2025中考数学热点必刷题：圆综合选填压轴40题（5类题型40题）原卷版+解析

热点必刷题03圆综合选填压轴40题

［内容概览^___________________

一、圆中长度问题.........................................2

二、圆中路径长度问题.....................................3

三、圆中最值问题.........................................5

四、圆中面积问题.........................................8

五、圆与几何综合........................................10

一、圆中长度问题

1.（2024•浙江.模拟预测）如图，在oABCD中，AB=10,BC=6.E是边AB的中点，过

点E作AO的平行线，交以45为直径的OE于点尸，交CD于点H,连接O尸并延长，交

2.（2024•四川泸州•模拟预测）如图，VABC中，NC=90。，点。为VA2C的外心，BC=6,

AC=8,0尸是AABC的内切圆.则。尸的长为（）

A.2B.3C.V5D.y

3.（2024.重庆渝北.模拟预测）如图，AB是。。的直径，弦a>_LA3,DE//AC,若

AB=26,AC=24,点歹是弦DE的中点，则0P的值为（）

A595百口595所「20352045

.------1J.----------------L•\-J.

4.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，A在半径为3的。。上，8为。。上一动点，将射线54

绕B逆时针旋转120°交。。于C,取的中点。，求在2的运动过程中D的路径长为（）

71c.九D.岳

2

5.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，在口ABCD中，以A8为直径的。。交CD于N,

交A。于且AM平分连接3月交4以于死若AD=5,AM=8,则M/的长为

C.5D.4.8

6.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，△ABC的两条高线AD,BE交于点F,过8,C,E

三点作。。，延长AO交。。于点G,连接GQGC.设Ab=5,DF=3,则下列线段中可

求长度的是（）

B.GDC.GOD.GC

二、圆中路径长度问题

7.（2024・湖北武汉.模拟预测）如图，在VA3C中，ZACB=120°,AC=BC=26WP

在以A5为直径的半圆上运动，"为PC上一点，且PM=2CM,当点尸沿半圆从点A运动

至点8时，点M运动的路径长是（）

AC3兀-2兀-「

A.兀B.—C.--D.V3TI

23

8.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，及△AC3中，NAC5=90。，。在线段CB上，连

以为的直径。。交AD于P,CB=CA=6f当。在线段CB上自。向B运动的过程中,

3

A.3B.3^2C.-7iD.3兀

9.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，CD为。0直径，ABLCD且过半径OD的中点H,

过点A的切线交CO的延长线于G,且GH=6,点七为上一动点，。尸，钻于点尸，当

点七从点8出发逆时针运动到点C时，点尸经过的路径长是（）

A2^3「4^3八c/TTA8A/3

A.-----itB.-----TtC.2j3〃D.-----7t

333

10.（2024•江苏扬州•三模）在矩形ABC。中，AB=U,5C=16,点河、N分别是边AD、

BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点。

匀速运动；同时，动点/从点N出发，沿NB方向以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运

动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接斯，过点C作斯的垂线，垂

足为尸.在整个运动过程中，点P所经过的路径长是.

11.（2024.四川眉山.二模）7个半径均为厂的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个

硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余6个硬币固定不动），那么这个硬

币在滚动时圆心移动的路径长为（）

D.1271r

三、圆中最值问题

12.（2024.山东淄博•二模）如图，在中，ZACB=90°,BC=2,AC=2^,产是

以斜边AB为直径的半圆上一动点，“为尸C上一点且满足PM=2MC,连接则3M

的最小值为

13.（2024.江苏连云港.三模）如图，C在以A8为直径半圆上，AC=y/3,ZCAB=30°,

点。是弧BC上的一动点，CE1AD,连接3E,则破的长的最小值是

c

14.（2024•江苏盐城•三模）如图，直线/与0。相切于点A,点C为。。上一动点，过点C

作C3，/,垂足为2,已知。。的半径为逐，则+的最大值为一.

15.（2024・湖北武汉•二模）如图，在半圆。中，直径48=2石，点P为半圆。圆弧上一

动点，则AP+#>BP的最大值为.

16.（2024•四川成都•二模）如图，在RtAABC中，^ACB=90°,BC=6,AC=8,。。是以AC

为直径的圆，点。为0。上一点，连接C0、BD,点E是。D的中点，连接AE,则BD+AE

的最小值是.

17.（2024.山东济宁.模拟预测）如图，。。与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D,P

为。。上一动点，。为弦AP上一点，2AQ^3PQ.若点D的坐标为（0,-5）,则CQ的最小

值为.

18.（2024•浙江宁波•一模）如图，AB.CD是。。中的两条弦，相交于点E,且

AB±CD,=点H为劣弧AO上一动点，G为HE中点，若CE=1,£>E=7,连接AG,

则AG最小值为.

19.（2024•江苏宿迁•二模）如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,tanA=2,AC=2日以BC

为直径作圆，圆心为0,过圆上一点。作直线A8的垂线，垂足为E,则AE+OE的最大值

是.

20.（2024.江苏无锡.三模）如图，是。。的直径，是。0的弦，且"N与。4交于

点C,过A、3分别作垂线，垂足记作E和尸.现有下列结论：①若AB=10,MN=8,

22

则OC的最小值为3；②若MN=§a,则sin/NBM=§；③若AB=10,/ACM=30°,

则AE（BF+EF）的最大值为10°+：5指；④若M=“，孙5族-AE为定值

Vo2-b2-其中正确的为（）.

C.②③④D.①②④

四、圆中面积问题

21.（2024•山西大同•模拟预测）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4,O

是斜边AB的中点，以点。为圆心的半圆。与AC相切于点。，交48于点E,F,则图中阴

影部分的面积为（）

3731„o/71广cA1c3731

AA.----------7iB.2y3—7iC.2v3—兀D.-----------兀

232322

22.（2024•湖北•模拟预测）如图，点E是VABC的内心，的延长线和VABC的外接

圆相交于点。，ZACB=60°,AB=5^/3,BC=8,则VRDE的面积是（）

A.10B.8A/5C.D.5也

23.（2024・湖北武汉.模拟预测）在边长为1的正五边形ABCDE内，所有到点A的距离大于

1且到点C的距离小于1的点组成图形的面积是（）

A

TT「G兀nV371

B.sin72°——L.----------l_z.--------------

1010230430

24.（2024・安徽滁州・模拟预测）图1是一张圆形纸片；如图2,将圆形纸片作两次对折,

且折痕垂足为点M；如图3,把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点B,

M重合，折痕E尸与相交于点N,连接AE,AF,BE,BF.下列四个结论中错误的是

A.四边形尸是菱形B.△AEF为等边三角形

C.EN-FN=AM2—BN2D.S四边形人於：S扇形耽=3"：2兀

25.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，点C在以A8为直径的半圆上，AB=4,ZCR4=30°,

点。在线段AB上运动，点E与点。关于AC对称，DF_LDE于点D,并交EC的延长线于

B.线段的最小值为4君

3

C.当时，跖与半圆相切

4

D.当点。从点A运动到点8时，线段所扫过的面积是46

五、圆与几何综合

26.（2024•江苏镇江•二模）如图，边长为2的正方形ABCZ）中，E、/分别为3C、CZ）上的

动点，BE=CF,连接AE、3下交于点尸，则+的最小值为一.

27.（2024・陕西西安・模拟预测）如图，在矩形ABCZ）中，AB=3,AD=4,点E为AD的

中点，点尸在直线CD上，点G在线段上，且NGDF=NDEF,点尸为BC边上一动点,

则R4+PG的最小值为.

28.（2024•内蒙古兴安盟.二模）如图，在正方形ABCD中，点M,N分别为AB,3c上的

动点，且AM=BN,DM,AN交于点E,点尸为AB的中点，点尸为BC上一个动点，连

接PE,PF,若AB=4,则PE+尸尸的最小值为.

29.（2024•浙江温州•模拟预测）如图，在正方形ABC。中，点M,N分别在边A5,BC_L

（不与顶点重合），且满足AM=BN,连接4V,DM交于点、P.E,厂分别是边AB,BC

的中点，连结接PE,PF.若正方形的边长为8,则尸E+尸的最小值为

2

DC

30.（2024•山东德州•三模）如图，正方形A5C。的边长为4,点E是正方形内的动

点，点P是2C边上的动点，且NE4B=N£BC.连接,则PD+PE的最小值

为.

31.（2024•河南郑州•模拟预测）如图，在VABC中，NA=45。，ZABC=60°,AB=4,D,

E分别是射线A3,射线AC上的点，AD,AE的垂直平分线交于点。，当点。落在8C上

32.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点、P为边CD上

一动点，连接AP交对角线5〃于点E,过点E作EF交BC于点F,连接"交BO

于点G,在点尸的运动过程中，AAEG面积的最小值为.

33.（2024•江苏苏州•一模）如图，矩形ABCZ）中，AB=8,BC=6,。。与边A£＞、对角线

AC均相切，过点B作。。的切线，切点为尸，则切线长3尸的最小值为（）

DC

A.6B.7C.572D.46

34.（2024.安徽蚌埠.二模）如图，在正方形ABCD中，AB=2,M,N分别为边AD,CD

的中点，E为边上一动点，以点E为圆心，A3的长为半径画弧，交BC于点F,P为EF

的中点，。为线段跖V上任意一点，则尸。长度的最小值为（）

A.[B.|V2-1C.25/2-2D.6一2

35.（2024・安徽淮北•三模）如图，线段45=4,点M为AB的中点，动点尸到点M的距离

是1,连接PB,线段PB绕点P逆时针旋转90。得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的

C.2啦D.372

36.（2024.北京.模拟预测）如图，在正方形A5CD中，点尸是对角线30上一点（点尸不与

B、。重合），连接AP并延长交CD于点E,过点尸作尸交于点尸，连接AF、EF,

AF交班）于点G,给出四个结论：①ABmB产=2A^;®BF+DE=EF；③

PB-PD=y/2BF;®FC+EC=y/2PG-,

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

37.（2024.安徽合肥.模拟预测）如图，口的对角线AC,3。交于点。，E是边上

的动点，连接OE,DE,DE交AO于点、F.若AB=23C=4,ZDAB^60°,则下列结论中错

误的是（）

A.DE的最小值是出

B./DEO总小于60。

C.当点E是AB的中点时，血邛的面积是名

D.ADOE周长的最小值是由+3

38.（2024.湖南邵阳.二模）如图所示，在正方形ABC。中，点E在BC边上，连接AE,过

点D作DFIIAE交BC的延长线于点尸，过点C作CG±DF于点G,延长AE,GC交于点H,

点尸是线段DG上的一动点，连接CP,将△CPG沿CP翻折得到ACPG',连接AG'.若

CH=®DH=8,则AG'长度的最小值是（）

A.4衣B.10-3A/2C.4D.8-2近

39.（2024.安徽•三模）如图，矩形A2CD中，AB=3,3c=4,P为AD边上一点（不与A、

D重合），连接3P,过C点作CELBP,垂足为点E,点尸为CE的中点，则QF的最小值

是（）

APD

Bc

A.3B.V13-2C.V10D.V1O-1

40.（2024•广东广州・模拟预测）动点P在等边VABC的边AC上，AB=2,连接PB,AD±PB

于。，以为一边作等边V">E,ED的延长线交8C于歹，当所取最大值时，PB的长

为（）

7]

A.2B.—C.yf3D.A/2H—

42

热点必刷题03圆综合选填压轴40题

内容概览上

一、圆中长度问题.........................................2

二、圆中路径长度问题.....................................3

三、圆中最值问题.........................................5

四、圆中面积问题.........................................8

五、圆与几何综合........................................10

一、圆中长度问题

1.（2024•浙江.模拟预测）如图，在oABCD中，AB=10,BC=6.E是边AB的中点，过

点E作AO的平行线，交以45为直径的OE于点尸，交CD于点H,连接O尸并延长，交

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等

分线段定理，三角形中位线性质，由是OE的直径可得NAfB=90。，进而得

EF=-AB=5,由平行四边形的性质得AD〃BC,AB//CD,可得AD〃EH〃BC,四边

2

DkDMAP1

形3CHE是平行四边形，得到上H=3C=6,FH=EH-EF=1,笠=黑=黑=据

FGHCEB1

此得FH为△OCG的中位线，得到CG=2F"=2,最后根据线段的和差关系即可求解，掌

握以上性质定理是解题的关键.

【详解】解：:AB是。石的直径，

：.ZAFB=90°f

•・•E是AB的中点，

EF=-AB=5,

2

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

・・・BE//CH,

•:EH//AD,

：.AD//EH//BC,

。：BE〃CH,EH〃BC,

・・・四边形BCHE是平行四边形，

EH=BC=6,

：.FH=EH-EF=6-5=1,

AD//EH//BC,

.DFPHAE1

"FG~HC~EB~l'

：.DF=FG,DH=HC,

FH为△OCG的中位线，

CG=2FH=2x\=2,

BG=BC—CG=6—2=4,

故选：B.

2.（2024.四川泸州•模拟预测）如图,VABC中，NC=90。，点。为VABC的夕卜心,BC=6,

AC=8,0P是AABC的内切圆.则OP的长为（）

A.2B.3C.0D.y

【答案】C

【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心.熟练掌握三角形内心性质，三角形外心

性质，切线长定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键.

过点P作PD_LAC,PELBC,PF±AB,根据三角形的内心性质得到尸==根

据切线长定理得到CD=CE,BE=BF,AF=AD,得到四边形尸DCE是正方形，根据勾

股定理求出AB=10,得到OB=5,求出尸尸=口）=2,得到BF=4,得到。尸=1,即得

OP=4S.

【详解】过点尸作PDLAC,PE1BC,PF±AB,

7点P是内切圆的圆心，

APD=PE=PF,CD=CE,BE=BF,AF=AD,

四边形尸DCE是正方形，

：VA5C中，ZC=90°,BC=6,AC=8,

AB=4AC2+BC1=10-

设CD=CE=x,BE=BF=y,AF=AD=z,

x+y=6①

则＜x+z=8②，

y+z=10（3）

(①+②-③)+2,得％=2,

:.PE=PF=CD=2,

：.BE=BF=6—2=4,

・・•点。为VABC的外心,

OB=-AB^5,

2

OF=OB-BF=5-4=1.

•*-OP=y]OF2+PF2

故选：c.

3.（2024.重庆渝北.模拟预测）如图，A5是0。的直径，弦CDLAB,DE//AC,若

AB=26,AC=24,点尸是弦DE的中点，则0斤的值为（）

A595石口595MC2。352045

D.-------------------D.------

13169,169169

【答案】C

【分析】如图，记AB、CD的交点为连接3C,延长ED交AB的延长线于N,由A3是

。。的直径，可得NACB=90。，由勾股定理得，BC=ylAB2-AC2=10＞由弦CDLAB,

可得CM=DM,由SNBcugABxCMugACxBC,可求CM=*,由勾股定理得,

BM=^BC2-CM2=||,贝l|OM=詈，AM=^,证明丝AACM(AAS),则

QQQ407

MN=AM=—,DN=AC=24,ON=—,由点尸是弦QE的中点，可知即

407

OFONOF7T

ZOFN=90°=ZDMN,证明AONFSA°MW,则——=—,即不亦=兴，计算求解即

DMDN12024

13

可.

【详解】解：如图，记A3、CD的交点为连接2C,延长即交的延长线于N,

：A8是。。的直径，

ZACB=90°,

由勾股定理得，BC=YIAB2-AC2=10-

,弦CD_LAB,

CM=DM,

'''SZ.AArlfCir=-2ABxCM2=-ACxBC,

.,.-x26xCM=-x24xlO,

22

120

解得，CM=—,

由勾股定理得，BM=^BC2-CM2=1^,

11QOQQ

AOM=OB-BM=——,AM=OA+OM=——,

1313

•・•DE//AC,

:,ZN=ZA,Z.NDM=ZACM,

・・.△/△ACM(AAS),

QQQ

：.MN=AM=——，DN=AC=24,

13

407

：.ON=OM+MN=——,

13

•・•点尸是弦DE的中点，

：・OF1DE,BPZOFN=90°=ZDMN,

又丁ZONF=ZDNM,

：.AONFSQNM,

407

.OFON叩生=31

"DMDN'12024

故选：C.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与

性质，相似三角形的判定与性质等知识.熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾

股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键.

4.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，A在半径为3的0。上，B为。。上一动点，将射线明

绕8逆时针旋转120。交。。于C,取的中点。，求在B的运动过程中。的路径长为（）

A.27rD.也兀

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点48重

合时，ZAOC=120°,由。为8C中点，则ODLAC,当点B在运动过程中，£）在以厂为圆

心，|■为半径的DC上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的

关键.

【详解】如图，取圆上一点E,

VZB+ZE=180°,ZB=120°,

：.ZE=60°,

：.ZAOC=120°,

ZAOC=120°,

•・•。为5c中点,

：.OD.LAC,

：.ZBDO=ZCDO=90°,

・•・oc为直径，

当点5在运动过程中，。在以尸为圆心，；。。长度为半径的上运动，

・・・。为5。中点，尸为OC中点，

：.DF//OA,

：.ZDFC=ZAOC=120°,

3

在B的运动过程中。的路径长为,

---------------------=TC

180

故选：C.

5.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，在口ABCD中，以A8为直径的。。交CD于M,N,

交AD于E,且AM平分4AD,连接8E交411于凡若AD=5,AM=8,则M/的长为

A.4B.4.5C.5D.4.8

【答案】B

【分析】首先连接OM,BM,根据OA=OM和角平分线性质得到AD〃OM,结合ABIIDC

得到四边形。LDM是平行四边形，求得AB=10,由AB是直径，得至ijNAMB=90。，得到

MFBM

BM=6,由tanNAffiE^tanN班〃，得到——=——，即得M/=4.5.

MBAM

【详解】连接OM,BM,

'：OA=OM,

：.ZOAM=ZOMA,

,：AM平分N&LD,

・•・ADAM=ZOAM,

：.ZDAM=ZOMA,

：.AD//OM,

•・•在口A3c。中，AB//DC,

・•・四边形OADM是平行四边形，

OM=AD=5,

・・・AB=10,

•・•AB是直径，

・・・ZAMB=9Q0,

••BM=VAB2—AM2=6，

ZMBE=ZDAM=ZBAM,

tanAMBE=tanABAM,

.MFBM

•・砺一而‘

.MF_6

••~-=一，

68

：.MF=4.5.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合.熟练掌握圆周角定理及推论，角平分线定义，平

行四边形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，是解决问题的关键.

6.（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，AABC的两条高线AABE交于点、F,过8,C,E

三点作。。，延长AO交。。于点G,连接GO,GC.设AF=5,DF=3,则下列线段中可

求长度的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、解直角三角形的应用，解答本题的关键

是熟练运用数形结合的思想解决问题.连接C/交。。于点则3〃LAB,设

BF=a,ACAD=a,则3Z>=acosa,£>F=asina,EF=5sina,AE=5cosa,设QO的半径为

r,贝！|BE=_B尸+£F=a+5sincr=3Ccosa=2rcostz,在HAGDO中，GD2=OG2-DO2W

出G£）2=D尸-AD,即可求解.

【详解】解：如图所示，连接CP交AB于点

根据题意得，点尸为AABC的垂心，

则

又NBEC=90°,

：.BC为。。直径，

...ZBHC=90°,

故点H在A3上，

A

HE

B,

G

设BF=a,/CAD=a,

An2CD2

在Rt^ACD中，cos2a¥,sin2a=&,3=M,

AC2AC2

CD2AD2CD2+AD2

・•・cos2a+sm•2a=----1----==iCD,

AC2AC2AC2

依题意，ZEBC+ZBCE=ZCAD+ZDCA,

：.ZEBC=ZCAD=a,

BD=acosa,DF=asina,EF=5sina,AE=5cosa,

设。。的半径为一，则BE=BF+EF=a+5sma=BCcosa=2rcosa,

a2+5asina=Iracosa®，

在中，GD2=OG2-DO2

=r2-(r-«cos6Z)2

=2racosa—a2cos2a

="+5〃sina-a2cos2a

=々2(1—cos2a)+5asina

=a2sin2a+5asina

=asina(asina+5)

=DF•AD；

・.,AF=5,DF=3,

AD=AF+O/=8,

AGZ)2=3x8=24,

GD=246，

故选：B.

二、圆中路径长度问题

7.（2024.湖北武汉•模拟预测）如图，在VABC中，ZACB=120°,AC=BC=2石.点尸

在以A8为直径的半圆上运动，M为PC上一点，且PM=2CM,当点尸沿半圆从点A运动

至点6时，点M运动的路径长是（）

AC3兀-2兀一「

A.兀B.—C.—D.V3TC

23

【答案】A

【分析】本题主要考查了动点的运动轨迹长度，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性

质与判定，解直角三角形等等.如图所示，在AC上取一点E使得CE=；AC,在BC上取

一点/使得CF=：BC,连接跖，EM,FM,AP,BP,取E尸中点0,连接OC,证明

AECM^AACP,得到NAPC=NEMC,同理可证NFMC=NBPC,即可得至ljNRWF=90。，

则点M在以。为圆心，以OE的长为半径的圆弧上运动，根据三线合一定理得到OCLEF,

NECO=60。,求出OE=1,又当点P沿半圆从点A运动至点8时，点M从点E沿半圆运动

到点/，可得点M运动的路径长.

【详解】解：如图所示，在AC卜.取一点E使得CE=gAC,在BC匕取一点尸使得CP=；8C,

连接砂，EM,FM,AP,BP,取中点0,连接OC,

:.ZAPB=90°,

'/PM=2CM,

/.CM=Lpc,

3

.CECM

,~CA~~CP'

又•.・ZECM=ZACP,

:./\ECM^/\ACP,

.\ZAPC=ZEMCf

同理可证ZFMC=NBPC,

ZEMF=ZEMC+Z.FMC=ZAPC+ZBPC=90°,

•・•点M在以。为圆心，以OE的长为半径的圆弧上运动，

；AC=BC=2/，

CE=CF=：g,

：,OC1EF,NECO=-ZECF=60°,

2

OE=CE-sinZECO=1,

当点尸沿半圆从点A运动至点3时，点M从点E沿半圆运动到点产，

点M运动的路径长为gx2乃xl=»,

故选：A.

8.（2024.湖北武汉.模拟预测）如图，Rt^AC3中，NACB=90。，。在线段CB上，连,

以为CO的直径。。交A£）于P,CB=G4=6,当。在线段CB上自C向8运动的过程中,

3

A.3B.3A/2C.-itD.3兀

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质及动点轨迹：点按一定规律运动所形成

的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用圆周角定理确定P点的轨迹.连接PC,由

ZCPD=ZCPA=90°,可得点尸是在以AC为直径的弧上运动，当。在线段CB上自C向2

运动的过程中,点P运动的路径是NC的长，据此求解即可.

•••8是。。的直径,

:.ZCPD=ZCPA=90°,

•••点P是在以AC为直径的弧上运动，

・•・当〃在线段CB上自C向8运动的过程中，点P运动的路径是"C的长，

:.CM=AM=MN=3,

•.•RtZkACB中，ZACB=90°,

ZAMN=ZCMN=90°,

90°TTx33万

18002

故选：C

9.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，CD为。。直径，AB_LCD且过半径OD的中点X,

过点A的切线交的延长线于G,且G"=6,点E为。。上一动点，CbLAE于点E当

点E从点8出发逆时针运动到点C时，点P经过的路径长是（）

A.苧B.等C.2$D.孚乃

【答案】B

【分析】连接AC,AO,由，CD,利用垂径定理得到〃为AB的中点，证明^AOG^^HOA,

可求圆的半径，在直角三角形中，由4。与OH的长，利用勾股定理求出AH的长，进

而确定出A3的长，由C0+H9求出CB的长，在直角三角形AHC中，利用勾股定理求出AC

的长，由CF垂直于AE,得到三角形始终为直角三角形，点产的运动轨迹为以AC为

直径的圆上，当E位于点2时，CHVAE,此时产与〃重合；当E位于点C时，此时尸与

C重合，可得出当点E从点8出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长CH的长，在

直角三角形ACH中，利用锐角三角函数定义求出/C4H的度数，进而确定出C8所对圆心

角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出CH的长，即可求出点尸所经过

的路径长.

【详解】解：连接AC,AO,

'：ABVCD,

为AB的中点，即=

2

：AG是。。的切线，

ZOAG=90°=ZAHO,

又NGOA=ZAOH,

：.^AOG^^HOA,

.AO_OG

"lid~~6A

即OA2=OHOG,

：.<9A2=1OA^6+|OA^|,

Q4=4或。4=0（不符合题意，舍去）

：.OH=2,AH=y]AO2-OH2=2s/3=BH,

AC=y/AH2+CH2=4A/3，

,：CF1AE,

△ACF始终为直角三角形，点下的运动轨迹为以AC为直径的圆上,

当E位于点8时，CH1AE,此时尸与H重合；当E位于点C时，此时尸与C重合,

，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长C8的长，

在RSACH中，tanZACH=%=且，

CH3

，/AC"=30°,

NO4H=60°,

；•CH所对圆心角的度数为120。,

:直径AC=4g,

120万-2如_4后

ca的长=

-180~3

则当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点尸所经过的路径长的长为生生.

3

故选：B.

【点睛】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函

数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到

点C时，点厂所经过的路径长为CH的长是解本题的关键.

10.（2024・江苏扬州•三模）在矩形A8CL（中，AB=U,BC=16,点河、N分别是边AD、

BC的中点，某一时刻，动点E从点/出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点。

匀速运动；同时，动点尸从点N出发，沿NB方向以每秒2个单位长度的速度向点8匀速运

动,其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接砂，过点C作砂的垂线，垂

足为尸.在整个运动过程中，点P所经过的路径长是.

【答案】舄

【分析】根据矩形性质、中点性质即可求得CF,如图1中，连接"N交所于点G,连接CG,

首先证明GN=4,利用勾股定理求出CG.由NCPG=90。，推出点P在CG为直径的。。上

运动，当点E与。重合时，如图2中，连接。尸，ON.点尸的运动轨迹是NP，求出/PON,

再利用弧长公式求解.

【详解】解：,•,四边形ABC£＞是矩形，

/.AB=CD=12fAD=BC=16?

・・•点M、N分别是边A。、5C的中点,

：.AM=MD=-AD=S,BN=CN=-BC=S

22f

连接MN交E尸于点G,连接CG,如图1,

图1

:.MN=AB=12,

'.'EM//NF9

:.正GMS/'GN,

.GMEM_2t

.\GN=-MN=4,

3

在RMCGN中，CG=XcN?+GN?=j8?+42=4A6，

QCPAEF,

:./CPG=90。,

•・•点尸在CG为直径的。O上运动,

当点£与。重合时，如图2中，连接OP,ON.点尸的运动轨迹是NP，

AM

BFN、,_，/C

图2

此时0V=8,NF=4,

:.CF=AB=CD=12,

♦・•/BCD=90。,CP工DF,

:.CP平分/BCD,

:.NPCN=45。，

/.ZPON=2ZPCN=90°,

•-0P=LcG=2卮

2

，点P的运动轨迹的长=9。兀x2'=岛

180

故答案为：石兀.

【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

11.（2024・四川眉山•二模）7个半径均为一的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个

硬币沿着剩下硬币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余6个硬币固定不动），那么这个硬

33

【答案】C

【分析】本题主要考查了弧长的计算的应用等知识点，根据题意确定运动路径是由由4个孤

1与8个孤2组成，然后利用弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长的计算是解决此题的关

键.

由圆半径相等得，AB=AC=BC=2r,

VABC为等边三角形，

ZABC=ZBAC=ZCAB=60°,

J.ZDAC=120°,NCBE=60。，

.120.4nrrrC弘60.2

••弧1的长二——7rx2r=-7rr,弧2的长=——7ix2r=—7ir,

18031803

4232

总路径长=-7ZTX4+—TZTX8=——nr,

333

故选：C.

三、圆中最值问题

12.（2024•山东淄博•二模）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=2A/3,P是

以斜边AB为直径的半圆上一动点，M为PC上一点且满足PM=2MC,连接RW,则3M

的最小值为.

【分析】如图，取45的中点。，连接OC,在OC上取一点N,使得ON=2CN,连接OP,

过点N作NHL3C,先根据勾股定理求得AB=4,再根据中点定义及直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半得到0C=0P=04=03=工AS=2=BC,再证“OCB是等边三角形，

2

得/NCT/=60。，NH=CNsin60°=@,CH=CNcos600=-,==*，由勾股