2025年中考数学三轮复习：有关圆的综合题 高频考点预测练（含解析）

2025年中考数学三轮复习备考

有关圆的综合题高频考点预测练

1.如图，在RtA4BC中，4cB=90。，点。在4C边上，以4D为直径作。。交5D的延长线于点E,且

CE=BC.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若。。的直径为12,tan〃BC=；,求N8的长.

2.如图，”是。。的直径，C,G是。。上的点，过点c的直线CD_LBG于点D,交的延长线于点E,BC与OD

交于点F,S.ZABC=ZCBD.

⑴求证：8是。。的切线；

(2)若若旁,求S的度数；

⑶连接3,在(2)的条件下，若CD=6,求4。的长.

3.如图，V/BC内接于0。，”为。。的直径，。。上血交半圆弧于。，点。与点C分别在直径的两侧，连接

8交”于E,过点B作CD的平行线交/C延长线于尸.

⑴求证：CF=CB.

⑵若4=4,BC=2,求CD的长.

4.已知，四边形/BCD内接于。。，对角线4GBD交于//,ZACD+^ZBOC=90\

图1图2图3

(1)如图1,求证：AC1BD.

(2)如图2,作直径BE交4c于点尸，连接DF,DF=DC,求证：AB=DB-

(3)如图3,在(2)的条件下，在四上截取"=P0_L4)于点0,交AC于L,若DH=2相,AQ=6,求BC的

长.

5.如图，以V/BC的边"为直径作0。，与BC相切于点C,与/E交于点D,连接B。并延长分别交。。于E、F,

连接CF,ZF=30°

⑴求证：CB=CF；

⑵若BE=2,求4D的长.

6.如图，在半圆。中，”为直径，即为弦，C为曲的中点，CE//BD.

EBOA

(1)求证：CE是。。的切线.

(2)若C»〃4B,OA=3.

①求EB的长；

②①的长是—(结果保留无).

7.如图，”是。。的直径，点C是。。上一点(与点A,B不重合)，过点C作直线MV,使得Z4CN=4BC.

(1)求证：直线肱V是。。的切线；

(2)过点A作4>_LMN于点D,交0。于点E,若。。的半径为3,点E为就的中点，求图中阴影部分(弓形)的面

积.

8.如图1,C。是菱形。/BC的边4B上的高，以点。为圆心，长为半径画圆.

(1)求证：8是。。的切线.

(2)若点8在。。上，如图2.

①求NDCB的度数；

②已知菱形。4BC的边长为6,求图中阴影部分的面积.

9.如图，正方形/BCD的边长为2,。。经过正方形上的点8,C,且与4D相切于点尸.

(1)正方形的内切圆和外接圆的半径分别为,;

(2)求。。的半径；

(3)求图中阴影部分的面积.(参考数据：sin53^0.8,叫53。~0.6)

10.课本再现

如图1,AB=CD,OE1AB,OF1CD,垂足分别为E,F,OE与OF相等吗？为什么？

(1)完成上述课本习题.

知识应用

(2)如图2,。。的弦4B,DC的延长线相交于点E,连接E。并延长.若4B=CD,求证：EO为4ED的平分

线.

菱形4BCZ)的边长”是。。的直径，。。与交于点E,尸是CD上一点，且DE=DF,连接BF

F

C

(1)求证：B尸是0。的切线；

⑵连接CE,若DE=1,BF=3,求CE的长.

12.如图，4E为。。的直径，点C在。。上,/4CB的平分线交0。于点D.过点。作OE〃/B,交CE的延长线于点

E.

D

⑴求证：是。。的切线；

(2)若4c=12,BC=5,求CD的长.

13.如图，已知。是V/BC边4E上的一点，以。为圆心、OB为半径的。。与边女相切于点D,且BC=C0,连接

OC,交。。于点E,连接班■并延长，交/C于点F.

⑴求证：BC是。。切线;

(2)求证：OA-AB=AD-AC-

⑶若4c=10,tanNB/C=g,求E。的长.

14.切割锯(如图1)是工人在工作中常用的工具,常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利,

我们根据生活中的切割锯抽象出如图2所示的图形，”表示面板，。。表示锯片，线段m可绕点B带动。。转动,

BC=(2073-30)cm,当。。恰好和相切时，ZB=60°.

⑴求。。的半径;

(2)在切割过程中，点。绕点B逆时针旋转，”和。。相交，肱v表示切割的长度.

①如图3,OE1AB,当OE=24cm时，求切割的长度MV为多少;

②当BD旋转到NB=30。时，切割锯能否将宽度为50cm的木板切断!

15.如图，。。是V4BC的外接圆，BC是直径，AC=5,AB=15,。是弦EC下方弧BC上的点(与8、。均不重

合).连接DC并延长交过力点的直线于后点，连接/D,使4E2=CE.DE.

(1)请直接写出4BC的正切函数值，即tonZABC=；

⑵求证：4E是。。的切线；

(3)设/。与BC交于点尸，点尸在。。上(与。、C均不重合)，过F点作FGrC,垂足为G,CG=2.与4FC的

大小相关的三个结论：以尸。>45。，NAFC=45。，"FC<45。，你认为哪个正确？请说明理由.

《2025年中考数学三轮复习备考-有关圆的综合题高频考点预测练》参考答案

L(1)见解析

(2)875

【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判

定和勾股定理是解答的关键.

(1)连接。E,根据等腰三角形的性质得到==NCEB=NCBE,进而得到NOEC=90。，根据切线的判

定可证得结论；

(2)连接4E,先推导出NZME=/DBC,进而由正切定义得到/E=2DE,BC=2CD,根据勾股定理求得DE,进而

求得"，BC,然后再利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：连接。E,则OE=OD,

ZOED=/ODE=ZBDC,

•：CE=BC,

/CEB=ZCBE,

•.•NZC5=90°,

.-.ZC5£+Z5DC=90°,

NCEB+ZOED=90°,即NOEC=90°,

••・OE是。。的半径,

・••CE是OO的切线;

（2）连接4E,

•••4）为0。直径，

：.ZAED=90°,

:.ZDAE=90°-ZADE=90°-4BDC=ZDBC,

tan^DAE=tanZDBC=-,则匹

2'zAEBC2

：.AE=IDE,BC=2CD,

vOA=OD=—xl2=6,

2

/.由DE2+AE2=AD2得DE2+（2网2=122,

解得祝=竽（负值已舍去），

vCE=BC=2CD,OC=6+CD,

・•・由OE2+CE2=OC2得62+（28）2=e+时,

解得8=4或8=0（舍去），

：.AC=AD+CD=16fBC=2CD=Sf

在RtA^5C中，AB=y/AC2+BC2=V162+82=875.

2.(1)证明见解析

(2)30°

⑶后

【分析】本题主要考查了切线的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，

正确的作出辅助线、构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键.

(1)连接OC,由OC=O6,得到NOC5=NO8C,则可证明NOB=NC8G,可得OC〃BG结合CZ)_L3G即可证明；

(2)由。C〃BG可得AOCFSAEQFQEOCSAEBD,gp^==|,珠=器=］进一步得到。C=：OE,最后解直角三

BuLF3BDBE32

角形即可得到答案；

(3)如图2,过/作于解直角三角形得到4H=1,EH=y/3fDH=2#,,最后在我皿4"中应用勾股定

理即可求得4。.

NOCB=/OBC,

•:NABC=NCBD

・•.NOCB=NCBD,

.-.OC//BG,

\-CDlBGf

:.OCVCD,

••,oc是。。的半径，

・•.8是。。的切线；

(2)解:-OC//BG,

:.AOCFSADBFAEOCSAEBD,

GCCF2

,•商"万=5'

.PCOE_2

：.OE=2OB,

•••AB=2OB,

/.OE=AB,

：.OC=-AB=-OE,

22'

••ZOCE=90°,

OE2

.•.NE=30。；

:"EBD=60。,

ZCBD=-ZEBD=30°,

2，

vCD=73,

：.BD=—"—=3,

tanZCBD

.•.。石=-^-=3百，BE==6,

tanEsin£

•：OE=OA+AE=AB=OA+OB,

AE=OA=OBf

：.AE=-BE=2,

3

/.AH=AE-sin£"=1,EH=AE-cosE=百，

1.DH=DE-EH=2G

在RNDAH中，由勾股定理得4D=，W+D7/2=*+(2国=岳.

3.(1)见解析

⑵3万

【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判

定，圆的相关性质，正确作出辅助线是解题的关键.

Q)由圆周角定理得到NBCD=；NBOD=45。，则由平行线的性质得到NCBF=/B3=45。，再证明NFCB=90。，则可

证明VECF是等腰直角三角形，则CF=CE；

(2)过点C作于"，由勾股定理得48=2石，解直角三角形得到sin4BC=¥，cos4BC=g,则可求出

CH==,07/=”^,证明AZ)E°SACEH,得到则=EH=：OH=与,最后利用

555UHUD391593

勾股定理求出CEQE的长即可得到答案.

【详解】(1)证明：-ODVAB,

1,NBOD=900,

.­.ZBCD=-ZBOD=45°.

2

•：BF//CDf

・•・NCBF=/BCD=45。,

,•・23为。。的直径，

ZACB=90°,

ZFCB=180°-ZACB=90°,

是等腰直角三角形,

CF=CB；

（2）解：如图所示，过点。作于〃，

在RtA^5C中，由勾股定理得AB=y]AC2+BC2=275，

../枚「AC2V5..BCV5

.•sin/ZBC==-----,cosABRCr==—,

AB5AB5

.•.在RLHBC中，CH=BC-sinZHBC=—,BH=BC-cosZHBC=竿,

•・•ZDOE=ZCHE=90°,ZDEO=ZCEH,

ADEOSKEH,

4石

：.EH=CH;三二4,

OEOD亚5

.prr44\/55Js

..EH=—OH=-----，EH=—OH=—，

91593

：.CE=-JEH2+CH2=—,DE=-JOD2+OE2=—,

33

4.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)可推出NBDC=；NBOC,进而得出N48+NBDC=90。，进一步得出结论；

(2)设N2BE交于点G,可推出NBFC=4a?,进而推出“HD+NFGD=180。，进而得出“GQ=90。，根据垂径定理

得出4G=DG,进一步得出结论；

(3)作于忆可证明“QP”血山，从而以犷=4。=6,解直角三角形求得设==贝！］

BH=BD-DH=x-2^3,根据勾股定理得出网2+4斤=/无，列出关于》的方程，求得X的值，进而根据

cosZCBD=cosNClD列出黑=喂，进一步得出结果.

oCAU

【详解】(1)证明：,就=55,

,\ZBDC=-ZBOC,

2

ZACD+-ZBOC=90°,

2

：.ZACD+ZBDC=90°f

:・NCHD=90°,

：.AC1BD；

（2）证明：如图1,设4）,仍交于点G,

由（1）知，AC1BD,

•・•DF=DC,

FH=CH,

：.BF=BC,

/BFC=4CB,

'-"AB=ABf

/ADB=4BCF,

1,NBFC=4DB,

・；NBFC+NEFH=180。,

1,NFHD+NFGD=180。，

•・•Z.FHD=90°,

・•・NFGD=90°,

••・直径

AG=DG,

AB=BD•

（3）解：如图2,作于忆

图2

••・4期=90。，

ZAHW+ZDAH=90°,

由（1）知，NAHD=90°,

.t.ZABD+ZHAW=90°f

/AHW=NADB,

由(2)知，AB=BD,

/BAD=ZADB,

:"BAD=ZAHW,

-PQVAD,

.•.N4。尸=90°,

,-.ZAQP=ZAWH,

•：AP=AH,

AAQP^AHWA(AAS),

：.HW=AQ=6,

.,.DW=y/DH2-HW2=J(2屈了-62=4,

DWDH

vcosZADH=-----=,

DHAD

4_2V13

：.AD=13,

•••AH=ylAD2-DH2=3V13，

设43=3。=%,贝！=。〃=X-2而,

•：ZAHB=90°,

222

BH+AH=ABf

13V13

:.BH=^l-2屈=巫,

44

CD=CD,

NCBD=NCAD,

cosZCBD=cosZCAD,

.BH_AH

•••/一而，

5A/13

・•.3屈,

BC~13

・•.BC*.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等

腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

5.(1)见详解

⑵然

【分析】(1)根据/C为。。直径，与BC相切于点C,可推出4CB=90。，由OF=OC,4=30。，可得

ZF=ZOCF=30°,进而得"C3=NOC尸+4CB=120。，NCB尸=/尸=30。，根据“等角对等边”即可得结论；

（2）连接Z尸，DE,CE,证明△COE是等边三角形，由RM60C中，/FBC=30。,得OC=；O5,OE=2=CE=OC,

EF=AC=OB=4,AF=2,用勾股定理求出5c=Og2_"2=26,AB=AC2+BC2=42+（2A/3）2=25/7,再证明△OBEs△尸切,

由普=桨及前面所求各线段的长即可求解.

DADr

【详解】（1）证明：・•・"为G）。直径，与BC相切于点C,

:.ACA_BCfZACB=90°f

'：OF=OC,ZF=30°,

/.NF=ZOCF=30°,

:.NFCB=NOCF+NACB=120°,

/.NCBF=ZF=30°,

/.CB=CF-

（2）解：连接的，DE,CE,

NCFB=30。，

/COE=ZAOF=60°,

AF=CE,

•••OC=OE,

..△COE是等边三角形，

RUBOC中,NFBC=30°,OC=；OB,

BE=2,

OE=2=CE=OC,EF=AC=OB=4,AF=2,

BC=OB2-OC2=2yfi,

AB=AC2+BC2=42+（2V3）2=277,

ZAFB+ZADE=ZADE+ZBDE=180°,

ZBDE=ZAFB,

•;NDBE=/FBA,

:ADBES^FBA,

,BE_BD叩2-AD

•・位—而，即命—2+4，

.mSA/7

..AD=.

7

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理、圆心角

定理、圆内接四边形对角互补等性质；熟知相关知识点，准确作出辅助线是正确解答此题的关键.

6.(1)详见解析

(2)①3；②TT

【分析】(1)连接。C,根据垂径定理得到。。工如，根据平行线的性质得到。CLCE,根据切线的判定定理得到

结论.

(2)①连接BC,根据平行四边形的性质得到BE=CD,求得BC=C£>,得到NE=4CE,根据等腰三角形的性质

得到结论；

②由①知，-EC。是等边三角形，求得ZBOC=60。，根据弧长公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接。J

,・・。为丽的中点，

••BC=CD,

：.OCLBD,

CE//BD,

：.OCVCE,

••,oc是半圆。的半径，

・・・CE是。。的切线.

(2)解：①连接叱，如图;

vCE//BD,CD//AB,

・•・四边形HQCE是平行四边形,

;.BE=CD,

••,c为丽的中点，

-,-BC=CD,

:.BC=CD,

:.BC=BE,

NE=/BCE,

VZ.OCE=90°,

NE+/COE=ZECB+NOCB=90°,

:,NCOB=NOCB,

BC=OB,

.-.BC=OB=BE=3；

②由①知，BC=OB,

VOC=OB,

OB=OC=BC,

aBCO是等边二角形,

ZBOC=60°,且BO=3,

的长=5?的长=6°；、3=".

故答案为：兀.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，弧长的计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的

判定与性质，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

7.(1)见解析

【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等：

(1)连接。C,根据圆周角定理可得4CE=90。，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得NOCN=90。，再根据

切线的判定定理可得结论；

(2)过点。作OF_L4E于尸，连接OE,根据已知和第(1)小题可得=由题意求得9=①=数，可

得404=60。，进而判定△/OE是等边三角形，求出Z4OE的度数，利用稀脾=可求出答案.

【详解】(1)证明：连接。C,

”是。。的直径,

T'N

ZACB=90°,

DOCB+E)OCA=90°,

,/OC=OA=OBf

：.ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

ZACN=/ABC,

ZACN+ZOCA=90°,艮|]ZOCN=90°,

OCVMN,

；OC是0。的半径，

;直线MV是。。的切线；

(2)解：过点。作0F_L4E于F,连接。E,

M

：.4CW+NGW=90。，

由（1）得4CN+NOC4=90。,

NCAD=/OCA,

•/NCAO=ZOCA,

NCAD=/CAB,

.,・虎=8,

・・・点E为府的中点，

•*,AE=CE，

••AE=CE=BCf

ZAOE=ZCOE=ZBOC=-xl80°=60°,

3，

•••OA=OE=3,

••△4。£是等边三角形，

•••OF1AEf

13

/.AF=-AE=-

22't

OF=ylOA2-AF2=|V3,

.c_cc_60-7T-3213/r39rr

-S„=SmAOE-S^OE=-1^--x-^3=-^-^3.

8.(1)见解析

(2)①NDCB=30。，②竽

【分析】(1)根据菱形的性质得C0="»,结合平行线的性质得ND+NDCO=180。，因为8是菱形CMBC的边”上

的高，得目。=90。，即NDCO=90。，即可作答.

(2)①根据四边形。/BC为菱形，得BC=OC,证明△OBC为等边三角形.再结合NDCO=90。，得ZDCB=30。，即可

作答.

②结合△OBC是等边三角形，得ZBOC=60。，BC=OC=6.根据勾股定理得，求出&皿=3班"8=券，

因为4OB=NBOC=60。，得醺物产品阚.即可作答.

【详解】(1)证明：、•四边形。4BC是菱形,

：.CO=AO.

••・点。在。。上，即。。是半径.

•・•AB//OC,

.•.ZD+ZDCO=1SO0.

CD是菱形OABC的边/B上的高,

.-.D£>=90°.

・,.NDCO=90。,

即OC1DC.

•••c。是半径，

.•.CD是。。的切线.

(2)解：如图，连接。B.

①•・•点B在。。上，

:.OB=0A=OC.

•・・四边形35。为菱形，

：.BC=OC.

：.BC=OC=OB,

.•・△O3C为等边三角形.

:.ZBCO=60°.

又NDCO=90。,

ZDCB=30°.

②•••△OBC是等边三角形，

ZBOC=60°,BC=OC=6.

在RtAPBC中，DZ)=90°,ZDCB=30°,

：.BD=3,CZ)=762-32=373,

•••S△血=；xB0xO)=；x3x3G=券.

-.-ZAOB=ZBOC=60°,

=

S&AOBSABOC,S扇形HOB=S扇形BOC,

§弓形=§弓形BC•

S阴影=S^DBC~~~~•

【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质与判定，等边三角形的判定与性质，不规则图形的面积，勾股

定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

9.(1)1,亚

(2)1.25

一、2657c3

⑶而北

【分析】此题主要考查了正多边形和圆，内心的性质，扇形面积公式.

(1)由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度；

(2)连接P。并延长，交于点E,连接。C.设。。的半径为r,在RdOEC中，由勾股定理列式计算即可求解

(3)先求得NBOCN106。，再利用扇形面积公式即可求解.

【详解】(1)解：如图，过点。作。于点艮

4K-----------------KD

•••正方形的边长为2,

BC=2fOB=OC,ZBOC=90°f

：.BE=CE=\,

.・.OE=BE=CE=\,

•,•(?B=(?C=V12+12=V2,

即外接圆半径为0,内切圆半径为1;

故答案为：1,血；

(2)解：如图，连接尸。并延长，交BC于点E,连接OC.

.•・40是O0的切线,

.-.OP1AD,

由正方形48C。可得

.-.OE1BCf

,:BC=2,

：.EC=EB=\,

设。。的半径为〃，则叁=2",

在RtZXOEC中，有0。2=。1+金，

.-.r2=(2-r)2+l,

解得〃=1.25；

(3)解:由(2)知，=L25,

.•.OE=0.75,

•・•cosNCOE=0.75+1.25=0.6,

/COEx53°,

连接

/BOC»106°,

10611x(9]

4_UJ2x0.75_265H3.

Q阴影-13扇形Boc-MBOC一记°2-576.4

10.(1)OE=OF,见解析；(2)见解析

【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定.

(1)证明"OB%CO£>(SSS),根据OE_L4B于点E,。9_18于点尸，即可证明；

(2)过点。分别作。ONLCD,垂足分别为M,N.同理(1)即可得出结论.

【详解】解：(1)OE=OF.理由如下：

在V4OB和△CW中，

-：AO=BO=CO=DO,AB=CD

:.^AOB^COD(SSS).

又•••OELAB于点、E,OF_LS于点F,即。E,。尸分别是“。B/C。。边/B,CD上的高,

OE=OF.

(2)证明：如图，过点。分别作。ONLCD,垂足分别为M,N.

同理可得：ON=OM,

OMVAB,ONLCD,

，EO为N/ED的平分线.

11.(1)见解析

⑵取

【分析】(1)先由圆周角定理得2EB=90。，再结合菱形的性质证明△4BEMaCBF(SAS),贝！]4BF=NCF8=90。，又

因为4B是。。的直径，故B尸是O。的切线.

(2)先设CD=BC=X,再得CF=CD-OF=x-l,运用勾股定理列式+0尸=B0,代入数值计算，得x=5,再结

合4D〃BC,得NEBC=〃EB=90。，则CE=办炉+BC：=取,即可作答.

【详解】(1)证明：如图，连接班.

:.ZAEB=90°.

:四边形/BC。是菱形，

AD=CD=AB=BC,ZA=ZBCD.

DE=DF

:.AE=CF.

在△力m和VC职中，

AB=BC

■ZA=ZBCF

AE=CF

.•.△4助包。3尸(SAS),

/.ZAEB=NCFB=90°.

•••AB||CD,

ZABF=Z.CFB=90°.

又•.•ZB是OO的直径，

・••8厂是OO的切线.

(2)解：设CZ)=5C=%,

•;DE=1

:.DF=\,CF=CD-DF=x-\.

由(1)可知/CFB=90°,△ABEqKBF,

BE=BF=3,

在Rt-BCF中，由勾股定理得，BF2+CF2=BC2,

即32+(X-1)2=X2,

解得x=5,

BC=5.

AD||BC,

ZEBC=ZAEB=90°,

:.CE=』BE。+BC"=V32+52=734.

【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

正确掌握相关性质内容是解题的关键.

12.⑴见解析

(2)畀

【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理,

连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键.

(I)连接。。，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)根据圆周角定理得到4cB=90。，NADB=90。，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到

NACD=NBCD,求得〃）=9=竽，过点2作瓦US于点R根据等腰直角三角形的性质得到跖=CF=?根

据勾股定理得到。尸，于是得到结论.

【详解】（1）证明：连接。。，如图，

•••CD是，的平分线，

:"ACD=/BCD,

.-.ZAOD=ZBOD,

•・・”为。。的直径，

ZAOD=ZBOD=-xl80°=90°,

2，

ODVAB,

DE//AB,

:.0DIDE,

•.•8为OO的半径，

・•・加是。。的切线；

(2)解：连接”,助，

•・・”为。。的直径，

,-.ZACB=90°,ZADB=9Q°,

•.•AC=n,BC=5,

:.AB=y]AC2+BC2=13,

•••CD是//C8的平分线，

:.AACD=/BCD,

•'-AD=BD，

近130

/.AD=BD=—AB=^—f

22

过点5作mIC。于点尸，

•：BBCD=-DACB=45°.

2

5c

/.BF=CF=—BC=-41,

22

•••DF=\lDB2-BF2=6>/2,

.-.CD=CF+DF=-42+6y/2=—^2.

22

13.⑴见详解

(2)见详解

【分析】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解

直角三角形等知识.在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键.

(1)连接由切线的性质可知N8C=90。.证明28%。。C(SSS)得出NOBC=NODC=90。，即BCLC®,说明BC

是。。的切线；

(2)证明V4)OsV4BC得出怨=当，整理得O43/DXC；

ACAD

(3)利用三角函数比得出BC=?B,利用勾股定理得出/C="B,求出超=6,BC=8,再利用以"+以"=邑武进

而可求EO的长.

【详解】(1)证明：连接。D,

•.TC与。。相切于点D,

..AC1OD,

在W)和△DOC中，

OB=OD

■BC=DC,

oc=oc

..△BOD咨ADOC(SSS),

ZOBC=ZODC=90°f

QOB是。。的半径，且8CJLO8,

:EC是。。的切线；

(2)证明：vZADO=ZABC=90°fZA=ZA,

:.AADO^/\ABC,

.OAAD

'~AC~~AB"

:.OAAB=ADAC；

(3)解：-.—=tan^BAC=-

川十.AB3，9

4

...BC=-AB,

3，

AC=^JAB~+BC2=^AB2+AB^=*B.

vJC=10,

3

,c4

AB=6,BC=—x6=8,

3

•S^AOC+S^BOC=S4ABe9

:.-ACDO+-BCBO=-ABBC,

222

•/DO=BO=EO,

.*.-xl0£O+-x8£O=-x6x8,

222'

解得EO=|,

・“。的长是：

14.(l)30cm

(2)①36cm；②m旋转到4=30。时，切割锯不能将宽度为50cm的木板切断

【分析】(1)设。。半径为由三角函数得si®3解之即可；

r+2003—302

(2)①如图1,连接ON,由勾股定理得EN=JON2—OE2=i8(cm),由垂径定理得腔=加，最后根据MN=2EN,即

可求解；

②如图2,当即旋转到4=30。时，OB=OC+BC=206(