安徽省阜阳市2023-2024学年高一数学下学期期中试题（含答案）

2023^2024学年度高一第二学期期中考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整,

笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章~第八章&4.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1,若集合M={X|2X-1>5}>N={xeN*|-1<X<5},贝.'"》衿()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，对集合〃，N进行转化，根据补集的概念求出品结合交集的运算求出(条

【详解】由题意知M={x|2x_1>5}={小〉3},N={xwN*\1</<5卜{1,2,3,4},

所以飒={小<3},(RM)nJV={1,2,3}.

故选：B.

2.计算cos43°cos13°+sin43°sin13°的值()

Aj_R④「Gn<7。

A.°B.---C.--D.COs57

222

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.

【详解】cos43°cosl30+sin43°sinl3°=cos(43。-13o)=cos30°=—

'2

故选：c.

3.已知W=2,B在。上的投影为则a/=()

1122

A.-B.——C.一D.一一

3333

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解.

【详解】因为忖=2,3在£上的投影为可得耳=§，所以=§忖=§*2=1

故选：C.

4.已知函数“X)是定义在R上的奇函数，当尤>0时，/(X)=X3-3X2,则/(T)=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】由函数为奇函数，有/(-1)=-/。)，代入函数解析式求值即可.

【详解】/(X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x3-3x2,

则/(—1)=—/(1)=—(1—3)=2.

故选：B.

3

5.如图，V/'O'B'为水平放置的“08斜二测画法的直观图，且0N'=—,。§'=4,则"08的周长为

2

()

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【解析】

【分析】

由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.

【详解】由直观图可得，在AOZB中，OA=20'A'=3,OB=O'B'=4,且。

所以ABUYOH+OB?=5,

所以△048的周长为3+4+5=12.

故选：D.

6.在中，AB=/j,AC=2,C=120°,则siM=（）

卜布RV21r577n3V21

14141414

【答案】B

【解析】

【分析】由已知利用余弦定理可求8C的值，根据正弦定理可求sin/的值.

【详解】•••/3=V7,ZC=2,C=120°，

22

，由余弦定理幺台2=BC+AC-2BC-ACcosC^^5^+256-3=0,

解得：BC=\,或一3（舍去）,

BCsinCV2T

由正弦定理可得:sin/

AB—14

故选:B

7.如图，在中，刀=4丽，尸为的中点，贝1」丽=（）

1--1--

B.——AB+-AC

4243

5—­1--

C.--AB+-ACD.--AB+-AC

8283

【答案】C

【解析】

【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.

【详解】由题意知

而:丽+丽:万+;反=-;9万卜1在+;公-9=49+:公

故选：C.

8.如图，在梯形/BCD中，ABLAD,AB!/DC,48=4,40=3,DC=\,以40所在直线为轴

将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（）

A.16兀B.19兀

C21万D.24n

【答案】C

【解析】

【分析】易得旋转形成的几何体为圆台，结合圆台体积公式计算即可得.

【详解】易得旋转形成的几何体为圆台，

所以厂=；（5；+82+7^）〃=；*（兀+16兀+4兀）*3=21兀.

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，复数Z1=l+2i/2=2-i,则（）

A.Z］的共辗复数为—l+2iB.匕卜㈤

C.4+Z2为实数D.4-Z2在复平面内对应的点在第一象限

【答案】BD

【解析】

【分析】根据共辗复数的定义可判断A,根据模长的计算公式可判断B,根据复数的加法以及乘法运算即可

判断CD.

【详解】对于A,a=l+2i,,=l—2i,故A错误，

对于B,Z]=l+2i/2=2—i,则㈤=逐,"|=若，故匕i|="|，故B正确,

对于C,4+Z2=3+i为虚数，故C错误，

2

对于D,Z1-z2=（l+2i）（2-i）=2-i+4i-2i=4+3i,对应的点为（4,3）,故为飞在复平面内对应的点

在第一象限，故D正确，

故选:BD

10.在A4BC中，AB=s/3,AC=l,B=-,则A4BC的面积可以是（）

6

A.—B.1C.—D.—

234

【答案】AD

【解析】

【分析】由余弦定理求出BC,再根据三角形的面积公式即可求出答案.

【详解】解：•••AB=G,ZC=1,8=H,

6

由余弦定理得AC2=AB2+BC?-2AB-BC-cosB，

BC2-3BC+2=0,

：.BC=1,或5c=2,

...由AABC的面积公式SMBC=1•48•BC•sinB得S.针=也或8A=立，

2万c4zvioc2

故选：AD.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题.

JT

11.已知函数/（x）=3sin（ox+。）（①>0,|如<5）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

71

A.函数的解析式/（x）=3sin（2x+§）

B.直线x=-口兀是函数〃x）图象的一条对称轴

12

3兀117T

C.7（x）在区间,——）上单调递增

26

33兀71

D.不等式/(x)W］的解集为［——++kn\,k£Z

【答案】ABD

【解析】

【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项.

【详解】对于A,由图知函数/（x）的最小正周期T=3x（2—2）=兀，所以。=&=2,

3612兀

TT7T

所以/(x)=3sin(2x+9),将点(二,3)代入,得3=3sin(-+°),

126

所以£+0=3+2左兀（左£Z）,解得0=^+2左兀（左€Z）,

又|如<5,所以°=色，所以/(x)=3sin(2x+f),故A正确;

NJ3

对于B,当》=一［如时，f1111

3sin2x71+—=3sin2x兀=-3,故B正确；

12HT12J312

./3兀11兀、.C兀/10兀/、

对于C,当x£(—,---)时，2xH—G(----,4兀)，

2633

当2x+g=F时，/（x）取得最小值-3,所以仆）在区间（当，当）上不单调递增，故C错误;

3226

3TT37717171

对于D,由得3sin(2x+^)〈彳,所以—一+2E<2X+^V2+2E,keZ,

636

3兀兀

角牟得-----Hku4x«-----1-kit,左eZ,故D正确.

412

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

log,x,x>0

'则/42f\\

12.已知函数=<

J)

【答案】8

【解析】

【分析】根据题意，结合指数早与对数的运算法则，准确计算，即可求解.

log2x,x>0

'可得小?、.V21

【详解】由函数y（x）=<=1°§2—=--

7

故答案为：8.

13.已知a〉L且2Q-6+2Q6-5=0,则6的最小值为.

2

【答案】2行—工##—工+2正

22

【解析】

【分析】由a+b=；（2a-1）+伍+1）-；利用基本不等式求最值可得答案.

【详解】因为2a-b+2ab-5=0,所以（2a—1）伍+1）=4,

又a〉一,所以2a—1>0,6+1>0，

2

所以4+/,=1（2"1）+伍+1）—工之24（20_：9伍+1）_工=2血_!,

当且仅当g（2a—l）=b+l,即q=2*+l）=后_］时,取等号，

所以a+6的最小值为2—.

2

故答案为：2yli—.

2

14.已知向量G,B,3满足田=|力|=2,若对任意的实数x,都有2+产<|a+x6|,则卜―司+卜—砸勺最

小值为.

［答案］生色##3指

33

【解析】

-4

【分析】利用数量积与模的关系结合二次不等式恒成立计算得展人=—-,再根据向量不等式计算即可.

3

【详解】因为a+<|a+x6|,所以卜+<伍+而2对任意的实数X恒成立，

「,-42；

即4x+2Q,bx---------ci,b20,

93

所以A=（2晨Bp_4x41_g_+<o，所以限B=—g.

所以E一司+k一可211_伍一=W-W=\lb2-2b-a+a2=~~，

当且仅当5与1反向时等号成立，即口-司+\c-b\的最小值为容.

故答案为：逑.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知复数Z满足2+亍=2,z2=-2i-

（1）求复数z；

（2）求复数的实部和虚部.

【答案】（1）2=1—i

（2）复数的实部为-4，虚部为0.

【解析】

【分析】（1）设复数2=o+bi,a,beR,由z+亍=2,z?=-2i列方程组可求出的值，即可求出复数

Z.

（2）由复数的乘法运算即可求出z3即可得到的实部和虚部.

【小问1详解】

设复数2=a+Z?i,a,beR,则三=q—bi，由2+彳=2。=2,解得：a=1.

,[a2-b2=0

再由z?=（a+bi）=a2+/i2+2abi=/—〃+2abi=—2i,\,解得：6=T,故复数

[）[2ab=-2

z=1-1.

【小问2详解】

因为z=l—i,z2=（l-i）2=l+i2-2i=-2i,z4=（-2i）2=4i2=-4,复数的实部为—4,虚部为0.

16.已知向量1=（2,4）3=（加,1）忑=（1,2）,且R—2到，口

（1）求加的值；

（2）求向量1—B与23—35的夹角的余弦值.

【答案】（1）m=3

力3而

10

【解析】

【分析】(1)运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.

(2)运用平面向量夹角公式计算即可.

【小问1详解】

因为2—2B=(2,4)—2(加,1)=(2—2加,2),(a-2b^Lc,

所以(a—2b)•c=2—2掰+2x2=0,解得〃？=3.

故加的值为3.

【小问2详解】

由(1)知，S=(3,l),

所以/_3=（2,4）_（3,1）=（_1,3）,26—3万=2（3,1）_3（1,2）=（3,—4）,

所以3-6|=V10,|26-3c-3cj=3x（-1）+3x（-4）=-15,

m-B＞（2B-35）-153V10

所以cos（o-b,2b-3c）=

\a-b\\2b-3c\V10x510

故B与23-35的夹角的余弦值为-士40.

10

17.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是8cm,圆柱筒长3cm.

(1)这种“浮球”的体积是多少cn??

(2)要在这样1000个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.02克，共需胶多少克？

【答案】⑴警城

(2)1760兀克

【解析】

【分析】(1)利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果;

(2)结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量.

【小问1详解】

••・该半球的直径d=8cm,•••“浮球”的圆柱筒直径也是8cm,R=4cm,

44256

二.两个半球的体积之和为嚷兀火3兀X64=^-7131?,

又，（柱=兀??2%=兀xl6x3=4871cm3,

该“浮球”的体积是「=喂+%柱=誉4+48兀=里詈cm3.

【小问2详解】

上下两个半球的表面积S球表=4兀&2=4兀xl6=6471cm2,

“浮球”的圆柱筒侧面积为S圆柱侧=2兀及〃=2兀x4x3=24兀cn?,

...］个“浮球”的表面积为64兀+24兀=8871cm2，

...1000个“浮球”的表面积的和为1000x88兀=88000兀cm?,

,•,每平方厘米需要涂胶0.02克，.•.共需要胶的质量为0.02x88000乃cm?=1760兀（克）.

18.在中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且2二@=吧三吧且.

csinB+sinZ

（1）求角氏

（2）若AASC为锐角三角形，AC=2,2是线段/C的中点，求M的长的取值范围.

TC

【答案】（1）B=—

3

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角；

（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结

合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.

【小问1详解】

b—asinC-sinA,b-ac-a

因为——=-----------,由正弦定理得——=-----,

csm8+sin/cb+a

所以/+o?一〃=ac，

由余弦定理得cosB=."2+02"=£=!，

2ac2ac2

jr

又Beg,五）,所以8=g；

【小问2详解】

因为a?+/-/=ac，所以a?+/=a。+4.

—►1—>—>

因为〃是线段ZC的中点，所以BD=e(B4+BC),

所以BD?=+=；(/+c?+ac)=1+,

a_b_c2_473

—sinA,=^-smC>

由正弦定理得sin/sin5sinC,n3，所以a=c

sm—33

3

二

所以ac=&sinZ•七"sinC='sinZsinA+-%nZ一sin/+——cosA

333I3322

▲M/+江建sin/8s//-&c°s2/+i^in2/』in2，」H

3333333I6J3

又445C为锐角三角形，所以1c2,解得丁</<1,所以m<2N-£<芈,

2兀兀62066

即sin寰4-i31鼻则ace]|,4,所以RD?eg,3,

即BDejg,、回,则劭的长的取值范围是j亨，、回.

19.在RtZk/BC中，内角4民。的对边分别为仇。，已知出=cos8+cosC.

ab+c

（1）求角A；

（2）已知cw2"a=2G,P,0是边ZC上的两个动点（P,。不重合），记/PBQ=9.

7T

①当6=一时，设人心。的面积为S,求S的最小值；

6

②记NBPQ=a,NBQP=。.问:是否存在实常数。和左，对于所有满足题意的鬼万，都有

5/2&+5也2/7+左=2衣05（&—0+三成立？若存在，求出。和左的值；若不存在，说明理由.

7T

【答案】（1）A=j；

(2)①Smm=3(2—g);②存在，e=gk*.

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理与和角公式将等式化成sin(Z—B)=sin(C—4),由Z-8,C-4的范围得到

71

A-B=C-A,利用内角和即得/二§；

3

(2)①设/0C=x,利用正弦定理分别求出AP,3。，代入三角形面积公式，整理成S=7-----------,

V3+2sin2x

利用正弦函数的图象性质即可求得；

②假设等式成立，利用和差化积公式化简，代入。+a=兀—得至！l2(sin。—左)cos(a—/?)+左———=0

对于所有满足题意的名力成立，联立方程组计算即得.

【小问1详解】

,cos/cos5+cosCy—、…Eincos/cosB+cosC

由----二------------，和正弦定理可得，-----二------------，

ab+csim4sinB+sinC

即siih4cos3+siib4cosc=cos/sin5+cos/sinC,

移项得，sin4cosS-cos^sinS=cos^sinC-siiL4cosC，即sin(4—5)=sin(C—4),

7TTTjrjrTT

因为0<Z,84工则有/—Be,C-Ae,

2122」[22」

IT

故/—5=C—/,即2/=B+C,XA+B+C=TI,所以/=§；

【小问2详解】

①因为cw26,所以8=巴，又A=*,a=2C,所以c=2,b=4.

23

jrJI

如图，因/尸5。=。=—,设/。5。=羽则0-,