2025中考数学二轮复习：圆中的重要模型之圆幂定理模型（解析版）

专题3圆中的重要模型之圆幕定理模型

圆哥定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳CSteiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆幕定理的用法：可以利用圆幕定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆。中，弦AB与弦C。交于点E,点E在圆。内。

结论：ACAE-ABDEP—=_PEC?EDEB?EA。

EBED

例1.（2023・江苏无锡•校联考三模）如图，点A,C,D,8在。。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=4,

tanZCBD=1,则的长是.

【答案】872

【分析】如图，连接A3,设ABIC交于点E,根据题意可得A3是。。的直径，ZADB=90°,设AC=7〃,

证明根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出4瓦网）,根据Rt^ABC,勾股

定理求得加=4正，根据AD=AE+ED即可求解.

【详解】解：如图，连接设ADIC交于点E,

I3ZACB=9O。..AB是0。的直径，:.ZADB^9Q°,；tan/C3D=g,.,.器=；,

在RtADEB中，BE=y/DE2^DB2=^10DE

..CD=CD'/CBD=ZACD,「tanZCAD=；CE1

AC-3

12.•0=巫吟独L,

设AC=m则CE=—m,>/AC=BC,EB=—m,

331030

AE=y]AC2+CE2=

RtAACE中，

AD=AE+ED=^^-m+—m=

|-V10m,♦:DB=DB，,\ZECD=ZEAB^

303

1

m

CDCE31「

又/CED=NAEB,,•.△CED^AAEB益=瓦=迈=莉，.••8=4,；.AB=4师,

3

,/AC=BC=m,AB=-Jim，y[2m=4A/10,解得m=4百，

AD=|VWm=|A/10X4A/5=872,故答案为：872.

【点睛】本题考查了90。圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质

与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键.

例2.（2023•山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于回。，点。为AC上的动点（点A、C

除外），8。的延长线交回。于点E,连接CE.（1）求证△CEDsAa4o；⑵当PC=2AP时，求CE的长.

【答案】⑴见解析⑵

【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得NA=NE,再由对顶角相等得/瓦加=/。。£,故可证明绪论;

（2）根据8=24>可得">=2,。=4,由^（7即6454£）可得出8£）呼；=8,连接4£,可证明

△AB44EBA，得出4笈=8。郃E=BQ2+B0郃E,代入相关数据可求出2。=2近，从而可求出绪论.

【详解】(1)EIBC所对的圆周角是NAZE,0ZA=Z£，,又NBDA=NCDE,3/\CED^ABAD■,

(2)EBA8C是等边三角形，QAC=AB=BC=6

^\DC=2AD,[?]AC=3AD,BAD=2,DC=4,

AADBDAB2BD八八八厂

团ACED〜ABAD,团——=——=——，回——二——，团5。£）£=8o;

DECDCEDE4

连接4E,如图，0AB=BC,0AB=BC^S\BAC=ABEA,

y^\ABD=ZEBA,团团AB。〜AEA4,回一=一,

BEAB

SAB2=BDBE=BD-（BD+DE）=BD2+BDDE,

062=BZ）2+8,®BD=2币（负值舍去）0—=,解得，CE=—y/y

CE47

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

例3.（2023•江西宜春•统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突

然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等）,

⑵小刚又看到一道课后习题，如图2,AB是的弦，P是AB上一点，AB=10cm,m=4cm,OP=5cm,

求。。的半径.

O

B

图2

CP

【答案】（1）有两个角对应相等的两个三角形相似；—；（2）7cm

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长。尸交圆。于点延长P。交圆。于点E

设圆。的半径为rem,则尸尸=（5+r）cm,PL>=（r-5）cm,根据（1）中结论代入求解即可.

【详解】（1）连接AC,BD.EIZC=Z5,ZA=ZD.

团,（有两个角对应相等的两个三角形相似）

APCP

0—=—,^APBP=CPDP,团两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.

CP

故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；—;

Dr

（2）延长。尸交圆。于点。，延长尸。交圆。于点兄

设圆。的半径为rem,则尸尸=（5+厂）加，PZ）=（r-5）cm,

根据（1）中结论得APaP=_DPFP,即为4x（10—4）=（r+5）（r-5）,

解得：r=7或厂=-7（不符合题意，舍去），。。的半径为7cm.

【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交

弦定理是解题关键.

模型2.双割线模型

c

条件：如图，割线CH与弦C尸交圆。于点E和点G。

结论：ACEG-ACHFP—=—PEC?FCGC2HC

CHCF

例1.（2023•辽宁葫芦岛•一模）已知：如图，PAB,尸CO是回。的割线，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

则PD=cm.

例2.（2023・四川成都•九年级校考阶段练习）如图，AW为0。的割线，且上4=AB=3,P。交。。于点C,

若PC=2,则。O的半径的长为.

【答案】|7

【分析】延长尸。交圆于点连接AC、BD,由圆内接四边形内对角互补性质可得4+NACD=180。,

PApc

结合邻补角互补可得NACP=NB，继而证明APACSAPDB,由相似三角形对应边成比例解得而=再，

由此计算产。=9,最后根据线段的和差解题即可.

【详解】如图，延长尸。交圆于点。，连接AC、BD,

四边形ABDC为圆内接四边形，EZB+ZACZ）=180°.

0ZACD+ZACP=180°,BZACP=ZB,0ZP=ZP,^^PAC^APDB,

PAPC

回---=---，0PDx2=3x6>PD=9,

PDPB

77

^\CD+PC=PD,08=9—2=7,El半径为彳，故答案为：

【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

例3.（2022•河南洛阳•统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.当直线与圆有

两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如，割线定

理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理"证

明一"，请补充完整.

已知：如图①，过。。外一点尸作O。的两条割线，一条交。。于A、8点，另一条交O。于C、D点、.

求证：PAPB=PCPD.

证明一：连接AD、BC,

团—A和NC为8。所对的圆周角，0.

X0ZP=ZP,0,0.

即PAPB=PCPD.

研究后发现，如图②，如果连接AC、BD,即可得到学习过的圆内接四边形ABDC.那么或许割线定理也

可以用圆内接四边形的性质来证明.请根据提示，独立完成证明二.

证明二：连接AC、BD,

Apr）p

【答案】证明一：ZA=ZC,AADPBIACBP,——=—；证明二见解析

CPBP

【分析】（1）证明△ADP回ACBP即可得到结论；

（2）根据圆内接四边形的性质可得=进一步证明

【详解】解:证明一：连接AD、BC,

团,A和/C为3。所对的圆周角，0ZA=ZC.

APDP

又回NP=/P,HAADPHACBP,0—=—.EPPAPB=PC-PD.

-CPBP

APDP

故答案为：ZA=ZC,AAD尸回ACBP,

~CP~1BP

证明二：连接AC、BD,

回四边形ABDC为圆内接四边形，HZABD+ZACD=180°,

又IBZABD+ZPBD=180°,0NPBD=ZACD,

APCP

又®NP=ZP,EAACP0AZ）BP,0—=——，HPPAPB=PCPD.

DPBP

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

模型3.切割线模型

条件：如图，C8是圆。的切线，CA是圆。的割线。

结论：ACBD〜ACAB①—=—I>CB2=CD2CA

CACB

例:1.（2023•江苏南通•中考模拟）如图，已知上4是0。的切线，A为切点，PC与相交于c两点,

PB=2cm,5C=8cm,则上4的长等于（）

A.4cmB.16cmC.20cmD.2如cm

【答案】D

【分析】根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得出的长

【详解】解：回P3=2cm,5C=8cm,0PC=lOcm,

0PA2=PB«PC=2O,E1PA=2如，故选。.

【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质是解决本题的关键.

例2.（2023,河南郑州•一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把

这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.

割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.

切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.

阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面

几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.其中第三卷命题36-2圆幕定

理（切割线定理）内容如下：

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整,

并写出证明过程.

己知：如图，A是回。外一点，.

求证：.

【答案】是回。的切线，直线AC。为回。的割线，AB2=AC»AD,见解析

【分析】按照题设要求，写出"已知"和"求证"，然后证明EABOfflADB,即可求解.

【详解】解：（已知：如图，A是国。外一点，）是回。的切线，直线为回。的割线.

求证：AB2=AC»AD.

故答案为：A2是回。的切线，直线ACD为回。的割线，AB2^AC»AD,

证明：连接8D,连接80并延长交回。于点E,连接CE,

A

0AB是回。的切线，0EL4BC+fflCBE=9Oo,EIBE是圆的直径，0EIBCE=90°=SE+SCBE,

EBABC=EIE,而EIE=EICDB,0EL4BC=0B£>C,

A5AC

^EBAC^DAB,EEL4BC13EADB,0一=一，SiAB2=AC»AD.

ADAB

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键.

例3.（2022•河南驻马店,校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想,

特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》,

这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，

被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书.其中第三卷命题36-2圆幕定理（切割线定理）

内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例

中项.（比例中项的定义：如果。、b、c三个量成连比例即a:方=8:c,则〃叫做。和c的比例中项）

⑴为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，

并写出证明过程.已知：如图，A是圆。外一点，A8是圆。的切线，直线ACD为圆。的割线.

求证:

证明：

（2）已知AC=2,CD=4,则A3的长度是.

【答案】（l）Ag2=AC.AO,证明见解析⑵

【分析】（］）根据比例中项的定义写出“求证"，连接3。并延长交。。于点E,连接BC,B£>,CE,先根据

圆的切线的性质可得BELAB,再根据圆周角定理可得NBCE=90°,ZE=ZADB,从而可得？ABC?ADB,

然后根据相似三角形的判定证出^ABC~AADB，根据相似三角形的性质即可得证;

（2）先根据线段和差求出AD=6,再根据（1）的结论即可得.

【详解】（1）求证：AB2=ACAD.

证明：如图，连接3。并延长交。。于点E,连接BC,BD,CE,

■.•AB是O。的切线，:.BE±AB,:.ZABC+ZEBC=90°,

由圆周角定理得：ZBCE=90°,ZE=ZADB,

:.ZADB+NEBC=NE+ZEBC=90°,:.ZABC=ZADB,

ZABC=ZADB

在AABC和AADB中,

ABAC=NDAB

A5AC

/.△ABC~^ADB,——=——,AB2=AC-AD.

ADAB

(2)解：vAC=2,CD=4,二.AD=AC+CD—6,

由(1)已证：AB2=ACAD,/.AB2=2x6=12,

解得=26或=百＜0（不符题意，舍去），故答案为：2G.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质

和圆周角定理是解题关键.

模型4.弦切角模型

A

D

条件：如图，CB是圆。的切线，48是圆。的直径。

结论：1）KBDfCABb—=—PCB?=CD?CA；

CACB

21

2）ACBDfBADt*—=—PBD=AD2CD；3）ABAD~AC4BP—=—PBA=AD?AC

ADBDCABA°

例L（2023•河南三门峡♦统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课

本上没有的与圆相关的角一弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫

做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质.

（1）如图，直线A2与回。相切于C点，D,E为回。上不同于C的两点，连接CE,DE,CO.请你写出

图中的两个弦切角;（不添加新的字母和线段）

（2）小锐目测NOCB和/DEC可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方

法证明结论的正确性吗？

己知：如图，直线A3与回。相切于C点，D,E为圆上不同于C的两点，连接CE,DE,CD.

求证：ZDCB=ZDEC.（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理.

【答案】（1）NDCB,NECB,NDCA,ZECA（任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于它所

夹的弧所对的圆周角

【分析】（1）根据弦切角的定义加以识别即可；（2）过点C作直径CE连接。孔借助于同弧所对的圆周

角相等，将SDEC转化为团尸，所以只需证SDCB=aF即可.（3）由题意可归纳：弦切角等于它所夹的弧所对

的圆周角.

【详解】解：（1）弦C。、CE分别与切线CB构成的弦切角为：SDC8,0ECB；

弦C。、CE分别与切线C4构成的弦切角为：EDC4,SECA.

故答案为：NDCB,/ECB,NDCA,ZECA（任意写2个即可）

（2）证明：过C作直径CP,连接。尸.

EICP是。。直径，EZFZ)C=90°.0ZF+ZFCD=90°.

又E1AB与。。相切于点C,SFC±AB.EZFCD+ZDCS=90°.SZDCB=ZF.

,：CD=CD,旦/F=/CED.RNDCB=NCED.

（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理及推论、直角三角形的两锐角互余等知识点，熟知上述

图形的相关性质是解题的基础，对新定义的理解及问题的概括能力是关键.

例2.（2023•河南洛阳•统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出

圆的概念："圆，一中同长也."意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学

家欧几里得给圆下的定义要早100多年.与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我们把顶点

在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对

的圆周角度数.

（1）如图1,A3是。。的切线.点C,。在。。上.求证：/ADC=/C钻；（2）如图2,CE是。。的切线.连

接AE交。。于点。，A3为。。的直径.若BC=2,。。的半径为5,求。E的长.

【答案】⑴详见解析（2）。£=；

【分析】（1）连接AO,并延长交。。于点连接CM,先证明NCM4=NC4B,再根据同弧或等弧所对

的圆周角相等得出NAT>C=NCM4,即可证明NADC=/C4B；（2）连接AC,CD,证明/54C=NC4E,

得出3C=CD=2,证明△DCEs△朋。，得出%=C2,即匹=2,求出结果即可.

BCAB210

【详解】（1）证明：如图，连接AO,并延长交于点连接CM,如图所示：

团AM是OO的直径，0ZACM=90°,0ZCM4+ZA^4C=9O°,

团A3是。。的切线，回NM4S=90。，团NM4C+NC4B=90。，^\ZCMA=ZCABf

团AC=AC，DC=NCMA,^\ZADC=ZCAB.

（2）解：连接AC,CD,如图所示：

回A3是。。的直径，回NAC3=90。，回N3+NB4C=90。，团CE是的切线，回NOCE=90。，

团CELAD,⑦ZAEC=ZACB=9。。,团ZACE+NC4E=90。，

与（1）同理可得，ZACE=NB,ZDCE=ZCAE,^ABAC=Z.CAE,0BC=CD=2,

DECD

⑦/DCE=/BAC,ZACB=ZCED=90°EADCE^A^AC,0—=一,

fBCAB

DE22

0AB=1O,BC=CD=2,E-=——，SDE=~.

2105

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，切线的性质定理，直径所对的圆周角为

直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质定理.

例3.（2023・四川绵阳•九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切

⑴古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5

个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明.第三卷中命题32一弦切角定

理的内容是:"弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数.”

如下给出了弦切角定理不完整的"已知"和"求证"，请补充完整，并写出"证明”过程.

已知：如图2,AC为。O的切线，点A为切点，为0。内一条弦，点。在。。上，连接OB,BD,

AD.求证：ABAC=ABDA.证明：

（2）如图3,A3为。。的切线，A为切点，点C是。。上一动点，过点C作CDLAB于点8交。。于E,

连接OE,OC,AE.若AD=10,AE=2岳,求弦CE的长.

【答案】（1）见解析（2）21

【分析】（1）如图2,延长AD交。。于E,连接BE,根据圆周角定理得到ZABE=90P,求得NE+NBAE=90。，

根据切线的性质得到/C4E=90。，求得NC4B+Z&4E=90。，于是得到结论；（2）如图3,连接AC,根据勾

股定理得到DE={AE。一ALP=4,据切线的性质得至UZZME=ZDG4,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）解：求证：ZCAB=-ZAOB=ZADB,

2

证明：如图2,延长AD交于E,连接BE,

•.•AE是。。的直径，：.ZABE=90°,:.ZE+ZBAE=90°,

•.,AC为。。的切线，:.ZCAE=9Q°,:.ZCAB+ZBAE=90°,

：.ZCAB=ZE,:.ZD=ZE=^ZAOB,ZCAB=|ZAOB=ZADB；即/&1C=N3Q4；

(2)如图3,连接AC,-.-CD±AB,:.ZADE=90°,-.DE=ylAE2-AD2=4-

•••AB为。。的切线，：.ZDAE=ZDCA,•ZADE=ZCDA,:./^DE^Z\CDA,

,ADDE.104〃一

••=,••-------=—,CE=21.

CDDA4+CE10

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线

是解题的关键.

模型5.托勒密定理模型

条件：如图，AB.CD是圆。的两条弦；结论：AB?CDAD2BCAC2BD

例1.（2023•山西晋中•九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（尸加囱利）（公元90年〜

公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为"伟大的数学书”，托勒密有时把

它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形ABCD内接于求证：ABCD+BCAD=ACBD

图1图2

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作=交BD于点E.

0A£>-AD^^BE=ZACD（依据1）

A5BE

HAABE^AACD（依据2）0——=——^\ABCD=ACBE

ACCD

团AB=AB0ZACB-ZADE

0ZBAE=ZCAD0ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC

即ABAC=ZEAD0Z\ABC^Z\AED

SADBC=AC-EDSABCD+AD-BC=AC（BE+ED）

SABCD+ADBC=ACBD

任务：（1）上述证明过程中的"依据1""依据2"分别是指什么？

依据1：,依据2：.

3

（2）如图3,四边形ABCD内接于OO,AC为G>O的直径，AD=5,tan/AC5=凌，点。为AC的中点,

图3

【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2）BD=1

【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题.

（2）首先证明AC=5收，由托勒密定理，构建方程求出3D即可.

【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1"是同弧所对的圆周角相等.

"依据2"是两角对应相等的两个三角形相似.

故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似.

（2）团AC为的直径，SZABC=ZADC=90°,

国点。为AC的中点，AD=CD>0CD=AD=5,0在中，AC=^AD2+CD2=572

3

Eltan/AC3=—0在Rt^ABC中，AB=30,BC=4应

4

AB-CD+AD-BC=AC-BD^3y/2x5+5x4^f2=5^/2-BD回3D=7

【点睛】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数,

托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题.

例2.（2023•江苏盐城•九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角一.

如图①，四边形ABC。是。。的内接四边形，若AB=3£>,ZABZ）=40。，则N3CD=_。.

【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？

如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB-CD+BC-DA=AOBD

证明：如图③，作44E=/C4D,交BD于点E.

0ZBAE=ZCAD,ZABD=ZACD,^\ABE^\ACD,

回若=然即=（请按他们的思路继续完成证明）

AC

【应用迁移】如图④，已知等边AABC外接圆O。，点P为8C上一点，且=PC=1,求R4的长.

【答案】【旧知再现】互补，110；【问题创新】见解析；【应用迁移】24=百+1

【分析】【重温旧知】根据圆周角定理，得出44BC=；NAOC,乙M）C=；优角/AOC,化简得出

ZABC+ZADC=180°,利用等腰三角形的两个底角相等和圆内接四边形对角互补，即可得/BCD=110。；

【提出问题】所得等式两边加上AD・BC,右边变形后即可得证；

【应用迁移】由上题的结论，根据AABC为等边三角形，可得AB=AC=BC,代入化简即可求出PA的长.

【详解】（1）如图示：

连接OA,0C,根据圆周角定理，则有：ZABC^-ZAOC,44"：=—优角乙40。

22

El/ABC+/ADC=—/AOC+—优角/AOC=—x360。=180。团圆内接四边形的对角互补;

222

^\AB=BD,ZABD=40°,回在等腰三角形ABD中，NBAD=>。=、即=加-40。=7()„

22

团ZBCD=1800-ABAD=180°-70°=110°

(2)证明：如图，SZBAE=ZCADSZBAE+ZCAE=ZCAD+ZCAE,即NBAC=NZME,

Af1

X07ACB?ADB,ElAABCsAA团团—=一,即AZ>BC=AODE

DEAD

SAB'CD+AD'BC=AC>BE+AC-DE,^\AB-CD+BC'DA=AC-BD,

（3）由（2）可知尸=mAABC是等边三角形，SAB=AC=BC,

0（PB+PC）fiC=PABC,0PB+PC=PA即PA=V^+1.

【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的

判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键.

课后专项训练

1.（2023山东九年级课时练习）如图与圆。相切于A,。是圆。内一点，OB与圆相交于C.已知8c

=OC=3,OD=2,A8=6,则圆的半径为.

【答案】V22

2

［分析］连接BC并延长，交圆于尸，过。作。瓦即，连接AC,OA,AF,证明AABC^AFBA,则可得AB

=BC・BF,进而求得OD=2,勾股定理求解即可.

2

【详解】解：连接BC并延长，交圆于尸，过。作。£08尸，连接AC,Q4,A尸

SBA是圆。的切线，切点为A,

:.ZOAB=90。ZOAC+ZCAB=90°AC=AC'-ZAOC=|ZAFC

在AAOC中，OA=OCZAOC+2ZOAC=180°

则2NAFC+2/OAC=180°/.ZAFC+ZOAC=90°/.ZAFC=ZCAB

AnBC

又/R-/R:AABCS八FBA=AB2=BC・BF,

FBAB

3

团3c=OC=3,AB=6,团5尸=12,CF=9,BDE=-,OD=2,

2

EIOE=JOLP—DE?=/-£="，C£=|>

EIOC=NOE^+CE?=+1=后.故答案为：伍.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，证明是解题关键.

2.（2022秋,浙江宁波,九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于B、

C两点，且图中圆环的面积为44，贝l]Afi.AC=

【答案】4

【分析】设圆心为。，作A。与小圆相切，切点为M,与大圆交于点D,连接OM,根据勾股定理及题意得

出41〃=%过点。作ON，AC,连接。3,继续利用勾股定理进行等量代换得出。A?一AC.A8,

即可求解.

【详解】解：设圆心为。，作AD与小圆相切，切点为M,与大圆交于点。，连接OM,如图所示：

0OMIAD,SAM2=0^-OM2,

团万。42-万。河2=4不，13AM2=4，过点。作ON_LAC,连接。B,

SON2=O^-AN2,ON2=OB2-BN2,

0o^-AN2=OB2-BN2,即CM?—OB2=AN2-BN2=（AN+BN）（AN-BN）=AC-AB,

ra（9A2-OB2=O^-OM2=AM2=4,BAB-AC=4,故答案为：4.

【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，切线的性质，垂径定理等，理解题意，作出辅助线是解题关键.

4.（2023•重庆九年级期末）如图，从圆外一点P引圆的切线R4,点A为切点，割线PD3交。。于点。、B.已

,QQAP

【分析】根据切割线定理，可求PB=18,再根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方

可求SMBP：SADAP=PB2：PA2=9：4.

【详解】由切割线定理可得PA2=PDXPB,

0PA=12,PD=80PB=18.由弦切角和公共角易知AABP回ADAP.

0SAABP：SADAP=PB2：PA2=9：4.故答案为9：4

【点睛】本题应用了切割线定理和相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方.

4.（2023,浙江杭州•模拟预测）如图，过点尸引圆的两条割线上和PCD,分别交圆于点和C,。，连

PAprPAPCPAPD

结AC,皿，则在下列各比例式中，①M=:；②霁=霁；③筌=黑，成立的有（把

rD1DrLJrD/iC-DU

你认为成立的比例式的序号都填上）.

【答案］②③

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法得到，EPAD00PCB,根据相似三角形的对应边的比相等从而可得

到答案.

【详解】解：回四边形ABCD是圆内接四边形,

00PAD=EIPCB,0PDA=0PBC,00PAD00PCB,

PAPDADPAPC“口PAPC丁T.

团--------------团-①二7二二77错快；②二二77正确;

PCPBBCPBPDPDPB

③连接AC,BD,团团P二团P,回PBD二团PCA,团团PAC团团PDB,

团PA=AC团PAP诉D，丁正山确；故答-案d为：g②g③.

rLJDLJACJDJLX

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，注意到题目中的相似三角形是

解决本题的关键.

5.（2023•浙江绍兴•模拟预测）四边形ABDC内接于圆，对角线交点为E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

都是整数，则BE的值为.

【答案】3或4

【分析】证明ElABDEnAEB,求出AD,从而得到DE,再证明ElAECEHBED,得到BE-CE=12,根据BE,CE都是

整数可得所有可能的取值，再根据三角形三边关系可得BE,CE都是整数，从而得到DE的取值.

【详解】解：0AB=AC=4,AE=2,0EIADB=0ADC,

团团ABC二团ADC,团团ADB二团ABC,又回BAD二团BAE,团团ABD回回AEB,

ABAry4An

0一二一,gp-=一,mAD=8,回DE=6,

AEAB24

团团CAE二团DBE,团ACE二团BDE,团团AECRH1BED,

噎Ar噬rp，即?而人CF配Eg2,回BE,CE都是整数,

则BE和CE可取的值为3,4或2,6或1,12；

0AB=AC=4,0BC<AB+AC=8,0BC=3+4=7,

国BE的值为3或4,故答案为：3或4.

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及三角形三边关系，解题的关键是找出适

当的相似三角形得到线段关系.

6.（2023广东珠海•统考一模）如图，O。为正AABC的外接圆，P为劣弧8C上任一点，CP的延长线和A3

的延长线交于点。.（1）求一3尸C;⑵求证：AC2=CPCD.

【答案】（1）120。（2）见解析

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补和为正三角形即可求出；（2）证明NPCB~A/BCD即可求出.

【详解】(1)解：；44BC为正三角形，，/A=60。.

•••四边形ABPC为圆内接四边形，IBZBPC=180°-ZA=120°；

(2)证明：由(1)知，ZBPC=120°,0ZDBC=180°-ZABC=120°,

CpCB

又0NPCB=/BCD,国APCB”/BCD.0—=—贝UC3?=CPCD

CBCD

又I3CB=AC,0AC2=CPCD.

【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，涉及到等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运

用这些知识是关键.

7.（2023•广东汕头•校考一模）如图，A3是。。的直径，点C,。在。。上，AD平分，C45,过点。作AC

的垂线交AC的延长线于点E,交A3的延长线于点F连接3D.

(1)求证：EF是0。的切线；(2)求证：AB\AB-AE)=AC-BF(3)^AB=10,AC=6,求的长.

【答案】⑴见解析⑵见解析(3)46

【分析】(1)连接0D,由题可知，D已经是圆上一点，欲证即为切线，只需证明/。。尸=90。即可；

(2)连接CO.由(1)知Nf!汨+NO/汨=90。，为0。的直径，由AFBD〜AZXN得整=黑，又

AEAD

△4£0~4">3,所以工=-7^,所以A02=4.A,因为452=42+32,所以42=4E.4+402尸,

ADAB£60£)88

即可证明A£)=ACM；

(3)连接BC,根据勾股定理求出8C,进而根据三角形的中位线定理可得OH的长，从而得的长.

【详解】(1)如图，连接OD.

EIAD平分/C4B,0ZO4D=Z£AD,0OD=OA,^ZODA^ZOAD,

SZODA=ZEAD,QOD//AE,SZODF=ZE,

ElA£f_LEF,l3ZF=90°,[a?OD/:'90?,团半径。DJLEF,回EF是。。的切线;

(2)如图，连接。.E?ODF90?,0ZFDB+AODB=90°,

ElAB为。。的直径，EZADB=90°,0ZZMB+ZDBA=9O°,

^OD=OB,QZOBD=ZODB,13ZFDB=ADAB,0ABAD=ACADElZFDB=ZCAD,

BDBF

回4B、C、。四点共圆，SiZFBD^ZDCA,SAFBD-ADCA,0—=—,

ACCD

^ZCAD=ZDAB,SBD=CD,^BD2=ACBF,

AEAD

⑦/FAD=/DAR,ZE=ZADB=90°,0AAED^ADB,[?]——=—,^AD2=AEAB^

ADAB

在RMAD5中，AB2=AD2+BD\^\AB2=AEAB+ACBF,^AB\AB-AE)=ACBF.

（3）如图，连接BC,交。。于点H.自A3是。。的直径，BZACB=90°,

I3AB=1O,AC=6,0BC=>]AB2-AC2=V102-62=8-

0CD=BD,0ODJ_BC,0CH=BH=—BC=—x8=4,0OA=OB,0OH=—AC=3,

222

0AB=1O,0O£>=OB=5,0DH=OD-OH=5-3=2,

BlBD2=DH2+BH2=22+42=20,51AD2=AB2-BD2=102-20=80,回A£）=厢=4指.

【点睛】本题考查了切线的判定，掌握三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等

知识点是解题的关键.

8.（2023•云南昆明•统考一模）如图，尸是以。为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大圆

。交于A、B、C、。四个点，其中一条直线交小圆。于尸点，尸为线段8的中点，ZP=ZADP,CE±PA,

垂足为E.（1）求证：尸。为小圆。的切线；（2）若差=[,钻=10,求大圆。的半径.

CE3

【分析】（1）连接OC,OF,由OC=OE>,尸是。中点，依据等腰三角形三线合一可得（用，尸D,结合OF

是小圆。的半径，即可证得PD是小圆。的切线；（2）连接AC,BD,由若=:设他=2x,CE=3x,结

CE3

PC1

合题NB=NACD=90。，即AC_LPD,再由三线合一可得尸C=OC即——=—,易证△尸EC〜△PBD得

PD2

PECEPC1

——=——=——=-,即可求得尸£=3£=2x+10、BD=2CE=6x,及B4、DA,在中由

"2+即2=短2即可求得工的值，从而求得即大圆。的半径・

【详解】（]）连接OC,OF,EOC=OD,