED=90°,

△ABO*"ADAE.

.OA_OB_AB_1

“DE—4E-4D―2’

，DE=2OA=4,AE=2OB=2,

.QE=OA+AE=4,

.■.D(4,-4).

12.C解析：左起第四个图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是

中心对称图形；

第一、第二和第三个图形能找到一个点，使图形绕这一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图

形.所以中心对称图形有3个.

13.B解析：设旋转后点A的对应点为A1,过点A和点A，分别作x轴的垂线，垂足分别为B,C,

••点A的坐标为(-4,6),

...OB=4,AB=6.

由旋转得OA=OA'/AOA，=90。，

..NAOB=90°-NA'OC=NOAC又NABO=NA'CO=90°,

.“AOB学OA'C,

.­，A'C=OB=4,OC=AB=6,

，点A，的坐标为(6,4).

14.D解析:设BF与CE的交点为H,,.将AABC绕点C顺时针旋转60°得至l^DEC,

.-.zBCE=zACD=60o,

•.NB=30。，

，在ABHC中,NBHC=180°-NBCE-NB=90°,

.,.BDCE,故D选项符合题意;设NACH=X°.

NACB=60°-x°,

•.NB=30。，

zEDC=zBAC=180°-30°-(60°-x°)=90°+x°,

•••NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°,

•.•X。不一定等于30°,

.'.zEDC+zACD不一定等于180°,

•.ACIIDE不一定成立，故B选项不符合题意；

•.zACB=60o-xo,zACD=60°,xo^—0°,

，NACB=NACD不一定成立，故A选项不符合题意；

•.将AABC绕点C顺时针旋转60。得到△DEC,

..AB=ED=EF+FD,

，AB>EF,故C选项不符合题意.

故选D.

15.75

16.(-V2-V2)

解析：将点，B(百,-1)向上平移2个单位，所得点M的坐标为(8,1)过点M作x轴的垂线，垂足为F,

则OF=V3,MF=1.

在RSMOF中，

tan/MOF=僚=冬0M=Jl2+(V3)2=2,

所以NMOF=30°.

由旋转可知，

B'O=MO=2,ZMOB'=105°,

所以ZB'OF=135°.

过点B'作y轴的垂线，垂足为E,

贝(INB0E=135°-90°=45°,

所以AB'OE是等腰直角三角形.

又因为B'O=2,

所以.BE=OE=V2,

所以点B'的坐标为(-V2V2,).

17.2+V6

解析:•.・NACB=9(r,AC=BC=2V2

..NCAB=NCBA=45°,

•.点D是AC的中点，

AD=CD=-AC=V2,

2

22

J(V2)+(2A/2)=V10,

•.将△BCD绕点B旋转得到ABEF,

•••BF=BD=V10,

如图，过点B作BG^CF于点G,

•/CFIIAB,.".zFCB=zCBA=45°,

."BCG是等腰直角三角形，

,-.CG=BG=2,

在RbBFG中，FG=<BF2-BG2=J(V10)2-22=V6,

.-.CF=CG+FG=2+V6

方法总结..

在几何图形中求线段的长，有时可以把问题抽象为解直角三角形的数学问题；因为三角形BCF不是直角三角

形，所以可通过添加辅助线BG构造直角三角形来解决.

18.2V2+|

解析:取AC的中点Q.连接PQ作以Q为圆心，PQ长为半径的圆.

•.P是CD的中点,Q是AC的中点，

PQ是AACD的中位线，

•••PQ=-AD=

<22

，线段AD绕点A旋转时，点P在以Q为圆心，之为半径的圆上运动,

，当BP经过点Q,且点P在AC下方时,BP的值最大.

BC=2,tanZBAC=

2

，AC=4,

.AQ=CQ=2.

BQ2=BC2+CQ2=8,

.-.BQ=2V2

BP的最大值为2V2+|.

19.C20.B21.B

22.A解析:•四边形ABCD是矩形,

.■.AD=BC=8,zB=zC=zD=90°,

.-.zCEF+zEFC=90o,

•.把AADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，

.-，AF=AD=8,ZAFE=ZD=90°,

.".zAFB+zEFC=90°,

.-.zCEF=zAFB,

•.AB=6,

•••BF=y/AF2-AB2=V82-62=2小,

L厂/71LnBF2V7V7

•••CQSZCEF=cosZAFB=—=——

AF841

23.A解析:.,四边形ABCD是矩形,

.-.ADllBC,

AAEGSACFG『AA'HSACFH,

.AE_AGAA_AH

"FC-GC'FC-HC'

由折叠的性质可知,AA'=2AE,

,AA'_2AE.2AG_AH

••FC-FCJ，GC-HCr

2AGAG+2.10

•••——二----,•••AG=——,

2+883

•.AF平分NBAC,..NBAF=NFAC,

•.EFllAB,.-.zBAF=zAFG,

.•.NGAF=NGFA,R.FG=AG=-

，3

CF=y/CG2-FG2=J102-(y)2=竽

•.EFllAB,

.-.BF:CF=AG:CG=1:3,

BF=-CF=-.

39

24.(1,3V3)

解析：分别过点C和点B，作x轴的垂线，垂足分别为M和N,由平移可知，AB=AB=6/B7VO=NBAO=

60。,又.NBOA=60。，

."A'OC是等边三角形.

又；AC="B,

，A'C=CO=A'O=2.

,.,CM_LX轴，

.•.A'M=OM=1.

在RfA'CM中，

CM=V22-l2=V3.

•••CMllB'N,

AA'CM-AA'B'N,

.CM_AM_AC_1

BNANAB'3’

.■,B'N=3CM=3V3,A'N=3A'M=3,

.­.ON=A'N-A'O=3-2=1,

.••点B'的坐标为(1,3V3).

25.V3-1

解析:••将-DCE沿DC方向平移得到AD'CE,

CE=CE=V3,

NB=ND=30°,zACB=zECD=zE'C'D'=90°,

.•.zE'C'A=90o,zA=60°,

..NAE'C'=30°,

设AC'=xJi^AE'=2x,

222

7AE'=AC+CE',

(2x)2=x2+(V3)2,

，x=L即AC'=L

，平移的距离CC'=4C一AC'=百一1.

26.15°或30°或60°

解析:•.AB=AC/A=40。，

..NACB=NABC=70。，

­.0°<a<70°,

.•射线CP在NACB内部.

当点A'在AB下方时，如图，

由翻折可知，

NA'=NA=40°/A'CD=NACD=a,

NDEA'=NA+NACA'=40°+2C(,

NA'DE=180o-40°-(40°+2a)=100°-2a.

当A'D=A'E时/A'DE=NDEA',

.■.100°-2a=40°+2a,

解得a=15。.

当DA'=DE时/DA'E=NDEA',

.■.40°=40°+2a,

解得a=0°(舍去).

当ED=EA'时,NEA'D=NEDA',

.■.40°=100°-2a,

解得a=30°.

当点A，在AB上方时，如图，

由旋转可知，

NCA'D=NA=40°/A'CD=NACD=a,NADC=NA'DC=140°-a,

zDA'E=180o-40o=140o,zA'DE=180°-2(140o-a)=2a-100°,

zA,ED=180o-140°-(2a-100°)=140°-2a.

."DA'E=140°〃•.当AA'DE是等腰三角形时,只能是A'D=A'E.

当A'D=A'E时/A'DE=NA'ED,

•.•2a-100°=140°-2a,

解彳导a=60°.

综上所述,a=15°或30。或60°.

27.2V10

解析：设AG与BF交于点M,由折叠的性质可得AG^BH,

..NAMB=90°,

•••四边形ABCD是矩形，目上下对折后得到折痕EF,AB=4,

..NABC=NBEF=9(r,AE=BE=|AB=2,EF=BC,

NAMB=NBEF=90°,

zBAM+zABF=zBFE+zABF=90°,

..NBAM=NBFE,

又一：NABG=NFEB=90。，

A

/.△ABG^FEBS

・•・ff=管设BG刊则由题意得BC=5a,.•・；白

BEEF25a

解得a=IVT6（负值舍去），经检验，a=|m是原方程的解,且符合题意.

BC=5a=2V10.

8.⑴(9,7);作图见解析

⑵(m+5,n+2)

(3)平行四边形;20

解析：(1)根据平移性质得点C的坐标是(9,7),如图,33。即为所求

⑵略.

⑶由平移可知四边形BB'C'C是平行四边形,

，四边形BB'C'C的面积=4x5=20.

29.V2

解析:如图，过F作FM±BC于点M,FNJ_CD于点N,

•••四边形ABCD是矩形，

..NDCM=NABC=90°,AB=CD=2,

・：CF平分NBCD,

.•.FM=FN/DCF=NBCF=45°,

.••四边形CMFN是正方形，

,-.CN=FM=FN.

由折叠可知AB=BF=2/ABE=NFBE=30°/.NFBM=30。，

..DN=CD-CN=1.

在Rt^DNF中,由勾股定理得DF=y/NF2+DN2-Vl2+l2-V2.

30.5

解析：作点。关于直线I的对称点0’轴,B(0,2),.Q(0,4),连接AO：AO与直线I的交点为点P,此时P

O+PA取最小值，最小值为AO的长，根据勾股定理可得20'=存不至=5.

31.2V2+1;2V2-1

解析：如图所示，AD】，AD?与半径为1的OC相切,DiR是切点，连接CDi,CDz.则点D在工时AE的值最

大，在D2时AE的值最小，设AD】与BC相交于F点,AD1与BE1交点为E^AD?与BE?交点为E2.

•.zACB=90°,CD1±AE1,

二易证AACDiCFDi,

.D1F_CD±_1

"CF-AC_3,

「BEJAE〉•易证ACDRABEIF,••・誓=%=：,

DrCr3

D#+EJ=1(CF+BF)=^1BC=1.

222

又ADr=y]AC—CD1—V3—l=2V2,AEr-2V2+1,,即AE的最大值为2V2+1.

作CH^BEz于点H.

易证AACD2学BCH/.CH=CD