2025年中考数学三轮冲刺复习：二次函数特殊三角形存在性 提分练习题（含答案解析）

2025年中考数学三轮冲刺：二次函数特殊三角形存在性提

分刷题练习题

1.如图，抛物线与X轴交于点A(T,0)与点3(3,0),与y轴交于点C(o,3),P为第一象限抛

物线上的点.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)当APBC的面积最大时，求P点的坐标.

(3)在X轴上是否存在点N,使ANBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点

N的坐标，若不存在说明理由

2.定义：如果二次函数＞+%(420,%,瓦,q是常数)与y=2/+打工+，2

,

(4片0,a2,b2,是常数)满足/+%=。，瓦=瓦,q+c2=0,则这两个函数互为“"

备用图

(1)写出y=-/+x-l的函数的表达式；

(2)若题(1)中的两个函数与正比例函数y=kx(k^0)的图像只有两个交点，求上的值；

(3)如图，二次函数”与"互为"N”函数，A、B分别是“N”函数”与以图象的顶点,

第1页共37页

C是“AT函数为与y轴正半轴的交点，连接AB、AC、BC,若点4-2,1)且VABC为直角三

角形，求点C的坐标.

3.如图，抛物线y=-/+bx+c与尤轴交于A,3两点，y与轴交于点C,抛物线的对称轴

交x轴于点D已知A(-1,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴上有一点使得防1+MC的值最小，求此点M的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在尸点，使』尸。是等腰三角形，如果存在，求出点尸的坐

标，如果不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为6的等腰直角三角板ABC放在第二象限，

且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(-1,0),点2在抛物线y=o?+«x-2上.

(1)点A的坐标为,点8的坐标为

⑵抛物线的解析式为：;

⑶设(2)中抛物线的顶点为，求ADBC的面积；

第2页共37页

(4)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使AACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角

形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图，已知二次函数y=-N+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、2两点(点A在点2

OC=3,顶点为

(1)求二次函数的解析式;

(2)点P为线段上的一个动点，过点尸作x轴的垂线PQ,垂足为。，若。。=机，四边形

ACP。的面积为S,求S关于根的函数解析式，并写出相的取值范围;

(3)探索：线段上是否存在点N,使ANMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标;

如果不存在，请说明理由.

，+%+3的图象交x轴于42两点(点A在点2的左侧),

6.如图①，二次函数y=

交y轴于C点，连接AC,过点C作CDJ_AC交AB于点D

(1)求点D的坐标;

(2)如图②，在直线BC上取一点M(不与点8重合)，在直线CD的右上方是否存在这样的

点、N,使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不

存在，请说明理由.

7.如图，已知抛物线。=加十汝+或“0)经过A-1,0),3(3,0),C(0,-3)三点,直线/是抛物

线的对称轴.

第3页共37页

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)设点尸是直线/上的一个动点，当AR4c的周长最小时，求点尸的坐标；

(3)点M也是直线/上的动点，且4c为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M

的坐标.

8.如图，直线/过x轴上一点4(2,0),且与抛物线y=/相交于B,C两点,3点坐标为(1,1).

(1)求直线/和抛物线的解析式；

(2)若抛物线上有一点。(在第一象限内)使得S-8=SWBC，求。点坐标；

(3)在x轴上是否存在一点尸，使△POC为等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若

不存在，请说明理由.

9.如图，抛物线y=x?-bx-5与x轴交于A.B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于

点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E,|OC|：|OA|=5：1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线AF的解析式；

(3)在直线AF上是否存在点P,使ACFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不

存在，说明理由.

第4页共37页

10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数，=加+法+。交X轴于点A(-4,0)、3(2,0),

交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点双0,-2),连接AE.

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点。为抛物线在X轴负半轴上方的一个动点，求AAZ组面积的最大值；

(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AAEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有尸点

的坐标，若不存在请说明理由.

11.如图，已知抛物线尸/+法+c与x轴交于点A(-LO)和点8,与y轴交于点C(0,-3),

尸为抛物线上任意一点.

第5页共37页

(2)当△3CP是以5C为直角边的直角三角形时，求此时尸点的坐标.

12.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数〉=。冗2+"+。交X轴于4一4,0)、8(2,0),

(2)点D是第二象限内的抛物线上一动点.若tan/AED=g,求此时点。坐标；

(3)连接AC,点P是线段。1上的动点，连接OP,把线段尸0绕着点尸顺时针旋转90°

至尸。，点。是点。的对应点.当动点P从点C运动到点A时，判断动点。的轨迹并求动

点。所经过的路径长.

13.二次函数广"2+b尤+c图象的一部分如图所示.已知它的顶点M在第二象限，且经过

点A(l,0)和点B(0,1).若此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C.

(1)试求a,b所满足的关系式；

(2)当AAMC的面积为AABC面积的|■倍时，求a的值；

(3)是否存在实数a,使得/VRC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不存在，请说

明理由.

第6页共37页

14.如图，在平面直角坐标中，二次函数yuo^+bx+c的图像经过点A(6,0),2(-2,0),

C(0,4).

(1)求二次函数yua^+Zw+c的表达式；

(2)点P在第一象限的抛物线上，且能够使AACP得面积最大，求点尸的坐标；

(3)在(2)的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AAP。为直角三角形，

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

15.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=Y+bx+c过点A(0,2),对称轴是直线x=2.

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标;

⑵若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当ABCM是等边三角形时,

求出此三角形的边长;

(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点。的坐标为(L-1),是否存在点忆使以点A,D,E,

第7页共37页

尸为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

第8页共37页

参考答案

1.(1)y=*+2x+3；(2)当△P3C的面积最大时，求尸点的坐标为：尸住，，］；(3)在

x轴上存在点N,使ANBC是等腰三角形，符合条件的点N的坐标为：N(3-3夜,0)、

N(-3,0)、N(0,0)

【分析】(1)根据抛物线上的A、8、C三点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解

析式；

(2)先根据已知条件设出点尸的坐标，然后列出△P3C的面积关于点P的横坐标之间的二

次函数关系式，再利用二次函数图像的顶点坐标即可求得答案；

(3)对等腰三角形ANBC进行分类讨论，从而确定符合要求的点N坐标.

【详解】解：(1)设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c

•••抛物线与x轴交于点A(-l,0)与点8(3,0),与y轴交于点C(0,3)

a-b+c-0

<9。+3Z?+c=0

c=3

a=­l

：.\b=2

c=3

抛物线的函数解析式为：尸—+2为+3.

(2)...由(1)可知抛物线的函数解析式为：、=-/+2尤+3,点尸为第一象限抛物线上的点

；•设点尸的坐标为：(阳―/+2元+3),其中的取值范围是：0<x<3

•••过点尸作垂足为点E,如图：

・q

••24PBe°ABOC

S梯形PCOE+S/BE_S450c

第1页共37页

(CO+PE>OEBE・PECO・BO

2+22

(3-x2+2x+3)*(3-x)(-炉+2X+3)«3-X)3X3

------------------------------------------1--------------------------------------------------

222

3+工

22

9

•,S^PBC—x(0<x<3)

'：a=--<0

2

9

b3

•当x=------2时，取最大值

・,32a3=5S/BC

2x

2

315

J当％=—时，一/+2%+3=—

24

315

・•・当△的面积最大时，点的坐标为

PBCP25T

(3)①当5C=BN时，如图:

;点N在x轴上

设点N的坐标为：(x,0)

•.•3(3,0),C(0,3)

BC=M+3。=3&>3

•••点N在x负半轴上

••.-x+3=30

X=3-3A/2

N(3-3灰,0)；

②当CB=CV时，如图：

第2页共37页

CB=CN=3五

'：COLNB

，ON=OB=3

/.N（-3,0）；

③当NC=NB时，如图:

既是等腰三角形，又是直角三角形

ACN±NB,CN=NB=3

：.N（0,0）.

综上所述，在无轴上存在点N,使ANBC是等腰三角形，符合条件的点N的坐标为：

N（3-3夜,0）、N（—3,0）、N（0,0）.

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、利用面积相等列出二次函数关系式、

二次函数图像特征、动点问题、最值问题、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，注意第

三问需分类讨论，是一道压轴题，综合性较强，难度较大，是中考常考题目.

2.（1）y=x2+x+l；（2）上的值为3或一1；（3）点C的坐标为（0,行）或（0,5）.

【分析】（1）根据"N'函数的定义即可求得答案；

（2）根据中心对称的性质可得y=履次力0）的图像与y=f+x+1的图像只有一个交点，

由此联立方程即可求得答案；

（3）先根据中心对称的性质求得点2的坐标，进而可分别表示出”与”的函数关系式，以

及点C的坐标，再根据VA3C为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方

第3页共37页

程求解即可.

【详解】解：⑴'：y=-x2+x-l,

Jq=-1,4=1,q=-1,

・・Cl?=1,b?—1,C,2=1,

y=-x2+x-l的“V函数的表达式为y=x2+x+l；

(2)%=—尤2+x—1

=—(%2-x)-l

=-(龙2—尤+；_；)_]

,,1,3

2

同理：y2=(x+-)+-,

X与巴关于原点成中心对称，

又•.•正比例函数>=依(左20)的图像也是关于原点成中心对称，且题(1)中的两个函数

与正比例函数y=kx(k丰0)的图像只有两个交点，

.•.〉=履(左/0)的图像与〉=/+》+1的图像只有一个交点，

.••方程依=Y+x+l有两个相等的实数根，

b2—4ac=0,

整理，得：x2+(l-k)x+l=0,

：.(1-^)2-4=0,

解得：k、=3,k2=-l,

的值为3或一1；

(3)由(2)可知，若二次函数〃与”互为“尸’函数，

则二次函数》与义的图像关于原点成中心对称，

"B分别是函数竺与”的图像的顶点，点A(-2,1),

.•.点2(2,-1),点。为的中点，

设%=。(工—2>—1(a>0),则％=—a(x+2)~+1,

第4页共37页

当x=0时，y2=4A—1,

.•.点C（0,4a-l）,

VC是函数力与〉轴正半轴的交点，

...若VABC为直角三角形，则NACB=90。或NBAC=90。，

当/ACB=90°时，

又：点。为AB的中点，

：.AB=2OC,

•；AB=7[2-（-2）]2+[（-1）-1]2=2旧,

：.OC=y/5,

.•.点C的坐标为（0,石），

当/BAC=90。时，则AB2+AC2=BC2,

・・・（2百）2+4+（4〃-2）2=4+（4a）2,

3

解得：a=j,

3

・・4Q—1=4x1—5,

2

.•.点C的坐标为（0,5）,

综上所述：点C的坐标为（0,石）或（0,5）.

【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数与与”的图像关

于原点成中心对称是解决本题的关键.

3.⑴y=-V+2x+3

⑵点M坐标（1,2）

⑶存在，点P坐标为（1,6）,（1,回）,（1,一回）,（1,1）

【分析】（1）把A、C两点的坐标代入产-/+fcv+c,利用待定系数法即可求出二次函数的解

析式；

（2）由抛物线的对称性可知点A与点8关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点

为此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称

轴交点M坐标即可；

（3）分两种情况讨论：。当△尸8是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：

第5页共37页

①PC=CD；②PD=CD.设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；

，)当△PC。是以C。为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD,利用两点

间的距离公式列出方程求解即可.

【详解】(1)解：把A(-1,0),C(0,3)代入尸-无2+版+以

—l—b+c—0b=2

得:解得:

c=3c=3

.••抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称，

所以设2C与抛物线对称轴的交点为跖此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=2C,如图,

■：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4；

二抛物线的对称轴为直线产1,

VA(-1,0),点A与点B关于抛物线的对称轴对称,

：.B(3,0),

设直线BC解析式为y=kx+m,

-k+m=0[k=-\

则解得

m—3[m=a3

直线BC解析式为y=-x+3,

当x=l时，y=2,

：.M(1,2).

(3)解：：y=-N+2x+3=-(x-1)2+4,

•••对称轴为直线产1,

：.D(1,0).

第6页共37页

设点尸的坐标为（/,力，

VC（0,3）,

.".CD2=l2+32=10.

分两种情况讨论：i）当ZPCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：

①若尸C=C。，则P+63）2=10,解得仁0（舍弃）或6,

所以点P的坐标为（1,6）；

②若PD=CD,则产=10,解得t=±M，

所以点p的坐标为a,A/W）或（1,-M）；

论当公PCD是以C。为底的等腰三角形时，PC=PD,

则1+（t-3）2=凡解得：?=|,

所以点尸的坐标为（1,1）;

综上所述，点尸的坐标有三个，分别是（1,6）或（1,如））或（1,-M）或（1,1）.

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、

二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分

类讨论的思想.

4.（1）（0,2）；（-3,1）

（4）点P的坐标为7?（1,-1）与2（2』）

【分析】（1）先根据勾股定理求出。4的长，即可得出点A的坐标，再求出OE、班的长即

可求出8的坐标；

（2）把点2的坐标代入抛物线的解析式，求出。的值，即可求出抛物线的解析式；

（3）先求出点。的坐标，再用待定系数法求出直线8。的解析式，然后求出C尸的长，再根

据S&DBC=S*cEB+S&CED进行计算即可；

（4）假设存在点尸，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

①若以点C为直角顶点；则延长至点片，使得［C=BC,得到等腰直角三角形

第7页共37页

过点《作轴，由全等三角形的判定定理可得△叫C式AFBC,再由全等三角形的对

应边相等可得出点片点的坐标；

②若以点A为直角顶点；则过点A作且使得A^=AC,得到等腰直角三角形

△4玛，过点鸟作£汽，》轴，同理可证△A/VV也△C4。，由全等三角形的性质可得出点打

的坐标；点片、鸟的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可.

【详解】(1)解：••,c(T0),AC=5

：.OA=VAC2-oc2==2，

.•.A(0,2)；

过点8作3尸_Lx轴，垂足为尸，

ZACO+ZCAO=90°,ZACO+ZBCF=90°,NBCF+NFBC=90°,

在△AOC与ACFB中，

ZFBC=ZACO

■：BC^AC,

ZBCF=ZCAO

:.AAOC^CFB(ASA),

:.CF=OA=2,BF=OC=1,

:.OF=3,

••.5的坐标为(-3,1),

故答案为：(0,2)；(-3,1)；

(2):把3(-3,1)代入y=o?+办-2得：

1=9a—3a—2,

解得a=g,

二抛物线解析式为：y=-2.

故答案为：y=^x2+^x-2.

(3)由(2)中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点-

设直线3。的关系式为丁=履+"将点8、。的坐标代入得：

第8页共37页

-3k+b=l

<1,717,

—k+b=---

I28

k=--

4

解得:.

b=——

L4

.a.BD的关系式为y—~~7x~~r•

44

设直线即和X轴交点为E,则点E,：,。］,CE=|.

。16,17、15

SADBC=2XgX^+Y=V；

(4)假设存在点尸，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

①若以点C为直角顶点；

则延长BC至点使得4c=BC,得到等腰直角三角形△ACq,

过点打作々MLx轴，

CP{=BC,ZMCPt=ZBCF,ZP^MC=ZBFC=90°,

.--AAM^C^AFBC(AAS).

:.CM=CF=2,P,M=BF=1,

②若以点A为直角顶点；则过点A作且使得A£=AC,得到等腰直角三角形

△AC巴，

过点外作轴，同理可证△A^N乌△CAO,

:.NP2=OA=2,AN=OC=1,

经检验，点片与点£(2,1)都在抛物线y=+?-2上，

故点P的坐标为4(1，T)与月(2,1).

第9页共37页

D

【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定定理、用待定系数法求一

次函数及二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直

角三角形是解答此题的关键.

5.(1)y=—x2+2x+3；

o3

(2)S=-m2+—m+—(l<m<3)

⑶((，Y(2,2),(1+巫，4-^^)

3355

【分析】(1)可根据。8、0c的长得出夙C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物

线的解析式.

(2)可将四边形ACP。分成直角三角形A0C和直角梯形CQPC两部分来求解.先根据抛

物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形A0C直角边OA的长，据此可根据上面得

出的四边形的面积计算方法求出S与相的函数关系式.

(3)先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线的解析式，据此可设出N

点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种

情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN.根据上述三种情况即可得出符合条件

的N点的坐标.

【详解】(1),：OB=OC=3,

：.B(3,0),C(0,3)

0=-9+3b+cb=2

解得

3=cc=3

二次函数的解析式为y=-/+2x+3.

(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,M(1,4)

设直线MB的解析式为y=kx+n,

第10页共37页

4=k+n

则有

0=3左+n

k=-2

解得

〃=6

・・・直线MB的解析式为y=-2x+6

•.,PQ_Lx轴，OQ=m,

，点尸的坐标为(m,-2/n+6)

5a^ACPQ=SAAOC+S^PQOC=^AO-CO+1(PQ+C。)-OQ

1193

=—xlx3+—(-2m+6+3)•m=-m2+—m+—(l<m<3).

(3)设N(x,-2x+6)

CM=J(l-0)2+(4-3)2=V2,C7V=7%2+(-2X+3)2,

W=7(X-1)2+(-2X+2)2

①当CM=NC时，Jd+(-2x+3)2=&，

7

解得X尸彳,X2=l(舍去)

此时N((,)

②当CM=MN时，J(l)2+(_2%+2)2=0,

解得制=1+巫，X2=l-巫(舍去)，

55

此时N(1+典，4-冬叵)

55

③当CN=MN时，旧+(_2尤+3)2=J(尤_+(_2x+2了解得x=2,此时N(2,2)

综上所述：线段上存在点N,((-,—),(2,2),(1+®,4-2叵)使AM0C

5555

为等腰三角形.

【点睛】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角

形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力.考查学生分类讨论、数形结合的数学思

想方法.

6.⑴喑“；

第11页共37页

⑵存在，满足要求的N点坐标有（孚,12：石］,（3A/5,3）,卜噂F\胪.

【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出AB,C的坐标，

根据题意，可证AAOCSACOD,可得OC?=0402）,由此即可求解；

（2）根据题意，运用勾股定理求出。C,DB,3C的值，可得△D3C是等腰三角形，结合

图形，分类讨论：①如图所示，KMN、DCB,可证ACKNSACOB,即可求解；②如图

所示，AMCN沿QBC,根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，

△CMN'DBC,运用勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：令x=0,则y=3,

AC（0,3）,

OC=3.

令y=。，则一1尤2+J_X+3=O,

84

解得玉=-4,无2=6,

A（T,O）,3（6,0）,

•*.0A=4,OB=6.

VCD1AC,

・•・ZACD=9Q0,

CO.LAD,

••△AOCSACOD,

.OAoc

即OC2=OAOD,

…ocOD

•••32^4OD,

9

（90=-,

4

••・小；

（2）解：存在，理由如下，

VB（6,0）,C（0,3）,DR。,

CD=/|"|+3?=?，BC=yj62+32=375>则08_0。=6_：=*

第12页共37页

:.DC=DB,

，ZDCB=ZDBC.

①如图所示，ACMN'DCB,MN交y轴于K,

/O\DB^X

贝，

ljCM=CN=OC=OB="MN=BC=3也,NCMN=NCNM=NDBC=NDCB,

4

・・・MN//AB,

,・.MV_Ly轴，

:・/CKN=/COB=90。，MK=NK=-MN=—,

22

:・ACKNSJZOB,

.KNOB

CKOC

・“3A/5

4

OK=OC+CK=^3石,

4

...N尸弋斗

②如图所示，AMCN^ADBC

/o\DSV*

则CN=CB=36，ZMCN=/DBC,

CN//AB,

N卜底3）；

③如图所示，ACMN%DBC

第13页共37页

则NCMN=ZDBC=ZDCB,CM=CN=DC=DB=—,MN=BC=38

：.MN//CD,

作轴于H,则必=%="=1,

COOBCB4

：.CR=—,RM=—,

42

・•・OR=CO-CR=3-^~,

4

作MQ〃y轴，NQ_LMQ于点Q,贝IjNM/Q=ZDCO,ZNQM=ZDOC=90°,

：.公CODs^MQN,

.MQCO_4

••NQ~DO~39

•・•在RtZXMQN中，MQ2+NQ2=MN2,

412J539J5

MQ=-MN=^-,NQ=-MN=^~,

:・NQ—RM=^~,OR+MQ=60±3点,

1020

.入/3A/560+33斯'

I1020J

/发、"口曲+%人…皿-右12+36]伍仁A(3君60+336)

综上所述，满足要求的N点坐标有1,,(3,5,3),[--—,—.

【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，

全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，

图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键.

7.(1)y=x2-2x—3；(2)(1,-2)；(3)(1,-指)或(1,&)或(1,-1)或(1,

0)

【分析】(1)根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；

(2)因为AC为定值，要使AHC的周长最小，只需PA+PC最小即可，根据抛物线的对称

第14页共37页

性，连接BC交/于点P,此时PA+PC最小为BC的长，由点B、C坐标求出直线BC的函

数解析式，利用二次函数的性质和一次函数图像上的点的坐标特征即可求得点P坐标；

(3)设点M(1,m),分AM=AC、AM=MC、AC=MC三种情况讨论求解即可.

【详解】解：⑴将点A(-L0),3(3,0),C(0,-3)代入y=奴2+"+°(〃。0)中,

a-b+c=0a=1

解得：\b=-2,

得：＜9。+3/?+。=0,

c=-3c=-3

•••抛物线的函数关系式为尸尤2-2尤-3；

(2)因为AC为定值，要使AR4c的周长最小，只需PA+PC最小即可,

连接BC交/于点P,此时PA+PC取得最小值，如图，

设直线AB的函数解析式为y=kx+t(k±0),

将5(3,0),C(0,-3)代入，

得“\?…>k+t3=0，解得：[k—1

直线BC的函数解析式为y=x-3,

；y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

•••抛物线的对称轴为直线x=l,即点P的横坐标为1,

将x=l代入y=x-3中，得：y=l-3=-2,

.•.点P坐标为(1,-2)；

(3)设点M(l,m),贝AC?=(0+1)2+(-3-0)2=10,AM2=(1+1)2+(m-0)2=4+m2,

MC2=(l-0)2+(m+3)2=7M2+6/77+10,

第15页共37页

分三种情况讨论：

①当AM=AC时，有4+-=10,

解得：〃[=-A/6,%=指,

•••点M的坐标为（1,-灰）或（1,76）；

②当AM=MC时，有4+机2=机2+6根+10,

解得：m=-1,

.,.点M的坐标为（1,-1）；

③当AC=MC时，有10=m2+6m+10,

解得：=0,m2=-6,

...点M的坐标为（1,0）或（1,-6）,

设直线AC的函数解析式为y=px+q,

将A（-l,0）,C（0,-3）代入，

得：;，解得：2，

国=-3[g=_3

直线AC的函数解析式为y=-3x-3,

当x=l时，y=-3-3=-6,

...点M（1,-6）在直线AC上，即点A、C、M不能组成三角形，

故满足题意的点M的坐标为（1,-后）或（1,或（1,T）或（1,0）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二函数的解析式、求一次函数的解析式、轴对称中的最短

路径问题、图像上点的坐标特征、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解答的关键是

认真审题,寻找相关联的信息，利用待定系数法、数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、

探究和计算.

8.（1）V=f+2,y=Y；（2）。（百,3）；（3）符合条件的点P的坐标为

（-2A/5,0）,（2^,0）,（-4,0）,（-5,0）.

【分析】（1）根据题意，直线过A、B两点，用待定系数法求出直线解析式，再把B点坐标

带入y=ax?求出抛物线解析式.

（2）根据题意，先联立一次函数和二次函数求出交点B、C的坐标，再根据点坐标求△ACO

第16页共37页

和AABO的面积，用它们两个相减求出A3CO的面积，设。«,产)，用t表示△ADO面积并

且令它等于ABCO的面积，解方程求出t的值，D的坐标就求出来了.

(3)分类讨论：①OC=OP,用两点之间距离公式求出OC,OP就等于OC,P在x轴上，

可以直接写出P的坐标；

②OC=PC,由等腰三角形三线合一，O、P中点的横坐标等于C的横坐标，可以求出P的坐

标；

③OP=PC,作CF，x轴，设OP=PC=a,在RSCPb中利用勾股定理列方程求出a,求出P

的坐标.

【详解】(1)设直线AB的解析式为了=履+6.

(2k+b-0[k=-\

把A(2,0),8(l,l)代入y=&+6得।'解得，J

[k+b=l,[b=2,

所以直线AB的解析式为y=T+2.

把8(1,1)代入y=依2得。=1,

所以抛物线的解析式为》=/.

[y=—x+2,fx=-2,「尤=L

(2)依题意得’2解得,或,

[y=尤，[y=4[y=i,

即直线y=-x+2与抛物线y=x2的两个交点的坐标是C(-2,4),3(1,1).

SACOB=^^COA~^AAOB=-x2x4--x2xl=3.

设。«,户)(”0).

2

v5AA0D=SAC0B,.-.1X2X/=3,解得仁君或一石(舍去)，；.。(63).

⑶OC=^22+42=275-

①当OC=OP=2如时，弓(-2方,0),8(26,0)；

②当OC=PC=2君时，4(-4,0)；

③当OP=PC时，点尸是线段OC的垂直平分线与x轴负半轴的交点.

过点C作CFLx轴于点足设OP=PC=a.

在RtACPF中，CP?=CF2+PF2,

第17页共37页

-：CF=4,PF=a-2,a2=42+(a-2)2,解得a=5,...舄(-5,0)

综上所述，符合条件的点P的坐标为(-26,0),(2逐,0),(-4,0),(-5,0).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中三角形面积问题，等腰三

角形的存在性问题，关键在于要熟悉平面直角坐标系中三角形面积的求法，以及能够利用数

形结合的方法对等腰三角形的存在性进行分类讨论.

9.(1)y=x2-4x-5(2)y=-x-1(3)直线AF上存在点P(0,-1)或(0,-1)使ACFP

是直角三角形

【详解】解：⑴在y=x2-bx-5中令x=0,得y=5,|OC|=5.

V|OC|：|OA|=5：1,A|OA|=1..'.A(-1,0).

把A(-1,0)代入y=x2-bx-5得(-1)2+b-5=0,解得b=4.

二抛物线的解析式为y=x2-4x-5.

(2)；y=x2-4x-5=(x-2)2-9,...抛物线的对称轴为x=2.

•••点C与点F关于对称轴对称，C(0,-5)AF(4,-5).

设直线AF的解析式为y=kx+b,

把F(4,-5),A(-1,0),代入y=kx+b,得

4k+b=-5k=-1

{八，解得k「‘直线FA的解析式为y=-x-l.

-k+b=。b=-1

(3)存在.理由如下：

①当NFCP=90。时，点P与点E重合，

•••点E是直线y=-x-1与y轴的交点，...E(0,-1).：.P(0,-1).

②当CF是斜边时，过点C作CP_LAF于点P.

第18页共37页

设P(XI,-Xi-1),

ZECF=90°,E(0,-1),C(0,-5),F(4,-5),

；.CE=CF.；.EP=PF..\CP=PF.

点P在抛物线的对称轴上.，xi=2.

把xi=2代入y=-xT,得y=-3....P(2,-3).

综上所述，直线AF上存在点P(0,-1)或(0,-1)使ACFP是直角三角形.

(1)根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐

标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式.

(2)由y=x2-4x-5=(x-2)2-9可得对称轴为x=2,根据点C、F关于对称轴对称可得

点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可.

(3)分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可.

332

10.(1)二次函数的解析式为了=-1£-5尤+6；(2)当x=-§时，A4DE的面积取得最大

值g；(3)尸点的坐标为(-L1),(-1,±V1T),(-1,-2±719).

【详解】分析：(1)把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；

(2)根据函数解析式设出点。坐标，过点。作OGLc轴，交AE于点孔表示

△ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；

(3)设出点P坐标，分*PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可.

详解：(1)二•二次函数尸QN+H+C经过点A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),

16a-4b+c=0

・，・<4。+2b+c=0,

c=6

第19页共37页

3

a=—

4

3

解得：心=-J，

c=6

33

所以二次函数的解析式为：y=--x2--x+6；

(2)由A(-4,0),E(0,-2),可求AE所在直线解析式为尸-g尤-2,

过点D作DNLx轴，交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH1DF,垂足为H,

如图，

则点尸(加，-g机-2),

3313

DF=—m2—m+6-(—m—2)=—m2—m+8,

4224

***SAADE^AADF^-SAEDF=—x_DFxAG+—DF义EH

22

二—x£)FxAG+—xDFxEH

22

=—x4xZ)F

2

3

=2x(——m9-m+8)

4

_%+"翌

233

・・・当机=-：2时，△A。石的面积取得最大值为手50.

33

(3)y二—二/一7%+6的对称轴为x=-1,设P(-1,几),又E(0,-2),A

42

(-4,0),可求B4=J9+*,PE=Ji+(几+2)2,AE1二J16+4=26，分三种情况

第20页共37页

讨论：

当出=PE时，j9+〃2=Ji+5+2）2,解得：〃=1,此时P（-l,1）；

当B4=AE时，,9+/=J16+4=2口,解得："=土而，此时点P坐标为（-1,

土而）；

当PE=AE时，71+（«+2）2=A/16+4=2^/5,解得：n=-2土屈,此时点尸坐标

为：（-1,-2±V19）.

综上所述：P点的坐标为：（-1,1）,（-1,±41）,（-1,-2±V19）.

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分

析三角形面积的最大值,会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题

的关键.

11.（1）y=x2-2x-3；（2）点P（l,-4）或（-2,5）

【分析】⑴把点A（TO）和点。（0,-3）代入抛物线＞进行求解即可；

（2）由（1）易得点B的坐标为（3,0）,然后可设点P（a,"-2a-3）,进而根据题意可分当

/PCB=90。时和当/PBC=90。时两种情况，最后根据勾股定理及两点距离公式进行求解即可.

【详解】解：（1）把点4（-1,0）和点。（0,-3）代入抛物线y=/+bx+c可得：

[l-Z?+c=0fZ?=-2

.，解得：“

[c=-3[c=-3

二抛物线解析式为尸/-女-3；

（2）由（1）可得抛物线解析式为：y=x2-2.r-3,

二当y=0时，贝!）有0=无。—2元—3,解得：%=—1,%=3,

.•.点B（3,0）,

设点P（a,"2_2a-3）,

当ABCP是以BC为直角边的直角三角形时，可分：

①当/PCB=90。时，由勾股定理8。?+PC?=尸/及两点距离公式可得:

18+a~+-2a）=（a-3）+（6T-2a-3）~,

第21页共37页

解得：at=l,a2=Q(不符合题意，舍去),

.•.点P(I)；

②当NPBC