2025年中考数学考前复习：分式与分式方程（含解析）

2025年中考数学考前复习专题03：分式与分式方程

一、单选题

1.化简胆-工结果正确的是（）

aa

A.1B.aC.-D.

4a

丫+丫一

2.已知炉+.-3=0,则代数式=+3等2二9的值是（）

x-1X-X

A.2B.-2C.!D.

22

AD「无z_i_2

3.若△+—二（A、B、。均为常数）的计算结果为（八,八,则A+3+2C的值为（）

xx+1x+2++

A.1B.2C.3D.4

A

4.如果使分式一1有意义的。和6的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那

么整式A可以是（）

A.a+bB.2a+2bC.abD.a2b

5.从-3,-2,-1,0』,2,3这七个数中，随机抽一个数，记为a.若数a使关于x的一元二次方程

Y—2（a-4）x+/=。有实数解，且关于旷的分式方程旨一3=二有正整数解，则抽到的数。恰好

符合条件的概率是（）

,6532

A.—B.—C.—D.—

7777

6.某小区为了改善环境，计划在花坛种植300株花，由于志愿者的加入，每小时比原计划多种50株，

结果提前0.5小时完成任务.设原计划每小时种x株，根据题意，可列方程（）

300300300300

A.=0.5B.=0.5

x+50XX%—50

300300300300

C.=0.5D.=0.5

x-50XXx+50

二、填空题

2

7.计算：—+—=___.

a-l1-a

4x

8.在函数y=中，自变量x的取值是_____.

2x-3

9.若aH-=3,贝UQ2H——=.

aa

10.对实数a,b定义运算“★”如下：“★6=计算[2*3卜[(一2)★(-4)]=

[a(a<b,a^0)

325

1L方程声+1二港E的解为----------

12.关于x的方程=1匚的解为非负数，则相的取值范围是_____.

x-11-x

3Y0

13.若关于x的分式方程==1-二的解为正数，且一次函数>=以-。+6的图象经过第一、二、

x-11-x

三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为

14.已知甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相等.如果两个人每小时共做140个零件，那

么甲、乙两个人每小时各做多少个零件？设甲每小时做x个零件，则乙每小时做个零件，所列

方程为

三、解答题

15.先化简再求值：1+一］•竺1其中“7=退-2.

\m-2)m-2

16.已知x(x+2)=2,求代数式—+：x+4+7的值.

22_

17.解方程：

x+3x-3

18.已知关于x的分式方程==2-4.

无一33-尤

(1)若加表示的数是2,解这个分式方程；

(2)查询发现正确答案为“原分式方程无解”，请你求出原分式方程中加代表的数是多少.

19.观察以下等式：

第1个等式：lx*=l+g,

.人白—14+6.1

第zA2个等式：7x一1=1十二，

244

第3个等式：?1亨9+9=1+1卜

入片人—井116+121

第4个等式：-x^—=1+-,

466

片丘_人«125+151

第5个等式：-X-—=1+-,

577

按照以上规律.解决下列问题：

⑴写出第6个等式：；

(2)写出你猜想的第九个等式(用含"的式子表示)，并证明.

20.据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全

球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录.该片

来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强

烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目.为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩

具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶.已知一个8种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，

且购进两种玩偶的数量共15个.

(1)求购进A、8两种哪吒玩偶的单价各是多少元？

(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、3两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不

多于B种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？

21.某生产商计划用相同材质的结绳编织两种中国结，其中320米结绳用于编织团锦结，168米结绳

用于编织福字结.己知每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少0.2米.若编织出的团

锦结数量是福字结数量的2倍，且刚好能用完所有结绳.

团锦结福字结

(1)求该生产商能编织团锦结和福字结各多少个.

(2)已知原来每个团锦结的成本为35元，售价为45元；每个福字结的成本为28元，售价为35元.由

于制作工艺升级，制作成本有所增加.且两种中国结制作成本增加的金额相同，售价不变.若该生产

商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于840元，求每个中国结的成本最多增加多少元.

《2025年中考数学考前复习专题03：分式与分式方程》参考答案

题号123456

答案ABDDDD

1.A

【分析】本题主要考查了同分母分式加减，根据同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减，进行

计算即可.

【详解】解："1一1="匕1=1.

aaa

故选：A.

2.B

2（2x-3）

【分析】此题考查了分式的化简求值.利用分式的加法和整体代入得到*一冒即可求出答案.

-[2x-3）

【详解】解：・・・/+尤_3=0

•*-x2=3-x,

x+32x—9

------------1-----2--------

x-1X—x

x2+3x2x-9

=-------H------

1）x—x

x2+5x—9

x2-x

3—九+5x9

3—x—x

_2（2x-3）

-（2%-3）

=-2

故选：B

3.D

【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式.

…4ABC(A+B+C)X2+(3A+2B+C)X+2A

先将一+--+―-化简计算得到-——一,则得到方程组

xx+1%+2

2A=2

<A+B+C=1,即可求解A3,C,再代入求值.

3A+28+0=0

ABC

【详解】解:—+-----+

xx+lx+2

(x+l)(x+2)A+x(x+2)B+x(x+l)C

x(x+l)(x+2)

(x+l)(x+2)A+x(x+2)B+x(x+l)C

x(x+l)(x+2)

(x?+3x+2)A+(x?+2x)B++元)(j

x(x+l)(x+2)

(A+B+C)x2+(3A+2B+C)x+2A

x(x+l)(x+2)

龙2+2

•T+4+上

aB、c均为常数)的计算结果为而诉②'

xx+1x+2

2A=2

二.vA+3+C=1

3A+2B+C=0

A=1

解得：B=-3,

C=3

A+B+2c=1+(-3)+2x3=4,

故选：D.

4.D

【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断即可.

【详解】解：若整式A是。+6,将原分式中。和6的值都扩大为原来的2倍可得

2a+2b2(“+万)a+b

分式的值不变，则A不符合题意;

4a+262(2a+Z?)2a+b

4a+462(2“+2b)2a+2b

若整式A是2。+2)，将原分式中。和b的值都扩大为原来的2倍可得

4a+262(2a+6)2a+b

分式的值不变，则B不符合题意；

4ab4ab2ab

若整式A是必，将原分式中。和6的值都扩大为原来的2倍可得工工稹=而，分式的

tTCrI乙U4I乙IUf乙IU

值扩大为原来的2倍，则C不符合题意；

若整式A是1b,将原分式中“和6的值都扩大为原来的2倍可得/==/^八==：，分式

4(7+2b2(2a+6)2a+b

的值扩大为原来的4倍，则D符合题意;

故选：D.

5.D

【分析】本题考查概率公式，根的判别式，分式方程的解，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.

利用一元二次方程根的判别式可得△=4(〃-4)2-4]=_32a+64>0,即aV2.由分式方程可得

>=号，进而可得审为正整数，且不等于L由题意可知，抽到的数。共有7种等可能的结果,

其中抽到的数。恰好符合条件的结果有2种，利用概率公式可得答案.

【详解】解：,••关于尤的一元二次方程f-2(a-4)尤+/=。有实数解，

A=4(a-4)2-4<22=-32«+64>0,

解得：A<2.

解分式方程宁-3=一一得>=等，

y-ii-y2

..•关于》的分式方程上等-3=r匚有正整数解，

y-11-y

；.y=昼/7+为4正整数，且不等于1.

.•.-3,-2,-1,0,1,2,3这七个数中，满足以上条件的。的值有：0,2,

9

.♦.抽到的数。恰好符合条件的概率是晟.

故选：D.

6.D

【分析】设原计划每小时种x株，则实际每小时种(x+50)株，根据前1小时完成任务.列出分式方

程即可.

本题考查从实际问题抽象出分式方程，找出等量关系是解答本题的关键.

【详解】解：设原计划每小时种尤株,

300300八=

根据题意得,----------------=0.5

xx+50

故选：D.

7.~a

【分析】本题考查分式的加减运算，将原式转化为同分母分式减法，然后根据同分母分式加减法运算

法则进行计算即可.

2

【详解】解：—+—

(1—11—CL

aa2

a—1a—1

Q—/

6Z—1

a(\-a)

a—1

=-Q.

故答案为：-a.

°3

8.xw一

2

【分析】本题考查了函数自变量的范围，分式有意义的条件，根据分母不等于0列式计算即可得解.

【详解】解：；2x-370,

•.尤J

2，

故答案为：无仁3

9.7

【分析】此题考查分式的化简求值.把。+1=3,两边平方，即可求得/+4的值，即可解答.

aa

【详解】解：：。+1=3,

a

**•^<2+—^=32,即/H—^+2=9,

1

a9-\—-=9—2=7.

a

故答案为：7.

10.2

【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及负整数指数幕的运算，理解新定义是解题的关键.

根据新定义分别求2*3=2-3二,(一2)型-4)=(-2尸=再代入［2幻卜［(-2)虫-4)］即可求解.

o16

【详解】解：2^3=2-3=1,(一2)★(-4)=(-2尸=上，

o16

微无卜［(-2)k-4)］=：+2=2,

故答案为：2.

11.尤=1

【分析】此题考查了解分式方程.去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可.

325

【详解】解：万口+『五刁，

去分母得到，3x+2(2x—1)=5,

解得x=l,

经检验，x=l是分式方程的解，

故答案为：X=l.

12.m>-3J!L-1

【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程々-3=1匚的

解为工="『，再根据题意列出不等式知f20且等*1,最后求解即可，掌握知识点的应用是

解题的关键.

【详解】解：y-3=广，

x-11-x

nr—3（x-1）=-x.

/.m—3x+3=—x,

.m+3

••x—,

2

,口工卡一心m+3«m+3,

由题意可知且一

解得〃栏-3且〃z片-1,

故答案为：m>-3JLm-1.

13.11

【分析】本题考查了分式方程与一次函数的综合，熟练掌握解分式方程的方法以及一次函数图象与系

数的关系是解题的关键.

先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得。>1且。片3,再由一次函数丫=6-。+6的

图象经过第一、二、三象限，可得0<。<6,从而得到所有满足条件的整数。的值为2,4,5,即可

求解.

3xn

【详解】解：-^-=1--^-

x-11-x

3光=%—1+〃,

解得：x=?,

•••分式方程的解为正数，

%>0且%—1。0,

--1^0,

22

解得：a>1且aw3,

・・,一次函数丁=依-a+6的图象经过第一、二、三象限，

a>0

—Q+6>0

解得：0<a<6,

，l<a<6且。*3,

所有满足条件的整数a的值为2,4,5,

所有满足条件的整数a的值之和是2+4+5=11.

故答案为：11

【分析】本题考查了列代数式，列分式方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件,

找出合适的等量关系.

设甲每小时做尤个零件，由两个人每小时共做140个零件，即可表示出乙每小时做的零件个数，然后

根据“甲做180个零件与乙做240个零件所用的时间相同”列出方程即可.

【详解】解：设甲每小时做x个零件，

:两个人每小时共做140个零件，

乙每小时做。40-力个零件,

180240

根据题意得,

x140-x

180_240

故答案为:140-x；

x140-%

IVm2+m-29百-3

13.-------------,------------

m-213

【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式,

再代值求解即可.

【详解】解：U+D±，

卜m—2Jm-2

_m-1(祖+2)-2)

m—2m—2

(m-1)(m+2)

m-2

_m2+m-2

m-2'

当m=6―2时，

(6_4)(4+4)

_3g+12-9-12yli

3-16

_9百-3

-—13--

16.2

【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的化简是关键.

根据分式的性质化简，再代入计算即可.

_0+2)2y

xx+2

=x(x+2),

当x(x+2)=2时，原式=2.

17.x=7

【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先

去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解.

【详解】解：等式两边同乘以，-9)得，

4X-(X2-9)=2(X-3)-2(X+3),

尤2—4x-21=0，

(x-7)(x+3)=0,

X1=7,x2=—3,

经检验：々=-3是原方程的增根，舍去；

所以原方程的解为x=7.

18.(l)x=2

(2)m=l

【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解

题的关键：

(1)去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；

(2)去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况进行求解即可.

【详解】（1）解：当m=2时，方程化为：丹x-2=2-42,

x-33-x

去分母，得：x-2=2x-6+2,

解得：x=2；

经检验，元=2是原方程的解，

・・・方程的解为％=2.

去分母,得：x-2=2x-6+m,

整理，得：x=4-m,

・・,分式方程无解，

・,・方程有增根，

%—3=0,

x=3,

3=4—m,

m=l.

（2）_Lx式士即=1+」二；证明见解析

nn+2n+2

【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观

察、计算、归纳进行求解.

（1）根据前5个等式的规律可知，第6个等式应是1x=1+1；可得等式：1x型|型=1+1；

（2）由⑴中的规律可知，第"个等式应是工义日±加=1+」一，分别把等式左边、右边的分式化简，

nn+2n+2

可得结果都为〃+勺3，即可证明等式成立.

【详解】（1）解：第1个等式：lx号=1+；,

4日人-_rx14+6.1

第2个等式：7x一1=1十二，

244

第3个等式：11x9^+p9=l+11,

入AAA.A._tx116+121

第4个等式：-x^—=1+-,

466

冬N人«125+151

第5个等式：-X——-=1+-,

577

根据规律可得，第6个等式：lx^±^=l+L

688

J.L.AL136+181

故答案为：-x——=1+-；

688

(2)解：猜想：第"个等式为式士叫=1+—匚，

n〃+2n+2

、〒口口七»1〃(〃+3)〃+3

证明：左边=—X」-----------,

nn+2n+2

*、上｛1n+21"+3

右边=1+------=-------+-------=-------,

n+2n+2n+2n+2

，左边=右边，

故猜想成立.

20.(1)4种哪吒玩偶单价是30元，8种哪吒玩偶单价是60元

(2)3000元

【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是:

(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，找出卬关于a的函数关系式.

(1)设购进A种哪吒玩偶的单价是x元,则购进8种哪吒玩偶的单价是2x元,利用数量=总价+单价，

结合购进两种玩偶的数量共15个