2025年中考数学考前冲刺：二次函数动点问题 压轴练习题

2025年中考数学考前冲刺

二次函数动点问题压轴练习题

1.如图，抛物线〉=苏+&+6与X轴交于点A,B,与y轴交于点C,OB=OC=3OA.

(1)求抛物线的对称轴；

(2)点尸(犯句(心2)是抛物线上一个动点,连接AP,CP,转交y轴交于点D,作轴于点2.

①若点。是OB的中点，求A?AC的面积；

②若以点C,D,P,2为顶点的四边形为平行四边形，求，”的值.

2.如图，二次函数y="+&+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且图象经过点㈠⑷，(2,-5),连

接AC.

(1)求4,6的值.

(2)尸是抛物线广加+区+3上的一点，且位于X轴上方，是否存在点P,使得入皿的面积恰好为4?若存在，求

出点P的坐标；若不存在，说明理由.

(3)M(不与点A,C重合)是线段AC上的一个动点，过点M作MD_Lx轴，垂足为。.延长DM,交抛物线于点

E,过点E作E7FAC,垂足为F，求AMEF周长的最大值.

3.如图①，直线AB与抛物线弧：步加+国”0)交于点A(4,o),点

图①图②

(1)求抛物线M的解析式；

(2)点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作。轴交直线AB于点O,设点C的横坐标为〃，当。取最大

值时，求人的值；

(3)如图②，点E(O,T),连接A£,将抛物线跖向上平移，〃("2>0)个单位长度得到抛物线肛，当时.根据，"的

不同取值.试探索抛物线也与直线AE交点个数的情况

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=加+云+6(“*0)经过点用，与y轴交于点C,与x轴交于A、B

两点(A在8的左侧)，连接AC,BC,tanZCBA=3.

(1)求抛物线的表达式;

⑵点E是线段04上不与点0、A重合的点，过点E作EP_Lx轴，交抛物线于点P,交AC于点£>,点V是线段OE

上一动点，MN_Ly轴，垂足为N,点尸为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段的长度取得最大值时，请

求出AM+肱V+NF的最小值；

(3)将该抛物线沿射线C4方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段期的长度取最大值时的点，且与直线AC

相交于另一点K,点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点。的坐标.

5.如图1,抛物线公产加+桁+《"0)与工轴交于A(-l,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(o,3).

(1)求抛物线Z的解析式；

⑵若点E是抛物线Z上位于直线BC上方的动点，过点E作的垂线，垂足为H,EH交BC于点、F.

①求EF的最大值；

②连接CE,若与相似，求E点坐标；

③若点E运动到抛物线£顶点位置，过点C作EH的垂线，垂足为D.过点。的直线与抛物线Z交于只。两点，直

线EP,EQ分别交x轴于点MN.试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

6.如图1,抛物线>=-#+如+4经过点A(l,3),与>轴交于点C,经过点C的直线与抛物线交于另一个点E(-6,m),

点M为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与％轴交于点D.

试卷第2页，共6页

(1)求抛物线与直线CE的解析式;

(2)如图2,点户为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC,PE.当APCE的面积最大时，求P的坐标以及APCE的

面积的最大值;

(3)如图3,将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线栈平移得到新抛物线y经过点N,射

线Ml与新抛物线交于点凡连接MR,在新抛物线的对称轴上是否存在点H,使ZMRH=ZAM9?若存在，请直

接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

好+小与直线y=T+6相交于点A(2,0)和点B.

⑴求相和b的值;

(2)求点B的坐标和NBA。的度数;

(3)点M是无轴上的一个动点，求当AM4B是等腰三角形时点M的坐标.

8.如图，二次函数y=；x2+&+c的图象与X轴交于4(-1,0)、以6,0)两点，与〉轴交于点C,连接BC.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)点P是抛物线在第四象限图象上的一动点，PNLBC于N,小明同学在探究时认为:

当点P位于抛物线顶点时，ABCP的面积最大，他的结论是否正确？若正确请说明理由；若不正确，试探究ABCP

的面积最大时点P的位置，并求此时黑的值.

9.如图，抛物线y=/+"+c(》、C为常数)交％轴于点A(TO)和3(3,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线的函数表达式;

⑵连接AC,点尸是第二象限抛物线上的动点，过点尸作尸轴于点H,请问是否存在点尸，使得AP7/5与△AOC

相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线产4+区+c("0)经过点。⑵4),与X轴交于A,B两点，与y轴交

(2)如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作尤轴的垂线I,/分别与x轴交于点E,交直线AC于点设

点P的横坐标为初当T<“V2时，是否存在实数也使得以P,C,”为顶点的三角形和相似？若存在，

求出相应机的值；若不存在，请说明理由.

⑶当0<,"V2时，过点M作“G〃BC,MG交X轴于点G,连接GC,则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，

并求出这个最大值.

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(-3,0),B(4,0),C(0,3).

(1)求抛物线关系式.

(2)抛物线上是否存在一点尸，使△ACP是以A为直角顶点的直角三角形.若存在请求出点尸的坐标，若不存在

请说明理由.

(3)点D,E分别是线段AB，BC上的动点，连接AC,AE,CD,当CE=8£>时，求AE+CD的最小值.

12.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=加+*+2(“#0)的图象与X轴交于A(TO),1(3,0)两点(点A在

点B的左侧)，与y轴交于点C,连接BC.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)若点p是无轴上一点，当ABCP为等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)点。是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点。使NQCB=ZABC?若存在，请求出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

13.已知点B(5,o),点C(4,3)都在抛物线>=上，其中点A是抛物线与X轴的交点，点。是抛物线的顶

试卷第4页，共6页

点，连接AD,CD.

(1)求抛物线的解析式；

⑵求ZACD的度数；

(3)点P是y轴上的一个动点，当时，直接写出尸点坐标.

14.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=/+*+c(a，力C为常数，"8的图象与工轴交于点A(LO),B两点,

与y轴交于点C(0「3),且抛物线的对称轴为直线X=-1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线EC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PMLx轴，垂足为点M,交直线EC于点N,求PN+&GV的最

大值，并求出此时点?的坐标；

(3)如图2,若抛物线沿射线AC方向平移乎个单位长度得到抛物线＞,点E为新抛物线＞上一点，点F为原抛物

线对称轴上一点，取(2)中最大值时点P,是否存在以点8、P、E、产构成的平行四边形？若存在，直接写

出点E的坐标，若不存在，请说明理由.

15.如图，抛物线＞=々+"+3交X轴于点A(-LO)和点B(3,o),交y轴于点C,抛物线的顶点为点F,点。(2,3)在抛

物线上.

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)如图1,求-FC。的面积；

(3)如图1,在x轴下方的抛物线上找一点G,使NBAG=/BAQ,求点G的坐标；

(4)如图2,对称轴EF垂直于*轴于点E,点尸是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作工轴的垂线交抛物线于

点。，连接DADP.直线4XBD分别与抛物线的对称轴交于M、N两点.试问：EW+硒是否为定值？如果是，

请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由.

试卷第6页，共6页

《2025年中考数学考前冲刺二次函数动点问题压轴练习题》参考答案

1.⑴抛物线的对称轴为直线x=2;

(2)①*"c=¥；②及的值为1+/或3+a.

【分析】(1)根据题意求得A(-2,0),8(6,0),再根据抛物线的对称性质求解即可；

(2)①先利用待定系数法求得抛物线的解析式，求得点。(3Q),再求得直线"的解析式，求得再利用

三角形的面积公式求解即可；

②分当点D在原点上方和下方两种情况讨论，根据S=列式计算即可求解.

【详解】(1)解：令8=0,则>=6,

C(0,6),

OC=6,

OB=OC=3OA,

：.A(-2,0),8(6,0),

抛物线的对称轴为直线x=等=2；

(2)解：①将A(-2,0),巩6,。)代入产江+及+6,

,日J4tz-2Z?+6=O

侍136a+6A+6W

解得卜V

[b=2

二抛物线的解析式为y=+2X+6,

:点。是。B的中点,

二点。(3叫，

当x=3时，y=—^x32+2x3+6=^,

则点P(3，S，

-2人+4=0

设直线”的解析式为丁=履+4,则&…15,

3k+bl=—

解得

[4=3

•••直线"的解析式为y=%+3,

令％=0,则尸3,

0(0,3),

1315

S4Ape=2。6*_“=5*5=耳；

②•，点P(m,n)(m>2)是抛物线上一个动点,

•二产(加,一3根2+2机+6),贝|J。(必0),

当点。在原点上方时，

答案第1页，共31页

解得加=1土了,

・・根=1+y/13；

当点。在原点下方时,

解得加=3±01,

•・m=3+y/n;

综上，加的值为1+/或3+e.

【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函

答案第2页，共31页

数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离公式和平行四边形的

性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论.

2.b=-2

(2)存在.点片(T+62),(-1-^,2)

(3”团的周长的最大值为华

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结

合是解题的关键.

(1)把点(-L4),(2,-5)分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可；

(2)设点?(吁冷2Z),根据题意得到S,刈=卜硝"_2“+3)=4,解一元二次方程即可得到答案；

(3)求直线AC的解析式为y=%+3.设点M(〃,〃+3),则点网2〃+3),得到知£=-*_3〃，

EF=FM=-sinZEMF=(-n2-3«)x^,贝ljAA郎的周长=-(1+闾"目+公普•根据二次函数的性质即可求出答案.

【详解】(1);二次函数，苏+法+3的图象经过点(T4),(2,-5),

,Ja-b+3=4

9*[4a+2b+3=-5

解得｛二

(2)存在.由(1),得a=T,b=-2,

・•・二次函数的解析式为y=f2_2x+3.

令尸。，得-x2-2x+3=0,

解得石=1,%2=—3.

.・,二次函数丁=江+法+3的图象与X轴交于点A,B,

・••点A(-3,0),5(1,0),

AB=OA+OB=4.

设点尸(人—m2—2m+3^,

S4PAe=gAB•—2m+3)=4,

?.—m2—2m+3=2,

角毕得小=一1+及，=-l-y/2,

二点4T+e，2),^(-1-72,2).

(3)令x=0,得，=3,

.•.点C(0,3),

设直线AC的解析式为>=江+$

Js=3

\-3t+s=0

答案第3页，共31页

直线AC的解析式为k"3.

设点“5/+3),则点石(〃，-/-2"+3),

A/E=—n2—2«+3-(n+3)=—n2—3n.

・.•点C(0,3),

OA=OC.

*.*ZAOC=90°,

，ZACO=45°.

*.*W%轴，

，ME〃：y轴,

，ZEMF=ZACO=45°,

/FEM=45。,

EF=FM=MEsinNEMF=(-«2-3n)x^,

△A/EF的周长=一/一3〃+2*(一/一3“卜孝

=(1+应)(—n2—3")=—(1+应+3〃)

=-(i+到"+幻+^T^-

V-(l+>/2)<0

.,.当"=4时，AMEF的周长有最大值，最大值为卓亚，

皿的周长的最大值为笑也.

3.(l)y=2x2-8x；

(2)当〃=5时，CD有最大值，最大值为%

⑶当;VXV十寸，如果抛物线监与直线AE有2个交点，则有

2.2.o

当时，如果抛物线必与直线AE有1个交点，则有，"啰或5VM<6,

当白工党时，如果抛物线弧与直线AE没有交点，则有〃，>?或那<5.

2.2.o

【分析】⑴把点A(4,0),点B(IT)的坐标代入>=加+如心0),得到关于。、)的二元一次方程组，解方程组求出

。、方的值，即可得抛物线M的解析式；

⑵利用待定系数法求出直线的的解析式为k2.L8,因为点C的横坐标为〃，且点C在抛物线y=2-8上，点C的

坐标为(42力-8〃)，又因为CD||x轴，所以点C和点。的纵坐标相等，把2"-8/1代入'=2工-8,可得：#-4h+4,所

以有。。/-("-皿+力，把这个二次函数整理成顶点式解析式即可得到CD的最大值和此时，，的值；

⑶设平移后的抛物线解析式为y=2*-8x+m,求出直线上横坐标为工=|和工=：的两点P和点。的坐标，当平移后

的抛物线过点。时有两个公共点，求出加的最小值，当平移后的抛物线与直线隹有唯一公共点时，求出加的值，

从而求出加的取值范围.

【详解】(1)解:把点入(4,0),点以1,~6)的坐标代入丫=加+阮("0),

答案第4页，共31页

116。+4力=0

可得:[a+b=—6

解得：｛:二8，

二抛物线必的解析式为y=2——8%；

(2)解：设直线43的解析式为尸履+。(b0),

把点A(4,0)，点3(1,-6)的坐标代入y=区+可左。0),

r,曰14左+b=0

可得4+1，

解得：仁；，

一直线AB的解析式为V=2%-8,

•.•点C的横坐标为力，且点。在抛物线y=2%2—8%上,

点C的坐标为(九,2后—8%),

•••C0|%轴,

•­•点D的纵坐标为2林-8h,

点D的纵坐标为2h2-Sh代入y=2x-8,

可得：2X-8=2/Z2-8/Z,

解得：％=后-4〃+4,

:.CD=h-(h2-4h+4],

整理得：CD

二当〃=方时，8有最大值，最大值为｝

(3)解：设直线AE的解析式为丁=中+〃，

把点A(4,0)和点、石(0,-4)的坐标代入y=k[x+nf

可得：，「，

解得：忆4,

二直线A£的解析式为y=x-4,

当冗=|时，可得：y=x-4=|-4=-1,

二直线A石对应的点P为展,-|"],

当冗=|时，可得：y=x-4=|-4=-"I，

二直线AE对应的点Q为(„)，

如下图所示，

设抛物线M的图象向上平移0)个单位长度得到抛物线也为y=2/—8%+加,

当抛物线M经过点[，-|)时，

答案第5页，共31页

可得：一8x?+机=—g,

解得：m=5,

抛物线画为丁=2炉—8%+5,

y=%—4

{—，

得到：Ai=|,士=3（不符合题意，舍去）,

，此时抛物线也与线段P。有1个公共点，

当抛物线以经过点（;:时，

可得：2x图-8x|+m=-|,

解得：加=6,

•,抛物线画为y=2f-8%+6,

解方程组{；二】:/6，

得到：%=|，%=2,

,此时抛物线区与线段PQ有2个公共点，

2

可得：X—4=2x—Sx+mf

整理得：-9尤+帆+4=0,

可得：A=Z?2—4ac=（―9）2—4x2x（加+4）=—8帆+49,

4Q

当-8帆+49=0时，解得：加=可，

O

4Q

当-8帆+49>0时，解得：

O

答案第6页，共31页

:当白xj时，如果抛物线叫与直线有2个交点，则有6V,"?；

ZZo

当白工〈时，如果抛物线也与直线AE有1个交点，则有加=?或5Vm<6,

ZZo

当2*4时，如果抛物线也与直线AE没有交点，则有，”>?或，”5.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质等知识、一元二次方程根的判别式、

解一元二次方程、数形结合的思想，解决本题的关键是利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，本题是

二次函数的综合题，难度较大.

4.（l）y=-g*-2x+6

（2）8

（3）（--3）或（一

【分析】（1）利用正切函数求得。B=2,得到B（2,0）,再利用待定系数法即可求解；

（2）求得A（FO）,利用待定系数法求得直线AC的解析式，设「卜,=/-2P+6）,求得PD最大，点P卜3段），再

证明四边形是平行四边形，得到=推出当E、N、F共线时，EF取最小值，即3+肱V+NF取最小值，

据此求解即可；

（3）求得D（T3）,再利用平移的性质得到新抛物线的解析式旷=-32_58一£,再分两种情况讨论，计算即可求

解.

【详解】（1）解：令％=0,则y=6,

AC（0,6）,

OC=6,

\*tanZCB4=3,

・OC_

••—3,

OB

OB=2,

：.3（2,0）,

（、0=4a+2b+6

将B（2,0）和卜1目代入>=加+及+6得6，

\27——=a—u+b

2

解得"=一5,

b=-2

，抛物线的表达式为?=-1X2-2X+6；

（2）解：令y=o,则o=-g*_2x+6,

解得x=-6或x=2,

A（-6,0）,

答案第7页，共31页

设直线AC的解析式为y=如+6,

代入A(-60),得0=-6旭+6,

解得机=1,

直线AC的解析式为y=X+6,

设p[p，-gp2-2p+6)(-6Vp<0),贝|£)(p,p+6),

22

.•.PD=-ip-2p+6-(p+6)=-i(p+3)+1,

\*-1<O,

.••当p=-3时，P£>最大，此时尸(-34)，

AE=3fMN=OE=3fE(-3,0),

:・AE=MN,AE//MNf

连接研，

・・・四边形AMNE是平行四边形，

：.AM=EN,

AM+MN+NF=EN+MN+NF>MN+EF,

.•.当E、N、F共线时，EF取最小值，即Ml+AW+NF取最小值，

:点尸为线段BC的中点，C(0,6),B(2,0),

F(l,3),

EF=5/(-3-1)2+(0-3)2=5,

AM+MV+N尸的最小值为5+3=8；

(3)解：由(2)得点。的横坐标为-3,代入>=x+6,得y=3,

0(-3,3),

；・新抛物线由y=-；/-2x+6向左平移3个单位，向下平移3个单位得到,

y'=_g(x+3)~-2(x+3)+6-3=—-5x-^,

过点。作。2〃BC交抛物线y于点2,

.・.4Q、DK=4BCA,

同理求得直线BC的解析式为y=-3%+6,

・.・DQJ/BC,

・,•直线。。1的解析式为y=-3%+e,代入。(-3,3)得9+e=3,解得:e=-6,

・・・直线区的解析式为y=3-6,

联立得-3x-6=-g%2-5芯-9,

解得%i=T,%2=-3,

当％=-1时，尸-3,

AQ(-l-3),

答案第8页，共31页

作关于直线AC的对称线得。&交抛物线y于点Q，

・•・ZQ2DK=AQ.DK=ZBCA,

设。0交1轴于点G,

在。。2上截取OG=DG,

作G7T_LZ)R于点",

解得了=-2，

：.G（-2,0）,

VA（-6,0）,C（0,6）,

OA=OCf

：.ZOAC=ZOCA=45°f

轴，

ARDA=ADAH=ZADH=45°,

NGDH'=NGDH,

ZG'H'D=ZGHD=90°,DG'=DG,

△GD'HSAGDH,

G,H,=GH=3-2=1,DH'=DH=3,

.・.G（-6,4）,

同理直线DQ2的解析式为y=-1.r+2,

联立_$+2=_；X2_5XT，

解得x=-3或x=*,

当x=*时，*]+2=（

需],

综上，符合条件的点°的坐标为（T-3）或1m

【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二

次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键.

5.(l)y=-^+2x+3；

答案第9页，共31页

(2)①:；②E(2,3)或E(1.4)；③是定值，16

【分析】(1)两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可；

(2)①求出直线BC的解析式，设出E点坐标，将EF的长转化为二次函数求最值即可；

②易得△的//为等腰直角三角形，根据相似得到ACEF也为等腰直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可；

③求出D的坐标，设过点。的直线为：尸MxT)+3,联立直线和抛物线的解析式，求出RQ的坐标，设过点E的

直线的解析式为y=，QT)+4,分别求出点M.N的坐标，进而求出的值，再进行求解即可.

【详解】(1)解：；抛物线Z：产式+及+«*0)与x轴交于A(T0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),

・••设抛物线的解析式为：y=«(x+l)(x-3),把C(0,3),代入,得：3=-3a,

・・a=-1f

...y———3)=—%?+2%+3；

(2)设£(利-二+2帆+3),

①,・・巩3,0),C(0,3),

・•・设直线的解析式为尸质+3,把3(3,0)代入，得：k=-\,

y=-x+3,

E^niy—m2+2m+3^,

:.JF(s一机+3),

・.・EF=—m+2m+3+m—3=—2m+3m=(—\m3—丫9+—,

I2j4

・，.当根=-,时，*得值最大为：:；

②・.,巴3,0),C(0,3),

，OB=OC=3,

ZOBC=ZOCB=45°,

<.*轴，

・・・△班H为等腰直角三角形，

ZCFE=ZBFH=45°f

・•・当△班H与△囱相似时，尸也为等腰直角三角形：

当NCE尸=90。时，贝(］：CELEF,

：.CE〃龙轴，

即：CE关于对称轴对称,

答案第10页，共31页

y=-x2+2x+3=—(.¥—I)2+4,

对称轴为直线x=l,

,?C(0,3),

E(2,3)；

当NEB=90。时，过点。作CG_LEF,贝！J:EG=FG=CG=；EF=m,

由①知：EF=—m2+3m,

-m2+3m=2m,

解得：M=1或"=0（舍去），

E（l,4）；

综上：E（2,3）或E（l,4）；

③是定值：

y=—x2+2x+3=—（%—l）"+4,

AE（l,4）,

F（l,2）,H（1,O）,

由②可知：0（1,3）,

设过点。（1，3）的直线为：y=Mx-l）+3,

联立匕，解得：

[y=-x+2x4-3

设过点E的直线解析式为：y=n（x-l）+4,

解得：；4+《,

•x=i____§_

同理：当点。在y=，MT+4上时，“=捶卫生

答案第11页，共31页

由题意可知：点”，N分别在点H的两旁，

不妨设点”在点H的左边，点N在点H的右边，

QOQQ

IJ1||.HM=1-1+-==-=--—,HN=l+-f=——1=一]—

人y/k2+4+k“2+4+-J-+4一-y]k2+4-k

•HMxHN=HM=.8----j=L-=---=16.

dk2+4+kk。+4-kk+4-卜,

：.MWxHN是定值，为16.

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求函数与坐标轴的

交点问题等知识点，综合性强，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键.

6.⑴抛物线解析式为y=Jx2-1+4,直线CE的解析式为＞=*+4

(2)APCE的面积的最大值为9,此时P(-3,3)

⑶存在点川3,愣或川3,J使ZMRH=ZANO

【分析】(1)把把A(l,3)代入k加+4求出b=-|即可得到抛物线解析式，再求出E(FT),根据待定系数法

求出直线CE的解析式；

(2)过P作轴交CE于F,设则小扣4),PF=-*+3『+3,再根据凡…”岳f)得到

Sg；=-(r+3)2+9,利用二次函数的性质即可得到“CE的面积的最大值为9；

(3)先求出0(-1,0),N(-2,0),过A(l,3)作心_Lx轴于K,得至1JM=NK=3,即可得到将抛物线沿射线附

平移得到新抛物线，'，即＞=-#。+4=-*+1-号向上平移«个单位长度再向右平移"个单位长度得到新抛物

线*求出新抛物线的解析式，再以"R为直角边构造等腰直角三角形A"加和"飒，再根据一线三等角构造

全等三角形求出4号()，呜，高，最后根据NMRJ=NMK，=45。，ZMRH=ZANO=45^,得到点H为.和电与新

抛物线的对称轴交点，据此求解即可.

【详解】⑴解:把A(l,3)代入y=-$2+法+4得，3=-1+fe+4,解得Z,=_g,

抛物线解析式为y~~'j^~^x+4'

二抛物线与y轴交点c(o,4),

1o

£(-6,根)在,=_§芯2_§%+4上,

加=一；x(—6)2—1x(—6)+4=—4,

E(-6,-4),

设直线CE的解析式为y=匕%+2,

答案第12页，共31页

把E(FT),C(0,4)代入，=5+4得

I-H-=—O/C|十t7|

4=4

解得L4,

k、=一

13

直线CE的解析式为y=$+4；

(2)解：过户作PF_Lx轴交CE于F,

设P［，T2->4),则尸,,++4),

；・PF=U3T心+4)7。*('+3)2+3,

,:Sg=Sg+S印=：户-Gf)+：PF•(%-%)=JPF•(%-%),

22

SAPC£=+3)+3jx6=-(r+3)+9,

.,.当,=-3时，APCE的面积的最大，最大值为9,此时P(T3)；

(3)解：•••抛物线解析式为y=Tx2-|x+4=q(x+i)2+1,

二抛物线对称轴为直线x=T,顶点

••,抛物线的对称轴与x轴交于点D,

0(-1,0),

将点D向左平移1个单位长度得到点N(-2,0),

取两点J,4,使=JMLMR,，在JM上，即JR肘和为等腰直角三角形，过A作〃T_Lx轴于K,

过M作版八》轴，过R作RQ_LM0轴于2,过J作〃_LM2轴于/,

图3

VA(l,3),

AK=NK=3,

：.ZANK=ZNAK=45°fNA=3五,

•••将抛物线沿射线附平移得到新抛物线八即kJ/-$+4=T(X+I>+9向上平移〃个单位长度再向右平移，，个

单位长度得到新抛物线八其中”>0,

，新抛物线解析式为y=-*+1-")一+,+〃，

答案第13页，共31页

•/＞'经过点N（-2,0）,

0=一;（一2+1一〃）2+修+八，

解得〃=4或九=-3（舍去），

；・新抛物线解析式为=-*-3）2+等,

，新抛物线的对称轴为直线x=3,

同理由N（-2,0）,A（l,3）可得直线Ml的解析式为y=x+2,

联立:解得匕：x=5

y=7

射线仍与新抛物线交于点区（5,7）,

JMLMR,MQAy轴，RQVMQ,JILMQ,

ZJMR=N/=N。=90°,ZJMI=ZQRM=90°-ZRMQ,

JM=MR,

△JM7^AA/R2（AAS）,

iaQ

RQ=1M=1~=^,〃=MQ=5-（T=6,

J1M=JM,即M（-号）为M中点）

同理由J—，*R（5,7）可得直线版的解析式为尸青+詈,

4I，1）,R（5,7）可得直线电的解析式为v=yX-6,

•••△%和为等腰直角三角形,

/.NMRJ=ZMRJ,=45°,

■/ZMRH=ZANO=45°,

，点”为Q和财与新抛物线的对称轴交点，

当H为电与新抛物线的对称轴交点时，此时x=3,y=y^-6=yx3-6=|,此时“（3,：；

当H为叔与新抛物线的对称轴交点时，此时工=3,尸一＞+詈=一＞3+答=铮此时《3,二

综上所述，在新抛物线的对称轴上存在点不黑或《3,使ZMRH=ZANO.

7.（1）加=一2,b=2

（2）点B的坐标为（T3）；.0=45。

⑶（3忘+2,0）或（2-3立0）或（-1.0）或（＜0）

【分析】（1）用待定系数法即可求解;

（2）联立二次函数与一次函数组成方程组，求解即可解决问题;

（3）分的为腰和底时讨论求解即可

【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4+2%

解得：，"=-2,

答案第14页，共31页

将点A的坐标代入直线表达式得：0=-2+）,

解得。=2；

故m=-2,b=2；

（2）解：由（1）得抛物线表达式为好炉-2弓直线的解析式为y=f+2,

联立方程组得：[kX2；；,

[y=-x+2

解得匕胃或忆,

・••点3的坐标为（T3）；

过点5作成_LX轴于点石，则？的m,BE=3,OE=l,AO=2,

：.AE=BE=3

ABAO=i(180°-90°)=45°.

(3)解:VA(2,O),B(-1,3),

AB=^(-l-2)2+(3-0)2=3yli,

若AM钻是等腰三角形，

当A3为腰时，

*.*AO=2,AM.=AB=3y[i,

OM=2+3近,

：.必（3&+2,0）；

又AM?=AB=3叵,且A0=2,

I.OM2=3y[2-2,

：.M2（2-3x^,0）.

又AB的垂直平分线交工轴于点心,

VA5=3£ZBAO=45。,

答案第15页，共31页

/.NDM4A=N3AO=45。，

AD=M4D=|V2,

AAM4=3,

：.OM4=I,

.\M4(-I,O)；

5(—1,3),

・・.BM4_L%轴,

当5M=5A时，M3M4=AM4=3,

OM3=4,

・・・M(Y,O)；

综上，点M的坐标为卜3+2,。)或R-30,0)或(-I,O)或(-4,0).

8.⑴y=#-|x-3

(2)他的结论不正确，当ABCF的面积最大时，点尸的坐标为(3,~6),翳=4

【分析】(1)将A(T，0)、8(6。)代入＞=：加+"+c即可求得函数的解析式；

(2)连接OP,设设「卜，¥-|一3),由%叱=%阶+5,℃厂5,。蛇，然后运用二次函数求最值得到K最后确定尸的

坐标，求出直线BC的解析式，得到直线PN的解析式，由此得到点N的坐标，利用两点距离公式求出BMCN,

即可得解.

【详解】(1)解：将A(T,0)、8(6,0)代入>=Tx2+fe>:+c可得:

.--b+c=0A77ZB\b=~-

・・.2,解得2,

18+6Z?+c=0c=—3

(2)解：如图1：连接OP,设P(，2-,3),

y=—x2——x—3

22

・・・C点的坐标为(0，-3)

,.,3(6,0),C(0,-3),

/.OB=6,OC=3f

**.S.BCP=SQBP+SQCP_SQBC=；x6x13+172)+；x3x"gx3x6

**•=—|?2+9?=_|(?-3)2+-y-,

・・・h3在0々<6范围内

；・当，=3时，S.BCP最大，^t2-^t-3=-6

・••点P的坐标为(3，~6).

,•・>=#-沁=扑-1)言,顶点坐标为CT，

答案第16页，共31页

故小明同学的结论不正确，当"CP的面积最大时，点尸的坐标为(3,~6).

设直线BC的解析式为y=玄+》，

.]6k+》=0

b=-39

\k=L

解得2,

b=-3

・•・直线BC的解析式为y=；%-3,

PN1BC于N,

设直线PN的解析式为y=-2x+”,

将点P(3，-6)代入，得-0

直线PN的解析式为＞=-2x,

当_2x=[x_3时，x=E，

【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握分类讨论、数形

结合思想是解题的关键.

9.(1)V=X2-2X-3

(2)存在，点尸(-：,£)

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的判定，解一元二次方程，

对于(1),将点A(T0).B(3,0)代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可；

对于(2),分两种情况：当缁=嘿4时；当需=甯4时，设点P的坐标，并表示出瓯PH,根据比例得出

DtiL-UJrnJ

答案.

【详解】(1)解：将点A(-l,0),B(3,0)代入尸M+W+C,得

Jl-fe+c=0

[9+35+c=0'

解得产，

[c=-3

答案第17页，共31页

(2)解：存在,

当％=0时，尸-3,

.••点C(0,-3),

AO=1,CO=3,

设点尸3,〃2_2。一3)其中。＜0,贝(JPH=/—2a-3,BH=3-a,

当缁=甯=；时，APHBSAAOC，

DtlCCJ3

即'-2"3」,

3-a3

解得a=-:或”=3(舍去)，

4.13

3

当器=若弓时，△出

pti-tQ—31

即「a］，

a—2。-33

解得。=2(舍去)或。=3(舍去).

所以点尸的坐标是(］。).

C

A2

10.(l)y=-|x+|x+4

(2)存在满足条件的实数m,其值为2或意

⑶当，"日时，s眨=2

【分析】(1)先通过勾股定理求出点A的坐标，再将A、C、Z)的坐标代入即可求出抛物线的解析式;

(2)分4户〃=90。和NPC"=90。两种情况，当NCPM=90。时，可得CP//x轴，容易求得尸点的坐标和机的值，当

NPGW=90。时，设PC交X轴于点B，利用相似三角形的性质先求得产点的坐标，可求得直线CF的解析式，再联

立直线CF和抛物线解析式可求得点尸的坐标和相应的m的值;

(3)由A、C的坐标可求得直线AC的解析式，再用机表示出点M的坐标，表示出ME,再由ABCOAGME可表

示出GE,求得。G,再利用面积的和差可得到△GMC的面积，利用二次函数的性质可求得起最大值.

【详解】(1)解：.•・点C©4),

:.OC=4,

AC=5f

在RUAOC中,40090。,

答案第18页，共31页

OA=4AC1-OC2=3>

“（3,0）,

将A、C、£＞的坐标代入抛物线y="2+fc＜+c(aw0)中,

9。+3b+c=0

得<c=4

4a+2b+c=4

4

a=—

3

解得

3

c=4

二抛物线解析式为＞=-：*2+g%+4；

(2)根据题意可知人何/是直角三角形，而-MFC中，ZPMC=ZAME为锐角,

••.APCM的直角顶点可能是P、C,

第一种情况：当NCPM=R。时，如图,

则CP〃x轴，此时点P与点。重合,

二点P(2,4),此时加=2,

第二种情况：当"CM=90。时，如图,

延长PC交X轴于点尸，由AFC4SACQ4,得

AFAC

~AC~'AO'

AF=—

3

.-.OF=—-3=—

33

，直线CF的解析式为＞=++4,

联立直线CF和抛物线解析式可得

答案第19页，共31页

3,

y=—x+4

4

48/

y=——x2+—x+4

[33

解得层,1飞5’

iy=——

I164

，点p坐标为停前，此时yff,

综上所述，存在满足条件的实数相，其值为2或亮；

10

(3)由A(3,0)、。(。,4)可得直线AC的解析式为y=-gx+4,

-M的坐标为(切，-：切+4],

MG〃BC,

:.ZCBO=ZMGEf且NCO8=ZMEG=90。，

:.△BCO^AME,

.COBO

"~ME~GE'

4_1

即」,〃+4=而，

3

GE=—根+1.

3

/.OG=OE-GE=-4m-l,

3

S^CMG=S梯形coGM-S11PoG-S©EM

1(4/八/41If1tY4八

2I3)UJ22l3人3)

当，”=■!时，S最大，即与大=2.

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，

函数图象的交点等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

11.⑴丫=-卜+%+3

(2)存在，(8,-11)

(3即

【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线的对称性、两点间的距离公式以及勾股定理等知识，

熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键.

(1)待定系