2025中考数学二轮复习：圆中的重要模型之四点共圆模型（原卷版）

专题1圆中的重要模型之四点共圆模型

四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共

圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点

共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四点

共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）

【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于

定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点0、A、B、C、D,使得。4=08=。。=。。，

结论：A、B、C、。四点共圆（其中圆心为O）。

例1.（2023春•广东梅州,九年级校考期中）如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边A2重合（45=6）,

其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从6处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP

与量角器的半圆弧交于点E,第20秒时点E在量角器上运动路径长是—.

例2.（2021•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=5，点。在AC上，且AD=2,

点E是AB上的动点，连结。E,点尸，G分别是BC,DE的中点，连接AG,FG,当AG=FG时，线段DE

长为（）

C

D.4

A•拒B・乎。・当

例3.（2023•江苏淮安•统考三模）如图，将矩形ABCD的边A3绕点A逆时针旋转得到AF,连接班过点

。作所的垂线，垂足E在线段BF上，连接CE.若AD=3,AF=y/3,则ZDEC的度数为°.

例4.（2021•湖北随州•统考中考真题）如图，在R^ABC中，ZACB=90°,。为AB的中点，平分NAOC

交AC于点G,OD=O4,3D分别与AC,OC交于点E,尸，连接AD,。，则要的值为；若废=<?尸，

模型2、定边对双直角共圆模型

同侧型异侧型

1）定边对双直角模型（同侧型）

条件：若平面上4B、C、。四个点满足NABD=NACD=90。,

结论：A、B、C、。四点共圆，其中为直径。

2）定边对双直角模型（异侧型）

条件：若平面上A、B、C、。四个点满足NABC=ZAT>C=90。,

结论：A,B、C,。四点共圆，其中AC为直径。

例1.（2021,湖北鄂州,统考中考真题）如图，四边形ABDC中，AC^BC,NACB=90。，AD/BD于点。.若

BD=2,CD=4日则线段A3的长为.

例2.（2022春・山东•九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线

相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

（1）如图1,SE是0ABe中0A的遥望角.①若0A=40。，直接写出SE的度数是；

②求回£与0A的数量关系，并说明理由.（2）如图2,四边形ABC。中，0ABe=0AOC=9O。，点E在2。的

延长线上，连"，若aBEC是0ABe中aBAC的遥望角，求证：DA=DE.

例3.（2022•湖北武汉•校考二模）如图，等腰RtEIABC中，0ACB=9O°,D为BC边上一点，连接AD.

（1）如图1,作BEEIAD延长线于E,连接CE,求证：回AEC=45°；

（2）如图2,P为AD上一点，且EIBPD=45。，连接CP.若AP=2,求回APC的面积；

例4.（2022秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,E是

AC的中点，F是BD的中点，若ABAC=15°,ZDAC=45。，CD=4,贝!JEF的长为（）

A.&B.2&C.2D.2#

模型3、定边对定角共圆模型

条件：如图1,平面上A、B、C、。四个点满足/4D3=NACB,结论：A、B、C,。四点共圆.

条件：如图2,AC,BD交于H,AHCH=BHDH,结论：AB、C、。四点共圆.

例1.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，在中，0BAC=90°,0ABe=40。，将AA3C绕A点顺时

针旋转得到△ADE,使D点落在BC边上.

（1）求SBA。的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆.

例2.（2023•浙江绍兴•九年级校联考期中）如图1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如图2,在底

边BC上取一点D,连结AD,使得回DACWACD.如图3,将回ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E

处，连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是（）

A

例3.（2022•江苏无锡•中考真题）AA8C是边长为5的等边三角形,△DCE是边长为3的等边三角形，直线

与直线AE交于点尸.如图，若点。在AABC内，SDBC=20。，贝崛8AF=。；现将△£）（7£绕点C

旋转1周，在这个旋转过程中，线段A尸长度的最小值是

例4.（2022•贵州遵义•统考中考真题）探究与实践："善思"小组开展"探究四点共圆的条件”活动，得出结论:

对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：如图L在线段AC同侧有两点D,连接AD,AB,BC,CD,如果=那么A,

B,C,。四点在同一个圆上.

图4

探究展示：如图2,作经过点A,C,。的。。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE

则NAEC+ND=180。（依据1）

•.•ZB=ND..ZAEC+/B=180°

.・•点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

:・点、B,。在点A,C,E所确定的。O上（依据2）

.,.点A,B,C,E四点在同一个圆上

⑴反思归纳：上述探究过程中的“依据1"、"依据2"分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）图3,在四边形ABCD中，Z1=Z2,Z3=45°,则N4的度数为.

⑶拓展探究:如图4,己知MBC是等腰三角形，AB=AC,点。在BC上（不与BC的中点重合）,连接AD.作

点C关于AD的对称点E,连接并延长交AD的延长线于尸，连接AE,DE.①求证：A,D,B,E

四点共圆；②若48=2应，AD-AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

模型4、对角互补共圆模型

条件：如图1,平面上A、B、C、。四个点满足/4BC+/4DC=180。，结论：A,B、C、。四点共圆.

条件：如图2,BA,8的延长线交于尸，PAPB=PDPC,结论：A、B、C,。四点共圆.

1.（2023・浙江,统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZC=45°,以A3为腰作等腰直角三角

形&a，顶点E恰好落在8边上，若AD=1,则CE的长是（）

例2.（2023・河南周口,校考三模）在AABC中，C4=CB,M是41BC外一动点，满足？OVW?CBM180?,

若NCMA=60。，MA=4,MB=2,则MD的长度为

c

例3.（2023•江苏•九年级假期作业）如图，AB1BC,AB=5,点E、F分别是线段A3、射线BC上的动

点，以为斜边向上作等腰RtaDEF,ID90?,连接AD,则AD的最小值为

例4.（2023・山东日照•统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出:

在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论.解决以下问题：

如图1,"WC中，AB=AC,ABAC=a（60°<a<180°）.点。是3c边上的一动点（点。不与3,C重

合），将线段AD绕点A顺时针旋转a到线段AE,连接BE.

图2备用图

（1）求证：A,E,B,。四点共圆；⑵如图2,当45=8时，。。是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是

。。的切线；（3）已知e=120。，BC=6,点M是边3C的中点，此时。尸是四边形AE&9的外接圆，直接写

出圆心P与点M距离的最小值.

课后专项训练

1.（2023秋•河北张家口•九年级校考期末）如图①，若BC是R3ABC和RtADBC的公共斜边，则A、B、

C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆如图②，AABC的三条高A。、BE、C尸相交于点区

则图②中〃四点共圆〃的组数为（）

6

2.（2023・安徽合肥•校考一模）如图，。是A3的中点，点8,C,。到点。的距离相等，连接AC,BD.下

列结论不一定成立的是（

C.ZABC+ZADC=1^0D.AC平分NB4D

3.（2023•江苏宿迁•九年级校考期末）如图，在RtA4BC中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,点P为平面

内一点，且NCP3=NA,过C作CQ，C尸交PB的延长线于点Q,则CQ的最大值为（）

1715

A.B.—D.罕

y4

4.（2023•北京海淀•九年级校考期中）如图，点O为线段的中点，点B,C,。到点。的距离相等，连

接AC,3。.请写出图中任意一组互补的角为和（不添加辅助线，不添加数字角标和

字母）

AOB

5.（2023,广东•二模）如图，点。为线段8C的中点，点AC、。到点。的距离相等，若/ABC=50。,则—ADC

的度数是____________

6.（2023•浙江金华•统考二模）如图，在AABC中，ZB=75°,ZC=45°,BC=6-2拒,尸是BC上一动点,

PE上AB于点、E,PDJ_AC于点。，则线段DE的最小值为（）

A.上B.1C.3百-3D.4拒-6

7.（2023・浙江•模拟预测）如图，R△ABC中，AB=AC=12^2,及△ADE中，AD=AE=6A/2,直线BO

与CE交于尸，当NEW）绕点A任意旋转的过程中，尸到直线A3距离的最大值是

8.（2023春•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，在“LBC中，点。为3C上一点，NADC=60。，点E

在线段AD上，ZBEC=120°,若BC=3^,AE=2«,则AC的最大值为.

E.

B

9.（2023•广东惠州•九年级校考阶段练习）如图，将AABC绕点A逆时针旋转90。，得到VADE,其中点8与

点。对应，点C与点E对应.（1）画出VADE.（2）直线8C与直线DE相交于点证明：A,C,F,E四

点共圆.

10.（2023•湖北九年级课时练习）如图1,中，AC=BC=4,0ACB=90°,过点C任作一条直线CD,

将线段3c沿直线C£）翻折得线段CE,直线AE交直线C。于点尺直线BE交直线于G点.

⑴小智同学通过思考推得当点E在上方时，0AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下

推理过程：

0AC=BC=EC,她、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，

00AEB=_0ACB,（填写数量关系）

aaAEB=°.

（2）如图2,连接BE求证A、B、F、C四点共圆；

⑶线段AE最大值为」若取8c的中点M,则线段的最小值为一

11.（2023春•重庆南岸•八年级校考期末）己知：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,以AD为斜边构

造等腰必连接BE.

图1图2

⑴如图1,若ND钻=60。，AD=4,求的面积.（2）如图2,延长OE交A3于点F,过点。作OG_LCD

于点G,过点C作CHLDF于点H,CH与。G交于点M,SLOM=BF.求证：AO=2插BE.

12.（2023春•湖北武汉•九年级校考阶段练习）问题提出如图1,点E为等腰AABC内一点，AB=AC,

ZBAC^a,将AE绕着点A逆时针旋转a得到AD,求证：AABE^ACD.

尝试应用如图2,点。为等腰Rt^ABC外一点，AB=AC,BDLCD,过点A的直线分别交OB的延长线

和CO的延长线于点MM,求证：S^+S^^AN-AM.

问题拓展如图3,AASC中，AS=AC,点。，E分别在边AC,BC上，ZBDA=ZBEA=60°,AE,BD

交于点”.若CE=a,AH=b,直接写出BE的长度（用含a,6的式子）.

13.（2023•江苏•九年级假期作业）综合与实践

“善思"小组开展"探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用

上述结论进行探究.

提出问题：如图1,在线段AC同侧有两点3,D,连接AD,AB,BC,CD,如果02=回。，那么A,B,C,

。四点在同一个圆上.

探究展示：如图2,作经过点A,C,。的回。，在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE,

贝lj0AEC+E]D=18O。（依据1）

005=0000A£C+0B=18O°

团点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

团点B,。在点A,C,E所确定的回。上（依据2）

团点A,B,C,。四点在同一个圆上

⑴上述探究过程中的“依据1"、"依据2"分别是指什么？

依据1：—;依据2：.

（2）如图3,在四边形A8CD中，01=02,03=45°,贝腼4的度数为.

拓展探究：⑶如图4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,点。在8C上（不与BC的中点重合），连接AD作

点C关于的对称点E,连接功并延长交的延长线于死连接AE,DE.①求证：A,。，8,E四

点共圆；②若AB=2应，AD・A尸的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由

14.（2022•江苏扬州•模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中

0DAB=45°,回。12=30。，点。为斜边AB的中点，连接交A8于点E.设AB=L

（1）求证：A、B、C、。四个点在以点。为圆心的同一个圆上；

（2）分别求BABC和的面积；（3）过点。作。flSBC交43于点R求。E：。尸的比值.

15.（2023•重庆九年级课时练习）如图，四边形ABC。内接于。。，对角线AC13。，垂足为E,CF±AB

于点F,直线CP与直线于点G.

（1）若点G在。。内，如图1,求证：G和。关于直线AC对称；

（2）连接AG,若AG=3C,且AG与。。相切，如图2,求—ABC的度数.

16.（2023•江苏•九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90。,求证：A、B、

C、。四点共圆.

小吉同学的作法如下：连结AC,取AC的中点。，连结。3、OD,请你帮助小吉补全余下的证明过程；

【问题解决】如图②，在正方形ABC。中，AB=2,点E是边8的中点，点尸是边BC上的一个动点，

连结AE,AF,作EP_LAF于点P.

（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线3。上时，线段”的长度为

（2）如图③，过点P分别作于点M,PNLBC于HN,连结MN,则MV的最小值为

图①

17.（2023春・江苏南京•九年级校联考阶段练习）在RtZXABC和RtADEF中，ZC=ZF=90°,ZB=ZE=30°,

AC=AF=6,用这两个直角三角形研究图形的变换.

【翻折】⑴如图1，将4